Plano2 razões enize

FORMAÇÃO CONTINUADA PARA PROFESSORES DE MATEMÁTICA
FUNDAÇÃO CECIERJ / SEEDUC-RJ
COLÉGIO: Estadual Drº Felix Miranda
PROFESSOR: Enize de Oliveira Pinheiro
MATRÍCULA: 02521839
SÉRIE: 1ª série do Ensino Médio
TUTOR (A): Wagner.
PLANO DE TRABALHO SOBRE:
As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis.
Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra.
Enize de Oliveira Pinheiro.
enize_pinheiro@yahoo.com.br
1. Introdução:
Os tópicos básicos de trigonometria ensinados no ensino médio são de extrema importância para que o
aluno amplie as suas possibilidades de resolução de problemas, permitindo relacionar as medidas de lados e
de ângulos.
Dessa forma, a trigonometria auxilia na observação, investigação e organização de fatos relevantes a
construção do pensamento matemático frente a várias situações problemas que vivenciamos no nosso dia a dia.
No entanto, se em sala de aula deixamos prevalecer uma abordagem “mecânica” da trigonometria, como
é comum nos livros didáticos e nas práticas obsoletas de alguns professores, privamos nosso aluno de
desvendarem e assimilarem conceitos chave como seno, cosseno e tangente de um ângulo.
É fato a importância que a trigonometria tem no desenvolvimento e na formação matemática de nosso
alunado, é papel do professor propiciar a apreensão do conteúdo focado de forma significativa. Para que isto
ocorra, lançar mão de ações metodológicas que incorporem experimentos como também uso de mídias,
softwares, objetos de aprendizagem dentre outras, contribuíram para a aprendizagem da trigonometria não
só na perspectiva da investigação bem como na proposta diferenciada de nosso aluno ter oportunidade de
utilizar as tecnologias que despontam.
Sendo assim, a proposta deste plano é possibilitar aos nossos alunos, analisar e experimentar situações
diversas que envolvam as razões trigonométricas no triângulo retângulo, levando-os a questionamentos que
possibilitaram a apreensão da aprendizagem.
Desenvolvimento:
Plano de Trabalho 2.
Colégio Estadual Dr. Felix Miranda.

1ª Série do Ensino Médio.
Professora: Enize de Oliveira Pinheiro.
Duração: 6 horas aulas (1 semana)
Área de conhecimento: Matemática
Assunto: Razões Trigonométricas
Objetivos:
 Aprofundar os conceitos das razões trigonométricas em um triângulo retângulo. Calcular
experimentalmente e analiticamente as razões trigonométricas dos ângulos notáveis.
 Entender o conceito principal das razões trigonométricas de triângulos retângulos e as suas principais
propriedades. Calcular experimentalmente as razões trigonométricas para os ângulos notáveis.
Pré-requisitos:
 Identificar os lados de um triângulo retângulo; saber utilizar o transferidor e a régua para efetuar medições;
efetuar cálculos com números reais; reconhecer triângulos semelhantes; determinar a medida de um ângulo
interno de um triângulo, a partir da medida dos outros dois; saber aplicar o Teorema de Pitágoras.
 Reconhecer os lados de um triângulo retângulo; identificar ângulos complementares e triângulos semelhantes.
Material:
 Papel A4 branco ou colorido, transferidor, régua de 30 cm, caneta e calculadora que efetue cálculo de raízes
quadradas.
 Computador com software Geogebra instalado, datashow, calculadora científica, em geral disponível no
computador.
Organização da classe: Turma organizada em grupos de dois ou três alunos, propiciando trabalho organizado e
colaborativo.
Descritores Associados:
 H05  Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de
proporcionalidade.
 H35  Efetuar cálculos simples com valores aproximados de radicais.
O plano será dividido em duas partes:
1ª parte  As Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis.
2ª parte  Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra.

