MATHVN.COM | www.MATHVN.com                     BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9                                 THEO TỪNG D...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comb) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.Bài 8: Cho biểu thức  ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 15: Cho biểu thức      P=    x2  x      x2           x                                  ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com                          3            3                      1           1                  ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 31:     Cho biểu thức                  1       3         2            P=                 ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comDẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.      Tính giá trị củ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com            2008      2008         x      y            2      b) 1004  1004          a      b...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com                                                            2 xy      Tính giá trị của phân thứ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com        2) Tính A = 3 20  14 2  3 20  14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH B...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com                 1    1            S=    3                     3                 x1 x 2Bài 12:...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comDẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.Giải phương trình:Bài 1:      x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 .Bài 2:      ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com                               2                            x            b) x2 +               ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 35:        3                   x 1  x  2  3 x  3  0                         3Bài 36: ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com       a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2             2      2   2           2       b) 0  x  ...
MATHVN.COM | www.MATHVN.com                                                a          a akBài 26) a) Cho a, b, k là các s...
MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức             1      2      ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Boi duong toan 9

888 views

Published on

hay lắm các bạn ơi

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
888
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
37
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Boi duong toan 9

  1. 1. MATHVN.COM | www.MATHVN.com BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THEO TỪNG DẠNGDẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨCBài 1: Cho biểu thức 1 1 a2  2 P=       2 1  a 2 1  a 1  a3a) Rút gọn P.b) Tìm Min P.Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x 2  y 2  xyTính giá trị biểu thức : P = xy - 1 x-yBài 3: Tính giá trị biểu thức Q = xy Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0Bài 4: Cho biểu thức P = 15 x  11  3 x  2  2 x  3 x  2 x  3 1- x x 3 1a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 2b) Chứng minh P ≤ 3Bài 5: Cho biểu thức 3a  9a  3 a 1 a 2 P=   a a 2 a  2 1 aa) Rút gọn P.b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.Bài 6: Cho biểu thức P= a 4 a -4  a 4 a -4 8 16 1-  a a2a) Rút gọn P.b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.Bài 7: Cho biểu thức  a 1   1 2  P=   :   a  1 a  a   a  1 a  1     a) Rút gọn P.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 1
  2. 2. MATHVN.COM | www.MATHVN.comb) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.Bài 8: Cho biểu thức  4 x 8x   x  1 2  P=   2 x 4x x2 x :      x a) Rút gọn P.b) Tính x để P = -1c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.Bài 9: Cho biểu thức  y - xy   x y x  y P=  x :     x y    xy  y xy  x xy   a) Tìm x, y để P có nghĩa.b) Rút gọn P.c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3Bài 10: Cho biểu thức  x  1 x - 1 x 2  4x  1  x  2007 P=        x 1 x 1  x 2 1   xa) Tìm x để P xác định.b) Rút gọn P.c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.Bài 11: Rút gọn P.  2 2 2 2 4 2 2 P =  a  a  b  a  a  b : 4 a  a b    a  a 2  b2  a  a 2  b2   b2 Với | a | >| b | > 0Bài 12: Cho biểu thức  x 2 2 x  2  1 x  P=   .    x 1  x  2 x  1  2 a) Rút gọn P.b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.c) Tìm GTLN của P.Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức 2x 5 x 1 x  10 P=   x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6 Không phụ thuộc vào biến số x.Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức P = x  3 2  3 .6 7  4 3  x 4 9  4 5 . 2  5  x Không phụ thuộc vào biến số x.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 2
