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Exercice sur logarithme népérien propose par le prof18

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Exercice sur logarithme népérien propose par le prof18

  1. 1. Exercice sur logarithme népérien propose par le prof : Ennaji Ahmed pour le bac 2018 sciences expérimentales biof Partie 1 : Soit la fonction g définie sur  0, par :   4 2 1 4ln x g x x x    1-montrer que :     22 3 1 0: ' 2 x x g x x    2-en déduire que g est strictement croissante sur  0, 3-etablir que   0g x pour  0;1x et   0g x pour  1;x  (Remarquer : g(1)=0). Partie2 : On considère la fonction f définie sur 0, par     4 2 2 1 1 ln 4 x f x x x        1-a-verifier que :   2 2 4 1 1 ln 0: 4 4 x x f x x x x              b-en déduire que  lim x f x    c-calculer  lim x f x x et interpréter le résultat obtenu géométriquement 2-a-verifier que :    2 2 4 1 1 1 0: ln 4 4 x f x x x x x         b- en déduire que  0 lim x f x   et interpréter ce résultat géométriquement. 3-montrer que :    0: ' 2 g x x f x x   4-a-montrerque g est strictement décroissante sur  0;1 et g est strictement croissante sur  1; b-donner le tableau de variation de f
  2. 2. 5-a-montrer que :   1 0:x f x f x         b-montrer que l’équation  f x x admet une solution unique  sur  0;1 c- montrer que l’équation   1 f x x  admet une solution unique  sur  1; d-vérifier que : 1  e-donner un encadrement de  d’amplitude 2 10 et en déduire un encadrement de  6-construire la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j 7-a-en utilisant une intégration par partie .montrer que 1 ln 1 e xdx  b-en déduire que :  2 1 ln 2 e x e  8-determiner l’aire du domaine plan limite par la courbe fC , l’axe des abscisses et les droites d’équations Exercice 2

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