O conteúdo será introduzido a partir da exploração do seguinte situação problema:
Na última etapa de um rali, o carro de um dos participantes encontra-se na posição P, indicada na
figura.
Para concluir a prova, o carro terá de atingir um dos pontos, A ou B.
Lembrando que os nervos estão à flor da pele e que o desgaste do veículo é evidente que alternativa o
piloto deve escolher, 1 ou 2?
Resposta:
Nas duas hipóteses, ele deverá percorrer 50 km, o que parece tornar indiferente sua escolha.
Mas o piloto é muito experiente e deve saber que a relação entre altura a ser atingida e o deslocamento
horizontal é a chave do problema.
Quanto maior a razão T, entre as medidas da altura e do deslocamento horizontal, mais dificuldades traz ao
piloto:
 Em 1 : T1= 30/40 = ¾ T2 > T1
 Em 2 : T2= 40/30 = 4/3
Note que em razão disso, temos β > α: o ângulo de subida (aclive) interfere no desgaste e na velocidade do
veículo.
Assim, a escolha correta é buscar atingir o ponto A para completar a prova, cuja alternativa é a 1.
Após analisada e resolvida à questão problema, daremos início:
1ª parte
As seguintes atividades serão propostas:

Atividade 1
Uma estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas do Ângulo de 45°
1. Utilizando uma folha de papel A4, com o lado menor localizado na posição inferior, pegue a ponta
superior direita e leve-a até a margem lateral esquerda do papel, deixando toda a margem superior
superposta com a margem lateral esquerda, como é mostrado na figura 1. Deixe bem marcada a dobra
feita
Figura 1
2. Com ajuda de uma régua, faça um corte no papel seguindo a direção deixada pela dobra, no sentido de
baixo para cima, separando um triângulo. Veja figura 2.
Figura 2
Professor, esse é um momento que você pode aproveitar para incentivar a cooperação entre os
alunos. Veja se na sua turma algum aluno é hábil para trabalhos manuais e incentive que ele
ajude os colegas.
É claro que essa atividade não é uma demonstração matemática, mas é bastante interessante e
pode explorar de uma maneira menos formal a determinação do seno, do cosseno e da tangente do
ângulo de 45o. Entretanto, o seu êxito depende, também, do capricho com que os alunos realizam
as dobras e cortam o papel. Não deixe, então, de verificar se seus alunos estão realizando
adequadamente esses dois primeiros passos.

3. Observe o triângulo obtido.
Este triângulo é retângulo? Justifique e compare sua justificativa com a de seus colegas.
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4. Você seria capaz de dizer qual é a medida dos outros ângulos desse triângulo?
______________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
5. Os ângulos agudos são iguais? Por quê? Se necessário, use um transferidor para medi-los. Não deixe de verificar
com seus colegas os valores que eles obtiveram e registre suas respostas a seguir.
______________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________
6. Podemos considerar este triângulo como sendo um triângulo isóscele? Qual argumento justifica esse fato?
Discuta com seus colegas e registre.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
7. Lembrando que
Deixe seus alunos livres para observarem o triângulo e chegarem à conclusão de que o triângulo é isóscele e os
ângulos agudos medem 45º. Incentive-os a comparar a maneira como chegaram às conclusões. A diversidade de
estratégias deve sempre ser incentivada. Uma ação simples como essa pode ser responsável por deixar seu aluno
mais seguro e independente no pensamento.M ais uma vez lembramos que o ato de medir, por si só, é impreciso e
seus alunos devem saber disso. Por isso, não deixe de explorar possíveis diferenças oriundas da medição.

Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha a tabela a seguir


ÂNGULO DE 45º
Medida do cateto oposto ao ângulo 45º (cm)
Medida do cateto adjacente ao ângulo 45º (cm)
Medida da hipotenusa (cm)
sen(45º) ______________________
cos(45º) ______________________
tg(45º)
_____________________
Professor, para fazer as medições solicitadas nesse item, não deixe de orientar seus alunos a
serem cuidadosos. Além disso, chame atenção da turma para a necessidade de fazer
aproximações, pelo menos para centésimos. Você pode explorar esse momento e fazer uma
breve revi-são sobre os critérios de aproximação, se julgar conveniente.