  3. 3. MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 15: Cho biểu thức P= x2  x x2  x   x 1 x  x 1 x  x 1 Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .Bài 16: Cho biểu thức 2 P= x  x  2x  x 2(x  1)  x x 1 x x 1a) Rút gọn P.b) Tìm GTNN của Pc) Tìm x để biểu thức Q = 2 x nhận giá trị là số nguyên. PBài 17: Cho biểu thức  2x x  x  x x  x  x 1 x P=       x x 1 x  1  2x  x  1 2 x  1 a) Tìm x để P có nghĩab) Rút gọn P.c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.Bài 18: Rút gọn biểu thức 3 5 3 5 P=  10  3  5 10  3  5Bài 19: Rút gọn biểu thức a) A = 4 7  4 7 b) B = 4  10  2 5  4  10  2 5c) C = 4  15  4  15  2 3  5Bài 20: Tính giá trị biểu thức P= x  24  7 2 x  1  x  4  3 2 x  1 1 Với ≤ x ≤ 5. 2Bài 21: Chứng minh rằng: 2 3  5  13  48 P= 6 2 là một số nguyên.Bài 22: Chứng minh đẳng thức:www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 3
  4. 4. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 3 3 1 1 2  2 1 3 3 1 1 1 1 2 2Bài 23: Cho x = 3 5 2  7  3 5 2  7 Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x 1  xy 1  xyBài 24: Cho E =  xy xy Tính giá trị của E biết: x= 4  8. 2  2  2 . 2  2  2 3 8  2 12  20 y= 3 18  2 27  45 2Bài 25: Tính P = 1  2007 2 2007  2007 20082 2008Bài 26: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 P= + + ... + 1 5 5 9 2001  2005Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức: P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng 3 x = 33 2 2 3 32 2 y = 3 17  12 2  3 17  12 2  a 1 a 1  1 Bài 28: Cho biểu thức A =   a 1   4 a  a     a 1 a  a) Rút gọn A. b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4  15Bài 29: Cho biểu thức x  4 x  1  x  4 x  1  1  A=  1   x 2  4 x  1  x 1 a) x = ? thì A có nghĩa. b) Rút gọn A.Bài 30: Cho biểu thức 1 1 x 1 1 x 1 P=   1 x  1 x 1 x  1 x 1 x a) Rút gọn P. 2 b) So sánh P với . 2www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 4
  5. 5. MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 31: Cho biểu thức 1 3 2 P=   x 1 x x 1 x  x 1 a) Rút gọn P. b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.Bài 32: Cho biểu thức 2 a 9 a  3 2 a 1 P=   a 5 a 6 a 2 3 a a) Rút gọn P. b) a = ? thì P < 1 c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.Bài 33: Cho biểu thức x 2 x 1 x P=   xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.Bài 34: Cho biểu thức x 2 x 1 x P=   xy  2 y x  x  2 xy  2 y 1  x a) Rút gọn P. b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.Bài 35: Cho biểu thức  1 1  2 1 1 x3  y x  x y  y 3 P =       :  x  y x y x  y  xy 3  x 3 y a) Rút gọn P. b) Cho xy = 16. Tìm Min P.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 5
  6. 6. MATHVN.COM | www.MATHVN.comDẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức: P = a b a b 2 2Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x +2y = 5xy Tính giá trị biểu thức E = x  y x yBài 3: 1) Cho a + b + c = 0 CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc 2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 Tính giá trị biểu thức: yz xz xy M= 2  2  2 x y z 3 3 3Bài 4: Cho a + b + c = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:  a  b  c P = 1  1  1    b  c  aBài 5: a) Phân tích thành nhân tử: (x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3 b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 . Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức: P = a4 + b4 + c4Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007 x y xy x3 y3Bài 8: Cho   1 và  2 . Tính 3  3 a b ab a bBài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 P=  2 2  2 2 b 2  c 2  a 2 a  c  b 2 a b  c 2 x4 y 4 1Bài 10: Cho   ; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng: a b ab a) bx2 = ay2;www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 6
  7. 7. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2008 2008 x y 2 b) 1004  1004  a b ( a  b)1004Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì: 1 1 1   =1 1  x  xy 1  y  yz 1  z  xzBài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: a2 b2 c2 P=   (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a ) (c  b)(c  a )Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì: bc cb ab 2 2 2      (a  b)(a  c ) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a  b b  c c  aBài 16: Cho biết a + b + c = 2p 1 1 1 1 abcChứng minh rằng:     p  a p  b p  c p p( p  a )( p  b)( p  c)Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh : a b 2(ab  2)  3 3  2 2 b 1 a 1 a b  3 x y z a b cBài 18: Cho    1 và    0 a b c x y z x2 y 2 z2 Tính giá trị biểu thức A = 2  2  2 a b c a b cBài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và   0 bc ca ab a b cTính giá trị của P = 2  2  (b  c ) (c  a) ( a  c) 2Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyzBài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd Chứng minh: c = d.Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2. x yTính giá trị biểu thức: A = x yBài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 7
