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Lag 0 10-1

  1. 1. ´ Alvaro Hacar Gonz´lez a Fabio Revuelta Pe˜an Israel Saeta P´rez e Pablo M. Garc´ Corzo ıa Enrique Maci´ Barber a Mec´nica lagrangiana a Teor´a y practica ı ´Un libro libre de AlquaVersi´n 0.10.1, 2009 o
  2. 2. http://alqua.org/libredoc/LAG´Alvaro Hacar Gonz´lez a alvaro.hacar@googlemail.com http://alqua.org Fabio Revuelta Pe˜an fabio.revuelta@upm.es http://alqua.org Israel Saeta P´rez e dukebody@gmail.com http://dukebody.comPablo M. Garc´ Corzo ıa ozrocpablo@gmail.com http://alqua.orgEnrique Maci´ Barber a macia@material.fis.ucm.es http://material.fis.ucm.es/ Mec´nica lagrangiana a versi´n 0.10.1 o 17/07/2009alqua,madeincommunity
  3. 3. c ´ c 2009 Alvaro Hacar Gonz´lez, Fabio Revuelta Pe˜a, Israel Saeta P´rez, Pablo M. Garc´ Corzo a n e ıa y Enrique Maci´ Barber a Este documento est´ bajo una licencia Atribuci´n-No Comercial-CompartirIgual de Creative a o Commons. Para ver una copia de esta licencia escriba una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA o visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/legalcode.en. Las partes del documento que mencionen una licencia distinta se rigen por los t´rminos de aqu´lla. e eCDU 531.5Area mec´nica cl´sica a aEditores Israel Saeta P´rez e dukebody@gmail.com Notas de producci´n o alfeizar, v. 0.3 n ´ c del dise˜o Alvaro Tejero Cantero. compuesto con software libre
  4. 4. DedicadoA nuestros amigos y familia
  5. 5. ´Indice generalPortada ICopyleft IV´Indice general VII1. Mec´nica Newtoniana a 1 1.0.1. Concepto de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Concepto de masa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Sistemas de referencia no inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1. La gravitaci´n de Newton y el principio de relatividad de Galileo o . 6 1.3.2. Esferas de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3. Teorema de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.4. Movimiento sobre la superficie terrestre . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.5. P´ndulo de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . 9 1.3.6. Mundoanillo (Ringworld) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.7. Aro con bola deslizante (estudio newtoniano) . . . . . . . . . . . . 12 1.4. Energ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . 13 1.4.1. Teor´ del potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa . 13 1.4.2. Estudio de potenciales unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Sistemas disipativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.1. Proyectil de Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192. Fundamentos de la mec´nica lagrangiana a 23 2.1. Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas . . . . . . . . . 23 2.1.1. Concepto de ligadura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Clasificaci´n de las ligaduras atendiendo a las ecuaciones de ligadura o 27 2.1.3. Clasificaci´n de los sistemas mec´nicos (atendiendo al tipo de lig- o a adura) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.4. Grados de libertad de un sistema y coordenada generalizada . . . 33 2.2. Principio de los trabajos virtuales y principio de D’Alambert . . . . . . . 34 2.2.1. Principio de los trabajos virtuales (J. Bernoulli, 1717) . . . . . . . 36 2.2.2. Principio de D’Alambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3. Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Sistemas naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5. Potencial generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 vii
  6. 6. ´INDICE GENERAL 2.6. Funci´n de Rayleigh. Funci´n de disipaci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 o o o 2.7. Ecuaci´n de la energ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 o ıa 2.8. Resumen y formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563. Leyes de conservaci´no 59 3.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . 59 3.2. Coordenadas c´ ıclicas e integrales primeras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3. La integral de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4. El p´ndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 67 3.5. La integral de acci´n y el Principio de Hamilton . . . . . . . o . . . . . . . 70 3.6. Las simetr´ de la integral de acci´n: el teorema de Noether ıas o . . . . . . . 71 3.7. El m´todo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . e . . . . . . . 754. Potenciales centrales 81 4.1. Problema de los dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2. Elecci´n de coordenadas generalizadas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3. Simetr´ del lagrangiano del sistema . ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3.1. Simetr´ respecto de ϕ . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.3.2. Simetr´ respecto de t . . . . . ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.4. Potencial efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.5. Ecuaci´n de las ´rbitas de Binet . . . o o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Bibliograf´ ıa 97Historia y por hacer 99Manifiesto de Alqua 101El proyecto libros abiertos de Alqua 105Otros documentos libres 110viii Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  7. 7. 1 Mec´nica Newtoniana a¿Absoluto, relacional o relativo? ¿Son el espacio y el tiempo entidades f´ ısicas en toda regla o s´lo relaciones entre ocuerpos materiales? Newton comienza sus Principia afirmando con una rotundidad casi salvaje que elespacio absoluto, por su propia naturaleza, se mantiene siempre inmutable. Lo establece,pues, como «verdad de fe» que no justifica y apoy´ndose en ´l construye el concepto de a emovimiento absoluto como movimiento en relaci´n a ese espacio absoluto. o Absolute space in its own nature without relation to anything external, remains always similar and inmovable. Absolute motion is the translation of a body from one absolute place to another. A la hora de la verdad, cuando nos pongamos a medir la distancia entre dos masas,por ejemplo, mediremos la distancia entre ellas. Cuando fijemos un sistema de referenciadeberemos referirlo a alguna entidad f´ısica palpable de alg´n modo. El espacio absoluto uno podemos sentirlo de ning´n modo. . . ¿O s´ u ı? Este argumento es una forma simplificada de acercarnos al relacionismo esgrimidopor Leibniz en sus c´lebres discusiones[1] frente a Clarke (como portavoz de Newton). eLeibniz no quiso considerar el espacio absoluto como un ente f´ısico, el espacio solamentetiene sentido como relaci´n entre dos cuerpos. o En cuanto al movimiento, Leibniz lo define como un movimiento cuya causa es in-tr´ ınseca al propio cuerpo, en contraposici´n al movimiento relativo entre los cuerpos. oLo que significa eso de causa intr´ ınseca al propio cuerpo no nos queda, de momento,demasiado claro.1.0.1. Concepto de inercia El problema que reside bajo esta discusi´n no es tan abstracto y metaf´ o ısico comopuede parecer en un primer momento y en seguida vamos a ver cu´l es el inter´s que a etiene para nuestro estudio.Hacia el concepto de inercia Los griegos (Arist´teles y los peripat´ticos) ten´ una din´mica muy rudimentaria[2] o e ıan acon ideas como que los objetos tienen su lugar natural (tanto m´s abajo cuanto m´s pe- a asados y tanto m´s arriba cuanto m´s ligeros). Consideraban movimiento natural el que a a 1
