Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Coordenadas Polares

Trabajo 1

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Coordenadas Polares

  1. 1. 1. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: (1 pt. c/u) a. (2,8) b. (−5, −6) c. (√2, 1 5 ) -5 B - 6 x Y 2 8 A a) El punto A está en el primer cuadrante: Y √2 1/5 C x Y 푟 = √22 + 82 = √4 + 64 = √68 = √4 ∙ 17 = 2√17 푡푎푛휃 = 8 2 ⇒ 휃 = tan−1(4) = 75,96° Luego el punto A, es: 퐴(2√17; 75,96°) b) El punto B está en el tercer cuadrante: 푟 = √(−5)2 + (−6)2 = √25 + 36 = √71 푡푎푛휃 = −6 −5 ⇒ 휃 = tan−1(1,2) = 230,19° Luego el punto B, es: 퐵(√71; 230,19°) c) El punto C está en el primer cuadrante: 2 + (1/5)2 = √2 + 1/25 = √21/25 = 푟 = √(√2) x √21 5 푡푎푛휃 = 1/5 √2 ⇒ 휃 = tan− 1 ( 1 5√2 ) = 8,05° Luego el punto C, es: √21 5 퐶 ( ; 8,05°) 2. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 퐫 =ퟏ +퐬퐞퐧 훉. (2 pts.) Solución:
  2. 2. 1 2 퐴 = 2 [ 휋 2 ∫ 푟2푑푟 − 휋 2 ] 휋 2 퐴 = ∫ (1 + 푠푒푛휃)2푑푟 휋 2 − 퐴 = 1 2 휋 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 푠푒푛2 휃)푑푟 − 휋 2 퐴 = 1 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 1 + 푐표푠2휃 2 ) 푑푟 휋 2 휋 2 − 퐴 = 1 2 ∫ (1 + 2푠푒푛휃 + 1 2 + 1 2 푐표푠2휃) 푑푟 휋 2 − 휋 2 퐴 = 1 2 ∫ (2푠푒푛휃 + 3 2 + 1 2 푐표푠2휃) 푑푟 휋 2 − 휋 2 퐴 = 1 2 (−2푐표푠휃 + 3휃 2 + 1 4 푠푒푛2휃)| − 휋 2 휋 2 퐴 = 1 2 [(−2푐표푠 ( 휋 2 ) + 3 2 ∙ 휋 2 + 1 4 푠푒푛휋) − (−2푐표푠 (− 휋 2 ) + 3 2 ∙ (− 휋 2 ) + 1 4 푠푒푛(−휋))] 퐴 = 1 2 [(−2 ∙ 0 + 3 2 ∙ 휋 2 + 1 4 ∙ 0) − (−2 ∙ 0 − 3휋 4 + 1 4 ∙ 0)] 퐴 = 1 2 ( 3휋 4 + 3휋 4 ) 퐴 = 3휋 4 푢푙2 3. Transformar los siguientes puntos de coordenadas rectangulares a coordenadas polares: (1 pt. c/u) a. (2, 휋 4 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = 2 ∙ 푐표푠 ( 휋 4 ) 푦 푦 = 2 ∙ 푠푒푛 ( 휋 4 )
  3. 3. 푥 = 2 ∙ √2 2 푦 푦 = 2 ∙ √2 2 푥 = √2 푦 푦 = √2 (√2, √2) b. (−8, 3휋 2 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = −8 ∙ 푐표푠 ( 3휋 2 ) 푦 푦 = −8 ∙ 푠푒푛 ( 3휋 2 ) 푥 = −8 ∙ 0 푦 푦 = −8 ∙ (−1) 푥 = 0 푦 푦 = 8 (0, 8) c. (− 1 2 , 5휋 4 ) 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 푦 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 푥 = − 1 2 ∙ 푐표푠 ( 5휋 4 ) 푦 푦 = − 1 2 ∙ 푠푒푛 ( 5휋 4 ) 푥 = − 1 2 ∙ (− √2 2 ) 푦 푦 = − 1 2 ∙ (− √2 2 ) 푥 = √2 4 푦 푦 = √2 4 √2 4 ( , √2 4 ) 4. Calcula el área que encierra la curva de ecuación polar 퐫 = ퟒ(ퟐ훉) (2 pts.) Solución: Esta rosa posee los tres tipos de simetría por lo que: 1 2 퐴 = 8 [ 휋/4 ∫ 푟2 0 휋/4 푑휃] = 4 ∫ (4 ∙ cos(2휃))2 0 푑휃 휋/4 퐴 = 4 ∫ 16 ∙ 푐표 푠2 (2휃) 0 푑휃 = 64 ∫ 1 + 푐표푠4휃 2 휋/4 0 푑휃
  4. 4. 퐴 = 64 ∫ 1 + 푐표푠4휃 2 휋/4 0 휋/4 푑휃 = 32 ∫ (1 + 푐표푠4휃) 0 푑휃 퐴 = 32 (휃 + 1 4 푠푒푛4휃)| 휋/4 0 = 32 [( 휋 4 + 1 4 푠푒푛(휋)) − (0 + 1 4 푠푒푛(0))] 퐴 = 32 [( 휋 4 + 0) − (0 + 0)] 퐴 = 8휋푢푙2 5. Transformar la siguiente ecuación de variables polares a rectangulares:(1,5 pts.) 퐫=ퟐ퐜퐨퐬 (ퟑ훉) Solución: r = 2cos (3θ) = 2 ∙ cos (2θ + θ) r = 2 ∙ [cos (2θ) ∙ 푐표푠θ − senθ ∙ 푠푒푛(2θ)] r = 2 ∙ [(cos2 θ − sen2θ)푐표푠θ − senθ ∙ 2푠푒푛θ ∙ cosθ] r = 2 ∙ (cos3 θ − 푐표푠θ ∙ sen2θ − 2sen2θ ∙ cosθ) r = 2 ∙ (cos3 θ − 3sen2θ ∙ cosθ) r = 2 cos3 θ − 6sen2θ ∙ cosθ Multiplicando por r3 cada término de la ecuación: r 4 = 2r 3 cos3 θ − 6r 3sen2θ ∙ cosθ Descomponiendo y asociando: r 4 = 2r 3 cos3 θ − 6r 2sen2θ ∙ rcosθ Propiedad de la potenciación: (r 2)2 = 2(r ∙ cos θ)3 − 6(r ∙ senθ)2 ∙ (rcosθ) (x2 + y2)2 = 2x3 − 6y2 ∙ x Factor común: (x2 + y2)2 = 2푥(x2 − 3y2) 6. Transformar la siguiente ecuación de variables rectangulares a variables polares: (1,5 pts.) 퐱ퟐ−ퟐ퐲ퟐ=ퟒ(퐱+퐲)ퟐ Solución: Puesto que: 푥 = 푟 ∙ 푐표푠휃 ∧ 푦 = 푟 ∙ 푠푒푛휃 Sustituimos en la ecuación dada: (푟 ∙ 푐표푠휃)2 − 2(푟 ∙ 푠푒푛휃) 2 = 4(푟 ∙ 푐표푠휃 + 푟 ∙ 푠푒푛휃) 2 푟2 ∙ cos2 휃 − 2푟2 ∙ 푠푒푛2 휃 − 4[푟(푐표푠휃 + 푠푒푛휃) ]2 = 0 푟2 ∙ [(cos2 휃 − 2푠푒푛2 휃) − 4(cos2 휃 + 2푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 + 푠푒푛2 휃)] = 0 푟2 = 0 ∨ 푐표푠2 휃 − 2푠푒푛2 휃 − 4 푐표푠2 휃 − 8푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 − 4푠푒푛2 휃 = 0 푟 = 0 ∨ −3 푐표푠2 휃 − 8푠푒푛휃 ∙ 푐표푠휃 − 6푠푒푛2 휃 = 0

×