Atividade 2
Uma Estimativa Experimental para as Razões Trigonométricas dos Ângulos 30º
e 60º
8. Usando um transferidor e uma folha de papel A4, obtenha um ângulo de 30º. Como
mostra a figura 3, trace uma linha transversal no papel a partir da marca feita.
Figura 3
9. Dobrando o papel na linha marcada, faça um corte e separe o triângulo retângulo.
Posteriormente, marque com uma caneta os ângulos de 30º e 60º, como mostra a
figura 4.oteiros de Ação
Figura 4

Figura 4
10. Com o auxílio de uma régua e de uma calculadora, preencha as tabelas a seguir,
encontrando experimentalmente o valor do seno, do cosseno e da tangente dos
ângulos de 30º e 60º.
ÂNGULO DE 30º
sen(30º) ______________________
cos(30º) ______________________
tg(30º) ______________________
14
Professor, nesse momento, sue aluno precisa lembrar de que a soma dos ângulos internos de
um triângulo é igual a 180º. Esteja atento e caso eles não saibam, aproveite a folha de papel
para mostrar que isso é verdade. Peça que eles desenhem um triângulo qualquer e o recortem.
Em seguida, peça que marquem os ângulos e, finalmente, destaquem os ângulos colocando-os
lado a lado. Eles verão que será formado um ângulo raso. Essa não é uma demonstração,
mas é uma boa maneira de comprovar esse fato.

ÂNGULO DE 60º
sen(60º) ______________________
cos(60º) ______________________
tg(60º) ______________________
11. Observe e compare os resultados encontrados para as razões trigonométricas dos
ângulos de 30º e 60º. Você percebe alguma relação entre os valores encontrados?
a) Existe alguma relação entre o valor do sen(30°) e do cos(60º)? Que relação
é essa
b) E entre sen(60º) e cos(30º)? Que relação é essa?
12. Discuta com os seus colegas e tente descobrir por que isso acontece. Registre suas
conclusões.
Caro Professor, é importante que o seu aluno tente perceber sozinho que o seno de um
ângulo é o cosseno de seu complemento. Por exemplo, 30º e 60º são os ângulos agudos de
um mesmo triângulo retângulo e, por isso, o cateto que é oposto a um desses ângulos é
adjacente ao outro. Não se esqueça: é nosso papel também prezar por uma
aprendizagem independente de nossos alunos

13. Preencha a tabela a seguir e tente encontrar alguma relação entre o seno e o
cosseno e a tangente de um mesmo ângulo.
ÂNGULO DE 30º
30º
_____________ =
tg(30º)
60º
_____________ =
tg(60º)
a) Registre a seguir as relações que conseguiu encontrar.
Professor, esperamos que seu aluno perceba que
, assim como, .
Não deixe de questioná-lo se isso também acontece com outros ângulos. Sugira que faça a
verificação para o ângulo de 45º da atividade anterior. Incentive-o a tentar entender porque
isso acontece. É o que faremos na próxima atividade, mas é sempre bom explorarmos o lado
investigativo e questionador de nossos alunos.

Atividade 3
Encontrando os Valores Exatos das Razões Trigonométricas do Ângulo de 45º
Como você pode ter observado, as razões trigonométricas em um triângulo
retângulo independem do tamanho que ele possui. Estas razões dependem unicamente
do ângulo. Por este motivo, em triângulos retângulos semelhantes, as razões
trigonométricas dos ângulos correspondentes são iguais.
Usaremos este argumento para calcular de forma exata, as razões
trigonométricas dos ângulos de 30º, 45º e 60º.
Nos dois próximos itens não use calculadora. Deixe as suas respostas em forma
de fração, racionalizando os denominadores, caso seja necessário. Apenas no item
final, você deverá usar a calculadora para verificar e confirmar as respostas
experimentais obtidas.
Como já sabemos, todos os triângulos retângulos que possuem seus ângulos
agudos iguais a 45º, são triângulos isósceles. Portanto, eles têm dois lados com a
mesma medida. Sendo assim, consideremos o seguinte triângulo isósceles:
14. Usando o Teorema de Pitágoras, determine o valor da hipotenusa x.
Certamente seu aluno já estudou o Teorema de Pitágoras. Mas é sempre bom estar atento
às dificuldades por eles apresentadas. Então, se necessário, relembre-os sobre esse
importante teorema. Lembramos, ainda, que pode ser que seu aluno tenha estudado a
aplicação do Teorema de Pitágoras que determina a diagonal de um quadrado a partir do
seu lado. Nesse caso, esse item pode ser desnecessário. De qualquer maneira, é importante
fazer às adaptações necessárias à sua turma.

