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  1. 1. Mecânica TécnicaAula 1 – Conceitos Fundamentais Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  2. 2. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Apresentação do Curso. Apresentação da Bibliografia Definição da Mecânica Técnica. Sistema Internacional de Unidades. Mecânica Técnica
  3. 3. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesApresentação do Curso Aula 1 - Definição de Mecânica, Conceitos Fundamentais e Sistema Internacional de Unidades Aula 2 - Escalares e Vetores - Lei dos Senos, Lei dos Cossenos e Regra do Paralelogramo Aula 3 - Sistema de Forças Coplanares Aula 4 - Adição e Subtração de Vetores Cartesianos Aula 5 - Vetor Posição e Produto Escalar Aula 6 - Equilíbrio do Ponto Material em Duas Dimensões Aula 7 - Equilíbrio do Ponto Material em Três Dimensões Aula 8 - Equilíbrio do Ponto Material em Três Dimensões Aula 9 - Avaliação 1 Aula 10 - Momento de uma Força, Formulação Escalar Aula 11 - Momento de uma Força, Formulação Vetorial, Princípio dos Momentos Aula 12 - Momento em Relação a um Eixo Específico e Momento de um Binário Aula 13 - Sistemas Equivalentes de Cargas Concentradas Aula 14 - Sistemas Equivalentes de Cargas Distribuídas Aula 15 - Cálculo de Reações de Apoio em Estruturas Aula 16 - Equilíbrio de um Corpo Rígido em Duas e Três Dimensões Aula 17 - Estudo de Treliças Planas Aula 18 - Estudo de Máquinas e Estruturas Aula 19 - Avaliação 2 Aula 20 - Exame Final Mecânica Técnica
  4. 4. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesBibliografia Recomendada HIBBELER, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2005, 540p. BEER, F. P.; JOHNSTON JR, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática.5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p. BEDFORD & FOWLER. Engineering Mechanics – Statics 3ª ed. New Jersey: Prentice Hall, 2002, 583p. Mecânica Técnica
  5. 5. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesDefinição de Mecânica A mecânica pode ser definida como o ramo das ciências físicas dedicado ao estudo do estado de repouso ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Normalmente o estudo da mecânica é dividido em três partes: a mecânica dos corpos rígidos, a mecânica dos corpos deformáveis e a mecânica dos fluidos. Mecânica Técnica
  6. 6. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMecânica dos Corpos Rígidos A mecânica dos corpos rígidos pode ser dividida em estática (equilíbrio de um corpo rígido) e dinâmica (movimento de um corpo rígido). A estática tem por finalidade o estudo do equilíbrio de um corpo em repouso ou em movimento com velocidade constante. A dinâmica, por sua vez, pode ser caracterizada como a parte da mecânica dos corpos rígidos dedicada ao estudo do movimento de corpos sob a ação de forças, ou seja, movimentos acelerados dos corpos. Mecânica Técnica
  7. 7. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesGrandezas Físicas Presentes na Mecânica a) Comprimento: Grandeza essencial que localiza a posição de um ponto no espaço. A partir do comprimento é possível descrever com exatidão a dimensão de um sistema físico. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de comprimento é o metro (m). b) Tempo: Pode ser definido como o intervalo entre dois eventos consecutivos. Medições desse intervalo podem ser realizadas por comparações, como por exemplo, eventos repetitivos tal como a rotação da Terra ao redor de seu próprio eixo. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de tempo é o segundo (s). Como o presente curso trata apenas dos problemas de estática, a quantidade tempo não possui influência significativa na solução dos problemas, porém em problemas de dinâmica, o tempo é uma grandeza muito importante para descrever as variações de posição, velocidade, aceleração e forças em um corpo. c) Massa: A massa de um corpo representa uma quantidade absoluta que independe da posição do corpo e do local no qual o mesmo é colocado. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de massa é o quilograma (kg). A massa representa uma propriedade da matéria que permite comparar a ação de um corpo em relação a outro e de um modo geral pode ser interpretada com a resistência que um corpo oferece a mudanças em seu movimento de translação. d) Força: Pode ser definida como a ação de um corpo em outro corpo. Como um corpo não pode exercer uma força em um segundo corpo a menos que este ofereça uma resistência, pode-se concluir que uma força nunca existe só, ou seja, as forças sempre ocorrem aos pares, e as duas forças possuem a mesma magnitude e sentidos contrários. No sistema internacional de unidades (SI), a unidade básica de força é o Newton (N), que é representado a partir da seguinte relação, 1 N = 1 kgm/s². Mecânica Técnica
  8. 8. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSistema Internacional de Unidades A 11ª CGPM, em 1960, através de sua Resolução n°12, adotou finalmente o nome SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES, com abreviação internacional SI para o sistema prático de unidades, e instituiu regras para os prefixos, para as unidades derivadas e as unidades suplementares, além de outras indicações, estabelecendo uma regulamentação para as unidades de medidas. A definição de Quantidade de Matéria (mol) foi introduzida posteriormente em 1969 e adotada pela 14ª CGPM, em 1971. CGPM - Conférence Générale de Pois et Mesures Mecânica Técnica
  9. 9. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesUnidades de Base do SI São sete unidades bem definidas que, por convenção, são tidas como dimensionalmente independentes. Essas unidades são apresentadas na Tabela a seguir. Grandeza Unidade Símbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente elétrica ampère A temperatura termodinâmica kelvin K quantidade de matéria mol mol intensidade luminosa candela cd Mecânica Técnica
