Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Solusi Persamaan Laplace Dua Dimensi Untuk Metode Numerik

0 views

Published on

Persamaan laplace umumnya digunakan dalam menganalisis persebaran panas maupun potensial listrik dalam suatu bahan, dimana bentuk persamaan tersebut dapat diubah kedalam bentuk numeriknya melalui pendekatan numerik guna mempermudah perhitungan. Selain itu untuk mempercepat iterasi juga dapat digunakan metode SOR.

Published in: Education
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Solusi Persamaan Laplace Dua Dimensi Untuk Metode Numerik

  1. 1. 1 Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017 I. PENDAHULUAN ersamaan laplace umumnya sangat berguna dalam menentukan potensial listrik dalam sebuah konduktor, namun terkadang bentuk diffrensial matematisnya sukar untuk didekati, sehingga setiap nilainya pun terkadang memberikan gatat (error) yang besar. Untuk menghindari permasalahan tersebut maka jenis persamaan diffrensial laplace dapat didekati dengan perhitungan secara numerik, sehingga lebih mudah untuk dihitung. Dalam kahsus kali ini, kami akan menghitung nilai potensial listrik di tengah konduktor berarus, dengan tegangan sebesar 10 volt di setiap sisi ujung konduktor seperti tampak pada gambar 1.1 berikut. Gambar 1.1 : Illustrasi konduktor berarus listrik Nilai potensial yang didapatkan secara Numerik selanjutnya akan dibandingkan dengan nilai nya secara diffrensial untuk menguji keakuratan data yang didapatkan. II. METODE PERHITUNGAN Dalam menghitung nilai potensial secara diffrensial, maka dapat kita gunakan persamaan : ∇2 𝑉 = 𝜕2 𝑉 𝜕𝑥2 + 𝜕2 𝑉 𝜕𝑦2 = 0 Bentuk persamaan tersebut kemudian kita ubah kedalam bentuk numeriknya, dengan menggambarkan titik-titik interpretasi. Gambar 2.1 : titik-titik interpretasi turunan numerik Solusi Persamaan Laplace Dua Dimensi Untuk Metode Numerik Rian Affandi Program Studi Fisika Fakultas MIPA Universitas Mataram fandi.alfa.edision@gmail.com 6 Juli 2017 Abstrak Telah dilakukan analisispersamaan diffrensialparsialterhadap potensial listrik menggunakan metode laplace dan metode numerik. Persamaan lapalce merupakan salah satu bentuk persamaan diffrensial parsial yang salah satu kegunaannya adalah untuk menganalisis pergerakan muatan listrik dalam konduktor. Pendekatan persamaan laplace dapat dilakukan menggunakan metode numerik untuk mempermudah dalam melakukan perhitungan secara matematis.Dengan menerapkan metode SOR dalam iterasi, maka perhitungan dapat dilakukan lebih cepat, sedemikian hingga diperoleh bahwa potensial listrik di tengah plat konduktor berkisar pada nilai 10,68 volt hingga 9.95 volt. Kata kunci : persamaan lapalce, potensial listrik, metode numerik. P (1)
  2. 2. 2 Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017 Berdasarkan penggambaran 6.2, maka persamaan 1 dapat dituliskan kembali secara numerik melalui langkah berikut : Untuk nilai 𝜕𝑉/𝜕𝑥 = Vx dapat kita peroleh melalui metode turunan maju yaitu 𝑉(𝑖+1,𝑗) − 𝑉(𝑖,𝑗) ∆𝑥 Dimana nilai 𝜕𝑉/𝜕𝑥 = Vx dengan metode turunan mundur diberikan oleh persamaan: 𝑉(𝑖,𝑗) − 𝑉(𝑖−1,𝑗) ∆𝑥 Kemudian dengan melakukan oprasi pengurangan pada persamaan 2 dan 3 dan membagina dengan jarak (∆x = 0,5 cm) maka dapat kita tuliskan persamaan untuk turunan kedua dari 𝜕²𝑉/𝜕𝑥² = Vxx adalah : 𝑉(𝑖+1,𝑗) − 2𝑉(𝑖,𝑗) + 𝑉(𝑖−1,𝑗) ∆𝑥2 Berdasarkan persamaan 4 maka nilai untuk 𝜕²𝑉/𝜕𝑦² = Vyy