15. Com o valor encontrado no item anterior, determine o valor das seguintes razões
trigonométricas:
45º
Seno
Cosseno
Tangente
Para racionalizar denominadores de frações que possuem um radical com índice 2
(raiz quadrada) no denominador, basta multiplicar o numerador e o denominador
pela raiz que se encontra no denominador. Por exemplo, para racionalizar
devemos multiplicar por √5.
= =
É natural que sua turma não se recorde de como se racionaliza denominadores, então, aproveite esse
momento para retomar esse assunto. Como você deve ter percebido, estamos apresentando ao aluno
aquela conhecida tabela trigonométrica dos ângulos notáveis. Mesmo que eles acabem decorando-a, é
fundamental que, ao menos uma vez, eles tenham contato com um raciocínio que justifique aqueles
valores.
Perceba que as atividades anteriores, juntamente com o Roteiro de Ações 1 são fundamentais para
que o aluno perceba que os valores de seno, cosseno e tangente, independem do triângulo. Portanto,
podemos considerar um triângulo genérico para o cálculo algébrico dos valores dessas razões.
Também é importante que eles resolvam problemas que envolvam as razões trigonométricas de
ângulos não notáveis. Sugerimos, então, que você proponha a sua turma questões desse tipo.

Atividade 4
Encontrando os Valores Exatos para as Razões Trigonométricas dos Ângulos de
30º e 60º.
16. Considere o triângulo equilátero da figura 5 e trace uma altura. Lembre-se que a
altura de um triângulo equilátero é eixo de simetria desse triângulo.
Figura 5 Figura 6
Professor, está aí um momento para fazer uma revisão com seus alunos sobre as propriedades do
triângulo equilátero. Se tiver pouco tempo, ao menos relembre com a turma o fato de altura ser bissetriz
e mediana também, pois é eixo de simetria do triângulo.Como falamos no nosso texto, é interessante
evitar, neste caso, o uso de frações, para que elas não tirem o foco do trabalho que estamos realizando.
Por essa razão, optamos por indicar o lado por 2a, evitando assim o aparecimento da fração

17. Tomando o triângulo da direita (veja figura 7), complete a tabela com os valores
correspondentes.
Figura 7
Dica: Verifique se é possível utilizar o Teorema de Pitágoras nesse triângulo!
α
β
h
x
y
Professor, sua participação deve ser ativa neste momento! A dica apresentada dá um rumo para a estratégia que
o aluno deve tomar para resol-ver o item 17. Entretanto, é essencial que você os questione sobre o motivo pelo qual é
possível utilizar o Teorema de Pitágoras. Ou seja, caberá a você orientar a turma a fim de que os alunos
percebam que o triângulo é retângulo e que o ângulo do topo é de 30º.
Esteja atento também sobre o fato de alguns alunos terem por hábito identificar ângulos retos apenas observando
o desenho do triângulo. Oriente-os sobre o erro dessa postura, afinal o desenho pode ser enganador. Como falamos
anteriormente, é fundamental que o aluno saiba que alturas, medianas e bissetrizes se confundem no triângulo
equilátero, em função de a altura coincidir com o eixo de simetria .Após a percepção de que o triângulo é
retângulo, o aluno deverá utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar a altura.Seus alunos devem encontrar
os seguintes valores
α = 30º
β = 60º
h = a
x = 2a
y = a√3
Como optamos por indicar o lado do triângulo por 2ª, a altura é igual a a√3, ou seja,
.