  10. 10. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesDefinição das Unidades de Base Metro (m): É o caminho percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de um segundo. Quilograma (kg): É igual à massa do protótipo internacional, feito com uma liga platina - irídio, dentro dos padrões de precisão e confiabilidade que a ciência permite. Segundo (s): É a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do átomo de césio-133, no estado fundamental. Ampère (A): É uma corrente constante que, se mantida em dois condutores retilíneos e paralelos, de comprimento infinito e seção transversal desprezível, colocados a um metro um do outro no vácuo, produziria entre estes dois condutores uma força igual a 2 x10-7 newton, por metro de comprimento. Kelvin (K): É a fração 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. Mol (mol): É a quantidade de matéria de um sistema que contém tantas entidades elementares quantos forem os átomos contidos em 0,012 quilograma de carbono 12. Comentários: a) O nome desta quantidade vem do francês "quantité de matière",derivado do latim "quantitas materiae", que antigamente era usado para designar a quantidade agora denominada de "massa". Em inglês usa- se o termo "amount of substance". Em português, consta no Dicionário como "quantidade de substância", mas pode-se admitir o uso do termo "quantidade de matéria", até uma definição mais precisa sobre o assunto. b) Quando se utiliza o mol, as entidades elementares devem ser especificadas, podendo ser átomos, moléculas, íons, elétrons ou outras partículas ou agrupamentos de tais partículas. Candela (cd): É a intensidade luminosa, em uma determinada direção, de uma fonte que emite radiação monocromática de freqüencia 540x1012 hertz e que tem uma intensidade radiante naquela direção de 1/683 watt por esteradiano. Mecânica Técnica
  11. 11. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesUnidades Suplementares do SI São apenas duas as unidades suplementares: o radiano, unidade de ângulo plano e o esteradiano, unidade de ângulo sólido. Grandeza Unidade Símbolo ângulo plano radiano rad ângulo sólido esteradiano sr Mecânica Técnica
  12. 12. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesUnidades Derivadas do SI São formadas pela combinação de unidades de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas, de acordo com as relações algébricas que relacionam as quantidades correspondentes. Os símbolos para as unidades derivadas são obtidos por meio dos sinais matemáticos de multiplicação e divisão e o uso de expoentes. Algumas unidades SI derivadas têm nomes e símbolos especiais. Grandeza Unidade Símbolo área metro quadrado m2 volume metro cúbico m3 velocidade metro por segundo m/s aceleração metro por segundo quadrado m/s2 número de onda metro recíproco m-1 densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 volume específico metro cúbico por quilograma m3/kg concentração mol por metro cúbico mol/m3 Mecânica Técnica
  13. 13. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesUnidades Derivadas do SI Grandeza Unidade Símbolo Expressão(*) freqüência hertz Hz s-1 força newton N kg m/s2 pressão, tensão pascal Pa N/m2 energia, trabalho joule J Nm potência, fluxo radiante watt W J/s quantidade de eletricidade coulomb C As potencial elétrico volt V W/A capacitância elétrica farad F C/V resistência elétrica ohm V/A condutância elétrica siemens S A/V fluxo magnético weber Wb Vsdensidade de fluxo magnético tesla T Wb/m2 indutância henry H Wb/A temperatura celcius grau celcius °C K Mecânica Técnica
  14. 14. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesUnidades Derivadas do SI Grandeza Unidade Expressão(*) aceleração angular radiano por segundo quadrado rad/s2 velocidade angular radiano por segundo rad/s densidade de corrente ampère por metro quadrado A/m2 densidade de carga elétrica coulomb por metro quadrado C/m2 força do campo elétrico volt por metro V/m densidade de energia joule por metro cúbico J/m3 entropia joule por kelvin J/K força do campo magnético ampère por metro A/m energia molar joule por mol J/mol entropia molar joule por mol kelvin J/(mol K) densidade de potência watt por metro quadrado W/m2 radiância watt por metro quadrado esteradiano W/(m2 sr) potência radiante watt por esteradiano W/sr energia específica joule por quilograma J/kg entropia específica joule por quilograma kelvin J/(kg K) tensão superficial newton por metro N/m condutividade térmica watt por metro kelvin W/(m K) Mecânica Técnica
  15. 15. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMúltiplos e Submúltiplos Fator Prefixo Símbolo 1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021 zetta Z 1 000 000 000 000 000 000 = 1018 exa E 1 000 000 000 000 000 = 1015 peta P 1 000 000 000 000 = 1012 tera T 1 000 000 000 = 109 giga G 1 000000 = 106 mega M 1 000 = 103 quilo k 100 = 102 hecto h 10 = 101 deca da 0,1 = 10-1 deci d 0,01 = 10-2 centi c 0,001 = 10-3 mili m 0,000 001 = 10-6 micro 0,000 000 001= 10-9 nano n 0,000 000 000 001 = 10-12 pico p 0,000 000 000 000 001 = 10-15 femto f 0,000 000 000 000 000 001 = 10-18 atto a 0,000 000 000 000 000 000 001 = 10-21 zepto z Mecânica Técnica
  16. 16. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesEscrita de Unidades Os princípios gerais relativos à escrita de símbolos das unidades foram adotadas pela 9ª CGPM, em 1948, alguns comentários são apresentados a seguir. a) Os símbolos usados para discriminar quantidades físicas devem ser apresentados em itálico, mas os símbolos das unidades são digitados em romano [ex: F = 23 N]. b) As unidades derivadas de nomes próprios devem ser escritas com a primeira letra em maiúsculo, enquanto que as outras devem ser apresentadas em minúsculo [ex: newton, N; pascal, Pa, metro, m], exceto o litro, que pode ser escrito em minúsculo ou maiúsculo ( l ou L ). c) O símbolo da unidade é geralmente descrito pela primeira letra do nome da unidade [ex: grama, g e não gm; segundo, s e não seg ou sec], com algumas exceções [ex: mol, cd e Hz]. Também, o símbolo da unidade não deve ser seguido por um ponto e o seu plural não é seguido de "s" [ex: 3 kg e não 3 kg. ou 3 kgs]. d) A palavra "grau" e seu símbolo "°" devem ser omitidos da unidade de temperatura termodinâmica, T [isto é, usa-se apenas kelvin ou K e não Kelvin ou °K], mas são retidos quando se quer designar temperatura Celcius, t [ex: graus Celcius ou °C]. e) Os símbolos dos prefixos que representam grandezas maiores ou iguais a 106 são escritos em maiúsculo, enquanto que todas os outros são escritos em minúsculo [ex: mega, M; hecto, h]. f) Um prefixo nunca deve ser usado sozinho [ex: 106/m3, mas não M/m3]. g) Não deve ser colocado espaço entre o prefixo e a unidade e prefixos compostos devem ser evitados [ex: 1 pF, e não 1 p F ou 1 F; 1 nm, e não 1m m]. Mecânica Técnica
