Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales

  1. 1. Integrantes: <ul><li>Eylin Calderón </li></ul><ul><li>Astrid Medina </li></ul><ul><li>David Torres </li></ul>
  2. 2. TEMA: <ul><li>“ EVOLUCIÓN DEL NÚMERO DE ESTUDIANTES DE LA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN” </li></ul>
  3. 3. JUSTIFICACIÓN: <ul><li>Con la finalidad de presentar un modelo matemático referente a la evolución del número de estudiantes de la Escuela de Ciencias de la Computación de la Modalidad Clásica y a Distancia, planteamos el tema del siguiente proyecto. En el cuál se intenta determinar, en base a datos anteriores, un modelo que permita conocer cual será el número de estudiantes en los años siguientes. </li></ul>
  4. 4. OBJETIVO ESPECIFICO: <ul><li>Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales; mediante el planteamiento y resolución de un modelo matemático, utilizando datos del número de estudiantes matriculados en ciclos anteriores, determinar la cantidad de estudiantes que podría tener la Escuela de Ciencias de la Computación en los años siguientes. </li></ul>
  5. 5. OBJETIVOS GENERALES: <ul><li>Analizar los modelos matemáticos, para encontrar el modelo que satisfaga las necesidades del presente proyecto. </li></ul><ul><li>Reconocer los datos que se utilizaran en el modelo matemático. </li></ul><ul><li>Determinar el número de estudiantes que podría tener la Escuela de Ciencias de la Computación en los años siguientes tanto en la modalidad clásica como a distancia. </li></ul><ul><li>Mostrar el crecimiento o decrecimiento de la población de estudiantes de la escuela de ciencias de la computación, mediante graficas. </li></ul>
  6. 6. PROBLEMA: Un total de 2261 alumnos se han matriculado desde el año 2006 en la Modalidad Clásica y 4664, en la Modalidad a Distancia de la Escuela De Ciencias De La Computación de la Universidad Técnica Particular de Loja. Se supone que la rapidez a la que crece la población de estudiantes en cierto tiempo es proporcional a la población total de estudiantes en ese momento. Se debe determinar la cantidad de estudiantes para los años posteriores.
  7. 7. RECOLECCIÓN DE DATOS: Tabla 1. (Estudiantes Modalidad Clásica) 2261 TOTAL DE MATRICULADOS MODALIDAD CLASICA 334 Abr/2009 - Ago/2009 Clásica 699 365 Oct/2008 - Feb/2009 Clásica 325 Abr/2008 - Ago/2008 Clásica 665 340 Oct/2007 - Feb/2008 Clásica 317 Abr/2007 - Ago/2007 Clásica 579 262 Oct/2006 - Feb/2007 Clásica MATRICULADOS PERIODOS MODALIDAD
  8. 8. RECOLECCIÓN DE DATOS: Tabla 2 (Estudiantes Modalidad a Distancia) 4664 TOTAL DE MATRICULADOS MODALIDAD ABIERTA 745 Abr/2009 - Ago/2009 Abierta 1492 747 Oct/2008 - Feb/2009 Abierta 639 Abr/2008 - Ago/2008 Abierta 1262 623 Oct/2007 - Feb/2008 Abierta 529 Abr/2007 - Ago/2007 Abierta 1061 532 Oct/2006 - Feb/2007 Abierta MATRICULADOS PERIODOS MODALIDAD
  9. 9. LEVANTAMIENTO DE DATOS: <ul><li>Los datos que se han recolectado a cerca de los estudiantes de la ECC tanto en modalidad clásica y a distancia son: </li></ul><ul><li>Tiempo (Ciclos de estudio) </li></ul><ul><li>Total de estudiantes matriculados (Cada Ciclo) </li></ul><ul><li>Una población inicial, que seria el primer valor que se registra en la Tabla 1 en la modalidad clásica y en la Tabla 2 en la modalidad a distancia. </li></ul>
  10. 10. PLANTEAMIENTO DEL MODELO: Se utilizará el modelo matemático de Crecimiento Poblacional, realizado por el economista Thomas Malthus, en 1978. El modelo de Crecimiento Poblacional o Maltusiano, menciona que la rapidez a la que crece la población en un cierto tiempo, es proporcional a la población total en ese momento, es decir, mientras mas personas existan en un tiempo (t), más personas existirán en un futuro.
  11. 11. Expresando en símbolos matemáticos tendríamos que: De donde: P: Población T: tiempo K: constante de proporcionalidad.
