Ecuaciones Diferenciales

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Proyecto de Ecuaciones Diferenciales 2009

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  • sabesn como hacer una sola ecuacion pero no solo de crecimiento sino que tambien revele el egreso por año? cuantos profesionales salen si por año los alumnos que son profesionales es un 20% de la poblacion inicial??? gracias espero su respuesta
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  • esta muy bueno el video, es claro y conciso
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Ecuaciones Diferenciales

  1. 2. TEMA: <ul><li>“ EVOLUCIÓN DEL NÚMERO DE ESTUDIANTES DE LA ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN” </li></ul>
  2. 3. JUSTIFICACIÓN: <ul><li>Con la finalidad de presentar un modelo matemático referente a la evolución del número de estudiantes de la Escuela de Ciencias de la Computación, planteamos el tema del siguiente proyecto. En el cuál se intenta determinar, en base a datos anteriores, un modelo que permita conocer cuál será el número de estudiantes en los dos ciclos siguientes </li></ul>
  3. 4. OBJETIVO ESPECIFICO: <ul><li>Aplicar los conocimientos adquiridos en la asignatura de Ecuaciones Diferenciales; mediante el planteamiento y resolución de un modelo matemático . </li></ul>
  4. 5. OBJETIVOS GENERALES: <ul><li>Analizar los modelos matemáticos, para encontrar el modelo que satisfaga las necesidades del presente proyecto. </li></ul><ul><li>Reconocer los datos que se utilizaran en el modelo matemático. </li></ul><ul><li>Determinar el número de estudiantes que podría tener la Escuela de Ciencias de la Computación en los años siguientes. </li></ul><ul><li>Mostrar el crecimiento o decrecimiento de la población de estudiantes de la escuela de ciencias de la computación mediante una gráfica. </li></ul>
  5. 6. PROBLEMA: Un total de 3717 alumnos se han matriculado desde el periodo Abr/2005 - Ago/2005 al Oct/2009 - Feb/2010, y en el presente periodo (Oct/2009 - Feb/2010) están matriculados 318 alumnos, en la modalidad clásica de la Escuela de Ciencias De La Computación de la UTPL. Se supone que la rapidez a la que crece la población de estudiantes en cierto tiempo es proporcional a la población total de estudiantes en ese momento. Se determinará la cantidad de estudiantes para el siguiente periodo Abr/2010 - Ago/2010.
  6. 7. RECOLECCIÓN DE DATOS: MODALIDAD PERIODOS MATRICULADOS Clasica Abr/2005 - Ago/2005 638 Clasica Abr/2006 - Ago/2006 540 Clasica Abr/2007 - Ago/2007 317 Clasica Abr/2008 - Ago/2008 325 Clasica Abr/2009 - Ago/2009 334 Clasica Oct/2005 - Feb/2006 232 Clasica Oct/2006 - Feb/2007 262 Clasica Oct/2007 - Feb/2008 340 Clasica Oct/2008 - Feb/2009 365 Clasica Oct/2009 - Feb/2010 318 TOTAL DE MATRICULADOS MODALIDAD CLASICA 3717
  7. 8. LEVANTAMIENTO DE DATOS: Los datos recolectados de los estudiantes de la ECC son: Tiempo (Ciclos de estudio) Total de estudiantes matriculados (Cada Ciclo) Una población inicial, que serian los totales de alumnos matriculados por cada ciclo de estudio. Un tiempo, variable a la cual se le atribuirá un valor (en años) que exprese el intervalo de la proyección.
  8. 9. PLANTEAMIENTO DEL MODELO: Se utilizará el modelo matemático de Crecimiento Poblacional, realizado por el economista Thomas Malthus, en 1978. El modelo de Crecimiento Poblacional o Maltusiano, menciona que la rapidez a la que crece la población en un cierto tiempo, es proporcional a la población total en ese momento, es decir, mientras mas personas existan en un tiempo (t), más personas existirán en un futuro.
  9. 10. Expresando en símbolos matemáticos tendríamos que: De donde: P: Población T: tiempo K: constante de proporcionalidad.
  10. 11. El modelo es una ecuación diferencial, primero se resolverá dicha ED por el método el resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden para luego poder utilizar el modelo. Modelo a aplicar. Se multiplica en equis Se deja a un lado de la ecuación las P (Población) Se integra cada lado de la ecuación, para de esta forma poder eliminar las derivadas. Se aplica las reglas y formulas de integración Se aplica la inversa del logaritmo natural, que es e Se simplifica Se reemplaza la constante (C), por la población inicial (Po)
  11. 12. Esta será la ecuación en la que se reemplazaran los datos, para poder determinar el crecimiento de decrecimiento de la población. De donde: Po: Población inicial e: Constante k: constante de proporcionalidad. t: El tiempo con el cual se va ha hacer la aproximación.
  12. 13. Para desarrollar este modelo, empezaremos por identificar el tiempo el estándar de este será de un año. Para determinar la constante de proporcionalidad ( k ) se van a reemplazar en la ecuación todos los valores que se posean, es decir la población inicial, la población final, y el tiempo. Seguidamente se aplica la función inversa de e, Ln, para que de esta forma poder despejar la constante de proporcionalidad. Una vez obtenida la constante de proporcionalidad se vuelve a aplicar la misma ecuación, reemplazando los valores de la constante de proporcionalidad, tiempo y la población inicial, para de esta forma encontrar el valor de una población en un tiempo determinado.
  13. 14. APLICACIÓN DEL PROBLEMA: Con los datos recolectados y la fórmula obtenida se determinará lo siguiente: Se reemplaza las variables con los datos recolectados. El tiempo será de un año, ya que en el primer año existe una población inicial de 638 estudiantes. Despejamos las variables. Aplicamos la función contraria a e, que es el logaritmo natural, para poder eliminar el número de euler. El valor de la constante de proporcionalidad es negativo, ya que el número de estudiantes decrece con respecto al tiempo.
  14. 15. Una vez obtenida la constate de proporcionalidad se reemplaza en la misma fórmula. Se reemplaza las variables con los valores correspondientes. El tiempo en el que se va ha realizar la proyección es en un año, es decir para el ciclo Octubre 2010-Febrero 2011. Seguidamente se resuelven las operaciones existentes. Esta sería la población estimada para el periodo de estudio antes indicado.
  15. 16. AUTOMATIZACIÓN DEL MODELO: Función que sirve para realizar las gráficas Expresión general que se extrae del modelo matemático De 0 a 10 son todos los posibles valores que puede tener t. Esta expresión se utiliza para colocar un nombre tanto para el eje de las x como para el de las y Utilización del software Mathematica, versión 5.2.
  16. 17. GRAFICA DEL MODELO
  17. 18. CONCLUSIONES: Los modelos matemáticos nos ayudan a predecir situaciones de la vida diaria, con la utilización de datos actuales reales. Para reconocer que modelo utilizar para cada situación es necesario saber qué datos se tiene y que necesidades tiene el problema. La utilización de herramientas para graficar nos ayuda a tener una vista más completa de los resultados obtenidos y la variación de los mismos. Tanto analítica como gráficamente se observa que existe un decrecimiento en la población de estudiantes de la ECC (Escuela de Ciencias de la Computación).
  18. 19. <ul><li>Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis G. Zill. </li></ul><ul><li>http://www.chachis.net/ediferenciales/dinamica-poblacional/ </li></ul><ul><li>http://www.scribd.com/doc/19221870/ECUACIONES-DIFERENCIALES-CRECIMIENTO-Y-DECAIMIENTO-LEY-DE-MALTHUS </li></ul>BIBLIOGRAFÍA:

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