18. Usando os valores obtidos no item anterior, determine as razões trigonométricas
dos ângulos 30º e 60º e preencha a tabela seguinte:
30º 60º
seno
cosseno
tangente
Não esqueça de racionalizar os denominadores de suas respostas!
19. Usando uma calculadora, compare se os valores encontrados por você,
experimentalmente, estão de acordo com os valores exatos.
2ª parte
As seguintes atividades serão propostas:
Atividade 1
Iniciando a Construção de Triângulos Retângulos
1. Após ter iniciado o programa GeoGebra, vamos deixar a tela com o formato ideal
para a execução de nosso trabalho. Para isto, faça um clique com o mouse, seguindo a
sequência dada nas imagens 1, 2 e 3.
Figura 1
Nesse momento, seu aluno deverá fazer aproximações e também deverá utilizar
adequadamente a calculadora. Esteja atento para a forma com que seus alunos
determinam as razões. Ao final deste trabalho, espera-se que os alunos tenham
conseguido entender os conceitos básicos sobre o cálculo das razões trigonométricas,
assim como, as técnicas utilizadas para a obtenção das razões trigonométricas dos
ângulos notáveis. Consideramos esses fatos importantes para dar continuidade a
nossos estudos sobre aplicações em problemas do cotidiano, que serão vistos em
outros roteiros.

Figura 2 Figura 3
A tela que sugerimos é a de uma malha quadrangular com linhas tracejadas, como
mostra a Figura 4.
Figura 4

2. Agora, desenharemos um triângulo retângulo. Para isto, você deve procurar pelo
ícone, mostrado na Figura 5 (5º botão da barra de ferramentas) e fazer um clique com
o mouse no local indicado. Posteriormente, marque a opção “Polígono”, como mostra
a Figura 6.
Figura 5
Figura 6
3. Na área de trabalho, escolha um ponto para ser o ponto A, fazendo apenas um
clique com o mouse.
Observe a Figura 7 e veja como você deve escolher o ponto A.
Figura 7

4. Seguindo a linha da malha, leve o mouse até outra posição da sua escolha para
marcar o ponto B. Clique uma única vez e o ponto B aparecerá na sua área de
trabalho.
Ao fazer esse movimento, você observará uma linha, acompanhando o cursor no
seu deslocamento, como indicado na Figura 7.
5. Agora, seguindo a malha na direção perpendicular a do segmento AB, escolha um
ponto para ser o ponto C. Não se esqueça: apenas um clique é necessário!
Ao mover o cursor, você verá o triângulo sendo formado, como indicado na Figura
8.
Figura 8
6. Finalmente, leve novamente o cursor até o ponto A e faça um clique, para fechar o
polígono.
Você deve ter desenhado um triângulo, como indicado na Figura 9, certo?

Figura 9
Nesse início, pretendemos que os alunos manipulem o programa e, para isso, apresentamos
uma sequência de orientações. Entretanto, é interessante que você deixe os seus alunos à
vontade com relação à escolha do tamanho do triângulo. Apenas enfatize a sugestão de
marcar os pontos sobre as linhas tracejadas da malha, fato que lhes ajudará a construir
um ângulo reto. Caso algum aluno não tenha seguido esta sugestão, não se preocupe, pois
ele poderá fazer a correção de seu triângulo na próxima atividade.
Os desenhos sugerem que o triângulo tenha o formato e a disposição no plano apresentados nas imagens
anteriores. Mas, ele também poderia ter sido feito de outras maneiras como, por exemplo, as apresentadas
na figura abaixo.

Atividade 2
Medindo os Ângulos de um Triângulo
Agora temos de verificar se o triângulo desenhado é retângulo. Para isso,
usaremos uma ferramenta do GeoGebra.
1. No menu de ferramentas, clique no 8º botão, conforme mostra a Figura 10 e
certifique-se de que a opção “Ângulos” esteja marcada.
Figura 10
Não deixe de valorizar a estratégia escolhida por seus alunos, visando a um estudo autônomo e
independente.