  12. 12. El modelo es una ecuación diferencial, primero se resolverá dicha ED por el método el resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden para luego poder utilizar el modelo. Modelo a aplicar. Se multiplica en equis Se deja a un lado de la ecuación las P (Población) Se integra cada lado de la ecuación, para de esta forma poder eliminar las derivadas. Se aplica las reglas y formulas de integración Se aplica la inversa del logaritmo natural, que es e Se simplifica Se reemplaza la constante (C), por la población inicial (Po)
  13. 13. Esta será la ecuación en la que se reemplazaran los datos, para poder determinar el crecimiento de decrecimiento de la población. De donde: Po: Población inicial e: Constante k: constante de proporcionalidad. t: El tiempo con el cual se va ha hacer la aproximación.
  14. 14. Para desarrollar este modelo, empezaremos por identificar el tiempo el estándar de este será de un año. Para determinar la constante de proporcionalidad ( k ) se van a reemplazar en la ecuación todos los valores que se posea, es decir la población inicial, la población final, y el tiempo. Seguidamente se aplica la función inversa de e, Ln, para que de esta forma poder despejar la constante de proporcionalidad. Una vez obtenida la constante de proporcionalidad se vuelve a aplicar la misma ecuación, reemplazando los valores de la constante de proporcionalidad, tiempo y la población inicial, para de esta forma encontrar el valor de una población en un tiempo determinado.
  15. 15. APLICACIÓN DEL PROBLEMA: Con los datos recolectados y la fórmula obtenida se determinará lo siguiente: Valor de la constante de proporcionalidad Aplicamos la función contraria a e, que es el logaritmo natural, para poder eliminar el número de euler. Despejamos las variables Se reemplaza las variables con los datos recolectados. El tiempo será de un año, ya que en el primer año existe una población inicial de 579 estudiantes.
  16. 16. Una vez obtenida la constate de proporcionalidad se reemplaza en la misma fórmula. Población estimada para el periodo de estudio indicado. (Anual) (Ciclos) Se reemplaza las variables con los valores correspondientes. El tiempo en el que se va ha realizar la proyección es en un año.
  17. 17. Con los datos recolectados y la fórmula obtenida se determinará lo siguiente: Valor de la constante de proporcionalidad Aplicamos la función contraria a e, que es el logaritmo natural, para poder eliminar el número de euler Despejamos las variables Se reemplaza las variables con los datos recolectados. El tiempo será de un año, ya que en el primer año existe una población inicial de 1061 estudiantes
  18. 18. Una vez obtenida la constate de proporcionalidad se reemplaza en la misma fórmula. Esta sería la población estimada para el periodo de estudio indicado. (Anual) (Ciclos) Se reemplaza las variables con los valores correspondientes. El tiempo en el que se va ha realizar la proyección es en un año
  19. 19. AUTOMATIZACIÓN DEL MODELO: Utilización del software Mathematica, versión 5.2. Gráfica 1. (Modalidad Clásica)
  20. 20. Gráfica 2 (Modalidad Abierta)
  21. 21. Gráfica 3 (Modalidad Clásica-Modalidad Abierta)
  22. 22. PREDICCIÓN DEL MODELO: <ul><li>El modelo matemático nos muestra, que en base a los datos recolectados de la Modalidad Clásica, se estima que en el próximo año en la escuela de ciencias de la computación, se podría contar con 333 alumnos. </li></ul><ul><li>Respecto a la Modalidad Abierta, según los datos recolectados y al modelo matemático aplicado, en el siguiente año, la escuela de Ciencias de la Computación podría tener una población de 746 estudiantes. </li></ul><ul><li>Se puede observar gran diferencia de las poblaciones en ambas modalidades, tanto en los datos existentes como en las proyecciones realizadas con el modelo. </li></ul>
  23. 23. CONCLUSIONES: <ul><li>Los modelos matemáticos nos ayudan a predecir situaciones de la vida diaria, con la utilización de datos actuales reales. </li></ul><ul><li>Para reconocer que modelo utilizar para cada situación es necesario saber qué datos se tiene y que necesidades tiene el problema. </li></ul><ul><li>La utilización de herramientas para graficar nos ayuda a tener una vista más completa de los resultados obtenidos y la variación de los mismos. </li></ul>
  24. 24. CONCLUSIONES: <ul><li>El modelo matemático de Crecimiento Poblacional, no nos da resultados muy exactos, ya que la población de estudiantes puede sufrir cambios de crecimiento o decrecimiento de un año a otro. </li></ul><ul><li>Se analizó otros modelos como el Modelo de Crecimiento Logístico, el cual no pudo ser aplicado, porque en este modelo se debe mantener un número fijo de individuos en una población, lo cual no se presenta en el caso de los estudiantes de una escuela. </li></ul>
  25. 25. BIBLIOGRAFÍA: <ul><li>Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill </li></ul><ul><li>http :// www.chachis.net / ediferenciales / dinamica -poblacional/ </li></ul><ul><li>http :// www.scribd.com / doc /19221870/ECUACIONES-DIFERENCIALES-CRECIMIENTO-Y-DECAIMIENTO-LEY-DE-MALTHUS </li></ul>

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