  17. 17. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesEscrita de Unidades h) O agrupamento formado pelo símbolo do prefixo ligado ao símbolo da unidade constitui-se em um novo e inseparável símbolo, de modo que pode ser elevado a potências positivas ou negativas e ser combinado com outros símbolos de unidades para formar símbolos de unidades compostas. Desta forma, um expoente se aplica à unidade como um todo, incluindo o seu prefixo [ex: 1 cm3 = (10-2 m)3 = 10-6 m3; 1 cm-1 = (10-2 m) -1 = 102 m-1; 1 s-1= (10-6 s) -1 = 106 s-1; 1 V/cm = (1 V)/(10-2 m) = 102 V/m]. i) Quando um múltiplo ou submúltiplo de uma unidade é escrito por completo, o prefixo deve ser também escrito por completo, começando com letra minúscula [ex: megahertz, e não Megahertz ou Mhertz]. j) O quilograma é a única unidade de base cujo nome, por razões históricas, contém um prefixo. Seus múltiplos e submúltiplos são formados adicionando-se os prefixos à palavra "grama" [ex: 10-6 kg = 1 mg = 1 miligrama e não 1 microquilograma ou 1 kg]. k) A multiplicação de unidades deve ser indicada inserindo-se um ponto"elevado", ou deixando-se um espaço entre as unidades [ex: ou N m]. l) A divisão pode ser indicada tanto pelo uso de uma barra inclinada, de uma barra de fração horizontal ou por um expoente negativo [ex: m/s, ou , ou ], mas o uso repetido da barra inclinada não é permitido [ex: m/s2, mas não m/s/s; m kg/ (s3 A), mas não m kg/s3/A]. Para se evitar má interpretação, quando mais de uma unidade aparece no denominador, deve-se utilizar parêntesis ou expoentes negativos [ex: W/(m2 K4) ou W m-2 K-4]. Mecânica Técnica
  18. 18. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesEscrita de Unidades m) Os nomes das unidades não devem ser misturados com os símbolos das operações matemáticas [ex: pode-se escrever "metro por segundo", mas não metro/segundo ou metro segundo-1]. n) Quando o produto de duas unidades é escrito por extenso, recomenda-se o uso de espaço entre elas mas nunca o uso do ponto. É tolerável o emprego de hífen nestes casos [ex: deve-se escrever newton metro ou newton-metro, mas não newtonmetro]. Números com mais de quatro dígitos devem ser separados por um espaço a cada grupo de tres dígitos. Nunca utilizar pontos ou vírgulas nas separações, para evitar confusões com as marcações de decimais [ex: 299 792 458, mas não 299.792.458 ou 299,792,458]. Esta convenção é também aplicada à direita do marcador de decimais [ex: 22,989 8]. o) O valor numérico e o símbolo da unidade devem ser separados por um espaço, mesmo quando usados como um adjetivo [ex: 35 mm, mas não 35mm ou 35-mm]. p) Deve-se colocar um zero antes do marcador de frações decimais [ex: 0,3 J ou 0.3 J ao invés de ,3 J ou .3 J]. q) Sempre que possível, o prefixo de uma unidade deve ser escolhido dentro de um intervalo adequado, geralmente entre 0,1 e 1000 [ ex: 250 kN; 0,6 mA]. Mecânica Técnica
  19. 19. Aula 1 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Escalares e Vetores. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Regra do Paralelogramo Mecânica Técnica
  20. 20. Mecânica TécnicaAula 2 – Lei dos Senos e Lei dos Cossenos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  21. 21. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Cálculo de Força Resultante. Operações Vetoriais. Lei dos Senos. Lei dos Cossenos. Mecânica Técnica
  22. 22. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesGrandezas Escalares Uma grandeza escalar é caracterizada por um número real. Como exemplo de escalares podem se citar: o tempo, a massa, o volume, o comprimento, etc. Mecânica Técnica
  23. 23. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesGrandezas Vetoriais Uma grandeza vetorial é caracterizada pela dependência de três elementos fundamentais, ou seja, representa um ente matemático que possui intensidade, direção e sentido. Em problemas de estática é muito comum a utilização de grandezas vetoriais como posição, força e momento. A posição de um ponto no espaço em relação a outro ponto caracteriza uma grandeza vetorial. Para descrever a posição de uma cidade A em relação à outra cidade B, é insuficiente dizer que ambas estão separadas por uma distância de 100 km, para se caracterizar um vetor, deve-se dizer por exemplo, que a cidade B se encontra 100 km a oeste da cidade A. A força também é caracterizada como uma grandeza vetorial, pois quando se empurra uma peça de móvel através do chão aplica-se na mesma uma força com intensidade suficiente para mover o móvel e com a direção desejada para o movimento. Mecânica Técnica
  24. 24. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesRepresentação de uma GrandezaVetorial Uma grandeza vetorial pode ser representada graficamente por uma seta, que é utilizada para definir seu módulo, sua direção e seu sentido. Graficamente o módulo de um vetor é representado pelo comprimento da seta, a direção é definida através do ângulo formado entre um eixo de referência e a linha de ação da seta e o sentido é indicado pela extremidade da seta. A figura mostra a representação gráfica de dois vetores força atuando ao longo dos cabos de fixação de um poste, o ponto O é chamado de origem do vetor e o ponto P representa sua extremidade ou ponta. Mecânica Técnica
  25. 25. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução Escalar Praticamente todos os problemas envolvendo os conceitos de soma e subtração vetorial, bem como a determinação das componentes de um vetor podem ser resolvidos a partir das leis dos senos e dos cossenos, que representam propriedades fundamentais da trigonometria e são descritas a seguir a partir da figura a seguir e das respectivas equações. Mecânica Técnica
  26. 26. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesLei dos Senos e dos Cossenos Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos senos é definida da seguinte forma: “Em todo triângulo, as medidas dos seus lados são proporcionais aos senos dos lados opostos”. γ B A A B C = = α β senα senβ senγ C A partir do mesmo triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, a lei dos cossenos é definida do seguinte modo: “Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado”. C= A 2 + B 2 − 2 AB cos γ Mecânica Técnica
  27. 27. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSoma Vetorial – Regra do Paralelogramo O Cálculo da força resultante pode ser obtido através da soma vetorial com a aplicação da regra do paralelogramo. Mecânica Técnica
  28. 28. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) O parafuso mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. 10° Mecânica Técnica
  29. 29. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1 Construir um esquema aplicando a regra do Aplicando-se a lei dos cossenos, determina-separalelogramo de forma a identificar quais são as incógnitas o módulo da força resultante FR.do problema. FR = F1 + F2 − 2 ⋅ F1 ⋅ F2 ⋅ cos γ 2 2 y r F1 70° FR = 200 2 + 300 2 − 2 ⋅ 200 ⋅ 300 ⋅ cos 70° r FR 110° 110° FR = 298,25 N x O ângulo α é determinado a partir da lei dos r 70° senos, utilizando-se o valor calculado para FR. F2 F1 F F1 ⋅ senγ = R senα = senα senγ FR A partir do paralelogramo obtido na figura, pode-  F1 ⋅ senγ   200 ⋅ sen70°  se construir o triângulo de vetores. α = asen  α = asen     298,25  r  FR  FR α = 39,06° β α r Com relação ao eixo x positivo, o ângulo F1 θ é dado por: r 70° F2 θ = α −δ θ = 39,06° − 30° θ = 9,06° Mecânica Técnica
