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Blanc1

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maths

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Blanc1

  1. 1. 1 Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en informatique décisionnelle BI. Examen Blanc 1 de mathématiques pour 2 BAC PC biof é à Année scolaire : 2017-2018 : durée 3h ; coefficient : 7 Exercice 1 : (4pts) Dans une zone de Beni Mellal, on s’intéresse à la population des libellules. On note 0P la population initiale et nP la population au bout de n années. Des études ont permis de modéliser l’évolution de nP par la relation :  2 1 1 1 : 2 n n n nn IN P P P P       . On suppose que 0 140000 60000P et P  On définit l’accroissement de la population pendant la nième année par la différence : 1n nP P 1-calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année puis en déduire 2 3P et P . 2- On considère les deux suites tel que : 1 1 1 : 1 2 n n n n n n U P P n IN V P P            a-montrer que la suite  nU est géométrique en précisant sa raison et son premier terme. b-exprimer nU en fonction de n c-calculer 1n nV V  et déduire que : 1 0 1 : 2 nn IN V P P    et calculer nV 3-a-montrer que :  : 2n n nn IN P V U    b-déduire nP en fonction de n et calculer la limite de la suite  nP c-Que peut-on en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette population au bout d’un nombre d’années suffisamment grand ? Exercice 2 : (4pts) Soit l’équation (E) suivante : 2 : 6 2 0z z z   
  2. 2. 2 Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en informatique décisionnelle BI. 1-resoudre dans cette équation (E) tel que  2Im 0z 2-donner la forme trigonométrique de 1 2z et z et calculer    6 6 1 2z z 3-donner la forme exponentielle de 1 2z et z déduire que 3 2 1 i z e z   4-dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct  ; ;O u v .on considère les deux points    1 2A z et B z . a-Montrer qu’il existe une rotation R qui transforme A en B en précisant son centre et la mesure de son angle. b-déduire la nature du triangle OAB c-déterminer l’ensemble des points  M z tel que : 1 2z z z z   Exercice 3 : (3pts) 1-resoudre le système suivant : 3 2ln 2 4ln 2 x y x y      2-on pose : ln16 0 3 4 x x e I dx e         et ln16 0 1 4x J dx e        a-calculer : 3I J et I J  b- En déduire les valeurs exactes de I et J 3-avec la méthode d’intégration par parties calculer 1 0 x xe dx et prouver que 1 2 0 2x x e dx e  Exercice 4 : (4pts) I- On considère la fonction g définie sur l’intervalle 1 ; 2      par :    2 ln 2g x x ax x b    ou a et b sont deux réels. Calculer a et b pour que la courbe représentative  gC de la fonction g dans un plan muni d’un repère orthonormé  ; ;O i j passe par l’origine du repère et admette une tangente parallèle à l’axe des abscisses au point d’abscisse 1 2
  3. 3. 3 Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en informatique décisionnelle BI. II-Soit f la fonction définie sur l’intervalle 1 ; 2      par :    2 2 ln 2 1f x x x x     .on admet que f est dérivable et on note 'f sa dérivée. Le tableau de variation de la fonction f est le suivant : 1-justifier tous les éléments contenus dans ce tableau. 2-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  dans l’intervalle 1 ;1 2      3-donner un encadrement de  d’amplitude 2 10 . 4-determiner le signe de  f x sur l’intervalle 1 ; 2      Exercice 5 : (5pts) I-Soit     1 2x x g x e e   pour tout x IR 1-resoudre dans IR l’équation :   0g x  2-etudier le signe de  g x pour tout x IR II-on considère la fonction f définie sur IR par     22 2x x f x e e  1-verifier que :  lim 0 x f x   et interpréter graphiquement ce résultat. 2-verifier que :  lim x f x    et étudier la branche infinie de la courbe  fC au voisinage de  3-montrer que :    2 : ' 4 x x IR f x e g x  
  4. 4. 4 Ennaji Ahmed : Docteur ; prof de maths et Ingénieur en informatique décisionnelle BI. 4-pourqoi le signe de  f x est celui de  g x sur IR ? 5-calculer  ln 2f et donner le tableau de variation de sur IR 6-construire la courbe représentative fC de la fonction f dans le repère orthonormé ; ;O i j (unité : 4cm). 7-Soit h la restriction de la fonction f sur l’intervalle  0;ln 2I  a-montrer que h admet une fonction réciproque 1 h définie sur un intervalle J à déterminer. b-construire la courbe représentative  1 h C  de la fonction 1 h dans le même repère ; ;O i j . III-Soit   4 3 21 4 2 4 3 x x x F x e e e   pour tout x IR 1-montrer que : la fonction F est une primitive de f sur IR 2-calculer en 2 cm l’aire de la partie du plan délimite par la courbe fC , l’axe des abscisses et les droites d’équations : 0 ln2x et x 

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