Teoría de regresión y correlación lineal

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Teoría de regresión y correlación lineal

  1. 1. M.Sc. J. FELIX ZULOETA SALAZAR 1J. Felix Zuloeta Salazar
  2. 2. REGRESIÓN LINEAL • Es la técnica matemático – estadística que analiza la dependencia entre dos o más variables. • Observa si las variaciones de una característica provocan variaciones en la magnitud de otra característica. • Es la función matemática que, para un valor dado de una variable, da el valor esperado de una característica, con la cual está ligada. 2J. Felix Zuloeta Salazar
  3. 3. EJEMPLOS • El precio de venta (VD; Y) depende del precio de costo de un artículo (VI; X). • El costo total (VD; Y) depende de la producción total (VD; X). • El tiempo de servicios (VD; Y) de un trabajador depende de su edad (VD; X). • El consumo familiar (VD; Y) está en función del ingreso familiar VD; X). Donde: VD; Y = variable dependiente, predictando, explicativa. VI; X = variable independiente; predictor, explicativa. Esta relación se expresa: Y = f(X), “Y depende de X” 3J. Felix Zuloeta Salazar
  4. 4. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN O NUBE DE PUNTOS • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• •• • • •• (a) Lineal directa (b) Lineal inversa (c) Curvilínea directa (d) Curvilínea inversa (e) Lineal inversa con más dispersión (d) Ninguna relación Y X Y X Y X Y X Y X Y X 4J. Felix Zuloeta Salazar
  5. 5. MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS RECTA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS: Si el diagrama de dispersión muestra que los puntos se disponen siguiendo el lugar geométrico de una recta: Donde: X = Variable independiente (estímulo, de influencia, causa). Y = Variable dependiente (respuesta, criterio, efecto).Ŷ b0 = Coeficiente autónomo (cantidad media). b1 = Coeficiente de regresión (pendiente, proporción de cambio). El modelo de estimación matemática, permite predecir, que valor asume probablemente Y, cuando la variable X toma un valor determinado, entonces la ecuación de estimación estará definida por: , donde Ŷ es un Y estimado, esperado o calculado. i 0 1 iY = b + b X i 0 1 i= b + b XY 5J. Felix Zuloeta Salazar
  6. 6.      d1 = Y1 - Ŷ1      P1 (X1; Y1) P1 (X1; Ŷ1) X1 X2 Y2 Ŷ2 Y1 Ŷ2 P1 (X2; Ŷ2) P1 (X2; Y2) d2 = Y2 - Ŷ2 Ŷ = b0 +b1 0 6J. Felix Zuloeta Salazar
  7. 7. CONDICIONES DEL MÉTODO 1. di = ei = (Yi – Ŷi) = dispersión o error. 2. Σdi = Σei = Σ (Yi – Ŷi) = 0 3. 4. Para estimar los coeficientes b0 y b1, en la expresión sustituimos Ŷi = b0 + b1Xi; obteniendo Σ (Yi – b0 – b1 Xi)2; diferenciando parcialmente con respecto al intercepto b0 y a la pendiente b1 e igualando a cero se obtienen las ECUACIONES NORMALES: De su solución se obtienen los parámetros b0 y b1 2 ii(Y - ) 0 1 2 0 1 Y = n b +b X XY = b X+ b X      2 0 2 2 X Y - X XY b = n X - ( X) n XY - X Y          2 0 2 2 1 2 2 X Y - X XY b = n X - ( X) n XY - X Y b n X - ( X)             Y Y 7J. Felix Zuloeta Salazar
  8. 8. APLICACIÓN • A continuación se muestran los datos observados correspondiente a la función costo total (C = Yi) medida en millones de soles, con respecto a la producción total (Q = Xi) medida en miles de soles. PRODUCCIÓN (Xi) COSTO TOTAL (Yi) 10 30 20 36 30 40 40 48 50 54 60 58 70 66 80 68 8J. Felix Zuloeta Salazar
  9. 9. 1. DIAGRAMA DE DISPERSIÓN REGRESIÓN LINEAL ENTRE LA PRODUCCIÓN TOTAL Y EL COSTO TOTAL 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 20 40 60 80 100 PRODUCCIÓN COSTOTOTAL 9J. Felix Zuloeta Salazar
  10. 10. 2.CÁLCULO DE LOS PARÁMETROS b0 y b1 PRODUCCIÓN (X) COSTO (Y) X2 Y2 XY 10 30 100 900 300 20 36 400 1296 720 30 40 900 1600 1200 40 48 1600 2304 1920 50 54 2500 2916 2700 60 58 3600 2916 3240 70 66 4900 4356 4620 80 68 6400 4624 5440 ΣX ΣY ΣX2 ΣY2 ΣXY 360 400 20400 21360 20380 POR FAVOR CALCULE USTED b0 y b1 10J. Felix Zuloeta Salazar
  11. 11. 3. PLANTEAR LA ECUACIÓN DE ESTIMACIÓN DE REGRESIÓN LINEAL Ŷi = 24,5 + 0,5666667Xi COSTO TOTAL ESTIMADO = 24,5 + 0,5666667 * PRODUCCIÓN TOTAL 4. INTERPRETAR b0. Por cada mil unidades que se incremente la producción, el costo total se incrementará en 566 666,67 soles. 5. ESTIMAR O PREDECIR CUÁNTO SERÁ EL COSTO TOTAL SI SE QUIERE PRODUCIR 85 000 ARTÍCULOS. Ŷi = 24,5 + 0,5666667 * 85 Ŷi = 72,66666667 * 1 000 000 Ŷi = 72 666 666,95 SOLES. i 0 1 i= b + b XY 11J. Felix Zuloeta Salazar
  12. 12. 6. GRAFICAR LA RECTA DE REGRESIÓN LINEAL ESTIMADA REGRESIÓN LINEAL ENTRE LAPRODUCCIÓN TOTAL Y EL COSTO TOTAL y = 0,5667x + 24,5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 20 40 60 80 100 PRODUCCIÓN COSTOTOTAL 12J. Felix Zuloeta Salazar
  13. 13. 13J. Felix Zuloeta Salazar
  14. 14. El análisis de correlación es la técnica estadística que permite describir el grado hasta el cual una variable está linealmente relacionada o asociada con otra. El coeficiente de correlación (r) mide el grado de afinidad o asociación entre dos variables. Coeficiente de Pearson: Coeficiente de Determinación: CD = r2 * 100 Propiedades de r: -1 ≤ r ≤ +1 a) Si r > 0, existe “correlación directa positiva”. b) Si r < 0, existe una “correlación inversa negativa”. c) Si r2 = 1, los datos forman una línea recta. d) Si r = +1, entonce hay una correlación perfecta positiva. e) Si r = -1, Existe una correlación perfecta negativa. f) Si r = 0, las variables son independientes; no están correlacionadas. 2 2 2 2 n XY - X Y r = [n X - ( X) ] [n Y - ( Y) ]        14J. Felix Zuloeta Salazar
  15. 15. GRADO DE ASOCIACIÓN O INTERRELACIÓN COEFICIENTE r GRADO DE ASOCIACIÓN 0,0 ± 0,2 NULA ± 0,2 ± 0,4 POCA SIGNIFICATIVA ±0,4 ± 0,7 SIGNIFICATIVA ± 0,7 ± 0,9 BASTANTE SIGNIFICATIVA ± 0,9 ± 1,0 MUY SIGNIFICATIVA 15J. Felix Zuloeta Salazar
  16. 16. APLICACIÓN Calcule el coeficiente de correlación y el coeficiente de determinación del ejemplo anterior e interprete. r = 0,9958246 Interpretación: Entre la producción total y el costo total existe una correlación o grado de asociación muy significativa, es decir se acepta que el costo total esta influenciado por la producción total. CD =99,17% Interpretación: El 99,17% de la variación del costo es explicada por la variación en la producción. 16J. Felix Zuloeta Salazar

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