2. Com a opção “Ângulo” marcada, para medir o ângulo interno do vértice A, siga os
procedimentos: clique no ponto B, depois no ponto A e finalize, clicando no ponto C.
Após a sequência de passos, o ângulo aparecerá marcado como na Figura 11.
Figura 11
Dica sobre o
Caso você tenha executado algum procedimento equivocado e queira recuperar o
seu trabalho até aquele momento, basta procurar pelo ícone mostrado na Figura
12 e marcar na opção “Desfazer” ou se preferir faça Ctrl+Z.
Figura 12

3. Faça o mesmo procedimento do item 2 da Atividade 2, para medir os ângulos
internos, dos vértices B e C. Para o vértice B, clique seguidamente em C, B e A, e
para o vértice C, clique seguidamente em A, C e B.
No final, você terá a seguinte figura:
Figura 13
Caro aluno, caso não tenha conseguido um ângulo reto no vértice B, você deve clicar duas vezes no
vértice C. Feito isto, em seguida aparecerá uma janela “Redefinir” (veja Figura 14). Logo, dê um
“OK”.
Posteriormente, posicione o cursor sobre o ponto C e deixe apertado o botão esquerdo do mouse,
levando-o até alguma posição que gere um ângulo reto e, em seguida, solte-o.
Você observará que o vértice C movimenta-se, segundo a direção do cursor (veja Figura 15). Desta forma, você
poderá corrigir seu triângulo ou mudá-lo totalmente.
Figura 14
Figura 15

Atividade 3
Encontrando a Medida dos Lados de um Triângulo.
1. No 8º botão da barra de ferramentas, procure pela opção “Distância, Comprimento
ou Perímetro”, como mostra a Figura 16.
Figura 16
2. Com a opção “Distância, Comprimento ou Perímetro” marcada, para medir o
segmento AB, você deve clicar apenas uma vez no ponto A e depois no ponto B.
Feito isso, automaticamente aparecerá a medida correspondente a este segmento.
Repita o mesmo procedimento para medir os segmentos AC e BC. Veja na Figura 17,
por exemplo, como deverá ficar o seu triângulo.
Figura 17
Figura 17

Atividade 4
Encontrando as Razões Trigonométricas
Chegou o momento de coletar os nossos dados.
1. Preencha a tabela abaixo com as medidas encontradas na atividade 3. Use uma
calculadora para fazer as contas.
Medida do cateto oposto
Medida do cateto adjacente
Medida da hipotenusa
Nas atividades 2 e 3, seu aluno deve apenas utilizar as ferramentas do GeoGebra para
determinar as medidas dos ângulos e lados do triângulo construído. Seu papel será o de
orientador. Perceba se seu aluno está fazendo corretamente as sugestões das atividades e,
caso tenha um aluno mais esperto, peça que ele ajude seus colegas.
Coloque aqui a
medida do
menor ângulo
agudo
Coloque aqui a
medida do maior
ângulo agudo
Professor, você deve orientar seus alunos para o preenchimento correto da tabela.
Primeiro, eles devem preencher as primeiras células das duas colunas da direita de
acordo com o seu triângulo. Depois disso, estarão aptos a preencher as outras linhas.
Cuidado, pois essa é uma “tabela dupla”, onde os alunos deverão preencher primeiro as infor-
mações relativas a um ângulo e, em seguida, as mesmas informações relativas ao outro ângulo.

Para os próximos itens, precisaremos de uma calculadora científica. Você sabe
transformar a calculadora de seu computador numa calculadora científica?
Veja como é fácil:
 Abra a calculadora;
 Clique em “Iniciar”, em seguida, em “Todos os Programas” e,
finalmente, em “Acessórios”;
 Clique no botão “Exibir” e selecione a opção “Científica”.
Repare que a calculadora apresenta mais botões. Você deverá utilizar os botões “sin”,
“cos” e “tan” para seno, cosseno e tangente, respectivamente.
Qualquer dúvida, peça ajuda ao seu professor.
2. Com o auxílio da Calculadora Científica disponível no seu computador, preencha a
tabela a seguir.
Seno
Cosseno
Tangente
Coloque aqui a
medida do menor
ângulo
Coloque aqui a
medida do menor
ângulo
Professor, a Tabela Trigonométrica é uma ferramenta muito útil na nossa sala
de aula. Entretanto, a maioria dos ângulos obtidos, através da construção
sugerida, são ângulos não inteiros. Por essa razão, optamos por indicar que os
alunos utilizem a calculadora científica.
Oriente seus alunos a respeito da aproximação, pelo menos para centésimos.
Sabemos que, nesse tipo de atividade, é muito comum o aluno deparar-se com
números com muitas casas decimais. Por isso, ele deve saber como agir nessa
situação. Foi por essa razão que, nos roteiros anteriores, sugerimos que fosse
feita uma breve revisão sobre os critérios de aproximação.
Não se esqueça de verificar se os alunos estão usando corretamente a notação.
Sugerimos, então, que você solicite a seus alunos o preenchimento da tabela não
apenas com o valor, mas também com o símbolo da razão trigonométrica. Por
exemplo, se um dos ângulos medir 63º, então ele deverá escrever na última
coluna,