dengan ∆y = ∆x = 0,1 cm dapat kita tuliskan dalam persamaan : 𝑉(𝑖,𝑗+1) − 2𝑉(𝑖,𝑗) + 𝑉(𝑖,𝑗−1) ∆𝑦2 Jika kita substitusikan persamaan 4 dan 5 kedalam persamaan 1 maka kita dapatkan bentuk ∇²V dalam bentuk numeriknya : Vxx + Vyy = 0 Dengan mengoprasikan setiap elemen pada persamaan 6 maka diperoleh solusi persamaan laplace (Vij) untuk metode numeriknya adalah : 𝑉(𝑖,𝑗+1) + 𝑉(𝑖,𝑗−1) + 𝑉(𝑖−1,𝑗) + 𝑉(𝑖+1,𝑗) 4 Untuk mempercepat konvergensi menuju nol digunakan metode relaksasi berlebih yang lebih dikenal sebagai metode SOR (Successive Over Relaxation), sehingga bentuk persamaan 7 dapat ditulis ulang menjadi bentuk persamaan iterasi yang baru seperti berikut: 𝑉(𝑖,𝑗) = 𝑉(𝑖,𝑗) + 𝜔𝑟(𝑖,𝑗) dengan 𝑟(𝑖,𝑗) adalah suku sisa (residual) yang mempunyai bentuk persamaan : 𝑉(𝑖+1,𝑗) + 𝑉(𝑖−1,𝑗) + 𝑉(𝑖,𝑗+1) + 𝑉(𝑖,𝑗−1) − 4𝑉(𝑖,𝑗) 4 Dan 𝜔 merupakan parameter konvergensi yang nilainya berkisar pada rentang 1 ≤ 𝜔 < 2 yang persamaanya adalah: 4 2 + √4 − [cos ( 𝜋 𝑛 − 1 ) + cos ( 𝜋 𝑚 − 1 )] 2 Dalam khasus ini untuk mempermudah perhitungan, maka kita berikan 𝜔 = 1. Untuk menguji persamaan 8 maka dilakukan perhitungan menggunakan Ms.excel dengan memberikan iterasi sebanyak 18 titik interpretasi sesuai dengan skema berikut : Gambar 2.2 : Illustrasi Solusi Persamaan Laplace Dalam Numerik III. HASIL DAN PEMBAHASAN Berdasarkan illustrasi pada gambar 2.2 maka nilai dari potensial listrik untuk setiap pergeseran x dan y menuju ke titik tengah plat konduktor dapat ditampilkan dalam tabel berikut : (2) (3) (4) (5) (6) (7) (9) (10) (8)
  3. 3. 3 Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017 Gambar 3.1 : Niliai Potensial listrik dalam konduktor Dengan algoritma untuk nilai V(i,j) pada kolom C4 dapat kita tuliskan sebagai “= C4+((B4+D4+C3+C5-4*C4)/4)”, dengan syarat batas B3 , J3, B11, dan J11 diberikan 10 volt dan V(i,j) dari i = 2 hingga i =8 adalah 0 volt, sedangkan untuk V(i,j) dari j = 2 hingga j =8 diberikan 20 volt, seperti tampak pada gambar 3.1. Dengan menggunakan bantuan excel maka grafiknya dapat kita tampilkan sebagai : Gambar 3.2 : Grafik potensial (tegangan listrik) pada plat konduktor Untuk pencitraan grafik dalam dua dimensi dilihat dari bagian atas maka dapat ditampilkan sebagai : Gambar 3.3 : Tampak atas grafik potensial pada plat konduktor Dengan menggunakan bantuan gnuplot, maka gambar 3.2 dan gambar 3.3 dapat digabungkan dalam satu grafik menjadi : Gambar 3.4 : Grafik tegangan listrik pada plat konduktor dengan gnuplot Berdasarkan Grafik tersebut, tampak bahwa potensial listrik cukup tinggi berada di sekitar sisi plat konduktor, sedangkan pada bagian pusat plat, potensial atau tegangan listriknya cukup rendah. IV. PENUTUP a. Kesimpulan i. Dengan menggunakan persamaan laplace secara numerik, maka diperoleh nila potensial di pusat plat sebesar 9,995 volt, dengan syarat awal nilai tegangan di setiap sudut plat konduktor sebesar 10 volt.
  4. 4. 4 Project Analisis Numerik. Kamis 6 juli 2017 ii. Untuk mempercepat iterasi dalam perhitungan maka digunakan metode SOR (Successive Over Relaxation). b. Saran Cobalah untuk menggunakan lebih dari satu aplikasi dalam pembuatan grafik, guna mengetahui serta membandingkan keakuratan data yang diperoleh. Dalam hal ini cobalah gunakan sofware standar seperti matlab atau oktav. REFERENSI Mathews,Jhon. 2000. Numerical Methods For Mathematic Science and Engginer. New York : Mc Grow Hill.

×