Inecuaciones

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Inecuaciones

  1. 1. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 1Inecuaciones con valor absolutoEl valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:−=aaasisi00<≥aaPropiedadesSi a y b son números reales y n es un número entero, entonces:1 ) baba ⋅=⋅ 3 )nnaa =2 )baba= 4 ) baba +≤+La noción de valor absoluto surge de una manera natural en problemas de distancia. Enuna recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la distancia essiempre no negativa, la distancia d entre A y B es abd −= cuando B está a la derecha de A(figura a), y bad −= cuando B está a la izquierda de A (figura b).En el primer caso, ab − es positiva, de modo que puede escribirse:ababd −=−=y en el segundo caso, ab − es negativa, de modo que puede escribirse:ababbad −=−−=−= )(Por lo tanto, independientemente de si B está a la derecha o a la izquierda de A, ladistancia d entre A y B es:abd −=Para cualquier número real b puede escribirse:0−= bbPor lo tanto, el valor absoluto de un número b pude interpretarse geométricamente comosu distancia desde el origen sobre una recta coordenada.
  2. 2. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 2Por ejemplo, si 9=b , entonces b está a 9 unidades del origen, es decir 9=b ó 9−=b .Ejemplo 1: Resolver 43 =−xLa solución desde el punto de vista geométrico consta de todas las x que están a 4 unidadesdel punto 3. Hay dos de estos valores de x, 7=x y 1−=x .Desde el punto de vista algebraico, dependiendo de si 3−x es positiva o negativa, laecuación puede escribirse:43 =−x ó 43 −=−xResolviendo estas dos ecuaciones se obtiene, 7=x y 1−=x que concuerda con lasolución obtenida geométricamente.Ejemplo 2: Resolver 43 <−xLa solución consta de todas las x cuyas distancias al punto 3 sean menores que 4 unidades,es decir, de todas las x que satisfacen:71 <<− xEste es el intervalo ] [7,1− que se muestra en la siguiente figura:Ejemplo 3: Resolver 24 >+xLa desigualdad dada puede escribirse:2)4( >−−xPor lo tanto, la solución consta de todas las x cuyas distancias de – 4 sean mayores que 2unidades. Este es el conjunto: ] [ ] [+∞−∪−∞− ,26, , el cual se muestra en la figura.
  3. 3. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 3PropiedadesPara cualquier número real x y cualquier número positivo k:1 ) kxkkx <<−⇔<2 ) kxkxkx >∨−<⇔>Actividades1 ) Hallar en ℜ, el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones.Representar gráficamente el conjunto solucióna ) 1341≥+− x f ) 1+< xxb ) 1537 <−x g )121532−−≤−+xc ) 1213>+− xh ) 1212≥−xd ) 2156−≤−−− x i ) 327473−>+xe ) 24 −>− xx j ) 232≤−xInecuaciones polinómicas de orden superiorLas inecuaciones polinómicas de segundo grado con una incógnita son desigualdades de laforma:0)( >xP ó 0)( ≥xP0)( <xP ó 0)( ≤xPsiendo )(xP un polinomio de segundo grado.Veremos cómo se puede encontrar el conjunto solución de esta clase de inecuaciones.Ejemplo 1:062>−− xx
  4. 4. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 4Encontramos las raíces del polinomio:062=−− xx3=x 2−=xFactorizamos el trinomio:)2()3(62+⋅−=−− xxxxLa inecuación puede expresarse:0)2()3( >+⋅− xxPara que este producto sea mayor que cero ( positivo ) ambos factores deben tener elmismo signo.I .>+>−0203xxó II .<+<−0203xxConsideremos el primer caso:>+>−0203xx⇒⇒−>>23xxLa solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, esdecir el conjunto intersección.] [+∞= ,3ISConsideramos el segundo caso:<+<−0203xx⇒⇒−<<23xxLa solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, esdecir el conjunto intersección.] [2,−∞−=IIS
  5. 5. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 5La solución del sistema es: III SSS ∪=] [ ] [+∞∪−∞−= ,32,SEjemplo 2:062<−− xxEncontramos las raíces del polinomio y lo factorizamos:)2()3(62+⋅−=−− xxxxLa inecuación puede expresarse:0)2()3( <+⋅− xxPara que este producto sea menor que cero ( negativo ) uno de los factores es positivo y elotro negativo.I .<+>−0203xxó II .>+<−0203xxConsideremos el primer caso:<+>−0203xx⇒⇒−<>23xxNo hay valores de x que satisfagan simultáneamente las dos condiciones.φ=ISConsideramos el segundo caso:>+<−0203xx⇒⇒−><23xxLa solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, esdecir el conjunto intersección.
  6. 6. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 6] [3,2−=IISLa solución del sistema es: III SSS ∪=] [3,2−=SActividades1 ) Hallar en ℜ, el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones.Expresar el resultado en forma de intervalo. Representar gráficamente el conjunto solución.a ) 01032≤−+ xx f ) 023≤− xxb ) 03042 2>−− xx g ) 03694 23>−+− xxxc ) 0542>−+− xx h ) 0186102 23<++− xxxd ) 018153 2<++− xx i ) 0183123 23≥+−−− xxxe ) 050202 2≤+⋅+⋅ xx j ) 01632204 23≤−−−− xxxInecuaciones racionalesLas inecuaciones racionales son desigualdades de la forma:0)( >xP ó 0)( ≥xP0)( <xP ó 0)( ≤xPsiendo )(xP una función racional.Veremos cómo se puede encontrar el conjunto solución de esta clase de inecuaciones.Ejemplo:023>−+xxPara que este cociente sea mayor que cero ( positivo ) el numerador y el denominadordeben tener el mismo signo.
  7. 7. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 7I .>−>+0203xxó II .<−<+0203xxConsideremos el primer caso:>−>+0203xx⇒⇒>−>23xxLa solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, esdecir el conjunto intersección.] [+∞= ,2ISConsideramos el segundo caso:<−<+0203xx⇒⇒<−<23xxLa solución de este sistema es el conjunto de valores que cumplen las dos condiciones, esdecir el conjunto intersección.] [3,−∞−=IISLa solución del sistema es: III SSS ∪=] [ ] [+∞∪−∞−= ,23,S
  8. 8. Escuela de Educación Técnica N°°°° 6Prof. Lorena LaugeroMatemática – 3º añoPágina 8Actividades1 ) Hallar en ℜ, el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones.Expresar el resultado en forma de intervalo. Representar gráficamente el conjunto solución.a ) 0132≤−+−xxf ) 0212>−++xxxb ) 213 −≥−xg ) 03442<−++xxxc ) 132<+−xxh ) 04≤− xxd )21425−+≥+− xxxxi ) 152 >+xe ) 22142≥−+−−xxxj ) 01622≤+++−xxx

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