  30. 30. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) Duas lanchas rebocam um barco de passageiros que se encontra com problemas em seus motores. Sabendo-se que a força resultante é igual a 30kN, encontre suas componentes nas direções AC e BC. Mecânica Técnica
  31. 31. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2 A partir da regra do paralelogramo, deve-se Resolvendo para FCA tem-se que:construir um triângulo de vetores envolvendo asforças atuantes nos cabos CA e CB e a força FR ⋅ sen40° 30 ⋅ sen40°resultante, de forma a identificar as incógnitas do FCA = =problema. sen110° sen110° FCB 110° FCA FCA = 20,52 kN 40° 30° Resolvendo para FCB tem-se que: FR = 30 kN FR ⋅ sen30° 30 ⋅ sen30° A partir da aplicação da lei dos senos, FCB = = pode-se determinar os módulos das forças sen110° sen110° atuantes em cada um dos cabos CA ou CB da seguinte forma. FCB = 15,96 kN FR FCA FCB = = sen110° sen40° sen30° Mecânica Técnica
  32. 32. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo x positivo. Mecânica Técnica
  33. 33. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) Determine a intensidade da força resultante e indique sua direção, medida no sentido anti-horário, em relação ao eixo u positivo. Mecânica Técnica
  34. 34. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) A chapa está submetida a duas forças FA e FB como mostra a figura. Se θ = 60º, determine a intensidade da força resultante e sua intensidade em relação ao eixo horizontal. Mecânica Técnica
  35. 35. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) Duas forças são aplicadas ao olhal a fim de remover a estaca mostrada. Determine o ângulo θ e o valor da força F de modo que a força resultante seja orientada verticalmente para cima no eixo y e tenha uma intensidade de 750N. Mecânica Técnica
  36. 36. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) A caminhonete mostrada é rebocada por duas cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a produzir uma força resultante de 950N oreintada no eixo x positivo, considere θ = 50º. Mecânica Técnica
  37. 37. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 6) O parafuso tipo gancho mostrado na figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine o módulo e a direção da força resultante. Mecânica Técnica
  38. 38. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 7) A tora de madeira é rebocada pelos dois tratores mostrados, sabendo-se que a força resultante é igual a 10kN e está orientada ao longo do eixo x positivo, determine a intensidade das forças FA e FB. Considere θ = 15º. Mecânica Técnica
  39. 39. Aula 2 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Sistemas de Forças Coplanares. Determinação de Força Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano. Mecânica Técnica
  40. 40. Mecânica Técnica Aula 3 – Sistemas de ForçasCoplanares, Vetores Cartesianos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  41. 41. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Sistemas de Forças Coplanares. Determinação de Força Resultante. Componentes de um Vetor Cartesiano. Mecânica Técnica
  42. 42. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesComponentes de um Vetor Quando um vetor R é expresso segundo a soma de dois vetores A e B, cada um dos vetores A e B são chamados de componentes de R, portanto, um vetor resultante pode ser decomposto em duas componentes a partir da aplicação da regra do paralelogramo. Um exemplo de decomposição vetorial pode ser observado na figura a seguir, onde, conhecendo-se as linhas de ação de cada componente, o vetor R pode ser decomposto formando os vetores A e B. Mecânica Técnica
  43. 43. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesForça Resultante r r F1 F2 r FR Mecânica Técnica
  44. 44. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesAdição de Forças Vetoriais Quando os problemas envolvem a adição de mais de duas forças, pode-se aplicar de modo sucessivo a regra do paralelogramo ou o triângulo de vetores de modo a se obter a força resultante. Um exemplo desse tipo de situação é mostrado na figura representada a seguir. Mecânica Técnica
  45. 45. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMétodo das Componentes Retangulares Assim, pode-se notar que quanto maior o número de forças envolvidas no sistema, maior é o tempo dispensado para encontrar a força resultante, pois se necessita da aplicação da regra do paralelogramo sucessivas vezes gerando um cansativo trabalho de geometria e trigonometria para se determinar o valor numérico da resultante do sistema e sua respectiva direção. Porém, este exaustivo processo é suprido de forma rápida através da aplicação de uma metodologia que utiliza uma soma algébrica das componentes de cada um dos vetores força que formam o sistema. Este método é denominado “método das componentes retangulares” e consiste em trabalhar apenas com as componentes dos vetores, formando desse modo um sistema de forças colineares projetados nos eixos de coordenadas do sistema de referência. Mecânica Técnica
  46. 46. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesDecomposição de Forças Convenção de Sinais. x – Positivo para a direita, negativo para a esquerda. y – Positivo para cima, negativo para baixo. r r No plano, utilizam-se os versores i e j . Mecânica Técnica
  47. 47. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesRedução a uma Única Força Resultante Decompor as forças nos eixos x e y. Utilizar trigonometria, decomposição em seno e cosseno. Vetores Cartesianos: r r r r r r r r r F1 = F1x i + F1 y j F2 = − F2 x i + F2 y j F3 = F3 x i − F3 y j Força Resultante: r r r r r r FR = ∑ F = F1 + F2 + F3 + ...... + Fn Soma Vetorial Mecânica Técnica
  48. 48. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMódulo e Direção da Força ResultanteMódulo da Força Resultante: Direção da Força Resultante: FRx = ∑ Fx  FRy  θ = arctg      FRx  FRy = ∑ Fy FR = FRx + FRy 2 2 Mecânica Técnica
  49. 49. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) O elo da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a intensidade e a orientação da força resultante. Mecânica Técnica
