1. Escuela de Ingeniería Civil-UTPL
TOPOGRAFÍA ELEMENTAL
Autora: Nadia Chacón Mejía
UNIDAD 5
Cálculos
POLIGONACIÓN:
POLIGONAL CERRADA
Cálculo y ajuste de la poligonal
Una vez que se han tomado las medidas de los ángulos y distancias de las líneas de una poligonal
cerrada, se deben determinar los errores que con seguridad se presentan en los datos para
establecer si son aceptables o no. Si son aceptables se distribuye el error total de cierre entre las
observaciones, la distribución del error no debe causar grandes cambios en los datos, estos deben
ser mínimos. Si el error es inaceptable, se deben volver a tomar los datos de algunas medidas
donde se crea que se cometió algún error.
Cuando se haya determinado los errores de cierre lineal y angular se realiza el cálculo de las
coordenadas.
Corrección de cierre angular
La suma de los ángulos de una poligonal debe ser igual a: 1
 Ángulos exteriores:
 Ángulos interiores:
Donde: número de vértices de la poligonal
Error de cierre angular: El error de cierre angular es la diferencia entre la suma de los ángulos
medidos y el valor que resulta de aplicar la fórmula.
Si el error de cierre angular esta dentro de los límites permisibles este se reparte en partes iguales
entre todos los ángulos dividiendo el error para el número de vértices, este valor se resta si el
error es por exceso o se suma si es por defecto.
A continuación se calcula el azimut de cada línea partiendo desde el azimut conocido,
dependiendo del sentido en el que se midieron los ángulos se aplican las siguientes fórmulas:
 Horario:
 Antihorario:

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Cálculo de las proyecciones
Después de haber realizado la corrección de cierre angular y calculado los azimut se determinan
las proyecciones.
Las proyecciones de una línea se expresan de la siguiente forma:
Donde:
Si en lugar de azimut se tuviera el rumbo de la línea este debe ser transformado para poder
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realizar los cálculos.
Las proyecciones pueden tener signo positivo o negativo dependiendo del valor del azimut, siendo
positivas las proyecciones norte y este, y negativas las proyecciones sur y oeste.
Figura 5.1 Proyecciones
Fuente: Modificado del libro RUSSELL C. BRINKER, Topografía, Novena edición, pág. 276.

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Se deben cumplir las siguientes igualdades, debido a que es un polígono cerrado:
Al tomar las medidas de ángulos y distancias siempre se cometen errores, por esta razón las
igualdades anteriores no se cumplen exactamente por lo que es necesario corregir las
proyecciones:
Donde:
Corrección de cierre lineal
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Error de cierre lineal:
Figura 5.2 Error de cierre lineal
Fuente: Modificado del libro TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 116.
Al formar la poligonal los errores en las proyecciones provocan que no se llegue al mismo punto
desde el que se inicio, sino que lleguen a otro punto que se encuentra a una distancia ε de la
estación de partida:

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ε es el error total y se expresa en forma unitaria, es decir, como el número de metros en los cuales
se cometería un error de 1 metro.
Haciendo una regla de tres se obtiene el número de metros (x) en los cuales se cometerá un
metro de error:
Por lo tanto:
Donde:
Este es el error de cierre lineal y se expresa 1: x, de acuerdo al tipo de levantamiento y a su
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exactitud se han establecido los siguientes límites máximos:
Error máximo Clase de levantamiento
Levantamiento de terrenos quebrados y de muy
1 : 800 poco valor, levantamientos de reconocimiento,
colonizaciones, etc., generalmente hechos por
taquimetría.
1 : 1000 a 1 : 1500 Levantamiento de terrenos de poco valor,
taquimetría con dobles lecturas de miras.
1 : 1500 a 1 : 2500 Levantamiento de terrenos agrícolas de valor
medio. Levantamientos con estadia.
1 : 2500 a 1 : 1400 Levantamientos urbanos y terrenos rurales de
cierto valor.
1 : 1400 en adelante Levantamientos en ciudades y terrenos bastante
valiosos.
1 : 10000 y más Levantamientos geodésicos.
Fuente: TORRES NIETO ALVARO, Topografía, Cuarta edición, pág. 117
Si el error de cierre obtenido esta dentro del error máximo permisible este se distribuye para que
la poligonal pueda cerrarse, de lo contrario el levantamiento debe repetirse.

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Existen varios métodos para repartir el error de cierre, a continuación se mencionan los más
utilizados:
Método A:
Para corregir las proyecciones se utilizan las siguientes fórmulas:
Donde:
Método B: 5
Por este método la corrección es igual a la relación entre el error en la proyección y la longitud
total de la poligonal por su respectivo lado:
Donde:

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Para obtener las proyecciones corregidas se suma la corrección y la proyección tomando en
cuenta sus signos, en el método A para corregir las proyecciones sur y oeste se suman las
correcciones y para las proyecciones norte y este se restan.
Cálculo de las coordenadas
El cálculo de las coordenadas es muy importante porque mediante ellas se puede conocer la
posición de cualquier punto respecto a un eje de referencia, además son muy útiles en una gran
variedad de cálculos como: determinación de longitudes y direcciones de líneas, cálculo de áreas
de predios, cálculo de curvas.
Para obtener las coordenadas de los puntos de una poligonal, primero se supone las coordenadas
del punto de inicio de la poligonal o de cualquier punto desde el cual se desee empezar el cálculo,
por ejemplo N2000, E2000; a estas coordenadas se suma las proyecciones correspondientes a ese
punto, este procedimiento se sigue por toda la poligonal hasta llegar al punto donde se inicio, lo
cual sirve de verificación, si las coordenadas calculadas coinciden con las coordenadas supuestas
significa que el cálculo está bien realizado o si por el contrario no son las mismas se pudo haber
cometido algún error y se debe revisar para corregirlo.
Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las
coordenadas de B es:
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POLIGONAL ABIERTA
Por lo general las poligonales abiertas no son muy utilizadas porque no se pueden corregir, pero
en ocasiones es muy conveniente su uso como es el caso de vías.
Si se va a utilizar este tipo de poligonal se debe tener mucho cuidado al realizar la medición de
ángulos y distancias ya que no se puede realizar ninguna clase de verificación.
En las poligonales los ángulos que se miden en sus vértices son los ángulos de deflexión, al igual
que en las poligonales cerradas se mide el azimut o rumbo de uno de sus lados para conocer su
dirección pero no existe corrección de cierre angular ni lineal, entonces una vez calculados los
azimut de todos sus lados se determina sus proyecciones y coordenadas.
Cálculo del azimut:
Para determinar los azimut de cada línea se suman los ángulos de deflexión a la derecha y se
restan los ángulos de deflexión a la izquierda al azimut conocido si el cálculo se lo realiza hacia
adelante, si se lo realiza hacia atrás los ángulos de deflexión a la izquierda se suman y los de la
derecha se restan.

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Siendo AB el lado inicial de la poligonal, del cual se conoce su azimut y BC el lado siguiente, la
fórmula para calcular el azimut de BC es:
 Si el ángulo de deflexión es a la derecha (D):
 Si el ángulo de deflexión es a la izquierda (I):
Cálculo de proyecciones:
El cálculo de las proyecciones es igual que en una poligonal cerrada:
Donde:
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Cálculo de coordenadas:
El cálculo de las coordenadas también es igual que en una poligonal cerrada, a la coordenada
conocida se suma la proyección correspondiente a la línea.
Como la coordenada conocida no siempre está en el punto de inicio sino que puede estar en
cualquier punto y debido a que es una poligonal abierta no se puede volver al punto donde se
empezó, el cálculo se debe hacer hacia adelante y hacia atrás para poder determinar las
coordenadas de todos los puntos.
Siendo A el punto de inicio de la poligonal y B el punto siguiente, la fórmula para calcular las
coordenadas de B es:

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Si E es punto anterior a el punto A, la coordenada de E es la siguiente:
NIVELACIÓN:
NIVELACIÓN GEOMÉTRICA
En la nivelación geométrica las lecturas que se toman en el campo para poder determinar las cotas
de puntos sobre un terreno, son atrás, adelante e intermedia.
Con estos datos y con la cota del BM de inicio, la cual se ha obtenido mediante levantamientos
previos o si no se dispone de esta se puede suponer un valor, ya se pueden calcular la altura
instrumental y las cotas.
Cálculo de la altura instrumental:
La altura instrumental se calcula sumando la cota más la lectura atrás, este valor es necesario para
poder determinar las cotas de los siguientes puntos:
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Donde:
Cálculo de cotas:
La cota de los BM y de los puntos de cambio se calcula restando la altura instrumental del punto
anterior y la lectura adelante correspondiente a cada punto:
CORRECCIÓN:
Error:
Para realizar la corrección de las cotas primero se calcula el error el cual es igual a la suma de las
lecturas atrás menos la suma de las lecturas adelante:

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Y la corrección es igual:
Donde:
Los puntos de cambio son los puntos que tienen una lectura atrás y una adelante, por lo tanto los
BM también son puntos de cambio.
Cota corregida:
Si la cota obtenida al final del cálculo es menor que la cota de inicio, se debe sumar la cota más la
corrección, pero antes se debe multiplicar la corrección por un número que representa la posición
del punto de cambio, el primer punto se deberá multiplicar por 1, el segundo por 2, el tercero por
tres y así sucesivamente hasta llegar al último; pero si la cota obtenida al final del cálculo es mayor
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que la cota de inicio se debe restar.
Altura instrumental corregida:
La corrección de la altura instrumental se obtiene sumando la cota corregida más la lectura atrás:
Cotas puntos intermedios
Una vez realizada la corrección se calcula las cotas de los puntos restando la altura instrumental
corregida menos la lectura intermedia:
NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA:
Como ya se menciono en el capítulo anterior la nivelación trigonométrica se basa en la medición
de distancias horizontales y ángulos verticales para luego determinar su distancia vertical o
desnivel por medio de cálculos trigonométricos.

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Para realizar los cálculos de las distancias se utilizan las siguientes fórmulas:
 Si el ángulo es cenital:
 Si el ángulo es vertical:
Donde:
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Cota:
Con los datos obtenidos de las fórmulas anteriores se calcula la cota:
Donde: