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Ejercicios probabilidaes

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Ejercicios probabilidaes

  1. 1. NOMBRE: YESSENIA BOADACURSO: CA4-7 EJERCICIOS DE PROBABILIDAD 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 3 monedas? 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7 al lanzar 2 dados1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,11,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,21,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,31,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,51,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 1 1 1 1 1 1 36 36 36 36 36 36
  2. 2. Evento A: salga 7A= [1,6:2,5: 3,4: 4,3 : 5,2:6,1 }P(A)= 1/36+1/36+1/36+ 1/36+1/36+1/36= 6/36= 1/6 probabilidad de quesalga 7 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 11 cuando se lanza 2 dados?Espacio:1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,11,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,21,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,31,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,51,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 1 1 36 36Evento A: salga 11A= [5,6: 6,5]P(A)= 1/36+1/36= 2/36= 1/18 probabilidadde que sea un 11
  3. 3. 4. Se saca una carta de una baraja de 52 cartas ¿Cuál es la probabilidad de que la carta elegida sea una negara o un rey?Espacio: 52 cartas26 cartas negras 2 cartas negras pueden 4 reyes ser reyesEvento A : 26 negras; 26/52Evento B: 4 reyes: 4/52Relación: P(AUB): 2/52P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB)P (AUB) = 26/52+ 4/52 – 2/52 = 28/52P (AUB) = 7/13 probabilidad de que sea un rey o una carta negra. 5. Se lanza un dado no cargado ¿Cuál es la probabilidad de obtener como resultado un número par o divisible para 3?Espacio:{ 1, 2, 3, 4, 5 ,6}Evento A: resultado parEvento B: resultado divisible para 3Evento A: {2, 4, 6}= 3/6Evento B: {3,6} = 2/6A ∩B= 6P (AUB) = P (A) +P (B) - P (AUB)P (AUB) = 3/6+2/6-1/6 = 2/3 probabilidad.
  4. 4. 6. Determinar la probabilidad de obtener un 4 o un 5 al lanzar un dado no cargadoEspacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6 = 6/6 = 1Eventos:A = salga un 4 = 1/6B = salga un 5 = 1/6P (AUB)= P(A)+ P (B)P (AUB)= 1/6+ 1/6 = 1/3 Probabilidad. 7. Se extrae una carta de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un As o un Rey?Espacio: 52 cartasEvento A: salga un As = 4= 4/52Evento B: salga un rey = 4= 4/52P (AUB) = P (A) + P (B)P (AUB) = 4/52+ 4/52 = 8/52 = 2/13 Probabilidad. 8. Se lanza un dado no cargado, dado que el resultado es un numero par ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor que 3?Espacio: {1, 2, 3, 4, 5, 6}Evento A: resultados pares {2, 4, 6}Evento B: resultado mayores que 3 {4,5, 6}AUB: resultado par mayores que 3 {4, 6}Como el dado no está cargado asignamos a cada punto de la muestra una probabilidadde 1/6 en consecuencia:P(A)= 3/6
  5. 5. P(A ∩ B)= 2/6P (B/A) = (2/6)/(3/6) = 2/3 Probabilidad. 9. Se lanza 2 dados ¿cual será la probabilidad de que caiga 2 números iguales con la condición de que su suma sea mayor que 9?Espacio:1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,11,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,21,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,31,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,51,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6Evento A: sea mayor que 9: {4,6: 5,5: 5,6: 6,4. 