  8. 8. 1 Mec´nica Newtoniana ales llevaba en direcci´n a su posici´n natural y movimiento violento todo aquel que no o ocumpliese esta finalidad. Sus observaciones experimentales eran muy poco precisas, tanto que pensaban que loscuerpos pesados ca´ m´s aprisa que los ligeros. ıan a En cuanto a la inercia, consideraban que para mantener la velocidad constante de uncuerpo, deb´ existir una fuerza continua que lo impulsase. ıa Este pensamiento no es descabellado en las primeras observaciones de un mundo en elque el rozamiento con el aire frena el movimiento de los cuerpos. El siguiente paso hacia lo que hoy conocemos por inercia fue de la mano del persaAvicenna, nacido en el a˜o 980 en lo que hoy es Uzbekist´n. n a Figura 1.1: Arist´teles y Avicenna o Avicenna concluy´ en su mec´nica que el movimiento era el resultado de una incli- o anaci´n (mayl, proporcional a la masa y a la velocidad) transferida al proyectil por el olanzador, y que el movimiento no cesar´ nunca en el vac´ El concepto de vac´ pre- ıa ıo. ıoocup´ mucho a los fil´sofos arabes y persas, seguramente pensar en ello fue lo que les o o ´llev´ a darse cuenta de que la deceleraci´n constante de un cuerpo ten´ que ver con el o o ıaaire que lo rodea. Desde sus teor´ (que eran ya bastante coherentes con las dos primeras leyes de ıasNewton) partir´ el franc´s Jean Buridan (1295) para desarrollar su teor´ del ´ ıa e ıa ımpetus.No supo alejarse de los peripat´ticos en cuanto a las ideas de reposo y movimiento, para eeso deb´ llegar Galileo. ıaPrincipio de relatividad de Galileo Galileo (1564) propone por primera vez que la tendencia natural de un cuerpo es lade mantenerse inm´vil o con velocidad constante. o Seg´n lo describe en sus di´logos: u a Salviati: Pero, ¿con qu´ clase de movimiento? Continuamente acelerado, e como en el plano inclinado hacia abajo, ¿o crecientemente retardado, como en el plano hacia arriba?2 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  9. 9. 1.1 Concepto de masa puntual Simplicio: No puedo ver causa alguna de aceleraci´n o desaceleraci´n, no o o habiendo pendiente hacia arriba o hacia abajo. Salviati: Exactamente. Pero si no hay causa alguna para el retardo de la bola, menos deber´ haberla para que alcance el estado de reposo; entonces, ıa ¿hasta qu´ distancia continuar´ movi´ndose la bola? e a e Simplicio: Tanto como contin´e la superficie sin subir ni bajar. u Salviati: Entonces, si dicho espacio fuera ilimitado, ¿el movimiento en ´l ser´ e ıa an´logamente ilimitado? Es decir, ¿perpetuo? a Simplicio: As´ me parece, si el cuerpo m´vil fuera de material duradero. ı o ´ Esta es la base del principio de relatividad de Galileo. En otro di´logo no menos importante, refuta la concepci´n aristot´lica de la ca´ de a o e ıdalos cuerpos: Simplicio: No puede haber duda de que un cuerpo que se mueve en un medio unico tiene una velocidad fija determinada por la Naturaleza... ´ Salviati: Entonces, si tomamos dos cuerpos cuyas velocidades naturales sean diferentes, es evidente que, al unirlos, el m´s r´pido ser´ retardado por a a a el m´s lento, y este algo acelerado por el otro. ¿No est´s de acuerdo con a a mi opini´n? o Simplicio: No hay dudas de que tienes raz´n. o Salviati: Pero si esto es cierto y si una piedra se mueve con una velocidad de, digamos, ocho, mientras otra menor se mueve con una velocidad de cuatro, cuando se unan, el sistema se mover´ con una velocidad inferior a a ocho; en cambio, cuando las dos piedras est´n juntas constituir´n una e a piedra mayor que aquella que antes se mov´ con velocidad ocho. Por lo ıa tanto, el cuerpo m´s pesado se mueve a menor velocidad que el liviano; a efecto contrario a tu hip´tesis... o1.1. Concepto de masa puntual Descartes es quien introduce los sistemas de referencia para la geometr´ Paulati- ıa.namente la geometr´ se va introduciendo en la est´tica y en la din´mica con conceptos ıa a acomo puntos sin dimensiones, curvas lineales, superficies sin grosor... El concepto de punto material es tremendamente util como abstracci´n matem´tica ´ o aaunque delicado f´ ısicamente. Un punto material es un lugar geom´trico sin dimensiones, eun punto matem´tico, al que asignamos una masa. Seg´n [3], un punto material es un a u“cuerpo cuyas dimensiones son despreciables con respecto a los otros cuerpos con los queinteracciona”. El problema de los puntos materiales salta a la vista cuando aparecen fuerzas quedependen de la geometr´ del cuerpo. Las fuerzas de inercia en la din´mica del s´lido ıa a or´ ıgido o las fuerzas de rozamiento en el viscos´ ımetro de Stokes.http://alqua.org/libredoc/LAG 3
