Subtema Programación cuadrática.

1. PROGRAMACIÓN NO
LINEAL “MÉTODO
CUADRATICO”
PRESENTAN:
• Aguirre Tapia Anabel
• Castro Vivar Krisna Kirtan
• García Montero Zaire
• Rosas Aburto Maritza Nohemi

2. CONTENIDO.
Introducción.
Antecedentes
Programación Cuadrática.
Metodología.
Conclusión.
Fuentes de referencia.
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3. Introducción.
 Un modelo de Programación No Lineal es aquel donde las variables de decisión
se expresan como funciones no lineales, ya sea en la Función Objetivo o en
las restricciones de un modelo de optimización.
 Esta característica particular de los modelos de programación no lineal
permite abordar problemas donde existen en general donde los supuestos
asociados a la proporcionalidad no se cumplen.
 Hay dos tipos de algoritmos dentro de la programación no lineal:
 Algoritmos no restringidos
 Algoritmos restringidos
 De estos últimos explicaremos el método de Programación Cuadrática.
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4. Antecedentes.
 El problema de programación no lineal general restringido se define como:
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑧 = 𝑓 𝑋
Sujeto a: g X ≤ 0
 Las condiciones de no negatividad X≥ 0, son parte de las restricciones. Incluso, al
menos una de las funciones 𝑓 𝑋 𝑦 𝑔(𝑋) es no lineal, y todas las funciones son
continuamente diferenciables.
 El comportamiento errático de las funciones no lineales impide el desarrollo de un
solo algoritmo para el modelo no lineal general. Quizás el resultado más general
aplicable al problema sean las condiciones Karush-Kunh-Tucker (KKT), las cuales
solo son necesarias, a menos que 𝑓 𝑋 𝑦 𝑔(𝑋) sean funciones de buen
comportamiento.
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5. Antecedentes.
 Los algoritmos se pueden clasificar en directos e indirectos. En donde los
métodos indirectos resuelven el problema no lineal valiéndose de uno o
más programas lineales derivados del programa original. Mientras que los
métodos directos se valen del programa origina.
 Los algoritmos indirectos son:
 Programación separable
 Programación cuadrática
 Programación estocástica
 A continuación veremos la Programación Cuadrática:
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6. Programación Cuadrática
 Un problema de programación cuadrática, es un problema no lineal
que tiene restricciones lineales y una función objetivo que es la suma
de una forma lineal y cuadrática. Esta puede tener términos con
potencias mayores de dos.
 La importancia de un método sistemático para la solución de
problemas de programación cuadrática, consiste en que muchos
problemas para los que una aproximación de programación lineal no
sería adecuada, pueden aproximarse mejor con un modelo que
contenga una función objetivo cuadrática.
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7. ¿Para qué se usa?
 Existen diferentes tipos de problemas de programación cuadrática, los cuales
se pueden clasificar en:
 Problemas cuadráticos de minimización sin restricciones, requieren minimizar la
función cuadrática f (x) sobre el espacio completo.
 Problemas cuadráticos de minimización sujetos a restricciones de igualdad,
requieren minimizar la función objetivo f (x) sujeta a restricciones lineales de
igualdad Ax = b.
 Problemas cuadráticos convexos. Son cualquiera de los mencionados arriba, en el
cual la función objetivo a ser minimizada, f (x) es convexa o en el caso contrario
cuando es no convexos.
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8. Programación Cuadrática
 Un modelo de programación cuadrática se define como :
𝑀𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑍 = 𝐶𝑋 + 𝑋 𝑇 𝐷𝑋
𝑆𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎: 𝐴𝑋 ≤ 𝑏, 𝑋 ≥ 0
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛) 𝑇
𝐶 = (𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐 𝑛)
𝑏 = (𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏 𝑛)
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9. Metodología.
Problema:
1. Despejar a 0 las restricciones.
2. Formar la ecuación U o λ.
3. Elaborar la ecuación Lagrangiana.
4. Realizar las condiciones KKT con respecto a cada variable que aparece
en la ecuación Lagrangiana.
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𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 4𝑥1 + 6𝑥2 − 2𝑥1
2
− 2𝑥1 𝑥2 − 2𝑥2
2
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 2
𝑥1, 𝑥2 ≥ 0
Sujeto a:

10. 5. Se colocan las ecuaciones resultantes del paso anterior con base al signo
de la restricción original y las variables de no negatividad.
6. Despejar los recursos de las ecuaciones obtenidas en el paso anterior.
7. Se agregan las variables artificiales para poder a comenzar a resolver
el problema lineal.
8. Resolver el problema por el método de doble fase. La solución del
sistema se obtiene con la fase I.
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11. 11
Base b1
Z 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0
1 0 0 - 1/3 1/6 0 1/3 - 1/6 1/3
0 0 1 0 - 1/2 -1 0 1/2 1
0 1 0 1/6 - 1/12 1/2 - 1/6 1/12 5/6
1 2 1 1 2 1 2
1
1
2
Z=0
X1=1/3
X2=5/6
Por tanto el valor óptimo asociado a Z= 4.16

12. Conclusión.
 las funciones cuadráticas fueron prominentes porque proveían modelos
locales simples para funciones no lineales generales. Una función cuadrática,
es la función no lineal más simple, y cuando es usada como una aproximación
para una función no lineal general, esta puede capturar la información
importante de la curvatura, lo que una aproximación lineal no puede.
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13. Fuentes de referencia.
 Tema: ¿Qué es la programación no lineal?. Investigación de Operaciones.
http://www.investigaciondeoperaciones.net/programacion_no_lineal.html
 Investigación de Operaciones. Tema: Algoritmos de Programación no lineal.
Subtema: Programación Cuadrática. Hamdy A. Taha, 9ª Edición, University of
Arkansas, Editorial PEARSON, 2012.
 Toma de decisiones por medio de Investigación de Operaciones. Tema:
Programación Cuadrática. Robert J. Thierauf, Richard A. Grosse, 7ª Edición,
Editoria LIMUSA, 1981.
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