  50. 50. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1Decomposição das Forças: Força 1: r r r F1 = ( F1 ⋅ cos 30º i + F1 ⋅ sen30 º j ) r r r F1 = (600 ⋅ cos 30 º i + 600 ⋅ sen30 º j ) N Força 2: r r r F2 = ( − F2 ⋅ cos 45º i + F2 ⋅ sen 45º j ) r r r F2 = (−400 ⋅ cos 45º i + 400 ⋅ sen 45º j ) N Força Resultante: r r r r r FR = (600 ⋅ cos 30º i + 600 ⋅ sen30º j ) + (−400 ⋅ cos 45º i + 400 ⋅ sen 45º j ) r r r FR = (600 ⋅ cos 30 º −400 ⋅ cos 45º )i + (600 ⋅ sen30 º +400 ⋅ sen 45º ) j r r r FR = (236,8i + 582,8 j ) N Mecânica Técnica
  51. 51. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1Módulo da Força Resultante: FR = (236,8 2 + 582,8 2 FR = 629 N Direção da Força Resultante:  Fy  θ = arctg      Fx   582,8  θ = arctg    236,8  θ = 67,9° Mecânica Técnica
  52. 52. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) A extremidade da barra está submetida a três forças concorrentes e coplanares. Determine a intensidade e a orientação da força resultante. Mecânica Técnica
  53. 53. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2Decomposição das Forças: Força 3: r   4 r  3r F3 =  − F3 ⋅  i + F3 ⋅   j     5 5  r   4 r  3r F3 =  − 200 ⋅  i + 200 ⋅   j    Força 1:  5 5  r r r r r F1 = (−400i ) N F3 = (−160i + 120 j ) N Força 2: r r r F2 = ( F2 ⋅ sen 45º i + F2 ⋅ cos 45º j ) r r r F2 = (250 ⋅ sen 45º i + 250 ⋅ cos 45º j ) N Mecânica Técnica
  54. 54. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2Força Resultante: r r r r r rFR = ( −400i ) + ( 250 ⋅ sen 45º i + 250 ⋅ cos 45º j ) + ( −160i + 120 j )r r rFR = ( −400 + 250 ⋅ sen 45º −160)i + (250 ⋅ cos 45º +120) jr r rFR = ( −383,2i + 296,8 j ) N FR yMódulo da Força Resultante: 296,8N θ xFR = (383,2 + 296,8 2 2 FR = 485N 383,2NDireção da Força Resultante:  Fy   296,8 θ = arctg     θ = arctg   θ = 37,8°  Fx   383,2  Mecânica Técnica
  55. 55. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) Três forças atuam sobre o suporte mostrado. Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 1kN. Mecânica Técnica
  56. 56. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Técnica
  57. 57. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) O gancho da figura está submetido as forças F1 e F2, determine a intensidade e a orientação da força resultante. Mecânica Técnica
  58. 58. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) Determine o ângulo θ e a intensidade de FB de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 1500N. Mecânica Técnica
  59. 59. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) Determine o ângulo θ e a intensidade de F1 de modo que a resultante das forças seja orientada ao longo do eixo x’ positivo e tenha intensidade de 600N. Mecânica Técnica
  60. 60. Aula 3 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Operações com Vetores Cartesianos. Vetor Unitário. Ângulos Diretores Coordenados Mecânica Técnica
  61. 61. Mecânica TécnicaAula 4 – Adição e Subtração de Vetores Cartesianos Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  62. 62. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Operações com Vetores Cartesianos. Vetor Unitário. Ângulos Diretores Coordenados. Mecânica Técnica
  63. 63. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesComponentes retangulares de um vetor Um vetor A pode ter um, dois ou três componentes ao longo dos eixos de coordenadas x, y e z. A quantidade de componentes depende de como o vetor está orientado em relação a esses eixos. Sistema de coordenadas utilizando a regra da mão direita. Mecânica Técnica
  64. 64. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesVetor UnitárioA direção de A é especificada usando-seum vetor unitário, que possui esse nomepor ter intensidade igual a 1.Em três dimensões, r o conjunto de r rvetores unitários i , j , k é usado paradesignar as direções dos eixos x, y e zrespectivamente. Para um vetor A: Para um vetor Força: r r r A r F uA = uF = A F Mecânica Técnica
  65. 65. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesRepresentação de um Vetor Cartesiano Um vetor cartesiano é escrito sob a forma de suas componentes retangulares. As componentes representam a projeção do vetor em relação aos eixos de referência. Quando se escreve um vetor na forma cartesiana suas componentes ficam separadas Vetor cartesiano: em cada um dos eixos e facilita r r r r A = Ax i + Ay j + Az k a solução da álgebra vetorial. Módulo do vetor cartesiano: A = Ax + Ay + Az 2 2 2 Mecânica Técnica
  66. 66. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesÂngulos Diretores Coordenados A orientação de um vetor no espaço é definida pelos ângulos diretores coordenados α, β, e γ medidos entre a origem do vetor e os eixos positivos x, y e z. r A cos α = x A r Ay cos β = A r A cos γ = z A Mecânica Técnica
  67. 67. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesDeterminação dos ÂngulosDiretores Coordenados r r A A r Ay r Az r uA = = x i + j+ k A A A A r r r r u A = cos α i + cos β j + cos γ k cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Mecânica Técnica
  68. 68. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSistemas de Forças Concorrentes Se o conceito de soma vetorial for aplicado em um sistema de várias forças concorrentes, a força resultante será a soma de todas as forças do sistema e pode ser escrita da seguinte forma: r r r r r FR = ∑ F = ∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k Mecânica Técnica
  69. 69. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. N N Mecânica Técnica
  70. 70. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1 Vetor força resultante: r r r r N FR = ∑ F = F1 + F2r r r r r rFR = (50i − 100 j + 100 k ) + (60 j + 80k ) r r r r FR = (50i − 40 j + 180k ) N Módulo da força resultante: FR = 50 2 + 40 2 + 180 2 FR = 191N Mecânica Técnica
  71. 71. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1Vetor unitário da força resultante: r r FRyr FR FRx r FRy r FRz r cos β =u FR = = i+ j+ k FR FR FR FR FR cos β = −0,209 r 50 r 40 r 180 r u FR = i− j+ k 191 191 191 β = arccos(−0,209) β = 102° r r r r u FR = 0,261i − 0,209 j + 0,942k r Ângulos diretores: F cos γ = Rz r FR F cos α = 0,261cos α = Rx FR cos γ = 0,942α = arccos(0,261) α = 74,8° γ = arccos(0,942) γ = 19,6° Mecânica Técnica
  72. 72. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Técnica
  73. 73. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2 Força Resultante: Determinação de F2: r r r r r FR = 800 j N FR = F1 + F2 r r r r r 800 j = 212,2i + 150 j − 150k + F2 r r r r r F2 = 800 j − 212,2i − 150 j + 150 k r r r r Determinação de F1: F2 = −212,2i + 650 j + 150 k N r r r r F1 = F1 ⋅ cos α 1i + F1 ⋅ cos β1 j + F1 ⋅ cos γ 1kr r r rF1 = 300 ⋅ cos 45°i + 300 ⋅ cos 60° j + 300 ⋅ cos 120°k Módulo de F2: r r r r F1 = 212,2i + 150 j − 150 k N F2 = 212,2 2 + 650 2 + 150 2 F2 = 700 N Mecânica Técnica