  10. 10. 1 Mec´nica Newtoniana a Considerar el punto material como ente f´ ısico conlleva demasiadas dificultades. Ladensidad de todo punto material, por peque˜a que fuese su masa, ser´ infinita. La n ıafuerza gravitacional entre dos masas puntuales se disparar´ a infinito si ´stas llegasen a ıa etocarse. Inercialmente, podremos hablar de un punto material siempre y cuando sean despre-ciables los efectos de rotaci´n sobre s´ mismo. Para que esto suceda, a cualquier nivel de o ıprecisi´n, el punto material no puede tener estructura interna. En ese sentido podemos oconsiderar al electr´n como una de las mejores aproximaciones a punto material. o D’Alembert[4] decribe as´ el concepto de masa puntual: ı (...) mediante operaciones y abstracciones sucesivas de nuestro intelecto, despojamos la materia de casi todas sus propiedades sensibles para no con- siderar en cierto modo m´s que su fantasma;(...) a1.2. Leyes de Newton Figura 1.2: Galileo, Descartes y Newton Newton, define su primera ley (la ley de inercia) de la siguiente manera: Lex I. Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni- formiter in directium, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum suam mutare. Es decir, que todo cuerpo permanece en su estado de reposo o movimiento rectil´ ıneouniforme mientras no existan fuerzas externas que lo perturben (si no se ejerce ningunaacci´n sobre ´l). En lenguaje matem´tico: o e a dx dy dz = C1 ; = C2 ; = C3 ;con Ci = Cte (1.1) dt dt dtque podemos expresar en forma vectorial como: d2 x ¨ =x=a≡0 (1.2) dt 24 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  11. 11. 1.2 Leyes de Newton Es interesante meditar la siguiente cuesti´n: la ausencia completa de fuerzas no puede ocumplirse estrictamente en un universo en el que existan fuerzas de largo alcance. Noobstante, puede tenerse una resultante nula si se dan las condiciones de simetr´ ade- ıacuadas. En su segunda ley, Newton utiliza el momento como cantidad conservada: Lex II. Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur. Que, en t´rminos matem´ticos traducir´ e a ıamos como: dmv F = = ma ; p = mv (1.3) dt Considerando la masa como una cantidad invariante. Finalmente, Newton enuncia la ley de acci´n y reacci´n: o o Lex III. Actioni contrariam semper et æqualem esse reactionem: sive corpo- rum duorum actiones in se mutuo semper esse æquales et in partes contrarias dirigi. Siempre que dos cuerpos interaccionan, al fuerza F12 que el primer cuerpo ejerce sobreel segudo es igual y opuesta a al fuerza F21 quee el segundo ejerce sobre el primero. Consecuencias : La conservaci´n del momento lineal total de un sistema de part´ o ıculescuando sobre ´l no actuan fuerzas externas. e La validez de la Tercera Ley se halla sujeta a ciertas restricciones: 1. las fuerzas se ejercen por acci´n a distancia (esto es, la fuerza no es mediada por o un campo intermedio que posea momento y energ´ ıa). 2. la interacci´n se produce instant´neamente (ya que las fuerzas de acci´n y reacci´n o a o o deben medirse en el mismo instante). Ejemplos en los que NO se cumple la Tercera Ley: 1. interacci´n entre part´ o ıculas cargadas en movimiento (la fuerza es mediada por fotones del campo electromagn´tico) e 2. colisiones at´micas (ya que la duraci´n de la colisi´n es grande en comparaci´n o o o o con el tiempo que tardan en reordenarse los electrones de modo que el potencial electrost´tico se modifica gradualmente mientras dura la colisi´n). a o Einstein pone en entredicho algunos conceptos como la simultaneidad que debemosanalizar para saber d´nde nos metemos al trabajar en el marco de la mec´nica cl´sica[5]. o a ahttp://alqua.org/libredoc/LAG 5
  12. 12. 1 Mec´nica Newtoniana aSimultaneidad e informaci´n o Supongamos dos observadores situados en dos puntos distintos a los que asociaremosdos sistemas de referencia O y O1 . Del mismo modo que definimos dos sistemas dereferencia diferentes para las coordenadas espaciales y tendremos que transformar lascoordenadas de uno para expresarlas respecto del otro, deber´ıamos tener en cuenta quecada uno tendr´ su referencia temporal, es decir, su reloj. a La cinem´tica cl´sica supondr´ dos hip´tesis: a a a o Ambos observadores deben saber qu´ hora marca el reloj del otro en todo momento. e Eso implica que debe existir un medio capaz de transmitir informaci´n de manera o instant´nea (a velocidad infinita). a Esa suposici´n garantiza que los observadores ser´n capaces de decidir la simul- o a taneidad de un suceso que uno mide cuando su reloj marcaba t y el otro cuando el suyo marcaba t1 . Del mismo modo que sucede con el tiempo, suceder´ con el espacio. Aunque cada a uno mida la posici´n espacial de un suceso seg´n su sistema de coordenadas, son o u capaces de saber si el conjunto de coordenadas dado por el otro se refiere al mismo punto conociendo la posici´n de uno de ellos respecto al otro. o Estas dos hip´tesis que pod´ parecer naturales a ojos de Galileo o de Newton se o ıanrompen en la mec´nica relativista. Desde el momento en que Einstein decide que nada apuede viajar m´s r´pido que la luz, la posibilidad de que ambos observadores sepan a aexactamente la hora que marca el reloj del otro desaparecer´. a Leibniz o Mach parec´ intuir que algo fallaba y aunque no supieron dar respuesta ıana sus dudas, tuvieron la valent´ de plantearlas allanando el camino para la llegada de ıaEinstein.1.3. Sistemas de referencia no inerciales Dejando de lado las discusiones filos´ficas, lo que debemos tener claro al estudiar omec´nica cl´sica es que hay sistemas de referencia inerciales y otros no inerciales, y que a aen estos segundos aparecer´n fuerzas que debemos tratar con cuidado. a Seg´n L. Lange (1885), un sistema de referencia inercial es un: u Sistema de referencia en el que una part´ ıcula libre se mueve uniformemente En relaci´n a estos sistemas, el principio de relatividad de Galileo (expuesto en 1.0.1) oafirma que las leyes de la mec´nica son las mismas en dos sistemas de referencia que amantengan constante su velocidad relativa.1.3.1. La gravitaci´n de Newton y el principio de relatividad de Galileo o Veamos a continuaci´n c´mo se entiende esto de la invarianza de las leyes de la natu- o oraleza con la gravitaci´n Newtoniana. o6 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  13. 13. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales Pongamos los ejes, sin p´rdida de generalidad, de manera que el eje y apunte en la edirecci´n del movimiento relativo entre los sistemas de referencia. Supongamos tambi´n o eque en el instante inicial coinciden los or´ ıgenes de ambos sistemas de referencia.  x =x   r = r − vt  y = y − vt (1.4)  t =t z =z  Si introducimos la ley de ravitaci´n universal: o Mm Mm F = −G r = −G ˆ (r2 − r1 ) (1.5) r 2 |r2 − r1 |3donde ri = ri + vt → r2 − r1 = (r1 + vt) − (r2 + vt) que al introducirlo en la ley de gravitaci´n: o Mm Mm F = −G r = −G ˆ r2 − r1 (1.6) r 2 |r2 − r1 |31.3.2. Esferas de Newton Adem´s de su famoso cubo, en los di´logos epistolares con Leibniz, Clarke propone a aun experimento mental consistente en dos esferas unidas por una cuerda y puesto todoel conjunto en rotaci´n respecto a un eje de simetr´ perpendicular a la cuerda. o ıa Figura 1.3: Experimento mental de las esferas de Newton La velocidad de una de las esferas ser´: a ˙ Ω= 0, 0, θ ˙ ˙ → x = Ω × r = rθ (− sin θ , cos θ , 0) (1.7) r = r (cos θ , sin θ , 0) Y la aceleraci´n, por tanto: o d ˙ ˙ ˙ ˙ x= ¨ rθ (− sin θ , cos θ , 0) = rθ −θ cos θ , −θ sin θ , 0 = dt ˙ ˙ = rθ2 (− cos θ , − sin θ , 0) = −rθ2 ur (1.8)http://alqua.org/libredoc/LAG 7