6,5: 6,6} = 6/36Evento B: sean iguales: {1,1: 2,2: 3,3: 4,4: 5,5: 6,6} = 6/36AUB: {5, 5: 6, 6} = 2/36P (A/B) = P (A ∩ B)/ P (B)P (A/B) = (2/36)/ (6/36) = 2/6 = 1/3 probabilidad. 10. De 300 estudiantes de esta facultad 100 cursan auditoria y 80 administración de empresas, estas cifras incluyan a 30 estudiantes que siguen ambas carreras ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante, curse auditoria o administración o ambas?Espacio: 300 estudiantesEvento A. 100 cursan auditoriaEvento B: 80 cursan AdministraciónA ∩ B 30 siguen ambas carrerasP (AUB)= P(A) + P (B) – P(A ∩ B)P (AUB)= 100/300+ 80/300 – 30/300 = 150/300P (AUB)= ½ probabilidad
  6. 6. 11. En quito la probabilidad de que llueva el 1 de noviembre es de 0.50 y la probabilidad de que llueva el 1 y el 2 de noviembre es de 0.40 dado que llovió el 1 de noviembre¿ cuál es la probabilidad de que llueva el día siguiente 2 de noviembre?Evento A: probabilidad de que llueva = 0.50 – 1 de noviembreEvento B: probabilidad de que llueva = 0,40 – 1 y 2 de noviembreP(B/A) = P (A)* P(B)/ P(A)P(B/A)= P(B)/P(A) = 0.40/ 0.50 = 0.80 probabilidad . 12. Se sacan 2 cartas sin sustitución de una baraja ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean Ases? Evento A: suceso de que la primera sea As Evento B: suceso de que la segunda sea As P(A ∩ B)= P(A)* P (B) P(A) = 4/52 P (B) = 3/ 51 P(A∩ B) = P(A) * P(A/B) = 4/52 * 3/51 = 12/ 2652 probabilidad. 13. Determinar la probabilidad de obtener 2 caras si se lanza sucesivamente 2 veces una moneda.Espacio: { c,c: c,s: s,s: s,c}P (c1 ∩ c2) = Pc1* Pc2P (c1∩ c2) = ½* ½ = ¼ probabilidad
  7. 7. 14. Determinar la probabilidad de obtener un 6 y un 5 sucesivamente al lanzar un dado 2 veces. Espacio:1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,11,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 Total 361,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,31,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,51,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6P (6 ∩ 5) = P (6) * P (5)P (6 ∩ 5) = 1/6 * 1/6 = 1/36 15. Una urna contiene 6 bolitas blancas y 4 negras. Se extrae 2 bolitas sucesivamente y sin restitución: 1. ¿cuál es la probabilidad de que ambas bolitas sean blancas? 2. ¿de qué la 1° sea blanca y la 2° negra? 3. ¿cuál es la probabilidad de que 1° negra y la 2° blanca? 4. ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?Espacio:6 blancas4 negras10 bolitasEvento A: ambas sean blancas 1. 1° blanca = 6/10 2. 2° blanca = 5/9P (1∩ 2) = P (1) * P (2)P (1∩ 2) = 6/10 * 5/9 = 30/90Evento B: 1° blanca y 2° negra 1. 1era blanca = 6/10 2. 2da negra = 4/9
  8. 8. P (1∩ 2) = P (1) * P (2)P (1∩ 2) = 6/10 * 6/9 = 24/90Evento C: 1era negra y 2da negra 1. 1era negra = 4 /10 2. 2da negra = 6/9P (1∩ 2) = P (1) * P (2)P (1∩ 2) = 4/10 * 6/9 = 24/90Evento D: ambas sean negras 1. 1 era Negra 2. 2da NegraP (1∩ 2) = P (1) * P (2)P (1∩ 2) = 4/10 * 3/9 = 12/90 16. La urna A contiene 6 bolitas verdes y 4 rojas, la urna B contiene 3 Bolitas verdes y 7 rojas. Se extrae una bolita de cada urna ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? Espacio:Urna A Urna B Total6 verdes 3 verdes 9 verdes4 rojas 7 rojas 11 rojasP (mismo color) 1. P(ambas sean verdes) 2. P(ambas sean rojas)P (mismo color)= P (ambas sean verdes)+ P (ambas sean rojas)P (mismo color)= P (v1∩V2) + P (R1∩ R2)P (mismo color)= p(v1)*P(v2)+ P(R1)*P(R2)