  74. 74. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2Ângulos Diretores de F2:  F2 z  γ 2 = arccos     F2   F2 x  α 2 = arccos     150   F2  γ 2 = arccos   700   − 212,2  γ 2 = 77,6° α 2 = arccos   700  α 2 = 108°  F2 y  β 2 = arccos     F2   650  β 2 = arccos   700  β 2 = 21,8° Mecânica Técnica
  75. 75. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) Expresse a força F como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica
  76. 76. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) A peça montada no torno está sujeita a uma força de 60N. Determine o ângulo de direção β e expresse a força como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica
  77. 77. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e γ1 de F1, de modo que a força resultante r r que atua sobre o mastro seja FR = (350i ) N Mecânica Técnica
  78. 78. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) Os cabos presos ao olhal estão submetidos as três forças mostradas. Expresse cada força na forma vetorial cartesiana e determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante. Mecânica Técnica
  79. 79. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) O suporte está sujeito as duas forças mostradas. Expresse cada força como um vetor cartesiano e depois determine a força resultante, a intensidade e os ângulos coordenados diretores dessa força. Mecânica Técnica
  80. 80. Aula 4 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Vetores Posição. Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecânica. Mecânica Técnica
  81. 81. Mecânica Técnica Aula 5 – Vetor Posição,Aplicações do Produto Escalar Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  82. 82. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Vetores Posição. Vetor Força Orientado ao Longo de uma Reta. Produto Escalar Aplicado na Mecânica. Mecânica Técnica
  83. 83. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesVetores Posição O vetor posição é definido como um vetor fixo que localiza um ponto do espaço em relação a outro. O vetor posição pode ser escrito na forma cartesiana. r r r r r = xi + yj + zk Mecânica Técnica
  84. 84. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesVetor Posição entre Dois Pontos A e BFora da Origem O vetor posição é calculado a partir da subtração das coordenadas x, y, z das extremidades dos vetores em análise. O vetor posição indica o comprimento real ou a distância entre dois pontos no espaço. r r r rAB = rB − rA r r r r rAB = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A )k Mecânica Técnica
  85. 85. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesAplicações do Vetor Posição Mecânica Técnica
  86. 86. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesVetor Força Orientado ao Longo deuma Reta Pode-se definir uma força como um vetor cartesiano pressupondo que ele tenha a mesma direção e sentido que o vetor posição orientado do ponto A para o ponto B na corda. r r r r  F = F ⋅u = F ⋅  r Mecânica Técnica
  87. 87. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) a corda mostrada na figura está presa aos pontos A e B, determine seu comprimento e sua direção, medidos de A para B. Mecânica Técnica
  88. 88. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1Vetor Posição AB: Vetor Unitário AB: r r rABA (1, 0, − 3) m u AB = rABB (−2, 2, 3) m r r r r − 3i + 2 j + 6kr r r r u AB =rAB = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A )k 7r r r r r r rrAB = ( −2 − 1)i + ( 2 − 0) j + (3 − ( −3)) k r − 3i + 2 j + 6k u AB =r r r r 7rAB = ( −3i + 2 j + 6k ) m r r r r u AB = −0,428i + 0,285 j + 0,857 kMódulo do Vetor Posição:rAB = 3 2 + 2 2 + 6 2rAB = 7 m Mecânica Técnica
  89. 89. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1Ângulos Diretores: r r r  rABx   rABy   rABz α = arccos  β = arccos  γ = arccos r   r  r   AB   AB   AB   −3 2 6α = arccos  β = arccos  γ = arccos   7  7 7α = 115° β = 73,4° γ = 31° Mecânica Técnica
  90. 90. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) A placa circular é parcialmente suportada pelo cabo AB. Sabe-se que a força no cabo em A é igual a 500N, expresse essa força como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica
  91. 91. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2 Vetor Posição AB: Vetor Unitário AB: rA (0, 0, 2) m r r u AB = AB rABB 1,707; 0,707; 0) m r r rr r r r r 1,707i + 0,707 j − 2k u AB =rAB = ( x B − x A )i + ( y B − y A ) j + ( z B − z A ) k 2,723r r r r r r r rrAB = (1,707 − 0)i + (0,707 − 0) j + (0 − 2)k u AB = 0,626i + 0,259 j − 0,734 kr r r rrAB = (1,707 i + 0,707 j − 2k )m Vetor Força: r r F = F ⋅ u AB Módulo do Vetor Posição: r r r r F = 500 ⋅ (0,626i + 0,259 j − 0,734 k )rAB = 1,707 2 + 0,707 2 + 2 2 r r r r F = (31,3i + 130 j − 367 k ) NrAB = 2,723m Mecânica Técnica
  92. 92. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesProduto Escalar Em determinados problemas de estática é necessário se determinar o ângulo formado entre duas retas ou então os componentes paralelo e perpendicular de uma força em relação a um eixo. Principalmente em problemas tridimensionais, a solução por trigonometria torna-se complicada, dessa forma uma maneira rápida de se obter o resultado desejado é a partir da álgebra vetorial. O método que pose ser utilizado é o produto escalar entre dois vetores. Mecânica Técnica
  93. 93. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesFormulação do Produto Escalar O produto escalar de dois vetores fornece como resultado um escalar e não um vetor e é definido conforme a equação mostrada a seguir. r r r r r r A • B = A ⋅ B ⋅ cosθ i •i =1 i • j =0 r r r r j • j =1 k• j =0 r r r r k •k =1 i •k = 0 Ângulo entre dois Vetores: r r  A• B  θ = arccos   A⋅ B    Mecânica Técnica
  94. 94. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesComponentes Paralelo e Perpendicularde um Vetor r r A// = A ⋅ cosθ = A • u A⊥ = A 2 − A// 2 Mecânica Técnica
  95. 95. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 3 3) A estrutura mostrada na figura está submetida a uma força horizontal. Determine a intensidade dos componentes dessa força paralela e perpendicular ao elemento AB. Mecânica Técnica
  96. 96. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 3 Força Paralela a Barra AB: r r F// AB = F ⋅ cosθ = F • u AB Cálculo do Vetor Unitário AB: r r rAB u AB = rAB Vetor Posição AB: r r r r rAB = 2i + 6 j + 3k m Módulo do Posição AB: rAB = 2 2 + 6 2 + 3 2 rAB = 7 m Mecânica Técnica