  14. 14. 1 Mec´nica Newtoniana a Encontramos, en definitiva, que un movimiento de rotaci´n a velocidad angular con- ostante se convierte en una aceleraci´n centr´ o ıpeta. Esa aceleraci´n hace que no se cumplan olas transformaciones de Galileo. A su vez, la aceleraci´n se convertir´ por Newton en una fuerza: o a Fc = ˙ ma = mx = −mrθ2 ur ¨ (1.9) El doble de esa fuerza (por simetr´ con las dos esferas) ser´ la tensi´n que soporta la ıa a ocuerda. Esa tensi´n es medible y su existencia nos da una informaci´n objetiva de que o oel sistema de referencia no es inercial. Con esa fuerza objeta Newton la indiscernibilidad de los sistemas en rotaci´n. o1.3.3. Teorema de Coriolis Supongamos que tenemos dos sistemas de referencia, uno inercial y otro no inercial yqueremos pasar de uno a otro. El movimiento del sistema de referencia no inercial ser´ ade rotaci´n en torno a un eje fijo: o Figura 1.4: Posici´n de un punto respecto a sistema de referencia inercial y no inercial. o dA dA = +ω×A (1.10) dt dt SDRI SDRNI m · ani = ¨ F − m R + 2ω × vni + ω × (ω × r) + ω × r ˙ (1.11)donde:   ¨  R  → Arrastre ˙ Azimutal  ω×r → (1.12)  ω × (ω × r)  → Centr´ ıfuga 2ω × vni Coriolis  → 8 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  15. 15. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales Figura 1.5: Movimiento sobre la superficie terrestre1.3.4. Movimiento sobre la superficie terrestre Seg´n el sistema de referencia elegido (representado en la figura 1.5) la velocidad uangula ω tendr´ como componentes ω = ω0 (0 , cos λ , sin λ). En cuanto al vector normal aal sentido de giro, n = (0 , − sin λ , − cos λ). ˆ Por otro lado, la componente de arrastre: ¨ v2 R0 = aτ τ + an n = n = ω0 ρˆ ˆ ˆ ˆ 2 n (1.13) ρ Ahora planteamos para cada componente la ecuaci´n (1.11): o m¨ = Fx − m 2ω0 (z cos λ − y sin λ) −ω0 x x ˙ ˙ 2 = = Fx − 2mω0 (z cos λ − y sin λ) ˙ ˙ m¨ = Fy − m 2ω0 x sin λ −Rω0 sin λ cos λ +ω0 z sin λ cos λ − y sin2 λ y ˙ 2 2 = = Fy − m −Rω0 sin λ cos λ + 2ω0 x sin λ 2 ˙ m¨ = Fz − m Rω0 cos2 λ −2ω0 x cos λ −ω0 z cos2 λ − y sin λ cos λ z 2 ˙ 2 = = Fz − m Rω0 cos2 λ − 2ω0 x cos λ 2 ˙ (1.14)En la expresi´n anterior hemos se˜alado los t´rminos que iban con ω0 porque dada la o n e 2velocidad angular de nuestro planeta (ω0 ≈ 10−5 s−1 ) podr´ ıamos pensar en despreciarlossin demasiados problemas. Sin embargo, los casos en que va con R, que es bastantegrande, s´ que debemos tenerlos en cuenta (Rω0 ≈ 0.034ms−2 ). ı 21.3.5. P´ndulo de Foucault e Leon Foucault realiz´ en 1851 la primera demostraci´n din´mica de la rotaci´n ter- o o a orestre en el observatorio de Par´ El 26 de marzo se realiz´ una espectacular demostraci´n ıs. o op´blica en el pante´n de Par´ u o ıs.http://alqua.org/libredoc/LAG 9
  16. 16. 1 Mec´nica Newtoniana a Figura 1.6: P´ndulo de Foucault en el pante´n de Par´ e o ıs El p´ndulo colgado de la c´pula del pante´n de Par´ med´ 67 metros de largo, ten´ e u o ıs ıa ıacomo masa una bala de ca˜´n de 26 kilos y su per´ no ıodo de oscilaci´n era de unos 16 osegundos. El p´ndulo iba trazando una l´ e ınea en el suelo de arena unos dos mil´ımetros a la derechaen cada oscilaci´n, demostrando que la tierra giraba. o Las fuerzas que act´an sobre el p´ndulo son las resultantes de que la tierra es un u esistema de referencia no inercial. Planteando las ecuaciones de Newton:  m¨ = Fx − 2mω0 (z cos θ − y sin θ)  ˙ ˙  Fx = −T x    x ml m¨ = Fy − 2mω0 x sin θ y ˙ → Fy = −T y ml (1.15) m¨ = Fz − mg + 2mω0 x cos θ z ˙ Fz = ml (l − z) → z ≈ Cte T    T = g0 − 2ω0 x cos θ ˙ (1.16) m x = − g x + 2ω0 y sin θ + 2ω0 xx cos θ ¨ ˙ ˙ l l (1.17) y = − g y + 2ω0 x sin θ + 2ω0 y x cos θ ¨ l ˙ l ˙ g haciendo Ω = l y α = ω0 sin θ: x = −Ω2 x + 2αy ¨ ˙ (1.18) y = −Ω ¨ 2 y − 2αx ˙ Que se puede resolver utilizando complejos[6]: i¨ + y = −Ω2 (ix + y) + 2αi (ix + y) x ¨ ˙ ˙ (1.19)10 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  17. 17. 1.3 Sistemas de referencia no inerciales1.3.6. Mundoanillo (Ringworld) Una esfera de Dyson es una mega-estructura artificial imaginada por Freeman Dysonconsistente en una corteza esf´rica con centro en una estrella y radio del orden de una eunidad astron´mica. Dyson las propuso como hip´tesis para recoger toda la energ´ o o ıade una estrella y servir tambi´n de terreno habitable para suprimir los problemas de esuperpoblaci´n de una especie como la humana. o Uno de los problemas fundamentales de esta estructura ser´ la necesidad de generar ıauna gravedad artificial para mantener a los pobladores en pie en el interior de la esfera.Larry Niven en su novela Mundoanillo [7] imagina una simplificaci´n de una esfera ode Dyson convirti´ndola en un anillo de radio 153Gm (1.02 unidades astron´micas), y e o1.60Gm de ancho. El anillo rotar´ con una velocidad angular de 7.98 · 10−6 s−1 de modo ıaque las fuerzas centr´ ıpetas har´ el trabajo de la gravedad (principio de equivalencia ıande Einstein) manteniendo una atm´sfera entre dos muros exteriores de unos 1600km de oaltura. Figura 1.7: Mundoanillo Las dimensiones del anillo son tan monstruosas que para los anill´ ıcolas ser´ mucho ıam´s complicado darse cuenta de que viven en un anillo en rotaci´n de lo que le fue a a onuestra especie hacerlo con respecto a una superficie esf´rica con una curvatura mucho emayor. Seguramente se podr´ construir un p´ndulo de Foucault o alg´n an´logo que diese a ıa e u alos anill´ ıcolas una evidencia de que viven en un anillo en rotaci´n. o Veamos un poco c´mo se comportar´ los t´rminos de la ecuaci´n (1.11) en este o ıan e osistema:Arrastre: Si consideramos que la estrella en torno a la que gira Mundoanillo no se mueve, no existir´n t´rminos de arrastre. a eAzimutal: Si la velocidad de giro y el eje son constantes, este t´rmino se anular´ tambi´n. e a e ıfugo: Este t´rmino apuntar´ siempre “hacia abajo” para los anill´Centr´ e a ıcolas. Les pro- porcionar´ “su fuerza de gravedad”. aCoriolis: Tender´ a hacer girar todo movimiento en la misma direcci´n de giro del a o Mundoanillo pero en sentido contrario.http://alqua.org/libredoc/LAG 11
