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Apuntes posiciones relativas_de_rectas_y_planos

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Geometria, posiciones relaticas rectas y planos

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Apuntes posiciones relativas_de_rectas_y_planos

  1. 1. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio Página 1 de 3 Posiciones relativas de dos rectas Tratamos de resolver el sistema formado por las 4 ecuaciones con tres incógnitas que forman sus ecuaciones implícitas (en el cual llamaremos A a la matriz de los coeficientes y B a la matriz ampliada) y puede ocurrir:  r(A)  3  r(B)  4 . Sistema incompatible, las rectas no tienen puntos comunes y no están en el mismo plano, se cruzan.  r(A)  r(B)  3. Sistema compatible determinado las rectas son tienen un único punto en común, son secantes.  r(A)  2  r(B)  3. Sistema incompatible, las rectas no tienen puntos en común pero están en el mismo plano, son paralelas.  r(A)  r(B)  2. Sistema compatible e indeterminado con un grado de indeterminación, las rectas tienen todos sus puntos comunes, son coincidentes. Determinar la posición relativa de x y 6 r : x z 1        y x y z 1 s : x z 3        Las matrices A y B son: 1 1 0 1 0 1 A 1 1 1 1 0 1 1 1 0 6 1 0 1 1 B 1 1 1 1 1 0 1 3                                A tiene rango 3 pues el menor: 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1       Orlando ese determinante y operando por Gauss: 1 1 0 6 0 1 1 7 0 2 1 5 0 1 1 3 1 1 7 2 1 5 1 1 3 3 5 14 7 5 6 14 0                        R(B)=4. las rectas se cruzan en el espacio Posiciones relativas de una recta y un plano Las ecuaciones implícitas de la recta y el plano forman un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas, pudiendo ocurrir:  r(A)  r(B)  3. Sistema compatible determinado, la recta corta al plano en un único punto.  r(A)  2  r(B)  3. Sistema incompatible. La recta es paralela al plano y ambos no se cortan.  r(A)  r(B)  2. El sistema es compatible indeterminado con un grado de indeterminación, todos los Posición relativa de la recta x y z 1 r : 2x y 3z 2          Y el plano  : x  y  z  2 Las matrices son:
  2. 2. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio Página 2 de 3 puntos de la recta también están en el plano, es decir, la recta está contenida en él 1 1 1 A 2 1 3 1 1 1 1 1 1 1 B 2 1 3 2 1 1 1 2                                El determinante de A es: -1-3+2+1-3+2=-2 Por tanto los rangos de ambas matrices son iguales y el sistema es compatible determinado. La recta y el plano se cortan en un único punto. Resolvamos el sistema por Gauss: 1 1 1 1 2 1 3 2 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 4 0 2 0 1 1 1 1 1 0 1 1 4 0 0 2 9                                       9 z 2 9 1 y 4 2 2 1 9 x 1 6 2 2          La recta y el plano se cortan en: 1 9 P 6, , 2 2        Posiciones relativas de 2 planos Sus ecuaciones forman un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, pudiendo ocurrir:  r(A)  r(B)  2. El sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los dos planos se cortan en una recta.  r(A)  1 r(B)  2 . El sistema es incompatible y los dos planos no tienen puntos comunes son paralelos.  r(A)  r(B)  1. El Estudiar la posición de los planos: : x y z 1 ' : 2x z 1         Como: 1 1 2 0 2 0 r(A) 2 r(B)       Ambos planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las formadas por las de los dos planos dados juntas.
  3. 3. Posiciones relativas de rectas y planos en el espacio Página 3 de 3 sistema es compatible e indeterminado con dos grados de indeterminación. Cualquier punto del primer plano también lo es del segundo. Los planos coinciden Posiciones relativas de 3 planos. Sus ecuaciones forman un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas pudiendo ocurrir 8 posibilidades:  r(A)  r(B)  1. Los tres planos coinciden.  r(A)  1 r(B)  2 . O dos planos coinciden y el otro es paralelo a ellos o los tres son paralelos.  r(A)  r(B)  2. Los planos se cortan en una recta pudiendo ser dos coincidentes y el otro secante a ellos o los tres secantes entre sí.  r(A)  2  r(B)  3. O dos son paralelos y el otro secante a ambos o los tres forman una superficie prismática triangular.  r(A)  r(B)  3. Los tres planos se cortan en un único punto Posición de : x y 1 ' : x z 3 '' : y z 1          Las matrices son: 1 1 0 A 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 B 1 0 1 3 0 1 1 1                       Siendo: r(A)  2  r(B)  3 Estudiando las ecuaciones de dos en dos llegamos a la conclusión de que los tres planos forman una superficie prismática. Comprobadlo...

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