  97. 97. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 3 Cálculo do Vetor Unitário AB: Vetor Força Paralela a Barra AB: r r r r v r r rAB r 2i + 6 j + 3k F// AB = F// AB ⋅ u AB u AB = u AB = v r r r rAB 7 F// AB = 257,1 ⋅ (0,286i + 0,857 j + 0,429k ) r r r v r r r r F// AB = (73,5i + 220 j + 110k ) N u AB = 0,286i + 0,857 j + 0,429 k Força Paralela a Barra AB: Força Perpendicular a Barra AB: v r v r r F⊥ AB = F − F// ABF// AB = F ⋅ cosθ = F • u AB v r r r r r r r r F⊥ AB = (300 j ) − (73,5i + 220 j + 110 k )F// AB = (300 j ) • (0,286i + 0,857 j + 0,429k ) v r r r F⊥ AB = (−73,5i + 80 j − 110 k ) NF// AB = (0 ⋅ 0,286) + (300 ⋅ 0,857) + (0 ⋅ 0,429) Em Módulo:F// AB = 257,1N 2 F⊥ AB = F 2 + F// AB F⊥ AB = 300 2 + 257,12 F⊥ AB = 155 N Mecânica Técnica
  98. 98. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) A cobertura é suportada por cabos como mostrado. Determine a intensidade da força resultante que atua em A. Mecânica Técnica
  99. 99. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) Determine o comprimento do elemento AB da treliça. Mecânica Técnica
  100. 100. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) Determine o comprimento do elemento AB da biela do motor mostrado. Mecânica Técnica
  101. 101. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) Determine os comprimentos dos arames AD, BD e CD. O anel D está no centro entre A e B. Mecânica Técnica
  102. 102. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o ponto A. Mecânica Técnica
  103. 103. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 6) A porta é mantida aberta por meio de duas correntes. Se a tensão em AB e CD for FAB = 300N e FCD = 250N, expresse cada uma dessas forças como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica
  104. 104. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 7) Os cabos de tração são usados para suportar o poste de telefone. Represente a força em cada cabo como um vetor cartesiano. Mecânica Técnica
  105. 105. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 8) A torre é mantida reta pelos três cabos. Se a força em cada cabo que atua sobre a torre for aquela mostrada na figura, determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante. Considere x = 20m e y = 15m. Mecânica Técnica
  106. 106. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 9) Determine os componentes de F paralelo e perpendicular a barra AC. O ponto B está no ponto médio de AC. Mecânica Técnica
  107. 107. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 10) Determine o ângulo θ mostrado na figura a seguir. Mecânica Técnica
  108. 108. Aula 5 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Equilíbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equações de Equilíbrio. Equilíbrio de Sistemas Bidimensionais. Mecânica Técnica
  109. 109. Mecânica TécnicaAula 6 – Equilíbrio do PontoMaterial em Duas Dimensões Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  110. 110. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Equilíbrio do Ponto Material. Diagrama de Corpo Livre. Equações de Equilíbrio. Equilíbrio de Sistemas Bidimensionais. Mecânica Técnica
  111. 111. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesCondição de Equilíbrio do Ponto Material Um ponto material encontra-se em equilíbrio estático desde que esteja em repouso ou então possua velocidade constante. Para que essa condição ocorra, a soma de todas as forças que atuam sobre o ponto material deve ser nula, portanto: ∑F = 0 Mecânica Técnica
  112. 112. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesDiagrama de Corpo Livre O diagrama de corpo livre representa um esboço do ponto material que mostra todas as forças que atuam sobre ele. Mecânica Técnica
  113. 113. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExemplo de Diagrama de Corpo Livre Esfera Corda CE Nó C Mecânica Técnica
  114. 114. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesMolas Quando se utilizar uma mola elástica, o comprimento da mola variará em proporção direta com a força que atua sobre ela. A equação da força atuante na mola é apresentada a seguir. F = k ⋅s K = Constante elástica da mola. S = Deformação da mola. Mecânica Técnica
  115. 115. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesCabos e Polias Cabos suportam apenas uma força de tração que atuam na direção do mesmo. Mecânica Técnica
  116. 116. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesEquações de Equilíbrio Se um ponto material estiver submetido a um sistema de vária forças coplanares e colineares, cada força poderá ser decomposta em componentes x e y e para a condição de equilíbrio é necessário que as seguintes condições sejam atendidas. ∑F x =0 ∑F y =0 Mecânica Técnica
  117. 117. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) Determine a tensão nos cabos AB e AD para o equilíbrio do motor de 250kg mostrado na figura. Mecânica Técnica
  118. 118. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1 Diagrama de corpo livre: Peso do motor: P = m⋅g P = 250 ⋅ 9,81 P = 2452 N Equações de equilíbrio: ∑F x =0 TB ⋅ cos 30º −TD = 0 (I) ∑F y =0 TB ⋅ sen30º − P = 0 (II) Resolvendo a equação II: 2452 TB ⋅ sen30º −2452 = 0 TB = sen30º TB = 4904N Substituindo em I: 4904 ⋅ cos 30º −TD = 0 TD = 4904 ⋅ cos 30º TD = 4247N Mecânica Técnica
  119. 119. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) Determine o comprimento da corda AC da figura, de modo que a luminária de 8kg seja suspensa na posição mostrada. O comprimento não deformado da mola é l’AB = 0,4m e a mola tem rigidez kAB = 300N/m. Mecânica Técnica
  120. 120. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2 Diagrama de corpo livre: Peso da luminária: P = m⋅g P = 8 ⋅ 9,81 P = 78,5 N Equações de equilíbrio: ∑F x =0 T AB − T Ac ⋅ cos 30º = 0 (I) ∑F y =0 T AC ⋅ sen30º − P = 0 (II) Resolvendo a equação II: 78,5 T AC ⋅ sen30º −78,5 = 0 T AC = sen30º T AC = 157 N Substituindo em I: T AB − 157 ⋅ cos 30º = 0 TAB = 157 ⋅ cos 30º T AB = 136N Mecânica Técnica
  121. 121. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 2 Alongamento da mola: Comprimento deformado da mola: l AB = l AB + s AB l AB = 0,4 + 0,453 l AB = 0,853 m TAB = k AB ⋅ s AB Comprimento do cabo AC: 136 = 300 ⋅ s AB 2 = l AC ⋅ cos 30º +l AB 2 = l AC ⋅ cos 30º +0,853 136 s AB = 2 − 0,853 300 l AC = cos 30 º s AB = 0,453 m l AC = 1,32 m Mecânica Técnica
  122. 122. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) Determine o ângulo θ e a intensidade de F de modo que o ponto material esteja em equilíbrio estático. Mecânica Técnica