  18. 18. 1 Mec´nica Newtoniana a Las fuerzas de Coriolis son las que rigen en la tierra el sentido de giro de los huracanes.En el Mundoanillo los huracanes ser´ remolinos horizontales con su eje paralelo al eje ıande giro del Mundoanillo. Figura 1.8: Fuerzas de coriolis en Mundoanillo1.3.7. Aro con bola deslizante (estudio newtoniano) Supongamos un aro am´sico circular con una bola ensartada (imaginemos una cuenta ade collar) que puede deslizarse libremente y sin rozamiento a lo largo del aro. Pongamosahora el aro a girar en torno a un eje vertical con velocidad ω y describamos el sistemamediante dos coordenadas θ y φ tangente y perpendicular al aro respectivamente. La fuerzas involucradas en este sistema ser´n: a F = mg (ˆr cos θ − eθ sin θ) + e ˆ ˆ Fr e r + Fφ eφ ˆ (1.20) Peso Ligaduras Coriolis Las fuerzas de ligadura vendr´n descritas como: a ˙ R2 θ 2 Fr = −mg cos θ −m − mRω 2 sin2 θ (1.21) R Peso Centr´ıfuga Y el t´rmino de Coriolis: e ˙ Fφ = −2mωRθ cos θ (1.22) Con todo, la ecuaci´n de movimiento ser´: o a ¨ g θ = − sin θ + ω 2 sin θ cos θ (1.23) R12 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  19. 19. 1.4 Energ´ ıa Figura 1.9: Aro con bola deslizante1.4. Energ´ ıa1.4.1. Teor´ del potencial ıa Newton en 1687 plantea en su ley de gravitaci´n universal que todo cuerpo con masa oejerce una atracci´n sobre otro cuerpo con masa de forma instant´nea e independiente- o amente de la distancia que los separe. Esta fuerza es proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente al cuadradode la distancia que los separa Siendo su direcci´n y sentido de car´cter atractivo entre o aambos cuerpos. Mm Mm F = −G 2 r → Fx = −G ˆ xˆ i (1.24) r (x 2 + y 2 + z 2 )3/2 Esta teor´ implica una suposici´n algo delicada que es la de “acci´n a distancia”. El ıa o osol tira de la tierra con una cierta fuerza pero no tiene una cuerda ni nada parecido conque sujetarla. El concepto matem´tico de campo nace de la mano de Leonard Euler cuando se atrata de llevar a la hidrodin´mica las ecuaciones de Newton. Un campo se define en este acontexto como una cierta regi´n del espacio en la que cada punto est´ caracterizado o apor una cierta magnitud (o magnitudes) dependiente de sus coordenadas espaciales ytemporales. A Lagrange en 1777 se le ocurre una idea feliz para pasar de hacer complejas cuentashttp://alqua.org/libredoc/LAG 13
  20. 20. 1 Mec´nica Newtoniana avectoriales a c´lculos anal´ a ıticos escalares m´s sencillos de la siguiente manera: a x ∂ 1 Fx = −GM m = −GM m − +C (1.25) (x2 + y 2 + z 2 ) 3 2 ∂x x2 + y2 + z2 ∂ 1 −3 − 2 + y2 + z2 +C = x x2 + y 2 + z 2 2 (1.26) ∂x x Generalizando: ∂ −1 ∂V Fxi = −GM m x2 + y 2 + z 2 2 +C ≡ −m (1.27) ∂xi ∂xi donde GM V (x, y, z) = − + C → F = −m ·V (1.28) r Pero el paso trascendente hacia la teor´ de potencial tendr´ que esperar a que en ıa ıa1782 Laplace derivase por segunda vez. Laplace concede al potencial el rango de sustancia o propiedad que se expande por elespacio haciendo que ´ste adquiera unas determinadas propiedades. e La funci´n V comienza a llamarse funci´n potencial en 1828 de boca de Green y o oposteriormente por Gauss. −1 V (x, y, z) =γ x2 + y 2 + z 2 2 + C ∂V −3 = − γx x2 + y 2 + z 2 2 ∂x ∂2V −3 3 −5 = − γ x2 + y 2 + z 2 2 + γx x2 + y 2 + z 2 2 2x ∂x 2 2 −3 −5 = − γ x2 + y 2 + z 2 2 + 3γx2 x2 + y 2 + z 2 2 = = − γr−3 + 3γx2 r−5 ∂2V = − γr−3 + 3γy 2 r−5 ∂y 2 ∂2V = − γr−3 + 3γz 2 r−5 ∂z 2 ∂2V 2 V = ∆V = = − 3γr−3 + 3γ x2 + y 2 + z 2 r−5 ≡ 0 ∂x2i r2 (1.29) Con lo que, finalmente, tenemos la primera ecuaci´n del Campo: o ∂2V ∆V = 2 V = =0 (1.30) ∂x2 i14 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  21. 21. 1.4 Energ´ ıaCampo y energ´ ıa Es f´cil pasar de hablar en t´rminos matem´ticos abstractos a hablar de f´ a e a ısica plante-ando el trabajo de una fuerza por unidad de desplazamiento:   ∂V ∂x ∂V F = −m V →F dr = −m V dr = −m   (dx , dy , dz ) =   ∂y ∂V ∂z ∂V ∂V ∂V = −m dx + dy + dz = −mdV (1.31) ∂x ∂y ∂z Con todo, el trabajo realizado por el campo sobe la part´ ıcula a lo largo de un de-splazamiento diferencial: W = F dr = −mdV (1.32) A lo largo de un cierto camino: B B WAB = F dr = −m dV = −m (VB − VA ) = − (UB − UA ) (1.33) A Adonde U (x, y, z) = mV (x, y, z) es la energ´ potencial de una masa m en un campo V . ıa El resultado s´lo depende de los extremos y no del camino recorrido, lo que implica oque el campo es conservativo. Bajo esa premisa, al integrar a un camino cerrado siempre obtendremos un trabajonulo, a trav´s del teorema de Stokes: e F dr = × F nds = ˆ × V nds ≡ 0 ˆ (1.34) C S S circulaci´n o f lujo Con lo que, para identificar un campo conservativo: ×F =0 (1.35)Cerca de la superficie terrestre Un potencial conservativo particular es el potencial gravitatorio en la superficie de latierra. Pongamos ahora a un se˜or en lo alto de la torre de Pisa y pid´mosle que deje caer n auna piedra. La piedra tendr´ una cierta energ´ potencial proporcional a su masa, a la ıa ıaaltura de la torre y a una cierta constante: U = mgh (1.36)http://alqua.org/libredoc/LAG 15
  22. 22. 1 Mec´nica Newtoniana aEsa energ´ variar´ con el tiempo a medida que la piedra caiga, es decir: ıa a dU ˙ = mg h (1.37) dt Galileo ya nos dijo que las cosas caen con una cierta aceleraci´n constante g, con lo o a a ˙que sabemos que la velocidad con que caer´ ser´ h = −gt y la posici´n en cada instante ode tiempo (si en t = 0 la soltamos) h = h0 − 1 gt2 , de donde: 2 dU = −mg 2 t (1.38) dt Veamos a continuaci´n lo que sucede con la energ´ cin´tica o ıa e 1 ˙ 1 dT T = mh2 = mg 2 t2 → = mg 2 t (1.39) 2 2 dtque “casualmente” es la misma cantidad (cambiada de signo) que encontramos al derivarla energ´ potencial. ıa Esto es generalizable a trayectorias m´s complicadas que una ca´ libre. a ıda Imaginemos, por ejemplo, algo complicado de verdad, una monta˜a rusa. n Figura 1.10: Trayectoria complicada La monta˜a rusa tiene como energ´ de activaci´n una cadena que eleva los vagones n ıa ohasta un punto, concretamente hasta el punto m´s elevado de la estructura. Eso implica ael m´ximo de energ´ potencial. De all´ parte el movimiento con una velocidad inicial a ıa ıaproximadamente nula. A medida que cae va adquiriendo velocidad y por tanto energ´ cin´tica al mismo ıa eritmo que pierde altura y por tanto energ´ potencial. Al ascender posteriormente una ıapendiente sucede lo contrario hasta el punto de que si llegase a la misma altura a la queempez´ el viaje habr´ perdido toda su velocidad y (de estar en un punto de pendiente o adistinta de cero) comenzar´ un camino de vuelta. a No obstante, es tambi´n intuitivo que si la velocidad de activaci´n es distinta de cero e o(exceso de energ´ podr´ ascender en un determinado momento algo m´s de la altura a ıa) a ala que parti´. o Este esquema intuitivo es muy aplicable a campos unidimensionales gen´ricos. Po- edremos ver el perfil de un potencial como si fuese la v´ de la monta˜a rusa. ıa n16 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  23. 