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Démonstration de la dégénérescence en dimension nie d'espace

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Application of math in source localisation problem (case of a planar array of detectors). Further information in this paper arXiv:1208.3539. http://arxiv.org/abs/1208.3539
Ill-posed formulation of the emission source localization in the radio-detection experiments of extensive air showers

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Démonstration de la dégénérescence en dimension nie d'espace

  1. 1. Démonstration de la dégénérescence en dimension nie d'espace Tarek Salhi, Ahmed Rebii April 24, 2012 Considérons le problème de déterminer une partie de la topologie des points critiques d'une fonctionnelle polynômiale qui s'écrit sous le forme suivante : f (X) = 1 2 N →−→ − − rs ri 2 2 2 2 − (t∗ − t∗ ) s i i=1 T − (→ t∗ ) rs s . Nous avons calculé, dans l'annexe 1, le vecteur gradient où X = de cette fonctionnelle. Il s'écrit sous la forme 1 f (X) = 2 fi (X) · MX − M fi (X) · Xi i i où l'on note fi (X) = (X − Xi )T M (X − Xi ) la forme quadratique dénis− → sant la fonctionnelle. Supposons que Xs soit un point critique de f . Cela − → implique que f Xs = 0. L'idée maintenant est de translater la source, de − − − position →, simultanément dans toutes les directions → − → et des mêmes rs rs ri quantités. On dénit alors un vecteur unitaire donnant la direction entre un →−→ − − − r r antenne i et la source s. On le notera → = →i−→s . La direction spatiale de ei − − r r i s →2 − translation ainsi dénie est donnée par le vecteur L = i → − ri →−→ − − ri rs − 2 i 1 →−→ − − ri rs i →= − ei i →−→ − − ri rs →−→ − − ri rs = 2 →. Si l'on considère de plus que l'on utilise des − rs 2 variables temporelles réduites, le temps nécessaire à l'onde pour franchir l'excès → − → − de distance induit par la translation est L . Notons V le vecteur de co2 → − ordonnées V = T → → − − L L . Ecrivons la condition d'optimalité du premier − 2→ → − ordre pour le vecteur Xs − V : 1
  2. 2. − → → − f Xs − V = − → → − fi Xs − V − → → − · M Xs − V − M − → → − − → fi Xs − V · Xi i i − → − → → − Xs − Xi − V = T − → → − · M Xs − V − → − → → − M Xs − Xi − V i − → − → → − Xs − Xi − V −M T − → − → → − − → M Xs − Xi − V · Xi i − → fi Xs = − → · M Xs − − → fi Xs → − ·MV i − → − → Xs − Xi − T → − MV − → · M Xs + − → − → Xs − Xi i → − MV → − ·MV i → − V − T − → − → M Xs − Xi − → · M Xs + → − V i − → − → M Xs − Xi T → − ·MV i → − + N V T → − → − − → M V · M Xs − N V − → − → Xs − Xi −M T T → − → − MV ·MV − → − → − → M Xs − Xi · Xi + 2M i − T → − V − → − → Xs − Xi T → − − → M V · Xi i → − MV ·M T − → Xi i − → La condition f Xs = 0 implique que 0. On a alors la relation suivante − → → − f Xs − V =N → − V T → − − → → − 1 M V · M Xs − V − N − → − → Xs − Xi 2M − → fi Xs T → − − → M V · Xi − → Xi i − → − → Xs − Xi −2 i T → − MV i − → fi Xs − − − → → fi Xs Xi = − → ·M Xs −M → − ·MV i → − → − D'après la forme que l'on a posé pour le vecteur V , on a V → → − − L L M 2 → → − − L L T 2 T = 0. Il reste alors l'expression suivantes : 2 → − MV = − → → − · M Xs − V
  3. 3. − → → − f Xs − V =2M − → − → Xs − Xi T → − − → M V · Xi − → − → Xs − Xi −2 i → − MV − → → − · M Xs − V i − → fi Xs − T → − ·MV i A partir de là, il est dicile de faire le lien entre la topologie du réseau → − et la direction de translation. Il faut en eet trouver les vecteur V tel que − → → − → − f Xs − V = 0. Cela revient à résoudre l'équation suivante en V : − → − → Xs − Xi 2M T → − − → M V · Xi −2 − → − → Xs − Xi i T → − − → → − M V ·M Xs − V − − → fi Xs i → − ·M V = 0 i Développons chacun des trois termes au dessus : • premier terme : − → − → Xs − Xi 2M T → − − → M V · Xi − → Xs =2 i T → − − → M V − Xi T → − − → M V M Xi i − → Xs =2 T → − → − MV ·MV − − → Xi T → − − → M V · M Xi i • second terme : − → − → Xs − Xi 2 T → − MV − → → − · M Xs − V − → Xs =2 i T → − MV − i =2N − → Xi T → − MV − → → − · M Xs − V i − → Xs T → − MV − → Xi − → → − · M Xs − V − T → − MV − → → − · M Xs − V i • troisième terme : − → fi Xs → − ·MV = − → Xs i T − → − Xi T − → − → M Xs − Xi → − ·MV i − → Xs = T − → − → M Xs − Xs T − → − → M Xi − Xi T − → − → M Xs + Xi i − → = N Xs T − → → − M Xs · M V − 2 − → Xi i − → Xi + i 3 T − → M Xi → − ·MV T − → M Xs → − ·MV T − → M Xi → − ·MV