  123. 123. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suportar o semáforo de 12kg. Mecânica Técnica
  124. 124. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) Determine a deformação que cada mola deve ter para equilibrar o bloco de 2kg. As molas encontram-se em posição de equilíbrio. Mecânica Técnica
  125. 125. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) A mola ABC da figura tem rigidez de 500N/m e comprimento sem deformação de 6m. Determine a força horizontal F aplicada a corda que está presa ao anel B de modo que o deslocamento do anel em relação a parede seja d=1,5m. Mecânica Técnica
  126. 126. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) Determine as forças necessárias nos cabos AB e AC da figura para manter a esfera D de 20kg em equilíbrio. Dados: F = 300N e d = 1m. Mecânica Técnica
  127. 127. Aula 6 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Equilíbrio do Ponto Material de Sistemas Tridimensionais. Diagrama de Corpo Livre de Sistemas Tridimensionais. Equações de Equilíbrio de Sistemas Tridimensionais. Mecânica Técnica
  128. 128. Mecânica TécnicaAula 7 – Equilíbrio do PontoMaterial em Três Dimensões Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  129. 129. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Equilíbrio do Ponto Material de Sistemas Tridimensionais. Diagrama de Corpo Livre de Sistemas Tridimensionais. Equações de Equilíbrio de Sistemas Tridimensionais. Mecânica Técnica
  130. 130. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesFormulação Matemática para oEquilíbrio em Três DimensõesPara o Equilíbrio é necessário que: r ∑ F =0 r r r ∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k = 0 ∑F x =0 ∑F y =0 ∑F z =0A solução é obtida por um sistemade três equações e três incógnitas Mecânica Técnica
  131. 131. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 1 1) Determine a intensidade e os ângulos diretores da força F necessários para o equilíbrio do ponto O. Mecânica Técnica
  132. 132. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1 Vetor unitário e Vetor posição: r r rOB u OB = rOB r r r r rOB = −2i − 3 j + 6k m rOB = 2 2 + 3 2 + 6 2 rOB = 7 m r r r r − 2i − 3 j + 6 kDeterminação das forças: u OB = 7 r r r r r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k N u OB = −0,286i − 0,429 j + 0,857k v r F1 = (400 j ) N v r v F2 = (−800 k ) N r F3 = F3 ⋅ u OB v r v r r r F3 = F3 ⋅ u OB F3 = 700 ⋅ (−0,286i − 0,429 j + 0,857k ) v r r r F3 = (−200i − 300 j + 600k ) N Mecânica Técnica
  133. 133. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 1Condição de equilíbrio: Vetor força F: r r r r∑F = 0 F = (200i − 100 j + 200k )Nr r r rF1 + F2 + F3 + F = 0 r r r r r r r r400 j − 800k − 200i − 300 j + 600k + Fx i + Fy j + Fz k = 0 Módulo de F: F = 200 2 + 100 2 + 200 2Sistema de equações: F = 300 N∑ Fx = 0 − 200 + Fx = 0 Fx = 200 N∑F y =0 400 − 300 + Fy = 0 Fy = −100 N∑F z =0 − 800 + 600 + Fz = 0 Fz = 200 N Mecânica Técnica
  134. 134. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesSolução do Exercício 1 Ângulos diretores de F:  200  r α = arccos  α = 48,2° r F  300  uF = F  − 100  r β = arccos  β = 109° r r  300 r 200i − 100 j + 200kuF = 300  200  γ = 48,2° γ = arccos   300 r  200  r  100  r  200  ruF =  i −  j + k  300   300   300  Mecânica Técnica
  135. 135. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercício 2 2) A caixa de 100kg mostrada na figura é suportada por três cordas, uma delas é acoplada na mola mostrada. Determine a força nas cordas AC e AD e a deformação da mola. Mecânica Técnica
  136. 136. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2Determinação das forças: Vetor unitário e Vetor posição: v r r FB = ( FB i ) N r rAD u AD = v r r r rAD FC = ( FC ⋅ cos120°i + FC ⋅ cos135° j + FC ⋅ cos 60k ) r r r r v r r r rAD = −1i + 2 j + 2k m FC = (−0,5 ⋅ FC i − 0,707 ⋅ FC j + 0,5 ⋅ FC k ) N r r rAD = 12 + 2 2 + 2 2 W = ( −981k ) N v r FD = FD ⋅ u AD rAD = 3 m r r r r − 1i + 2 j + 2k u AD = 3 r r r r u AD = −0,333i + 0,667 j + 0,667 k v r FD = FD ⋅ u AD v r r r FD = FD ⋅ ( −0,333i + 0,667 j + 0,667 k ) v r r r FD = ( −0,333 ⋅ FD i + 0,667 ⋅ FD j + 0,667 ⋅ FD k ) N Mecânica Técnica
  137. 137. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2Condição de equilíbrio: r ∑F = 0 r r r r FB + FC + FD + W = 0 r r r r r r r r FB i − 0,5 ⋅ FC i − 0,707 ⋅ FC j + 0,5 ⋅ FC k − 0,333 ⋅ FD i + 0,667 ⋅ FD j + 0,667 ⋅ FD k − 981k = 0Sistema de equações:∑F x =0 FB − 0,5 ⋅ FC − 0,333 ⋅ FD = 0 (I)∑F y =0 − 0,707 ⋅ FC + 0,667 ⋅ FD = 0 (II)∑F z =0 0,5 ⋅ FC + 0,667 ⋅ FD − 981 = 0 (III) Mecânica Técnica
  138. 138. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Solução do Exercício 2Solução das equações: Em (IV):De (II): FD = 1,059 ⋅ 813 FD = 862N 0,707 ⋅ FCFD = FD = 1,059 ⋅ FC (IV): Em (I): 0,667 FB − 0,5 ⋅ 813 − 0,333 ⋅ 862 = 0Substituindo (IV) em (III): FB = 406,5 + 287,040,5 ⋅ FC + (0,667 ⋅ (1,059 ⋅ FC )) − 981 = 0 FB = 693,7 N0,5 ⋅ FC + 0,706 ⋅ FC − 981 = 0 Deformação da mola:1,207 ⋅ FC − 981 = 0 FB = k ⋅ s 981 FC = 693,7 = 1500 ⋅ s 1,207 693,7 FC = 813N s= 1500 s = 0,462 m Mecânica Técnica
  139. 139. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 1) Determine a intensidade e o sentido de F1 necessários para manter o sistema de forças concorrentes em equilíbrio. Mecânica Técnica
  140. 140. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 2) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de equilíbrio do ponto material. Mecânica Técnica
  141. 141. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 3) Determine as intensidades de F1, F2 e F3 para a condição de equilíbrio do ponto material. Mecânica Técnica
  142. 142. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 4) Determine a intensidade e o sentido de P necessários para manter o sistema de forças concorrentes em equilíbrio. Mecânica Técnica
  143. 143. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesExercícios Propostos 5) Os três cabos são usados para suportar a luminária de 800N. Determine a força desenvolvida em cada cabo para a condição de equilíbrio. Mecânica Técnica
  144. 144. Aula 7 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesPróxima Aula Solução de Exercícios. Equilíbrio em Três Dimensões. Mecânica Técnica
  145. 145. Mecânica TécnicaAula 8 – Equilíbrio do PontoMaterial em Três Dimensões Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  146. 146. Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. RodriguesTópicos Abordados Nesta Aula Solução de Exercícios. Equilíbrio em Três Dimensões. Mecânica Técnica

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