sen (63º) ≌ 0,89
cos (63º) ≌ 0,45
tg (63º) ≌ 1,96
Atividade 5
Encontrando as Razões Trigonométricas dos Ângulos Notáveis
1. Seguindo as dicas dadas na atividade 2, construa a partir de seu triângulo
(utilizando a opção redefinição) um outro de ângulos agudos 30º e 60º. Depois
preencha as seguintes tabelas:
30º 60º
Medida do cateto oposto
Medida do cateto adjacente
Medida da hipotenusa
Como destacamos anteriormente, é importante que seus alunos utilizem
corretamente a notação.
Eles devem obter os seguintes valores
sen (30º) = 0,5 sen (60º) ≌ 0,87
cos (30º) ≌ 0,87 cos (60º) = 0,5
tg (30º) ≌ 0,58 tg (603º) ≌ 1,73

2. Compare os resultados encontrados com os valores obtidos por seus colegas e
responda:
a) Estes valores são aproximadamente idênticos?
b) As razões trigonométricas independem do tamanho do triângulo?
c) As razões trigonométricas dependem de que valor?
d) Então, qual é a relação de comparação que deve existir entre dois triângulos
retângulos, para que os seus ângulos correspondentes tenham as mesmas razões
trigonométricas?
3. Avaliação:
A turma será avaliada no decorrer de todo processo de construção e
reconstrução dos saberes, a participação, cooperação e o senso de responsabilidade na
resolução das atividades, serão pontuados como incentivo (1,0 ponto).
Em um segundo momento a avaliação será feita da seguinte forma:
 Atividades avaliativas com exercícios envolvendo as razões trigonométricas,
que serão feitas em dupla (1,0 ponto);
 Acertos na prova do SAERJINHO (1,0 ponto);
Nesse último item, pretendemos que seu aluno reflita sobre tudo que fizemos
durante os roteiros.
Esperamos que eles percebam que os valores obtidos das diversas maneiras podem ser consi-
derados iguais, uma vez que as razões trigonométricas dependem apenas do ângulo e não do
triângulo que utilizamos para obtê-las. Ou seja, esperamos que essa sequência de atividades
ajude seus alunos a compreenderem que em triângulos semelhantes os senos, cossenos e
tangentes de ângulos correspondentes são iguais.

 Acertos no simulado (1,0 ponto)
 Avaliação individual (6,0 pontos).
Totalizando: 10,0 pontos.
Caso o aluno não atinja a média bimestral, ele poderá recuperar sua nota
refazendo as atividades de recuperação, após aulas de revisão.
Bibliografia:
CEDERJ, Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado
do Rio de Janeiro. Funções Matemática: 1º Ano, 2º Bimestre, 2º Ciclo. Roteiro de
ação 2: As Razões Trigonométricas dos Ângulos NotáveisCorporal. (s.d.). Nota de
aula do Curso Formação Continuada Em 2012.
CEDERJ, Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado
do Rio de Janeiro. Funções Matemática: 1º Ano, 2º Bimestre, 2º Ciclo. Roteiro de
ação 3: Estudando as Razões Trigonométricas no GeoGebra. (s.d.). Nota de aula do
Curso Formação Continuada Em 2012.
Conexões com a matemática / editora responsável Juliane Matsubara Barroso; obra
coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. – 1. Ed. – São
Paulo: Moderna. 2010.
PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 1.ed. São Paulo, 2009. Moderna.
RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, ensino médio
matemática. 1.ed. São Paulo, 2011. Editora: Scipione.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo Olhar Matemática: Joamir Roberto de Souza. –
1.ed.- São Paulo: FTD, 2010. – ( Coleção novo olhar; v.1 )

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