  4. 4. Il n'est pas, à ma connaissance, possible de simplier d'avantage cette équation matricielle. Tentons une approche en réduisant la dimension du problème et de prendre un cas particulier. Résolution numérique d'un problème simplié Considérons le réseau simplié où le nombre d'antennes est de 3 et√où ces dernières sont placées aux points de coordonnées suivantes : A (0, 2), B 3, −1 √ et C − 3, −1 . Plaçons alors une source aux coordonnées S (0, 3) qui émet une onde de célérité 1 à l'instant t∗ = 0. s Dans cette géométrie particulière, le tenseur de Minkowski vaut M = diag (1, 1, −1),   0 − → l'événement initial vaut Xs =  3  et les autres événements valent alors 0   √     √  − 3 x 3 0 − → → − − → − → −1 , X3 =  √ −1 . Notons V =  y  X1 =  2 , X2 =  √ t∗ 1 19 19  le vecteur de translation spatio-temporel. On supposera dans cette partie que t∗2 = x2 +y 2 (je ne suis plus très sûr de moi). Les trois termes dans le développe− → → − ment de f Xs − V valent alors chacun − → − → Xs − Xi • 2M i • 2 − → − → Xs − Xi • i i − → fi Xs T T → − − → M V · Xi   −6x √ 2 = 2  −6y + √ 1 − 19 t∗  1 + 8 19 y + 39t∗ √ − → → − → − M V ·M Xs − V = 2 x + 8y + 1 + 2 19 t∗ → − ·MV = 0 La recherche 4  −x  3−y  t∗ 
  5. 5. Intersection géométrique de deux surfaces coniques Tarek Salhi, Ahmed Rebai April 24, 2012 Il s'agit dans ce paragraphe de déterminer les courbes qui résultent de l'intersection de deux cônes de génératrices parallèles et de même angle au sommet ou plus généralement de n cônes dans l'espace euclidien ane R3 . Ces cônes représentent des contraintes issues d'un problème de propagation d'une onde électromagnétique dans un milieu. A chaque événement correspondant à l'arrivée d'un signal à une antenne i, on lui associe un cône déni par l'équation suivante : x y − xi yi 2 2 2 2 = (t∗ − ti ) ⇔ (x − xi ) + (y − yi ) = (t∗ − t∗ ) i 2 2  x Si l'on note par X =  y  les coordonnées généralisées alors on peut t∗  simplement écrire cette équation comme une forme quadratique T (X − Xi ) M (X − Xi ) = 0 Ce cône géométrique est le cône isotrope de la forme quadratique de matrice M = diag (1, 1, −1). On notera par la suite la forme quasratique suivante q (X) = X T M X . Cherchons alors la courbe résultant de l'intersection des deux cônes suivants 2 2 2 (x − x1 ) + (y − y1 ) = (t∗ − t∗ ) 1 2 2 2 (x − x2 ) + (y − y2 ) = (t∗ − t∗ ) 2 · · · (1) · · · (2)   xi On a alors la suite d'opérations suivantes, en notant Xi =  yi  : t∗ i 1
  6. 6. 2 2 2 2 2 (1) − (2) ⇒ (x − x1 ) − (x − x2 ) + (y − y1 ) − (y − y2 ) = (t∗ − t∗ ) − (t∗ − t∗ ) 1 2 2 ⇒ (2x − (x1 + x2 )) (x2 − x1 ) + (2y − (y1 + y2 )) (y2 − y1 ) = (2t∗ − (t∗ + t∗ )) (t∗ − t∗ ) 1 2 2 1 2 2 ⇒2 (x2 − x1 ) x + 2 (y2 − y1 ) y + 2 (t∗ − t∗ ) t∗ = x2 − x2 + y2 − y1 − t∗2 − t∗2 1 2 2 1 2 1 1 ⇒ (x2 − x1 ) x + (y2 − y1 ) y − (t∗ − t∗ ) t∗ = (q (X1 ) − q (X2 )) 2 1 2 → −  La dernière équation dénit l'équation d'un plan de vecteur normal N =  (x2 − x1 )  (y2 − y1 ) . La courbe résultant de l'intersection des deux cônes est in(t∗ − t∗ ) 1 2 cluse dans ce plan. Notons α = x− x1 , = y2 − y1 et γ = t∗ − t∗ . Le β 2 2 1 α → − vecteur normal s'écrit alors N =  β  = M (X2 − X1 ). Notons enn −γ 1 λ = 2 (q (X1 ) − q (X2 )) et l'équation du plan suivant αx + βy − γt∗ = λ · · · (3) En injectant l'équation (3) dans l'équation (1), on obtient alors l'équation suivante suivant les cas t∗ = t∗ : L'équation (3) peut alors s'écrire t∗ = ax + by + c où a = 1 2 α γ, b= β γ et c = λ . On obtient alors après injection γ 2 2 2 (1) ⇒ (x − x1 ) + (y − y1 ) = (ax + by + c − t∗ ) 1 ⇒ 1 − a2 x2 − 2abxy + 1 − b2 y 2 2 2 − 2a (c − t∗ ) x − 2b (c − t∗ ) y − 2x1 x − 2y1 y + x2 + y1 − (c − t∗ ) = 0 1 1 1 1 Cette courbe contient une partie quadratique et une partie linéaire. C'est donc une conique (éventuellement dégénérée). Il faut pour cela étudier suivant le signe du discriminant ∆ = a2 b2 − 1 − a2 1 − b2 = a2 +b2 −1. Cette équation est équivalente à l'équation suivante γ 2 ∆ = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 − (t∗ − t∗ )2 . 1 2 1. ∆ 0 : L'intersection est une ellipse. La condition (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2 2 (t∗ − t∗ ) s'interprète 1 2 2

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