  9. 9. P (mismo color)= 6/10*3/10+ 4/10* 7/10P (mismo color)= 18/100 + 28/100 = 46/100 probabilidad 17. Un dispositivo consiste de 3 componentes A,B,C el dispositivo se considera defectuoso si uno o más de los componentes lo son la probabilidad de que A sea el defectuoso es de 1% de que B sea el defectuoso 2% y de que sea defectuoso es el 10% . 1. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido solo a una falla del componente C? 1. Sea:P(A): probabilidad de que A sea defectuosoP (A1): probabilidad de que A no sea defectuosoP (B): probabilidad de que B sea defectuosoP (B1): probabilidad de que B no sea defectuosoP(C): probabilidad de que C sea defectuosoP (C1): probabilidad de que C no sea defectuosoCalculemos: P (A1): P (B1): P (C1)P (A1): 1- P (A) = 1-0, 01 = 0, 99P (B1): 1 – P (B) = 1-0, 02= 0, 98P (C1): 1- p(C) = 1- 0, 10 = 0, 90El dispositivo está bien y sus componentes:P (dispositivo bueno) = P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C1)P (dispositivo bueno) = P (A1) * P (B1) * P (C1)P (dispositivo bueno) = 0.99* 0,98*0,90 = 0,87318P (dispositivo defectuoso) = 1 – dispositivo buenoP (dispositivo defectuoso) = 1- 0,87318 = 0,12682 2. Probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso debido a solo una falla de C
  10. 10. P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = P (A1) * P (B1) *P (C)P (A1) ∩ P (B1) ∩ P (C) = 0, 99* 0, 98* 0, 10 = 0, 09702 18. Suponga que se lanzan 2 dados balanceados 2 veces. Encuentre la probabilidad de obtener un total de 7 en el 1er lanzamiento y un total de 12 en el otro Espacio:1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,11,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,21,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,31,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,41,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,51,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6Evento A: que salga 7 en el primer lanzamientoP(A) = 1/36 +1/36 +1/36 + 1/36 +1/36 +1/36 = 6/36 = 1/6 Probabilidad.Evento B: que salga 12 en el 2do lanzamientoP(B): 1/36 probabilidad. 19. Encuentre la probabilidad de obtener el mismo número en 3 lanzamientos de un dado.1,1,1 2,1,2 3,1,3 4,1,4 5,1,5 6,1,61,2,1 2,2,2 3,2,3 4,2,4 5,2,5 6,2,61,3,1 2,3,2 3,3,3 4,3,4 5,3,5 6,3,61,4,1 2,4,2 3,4,3 4,4,4 5,4,5 6,4,61,5,1 2,5,2 3,5,3 4,5,4 5,5,5 6,5,61,6,1 2,6,2 3,6,3 4,6,4 5,6,5 6,6,61/216 1/216 1/216 1/216 1/216 1/216
  11. 11. P(A) = 1/216 + 1/216 + 1/216 +1/216 +1/216 +1/216 = 6/216 = 1/36 Probabilidad 20. Se seleccionan 3 cartas de manera aleatoria y con reemplazo de una baraja ordinaria de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de escoger 3 reyes.Espacio: 52 cartasReyes: 4cartas: 4/52P(A) = 1/52 + 1/52 + 1/52 = 3/ 52 Probabilidad TEOREMA DE BAYES 1. Tenemos 2 urnas A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene 3 bolitas blancas y 7 negras. Se elige una urna al azar y se saca una bolita de la urna elegida, si obtenemos un premio de 2.000 cuando la bolita es blanca ¿cuál es la probabilidad de ganar? Si se elige la urna 1 P (A∩B) = P(A).P (B/A) P (A∩B) = 1/2* 8/10 = 8/20 Si se elige la urna 2 P (A∩B) = P (A).P (B/A) P (A∩B) = ½* 3/10 = 3/20 2. La urna A1 tiene 8 bolitas blancas y 2 Negras y la urna A2 tiene 3 bolitas blancas y 7 negras y la urna 3 tiene 5 bolitas blancas y 5 negras. E lanza un dado, si el resultado es 1, 2,3 se saca una bola de la urna A1 si resulta 4 o 5 la bolita se saca de la urna A2 y final mente si resulta 6 se saca de la urna A3. Dado que la bolita extraída fue blanca ¿cuál es la probabilidad de que ella provenga de la urna A2?