  8. 8. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 xy Tính giá trị của phân thức A =  6 x  xy  y 2 2Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007. ax 2  by 2  cz 2 Tính giá trị của biểu thức: P= bc ( y  z )2  ac( x  z ) 2  ab( x  y ) 2Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.Tính giá trị biểu thức: x3 y3 z3 P=   ( x  y )( x  z ) ( y  x)( y  z ) ( z  y )( z  x) x  y  z  1 Bài 27: Cho  x 2  y 2  z 2  1 x3  y 3  z 3  1 Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 .Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức: P= a 2   (b  c )2 (a  b  c )  ( a  b  c) ( a  c) 2  b 2 Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2. 2 2 2 2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:  xy  y  z  3   yz  y  z  8  zx  x  z  15  Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:  2 2 2 x  y  z  1  3 x  y3  z3  1  Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003) 2 3 6 84Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2 3 4 x y b) Tính giá trị biểu thức: Q = x y Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì: 2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2. a) So sánh a và b + c. b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 8
  9. 9. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2) Tính A = 3 20  14 2  3 20  14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m. c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn điều kiện x 12 + x 22  10. c  0Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:  c  a   ab  bc  2ac 2 Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai  x1  x 2  5 nghiệm x1, x2 thỏa mãn:  3 3  x1  x 2  35Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình (x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = bBài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm: (a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 2b cBài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a  0) có nghiệm nếu  4 a aBài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa 5mãn: x 12 - x 22 = 9Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hainghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN. c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 9
  10. 10. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 1 1 S= 3  3 x1 x 2Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phươngtrình trên hãy tính giá trị của biểu thức: 3 x12  5 x1 x 2  3 x 2 2 A= 4 x1 x 2  4 x13 x 2 3Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a. 2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 6. 3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2.Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m. b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) . Tìm GTNN của M = x12 + x22Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện: 1 1 1   a b 2CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1) a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m. b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (2)Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1) a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m. b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1) 1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. 2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22  10. 3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: E = x12 + x22 đạt GTNN.Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương. CMR: a2 + b2 là một hợp số.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 10
  11. 11. MATHVN.COM | www.MATHVN.comDẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.Giải phương trình:Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 .Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8xBài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3Bài 10: x 8  x 9 1 2x 7xBài 11: 2  2 1 3x  x  2 3x  5x  2 4x 2Bài 12: x2 +  12  x  2 2 2 2 x 2  x  2 x2  4Bài 13: 20     5   48 2 0  x 1   x 1  x 1 3x 7xBài 14: a) 2  2  4 x  3x  1 x  x  1 x 2  10 x  15 4x b) 2  2 x  6 x  15 x  12 x  15 x 2  3x  5 x 2  5 x  5 1 c) 2  2  x  4x  5 x  6x  5 4 2 81xBài 15: a) x2 +  40 x  9 2www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 11
  12. 12. MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2 x b) x2 +  15 x  12 2 2 x 1  x 1  40Bài 16: a)        x   x 2 9 2 2 x 2  x 2 5 x2  4 b)       0  x 1   x 1  2 x2 1 8 x 8 x c) x. x   15 x 1  x 1  2 x 1Bài 17: x +2   = 8( Đề thi HSG V1 2004)  x Bài 18: x  1  5 x  1  3x  2Bài 19: 3 x 1  3 7  x  2Bài 20: x  2 x 1  x  2 x 1  2Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x  7  2Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 x 2 48 x 4Bài 27:  2  10  0 3 x 3 xBài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3  1 ( Đề thi HSG 1998) x  14Bài 29: x 5  3 3 x 5Bài 30: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4  4Bài 31:  5x  0 ( Đề thi HSG V2 2003) x2  2Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3 b) 3 x 3  8 = 2x2 - 6x + 4 4 c) 2  x  2 2 x 3www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 12
