Matrices De Transformación

51,843 views

Published on

Published in: Technology, Education
0 Comments
8 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
51,843
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
835
Actions
Shares
0
Downloads
673
Comments
0
Likes
8
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Matrices De Transformación

  1. 1. Matrices de transformación Universidad de Los Altos de Chiapas Graficación ISC Marte Fabián Baquerizo Sánchez 18 de marzo de 2009
  2. 2. ¿Matrices? <ul><li>Arreglos bidimensionales </li><ul><li>Dimensión: N * M </li></ul><li>Las usamos para almacenar datos, o resolver problemas usando operaciones matriciales </li></ul>
  3. 3. Las matrices de transformación <ul><li>Rotación
  4. 4. Escalado
  5. 5. Cizalla
  6. 6. Reflexión
  7. 7. Proyección ortogonal </li></ul>
  8. 8. Rotación <ul><li>La rotación del punto (x, y) es el producto punto del vector de las coordenadas (x, y) y de la matriz de transformación.
  9. 9. El punto resultante (x', y') representa el vector de posición en el plano de los puntos (x, y) rotados en un ángulo θ. </li></ul>En sentido horario: x' = xcosθ − ysinθ y' = xsinθ + ycosθ En sentido antihorario: x' = xcosθ + ysinθ y' = − xsinθ + ycosθ
  10. 10. Escalado <ul><li>El escalado se refiere al aumento o dismunición de proporciones.
  11. 11. Es la simple multipicación de los elementos del vector del punto (x, y) por una constante. </li></ul>x' = Sx * x y' = Sy * y
  12. 12. Cizalla <ul><li>La cizalla produce un desplazamiento de los puntos sin alterar los ejes. </li></ul>Cizalla paralela al eje x: x' = x + ky y' = y Cizalla paralela al eje y: x' = x y' = y + kx
  13. 13. Reflexión Para reflejar una línea que pasa por el origen necesitamos que (lx, ly) sea un vector en dirección a la línea. Para reflejar una línea que no pasa por el origen, se necesita una transformación afín Para reflejar un punto a través de un plano: ax + by + cz = 0 Si el plano no pasa por el origen, se necesita una transformación afín
  14. 14. Proyección Para proyectar un vector ortogonalmente en una línea que va a través del origen, usamos (ux, uy) como un vector en dirección de la línea. Entonces usamos la matriz de transformación. Como ocurre con las reflexiones, la proyección ortogonal en una línea que no pasa por el origen necesita una transformación afin, no una transformación lineal.
  15. 15. Composición y retorno de transformaciones. <ul><li>Son las ventajas de utilizar matrices para aplicar transformaciones.
  16. 16. Podemos “deshacer una transformación” simplemente aplicando la inversa de la matriz </li><ul><li>A -1 representa a la matriz que “deshace a A ” </li></ul></ul><ul><li>La composicion se logra por la multiplicación de matrices. Si A y B son dos matrices de dos transformaciones lineales, entonces el efecto de aplicar A y luego B está dado por: </li></ul>
  17. 17. Transformaciones afines <ul><li>Se usan coordenadas homogéneas. Es decir, representar un vector de 2 elementos con uno de 3 elementos: (x, y) ==> (x, y, 1) </li></ul>Ejemplo: Translación x' = x + tx; y' = y + ty Ejemplo: Rotación contra reloj x' = xcosθ + ysinθ y' = − xsinθ + ycosθ
  18. 18. Transformaciones afines <ul><li>Preservan la colineridad y la distancia relativa en un espacio coordenado transformado.
  19. 19. Esto significa que los puntos en una línea seguirán en la línea después de la transformación: </li><ul><li>Las lineas paralelas seguirán siendo paralelas.
  20. 20. Se conserva la razón de proporción </li></ul><li>Las transformaciones afines nos sirven para propósitos de reposicionamiento, escalado, deslizado y rotación. </li></ul>
  21. 21. Elementos de una matriz homogénea de transformación afín. a = escala en X b = deslizamiento en Y c = deslizamiento en X d = escala en Y tx = desplazar X ty = desplazar Y u, v, y w son constantes con los valores 0, 0 y 1.
  22. 22. La matriz identidad <ul><li>x' = x*1 + y*0 + 0
  23. 23. y' = x*0 + y*1 + 0
  24. 24. Obtenemos:
  25. 25. x' = x
  26. 26. y' = y </li></ul>
  27. 27. Aplicando transformaciones con la matriz homogénea <ul><li>x' = 2*x + 0*y + 0
  28. 28. y' = 0*x + 1*y + 0
  29. 29. Obtenemos:
  30. 30. x' = 2x
  31. 31. y' = y </li></ul>Escala en X
  32. 32. Aplicando transformaciones con la matriz homogénea <ul><li>x' = 1*x + 1*y + 0
  33. 33. y' = 0*x + 1*y + 0
  34. 34. Obtenemos:
  35. 35. x' = x + y
  36. 36. y' = y </li></ul>Deslizamiento en X
  37. 37. Aplicando transformaciones con la matriz homogénea <ul><li>x' = .87*4 - .5*0
  38. 38. y' = .5*4 + .87*0
  39. 39. x' = 3.46
  40. 40. y' = 2 </li></ul>Rotación: Se basa en el escalado y en el deslizado.
  41. 41. Demos Demostraciones de los conceptos y de sus aplicaciones.
  42. 42. Tareas extra clase <ul><li>Hacer un programa que defina funciones que realicen las siguientes operaciones con matrices: </li><ul><li>Suma
  43. 43. Producto punto
  44. 44. Producto cruz
  45. 45. Encuentre la matriz identidad (Gauss- Jordan) </li></ul><li>Hacer un programa que defina las funciones que permite la matriz de transformaciones afines y realize ejemplos de las mismas. (6 transformaciones) </li></ul>

×