  12. 12. P (A1) = 3/6 = 8 blancas P (B/A1) = 8/10 A = 1, 2, 3 = 3/6 2 negras B = 4, 5 = 2/6P (A2) = 2/6 = 3 blancas P (B/A2) = 3/10 C = 6 = 1/6 7 negrasP (A3) = 1/6 = 5 blancas P (B/A3) = 5/10 5 negrasP(A/B) = P (A∩B)/P (B)P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2)P (A/B) = (2/6* 3/10)/ (3/6*8/10) + (2/6 *3/10)+(1/6* 5/10)P (A/B) = (6/50)/(35/60) = 6/35 3. La urna A contiene 6 bolitas grises y 4 rojas, la urna B contiene 2 bolitas grises y 7 rojas. Se saca una bolita de una urna A y se coloca en la B en seguida se saca una bolita de la urna B dado que la bolita extraída de B es gris ¿cuál es la probabilidad de que la bolita extraída de a también haya sido gris?P (G1): probabilidad de que la bola sea gris cuando se saca de AP (G2): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de AP (G3): probabilidad de que la bola sea roja cuando se saca de BP (A/G) = P (G1). P (G2/G3)/ P (G)P (A/G) = (6/100 * 3/100)/ 26/100 = (18/100)/(28/100)P (A/G) = 18/26 4. En una empresa se sabe que hay 3 secciones que producen diariamente 1.200, 800, y 1.000 cajas de radios transitorios, además se conoce que la primera sección produce el 10% de radios defectuosos, la segunda sección el 5% y la 3 sección el 8% .de la producción, de un día se elige al azar una caja y de ella se extrae un radio que resulta defectuosa ¿ cuál es la probabilidad de que provenga de la tercera sección?
  13. 13. SECCIONES PRODUCCION DEFECTUOSOS1 A 1.200 10% 1202 B 800 5% 403 C 1.00 8% 80 3000 240P (A/B) = P (A2) * p (B/A2)/ P (A1). P (B/A1) + P (A2). P (B/A2)P (A/B) = (1000/3000* 80/1000)/ (1200/3000* 120/1200* 800/3000*40/800 +1000/3000* 80/1000)P (A/B) = (80/3000)/ (240/3000)P (A/B) = 80/240 = 1/3 5. 2 bolsas idénticas la bolsa 1 y la bolsa 2 están sobre una tabla, la bolsa 1 contiene un caramelo Rojo y otro Negro. La bolsa 2 contiene 2 caramelos rojos se selecciona una bolsa al azar y de esta se toma un caramelo de manera aleatoria. El caramelo es rojo ¿Cuál es la probabilidad que el otro caramelo dentro de la bolsa seleccionada sea roja? Eventos: B1: selección de bolsa 1 B2: selección de bolsa 2 R: selección caramelo Rojo P(R/B1) = ½ y P(R/B2)= 1P (B2/R) = P (B2) * p (R/B2)/ P (B1). P (R/B1) + P (B2). P (R/B2)P (B2/R) = (1/2)(1)/(1/2)(1/2)+ (1/2)(1)P (B2/R)= ¾
  14. 14. EJERCICIO DEL EXAMEN Un almacén está considerando cambiar su política de otorgamiento de crédito para reducir el número de clientes que finalmente no pagan sus cuentas. El gerente de crédito sugiere que en el futuro el crédito le sea cancelado a cualquier cliente que se demore una semana o más en sus pagos en 2 ocasiones distintas la sugerencia del gerente se basa en el hecho de que en el pasado el 90% de todos los clientes que finalmente no pagaron sus cuentas se habían demorado en sus pagos es por lo menos 2 ocasiones Suponga que de una investigación independiente encontramos que el 2% de todos los clientes (con crédito) finalmente no pagan sus cuentas y que de aquellas que finalmente si las pagan el 45% han demorado por lo menos 2 ocasiones. Encontrar la probabilidad de que un cliente que ya se demoro por lo menos 2 ocasiones finalmente no pague su cuenta y son la información obtenida. Analice la política que han sugerido el gerente de ventas.P(c) 0, 98 -------- P (D/C) = 0, 45 = 0, 44P(c) 0, 98 -------- P (D´/C) = 0, 55 = 0,593P (C´) 0, 02 --------P (D/C) = 0, 90 = 0, 18P (C´) 0, 02 -------- P (D´/C´) = 0, 10 = 0, 02P (C´/D) = 0, 018 = 0,018 = 0, 0392 = 3, 92% = 0, 018+ 0, 44= 0,459

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