23. 1.4 Energ´ ıa1.4.2. Estudio de potenciales unidimensionales Figura 1.11: Exceso de energ´ en la activaci´n y puntos de equilibrio ıa o Ante cualquier potencial conservativo (tratemos por simplicidad potenciales unidi-mensionales) podremos sacar algunas conclusiones estudiando detalles sencillos de sutopolog´ıa. La informaci´n m´s inmediata de calcular para un potencial U (x) son los puntos o acr´ ıticos, es decir, m´ximos, m´ a ınimos y puntos de inflexi´n. o  d2 U  dx 2 <0 → M´ximo a → Equilibrio inestable dU  d2 U U (x) → =0→ dx 2 = 0 → Punto de inflexi´n → Equilibrio inestable o dx d2 U >0 → M´ınimo → Equilibrio estable   dx 2 (1.40)El significado f´ısico de estabilidad es bien intuitivo. Una cierta part´ıcula est´ en reposo asobre un punto de equilibrio y si nada sucede ah´ seguir´. Si de pronto aparece una ı aperturbaci´n que aleje a la part´ o ıcula una distancia infinitesimal del punto de equilibrio y´sta regresa a su anterior posici´n autom´ticamente el punto ser´ de equilibrio estable.e o a aEn cualquier otro caso el equilibrio ser´ inestable. a La gracia de esto es que cerca de los puntos de equilibrio estable, una peque˜a energ´ n ıaproducir´ oscilaciones en torno a ese punto de equilibrio. a Si aproximamos por Taylor la funci´n del potencial (sea cual sea) en torno a un punto ode equilibrio estable: 1 U (x) = U (x0 ) + U (x0 ) (x − x0 ) + U (x0 ) (x − x0 )2 + . . . (1.41) 2y tomamos los dos primeros t´rminos del desarrollo obtenemos un potencial arm´nico e oque sabemos tratar muy bien: 1 U (x) ≈ U (x0 ) + U (x0 ) (x − x0 )2 (1.42) 2 Cte El per´ ıodo de oscilaci´n de un potencial arm´nico es T = 2π o o m U (x0 ) y ser´ en general auna aproximaci´n muy razonable para oscilaciones suficientemente peque˜as. o nhttp://alqua.org/libredoc/LAG 17
  24. 24. 1 Mec´nica Newtoniana a En caso de tener que estudiar el potencial anarm´nico: o 1 2 E0 = mx2 + U (x) → x = ± ˙ ˙ (E0 − U (x)) (1.43) 2 m 1 T = ±2 dx (1.44) 2 m (E0 − U (x))1.5. Sistemas disipativos Estudiemos ahora c´mo afrontar los sistemas disipativos, es decir, los sistemas en los oque el m´vil se va poco a poco frenando hasta llegar al estado de reposo. o Llamaremos fuerzas disipativas a aquellas que merman progresivamente la energ´ ıacin´tica del sistema sin convertir ´sta en alg´n otro tipo de energ´ potencial reutilizable. e e u ıa Vamos a considerar, por tanto, fuerzas que act´an exclusivamente en la direcci´n de u omovimiento del sistema y en oposici´n de sentidos. Fuerzas cuya magnitud dependa oexclusivamente de la velocidad del sistema y hasta orden 2, es decir: F (v) = a0 + a1 v + a2 v 2 (1.45)dondeCoulomb: a0 = −µN = −µmg . . . (1.46) Ser´n los rozamientos que conocemos de cursos anteriores, con un coeficiente de a rozamiento µ que depende de los materiales en contacto (µ ≈ 0.6 para acero-acero o µ ≈ 0.04 para tefl´n-tefl´n). o o En la ecuaci´n din´mica funcionar´ como: o a a dv v2 m = −µmg → v − v0 = −µgt → x = x0 + 0 (1.47) dt 2µgStokes: ˜ a1 = −6π Rη (1.48) ´ Esta la veremos m´s en profundidad cuando estudiemos el viscos´ a ımetro de Stokes. η es el coeficiente de viscosidad del l´ ıquido en que ir´ inmersa la part´ ıa ˜ ıcula, y R tiene que ver con las proporciones de la part´ ıcula respecto a las condiciones de contorno y tambi´n con las proporciones entre fuerzas viscosas e inerciales. e Como adelanto, el viscos´ ımetro de Stokes ser´ un cilindro con un cierto fluido por a el que hacemos caer part´ıculas (que pueden ser esferas de alg´n material o gotas u de alg´n otro l´ u ıquido).18 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  25. 25. 1.5 Sistemas disipativos En el viscos´ ımetro de Stokes, la fuerza de rozamiento viene dada por la expresi´n: o 3 Fr = 6πrη 1 + R v (1.49) 16 Donde R es el n´mero de Reynolds (del orden de 10−5 para el viscos´ u ımetro de gotas o de 10− 2 para el de bolas). Introduci´ndolo en la ecuaci´n din´mica: e o a dv ˜ dv a1 −t m = −6Rπηv → = − dt → v = v0 e τ (1.50) dt v m Si nos fijamos en esta expresi´n es sorprendente que con este tipo de rozamiento, o la velocidad s´lo llegar´ a 0 a tiempo infinito. o ıa −t x = x0 + v0 τ 1 − e τ → l´ → x∞ = x0 + v0 τ ım (1.51) t→∞ Sin embargo, el espacio recorrido en un tiempo infinito es finito1 . Newton: a2 = −β = πSρ (1.52) Este t´rmino aparece, por ejemplo, en la din´mica de los meteoritos que entran en e a la atm´sfera, para los que el coeficiente π es aproximadamente 1, S es la superficie o del meteorito y ρ la densidad de la atm´sfera. o Tambi´n aparece en la hidr´ulica de los canales abiertos bajo el nombre de el e a n´mero de Froude, que relaciona las fuerzas de inercia con las gravitacionales como u v2 β 2 = gl , donde vf es una velocidad caracter´ f ıstica del sistema, l una longitud caracter´ ıstica y g la aceleraci´n de la gravedad. o En la ecuaci´n din´mica funcionar´ como: o a a dv v0 m v0 β m = −βv 2 → v = → x = x0 + log 1 + t (1.53) dt 1 + vm t 0β β m 1.5.1. Proyectil de Tartaglia Niccol` Fontana Tartaglia (1500-1557) es conocido por resolver la ecuaci´n general de o o un polinomio de tercer grado. Adem´s de eso, fue la primera persona en aplicar las matem´ticas a problemas de a a artiller´ y sus trabajos fueron validados medio siglo despu´s por las leyes de ca´ de ıa e ıda los cuerpos de Galileo. Tartaglia propone el modelo parab´lico para la trayectoria de las balas de ca˜´n, o no postulando que el ´ngulo ´ptimo para obtener el mayor alcance es de 45 grados. a o1 ver “Aquiles y la tortuga” en http://es.wikipedia.org/wiki/Paradojas de Zen´n o http://alqua.org/libredoc/LAG 19
  26. 26. 1 Mec´nica Newtoniana a Figura 1.12: Proyectil de Tartaglia Para el modelo de Tartaglia, el movimiento de la bala de ca˜´n ser´ perpetuo en el no ıaeje horizontal y s´lo se detendr´ al tocar con el suelo. o ıa Galileo supo ver que la fricci´n era la que frenaba el proyectil alej´ndolo de su trayec- o atoria parab´lica del mismo modo que suced´ con sus planos inclinados. Lleg´ a imaginar o ıa oun camino sin rozamiento alrededor de la tierra a lo largo del cual una part´ ıcula viajaseindefinidamente. Sin embargo, vio problemas con el movimiento perpetuo de rotaci´n de ola tierra y la fricci´n que deber´ hacerla detenerse. o ıa Newton llev´ esta idea conjugada con la trayectoria parab´lica de Tartaglia a su cl´ o o ımaxen un c´lebre dibujo en el que un proyectil es disparado desde lo alto de una monta˜a e ncada vez con m´s fuerza hasta dar la vuelta a la tierra describiendo una ´rbita alrededor a ode la misma. Figura 1.13: Dibujo de Isaac Newton. Principia, VII, libro III, p551. Volviendo al proyectil de Tartaglia, analicemos su din´mica considerando que las a20 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  27. 27. 1.5 Sistemas disipativosfuerzas de rozamiento involucradas son cuadr´ticas con la velocidad, es decir, Fr = −βv 2 : a   x = x0 + x0x β  m β log 1 + m t cos(A−( βg )t) (1.54)  y = y0 + m log m  β cos A β 2donde A = tan−1 mg v0yhttp://alqua.org/libredoc/LAG 21