  13. 13. MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 35: 3 x 1  x  2  3 x  3  0 3Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m a) Giải phương trình khi m = 5. b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phươngtrình có nghiệm.Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.Bài 40: x2 + 9x + 20 = 2 3x  10Bài 41: x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1Bài 42: x2 + x  2006 =2006DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC abBài 1) Với a, b > 0 thì  ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 2Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: 2 (a 2  b 2 )( x 2  y 2 )  (ax + by) .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab  cd  a  c b  d Bài 4) CM bất đẳng thức: a2  b2  c2  d 2  a  c 2  b  d 2Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức: a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì: 1 1 1 1   ...   n 1 n  2 2n 2Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b  2.Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a2 + b2 + c2 = 2 (2)  4CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn  ;0 khi biễu diễn trên trục số.   3 Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a2 + 3b2  5.Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1. 1CM: a2 + 4b2  . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003). 5 2 2 2 2 2 1Bài 11) Chứng minh:  (Đề thi HSG 2001). 3 2 2 2 2Bài 12) Chứng minh:www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 13
  14. 14. MATHVN.COM | www.MATHVN.com a) (a  b )( x  y )  (ax + by)2 2 2 2 2 b) 0  x  2  4  x  2 a b c 3Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:    bc ca ab 2 1 1 1Bài 14) Cho S  1    ...  . 2 3 100 CMR: S không là số tự nhiên. 1 1 4Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:   . Dấu bằng xảy ra khi nào? x y x y abc b) Tam giác ABC có chu vi P  . 2 1 1 1 1 1 1 Cm:    2    pa pb pc a b c Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? xBài 16) a) CM x > 1 ta có: 2 x 1 a2 b2 b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P   b 1 a 1Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) 1 1 1Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì      9 .   a b cBài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b  10.Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab. 8 CMR:  a2  b2  8 . 3 Dấu bằng xảy ra khi nào? 1 1 2Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:   3 a b abBài 24) CMR nếu: a) 1  a  5 thì 3 a  1  4 5  a  10 b) a + b  0; b  1  0; a  b  2 thì a  1  b  1  2 2 3 1 4Bài 25) Cho biểu thức P  4 3  4 3  x  x  x 1 x  x  x 1 x  x  x  x2  x  1 5 4 3 32 CMR: 0  P  với x  1 . 9www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 14
  15. 15. MATHVN.COM | www.MATHVN.com a a akBài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và  1.Cmr :  b b bk b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: a b c   < 2. bc ca abBài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.  1 1 Chứng minh rằng: 1  1    9    a  b (Đề thi HSG V2 2003 - 2004)Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: x2 y2  x y 2  2  4  3    y x y x  DẠNG 6: CỰC TRỊBài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y. 1  1 Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =  1  2   1  2    x  y   2  x  x  1 2Bài 3) Cho P = . Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x. x2  1Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y  0, x + y = 10Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1 x2  x 1Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2  x  1Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2  x x y zBài 9) Tìm GTLN của P =   với x, y, z > 0. y z xBài 10) Tìm GTLN của P = ( x  1990)2  ( x  1991)2Bài 11) Cho M = a  3  4 a  1  a  15  8 a  1 a) Tìm điều kiện của a để M được xác định. b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn: 1 1 1    2 . Tìm GTNN của P = x.y.z. 1 x 1 y 1 z 2 1Bài 13) Tìm GTNN của P =  1 x xBài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x + 2y.Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3. Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 15
  16. 16. MATHVN.COM | www.MATHVN.comBài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 P= 2 2 + + 4xy x y xy x2  x  1Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P = với x bất kỳ. x2  1Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y  1. Tìm GTNN của biểu thức 1 2 A= 2 2 x y xy 2 2 1  1Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y      x  y 1Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) + 4xy 1  1Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =  1   1      x  y Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4. 2 2  1 1 Tìm GTNN của biểu thức P =  x     y      y  xBài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức: 2 2 2 1 1 1 E = a   b   c          a b  c  Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của: P = a3 + b3Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1. 1 1 Tìm GTNN của P =  a 1 b 1 x2  y2Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P = x yBài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của 1 P = 8(x4 + y4) + xyBài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0 Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1 x 2  2 x  2000Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P = x2 www.vntoanhoc.comwww.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9 16

×