  28. 28. 1 Mec´nica Newtoniana a22 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  29. 29. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana a2.1. Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas2.1.1. Concepto de ligadura Se denominan ligaduras a las condiciones que restringen el movimiento de un sistemay expresan la acci´n de ciertas fuerzas de ligadura. Las ligaduras pueden ser de dos tipos: o Ligaduras estructurales o de construcci´n del sistema: Son las ligaduras que o est´n determinadas por la forma en que est´ construido el sistema. Sus restricciones a a se refieren a que los materiales del sistema resultan indeformables o inextensibles. Unos ejemplos son: Ejemplo 2.1. Veamos la din´mica de un sistema formado por una varilla en la que a est´ ensartada una cuenta que se mueve libremente por ella. La propia construcci´n a o del sistema hace que no sea posible que la cuenta se mueva en las direcciones X y Z, sino s´lo en la direcci´n Y. o o Ejemplo 2.2. Estudiemos ahora el movimiento de una part´ ıcula sobre una super- ficie semicircular. La unica trayectoria que puede seguirla part´ ´ ıcula es la de deslizar por la superficie. 23
  30. 30. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana a Ejemplo 2.3. Un ejemplo m´s visual puede ser nuestro propio brazo. Aunque el a movimiento del conjunto puede cubrir casi todo el espacio gracias a las articula- ciones, si nos fijamos en cada una de las partes del brazo, ´stas s´lo pueden realizar e o una serie de movimientos. Esto es debido a que cada hueso es indeformable y, por tanto, tienen una determinada estructura que les impide ciertos movimientos. Ligaduras por el modo de activaci´n: Condiciones que de- o terminan la evoluci´n del sistema y que dependen de la forma o en que ponemos en funcionamiento el mismo. Es decir, pode- mos encontrarnos con distintos problemas seg´n la forma en u que activemos el conjunto.Ejemplo 2.4. Estudiemos el p´ndulo simple. Como podemos ver la edin´mica del p´ndulo y su evoluci´n depende de si las condiciones ini- a e ociales hacen que el p´ndulo se mueva s´lo en el plano ZY, recorriendo e oarcos de circunferencia (p´ndulo simple), o que, sin embargo, el sistema se mueva hacien- edo circunferencias completas en el plano XY. N´tese que al mismo tiempo que estamos oimponiendo una ligadura por activaci´n estas introduciendo otra ligadura estructural oque nos indica que el punto de suspensi´n del p´ndulo es fijo (p´ndulo c´nico). o e e oEjemplo 2.5. Ahora veamos lo que ocurre con el p´ndulo el´stico. e aEn el dibujo se puede observar que dependiendo de las condicionesiniciales el p´ndulo puede comportarse como un p´ndulo simple, si la e eelongaci´n inicial es nula, como un oscilador en una dimensi´n, si la activaci´n es s´lo o o o oen el eje z, o como un oscilador tridimensional al tener la posibilidad de oscilar y giraren las tres dimensiones.24 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  31. 31. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadasEjemplo 2.6. Recordemos lo que aprendimos en el tema dedicadoal an´lisis de los potenciales. Si suponemos que nos encontramos en aun punto de equilibrio inestable inicialmente, el modo de activaci´nocondicionar´ la evoluci´n del sistema. Por ejemplo, ese punto inestable podr´ ser la cima a o ıade una monta˜a que tiene a los lados dos valles. La forma en que tiremos una piedra ndeterminar´ si esta cae a uno u otro valle. a Antes de continuar debemos distinguir entre dos conceptos que nos ser´n de mucha autilidad, estos son: Fuerzas de ligadura: Son las fuerzas responsables de las restricciones del sistema. No aparecen directamente en la formulaci´n lagrangiana, aunque est´n de forma o a impl´ıcita en ella y pueden calcularse mediante m´todos anal´ e ıticos (v´ase obtenci´n e o de las fuerzas de ligadura a partir del m´todo de los multiplicadores de Lagrange e en el Tema 3). En general estas fuerzas, al depender de la posici´n y la velocidad, o podemos expresarlas entonces como una funci´n f = f {ri , ri , t} = 0 o ˙ Ejemplo 2.7. (v´ase ejemplo 2.1) En este caso f = f {ri }. Si por alg´n mo- e u tivo la cuenta sufriese alguna fuerza en una direcci´n que no fuese la del eje Y o aparecer´ una fuerza normal que la mantendr´ en la varilla, debido a que esta es ıa ıa indeformable.http://alqua.org/libredoc/LAG 25
  32. 32. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana a Ejemplo 2.8. (v´ase ejemplo 2.2) La fuerza de ligadura hace que la part´ e ıcula se mantenga siguiendo la superficie de la semicircunferencia, ya que es indeformable. N´tese que la fuerza normal a la misma es variable ya que depende de la posici´n o o de la part´ ıcula y de su velocidad f = f {ri , ri , t} = 0. ˙ Ejemplo 2.9. (v´ase ejemplo 2.4) De nuevo en este caso la fuerza de ligadura e depende tanto de posiciones y como de las velocidades, es por consiguiente f = f {ri , ri , t} = 0. Que la cuerda sea inextensible provoca que se cree una tensi´n en ˙ o la cuerda seg´n el movimiento de oscilaci´n. u o Ecuaciones de ligadura: Describen los efectos de las fuerzas de ligadura, es decir, sus implicaciones sobre la din´mica del sistema al que se aplique una determinada a fuerza. Ve´moslo en los ejemplos anteriores. a Ejemplo 2.10. (de nuevo ejemplos 2.1 y 2.7) La aplicaci´n de la fuerza de ligadura o hace que para definir la posici´n de la part´ o ıcula tengamos la ecuaci´n de ligadura o x = z = 0. Ejemplo 2.11. (similar a 2.2 y 2.8) La imposibilidad de deformar la superficie semicircular hace que la ecuaci´n de ligadura sea, en cartesianas, x2 + y 2 = cte = o R2 , y en polares, ρ = R = cte.26 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  33. 33. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadas Ejemplo 2.12. (como en los casos 2.4 y 2.9) El equilibrio entre la tensi´n, lao componente del peso y la componente normal de la aceleraci´n en cada punto hace o que la ecuaci´n de ligadura sea r = l = cte. En este caso puede comprobarse que o el modo de activaci´n influye notablemente en las ligaduras, ya que si el p´ndulo o e se activa de forma que s´lo oscile en el plano del papel entonces aparece una nueva o restricci´n tal que x = 0 es tambi´n una ecuaci´n de ligadura. o e oEjercicio 2.1. Determ´ınese las ligaduras estructurales y alguna de las posiblesligaduras por activaci´n de los siguientes sistemas: o 1. Plano inclinado de ´ngulo α. a 2. Movimiento de un pist´n en un cilindro. o 3. Movimiento de una cuenta a lo largo de un anillo circular que gira alrededor de uno de los di´metros. a2.1.2. Clasificaci´n de las ligaduras atendiendo a las ecuaciones de ligadura o Las ligaduras pueden clasificarse en dos tipos: Unilaterales: Aquellas en las que las relaciones entre las variables se expresan con desigualdades. Su forma m´s general se puede caracterizar por f = f {ri , ri , t}. a ˙ Estas ligaduras se caracterizan porque su evoluci´n puede dividirse en dos etapas: o • fase activada, en la que f = 0. • fase desactivada, en la que f > 0 .Veamos estas diferencias con m´s ejemplos: aEjemplo 2.13. En el ejemplo 2.11 vimos que la ecuaci´n de ligadura era ρ = cte, si bien oesta restricci´n no se aplica indefinidamente ya que llega un momento en que la fuerza ocentr´ ıfuga hace que la part´ıcula se despegue de la superficie. Analicemos esta fuerza: mv 2 ˙ flig = 0 → flig = mg cos θ − = mg cos θ − mRθ2 (2.1) R peso f.centr´ uga ifdurante la fase activa.http://alqua.org/libredoc/LAG 27
  34. 34. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana a Por otro lado, suponiendo que la part´ ıcula parta del reposo desde el punto A y uti-lizando el principio de conservaci´n de la energ´ o ıa: 1 ˙ mgR = mgR cos θ + mR2 θ2 (2.2) 2 ˙Si ahora despejamos R2 θ2 de (2.2) y lo ustituimos en (2.1) podemos entonces obtener lafuerza de ligadura flig = mg (3 cos θ − 2). (De nuevo hay que hacer notar que ´sta es la efuerza de ligadura, no la ecuaci´n de ligadura). De modo que: o 2 flig = 0 ⇔ cos θ0 = ⇒ θ0 48◦ 3 Es decir, la fase activada act´a hasta que el ´ngulo llega a θ0 u a 48◦ , donde comienzala fase desactivada.Ejemplo 2.14. Supongamos ahora un caso de un objeto de masa m que se encuentra enreposo relativo sobre un disco que gira en el plano horizontal con velocidad ω variable,tal como se ilustra en la figura. El objeto sufrir´ una aceleraci´n centr´ a o ıfuga seg´n su udistancia ρ al eje y la velocidad ω. Dado que el objeto est´ en reposo en el sdr no inercial adicha aceleraci´n centr´ o ıfuga, dada por ω × ω × rho , se ve contrarrestada por la fuerzade rozamiento entre el objeto y el plano FR = µN . Tenemos por tanto que la ecuaci´n ode ligadura es ρ = R = cte durante la fase activa, es decir, mientras el rozamientocontrarreste la fuerza centr´ ıfuga. Si analizamos el movimiento, tenemos: flig = 0 → flig = −µmg + mω 2 R componente del peso f. centr´ uga if µg Entonces la fase activa dura hasta que la velocidad angular es: ω = R . Si, lavelocidad angular entonces subiera de ese valor el rozamiento no ser´ suficiente para ıafrenar al objeto y ´ste deslizar´ hacia el exterior del disco. e ıa28 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a
  35. 35. 2.1 Grados de libertad, ligaduras y coordenadas generalizadasEjemplo 2.15. Como otro ejemplo veamos lo que ocurre cuando un objeto de masa mgira en el plano vertical atado mediante una cuerda de longitud L a un eje. Supongamosque adem´s la cuerda como todo material tiene una determinada resistencia a la tensi´n, a opor ejemplo T. Es decir, si la tensi´n superase ese valor la cuerda se romper´ y el objeto o ıasaldr´ lanzado. El movimiento queda restringido de nuevo a que el objeto se mantenga ıaa una distancia determinada del eje (siempre que la velocidad sea suficiente). De nuevola ecuaci´n de ligadura es de nuevo ρ = cte durante la fase activa, como en los casos oanteriores. Entonces la ligadura permanecer´ en una fase activa mientras T > F√ ⇔ T > mv . a cent LEs f´cil comprobar que el movimiento circular vertical se mantiene si 2 gL < v < T L . a mPara velocidades menores el objeto no llegar´ a culminar su movimiento mientras que apara velocidades mayores se romper´ la cuerda. a Bilaterales: Las ecuaciones de ligaduras se expresan como una igualdad. Corre- sponden a la fase activada de la ligadura unilateral. Podemos dividir las ligaduras bilaterales en tres tipos: • Cinem´ticas: f = f {ri , ri , t}. Ligaduras dependientes de la posici´n y ve- a ˙ o locidad de la part´ıcula y del tiempo. • Geom´tricas: f = f {ri , t}. Ligaduras que no dependen de la velocidad pero e s´ de las osiciones y del tiempo. ı • Estacionarias: f = f {ri }. Ligaduras que s´lo dependen de las posiciones de o las part´ıculas. Analicemos las diferencias entre estas ligaduras con m´s casos pr´cticos: a ahttp://alqua.org/libredoc/LAG 29
  36. 36. 2 Fundamentos de la mec´nica lagrangiana aEjemplo 2.16. Clasifiquemos las ligaduras de una polea de cuya cuerda penden dosmasas m1 y m2 Sabemos que la cuerda es inextensible, por lo que la ecuaci´n de ligadura oes l = cte . Si analizamos esta expresi´n vemos que es una relaci´n independiente del o otiempo y de la velocidad. Por tanto se trata de una ligadura estacionaria.Ejemplo 2.17. Estudiemos el mecanismo biela-manivela de la figura del que se conocela velocidad angular de BC alrededor de B. Por el teorema del coseno: L2 = R2 +x2 − 2Rx cos θ que se trata de una ecuaci´n de 2o grado en x. Si resolvemos x = o L 2R cos θ + R − sin2 θ y despejando para obtener una f = 0 tenemos la ecuaci´n ode ligadura es   2 L x − R cos θ + − sin2 θ = 0 R Veamos que se trata de una funci´n f {ri } = f {x, θ} = 0. Estas expresiones no de- openden de la velocidad ni del tiempo, se trata por tanto de una ligadura estacionaria(geom´trica). e Podemos sin embargo transformar esta ligadura geom´trica en una cinem´tica derivan- e ado respecto del tiempo:   ˙ cos θ x + Rθ sin θ · 1 + ˙ =0 L 2 R − sin θ 2que es una ecuaci´n de ligadura cinem´tica. o a A este tipo de ligaduras se las denominan ligaduras cinematicas integrables ´(obtenidas por derivaci´n de una ligadura geom´trica). As´ pues, las ligaduras geom´tri- o e ı ecas imponen restricciones sobre las posiciones y tambi´n sobre las velocidades por medio e30 Mec´nica lagrangiana 0.10.1 a

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