Chapter9
交互作用項のある共分散分析

共分散分析 とは ?
く 7
{ 0 , 2 } を説明変数 として 持 つ重回帰
モデルダミ
ー
変数
I:
=
Bo +
BiXitBiT
; T
E :
く 共変量 とは ? 〉
。
結果変数 に 影響 する 変数の 中 で 処置 の 影響 を 受
けなに 変数
T
処置
*
X fin
“
共変量

以下 の 仮定 を 満 たす
共分散分析 は 必要 がある
人 つ
0 仮定ワ := Bot β aX : + B 2 T : + E :
回帰係数 の 傾 き β が
い
処置群 ( 7な)
潜在的結果変数 : ( o ) と
γil 2 ) の 間 で 共通
Y
対照群(0 )
シ
∞
均処置効果
A
TE )
を 推定可能 =β2
] B 1
X

仮 満
をは ?
場合定口
さなつ
交互作用項
。
平均処置効果 を 上手 く
0
推定するこができないと I:
=
BoT βI TB2 T : t TE
:BXT:
X .
辿 処置群 ( な)
1
。 交互作用項
の 追加( T た )
X
1 メ
.
交互作用項 とは 掛 け 算 の 項 対照群 ( 0 )
^
B + B 3 甘X)
ATE =
B 2
+ B 3 区 [X : ]
。
X

交 作用項 のある 共分散分析
← つ
互
←
交互作用項
=
Bot BiX: B.
TE +
B 3 XT :
+ ε
: ( 92 )
…
7:
( T :
= 0 )
= BoTB .XIB 2 OT B 3 X -
O ± E :
ー N
統制群
Bot B . ix : t ε
; ( 9 . 4
)
( T た = I )
= Bot BiXitBItβ x : t E :
II
:
処置群 ↓ . d
( β o
+
β2 ) Bi
+ B ix :
9
$ )

くどう 平均処 果 ) を 定 ? 〉
効 推
するかや
、 τ 置ATE
個体 因果効果 潜在結果変数 c : ( o ) の 差 (
ICE ):
[:
=
9: ( I ) -
X (0 )
( 9 . 4 ) , ( 9
. 5 ) の 式 を 代 λ
I :
=
[ / B 0
t B 2 ) + ( β i
+ β 3 ) X: +ε : ] -
[ Bo + BiXitEi ]
Ii =
B 2 t B 3 x :
…
9 .
6
( )
O
ATE は ICE の期待値
[ATE
=
: ( I ) -F :
COL J
世
=
E [ β2 + B 3 x : ]
=
区 [ β2 ] + 甘(B3 X: ]
=
β=+ B 3 区 [x: ]

。
標準偏差
Var [TATE ] = Var 「 β2
+ E [X: ] ]
B .
Var [[ ATE] =
Var [ β2] + (甘[xi ] p [B
3
] V
ar 区[x : ] ICv [β, Bs
Var[ XtY] = Var [ x] + Var [ Y] + 2 CavxiY ]
1 Van [ kX ] =
K
'
var [x ]
,
CorCkX , Y ] =
KCov [X ,
YJ )
[TATE ] =
Var [ β2] + ( 区[xi ] p [B
]
V
ar 区 [x: ] Icav [B
2
Se
の
標準偏差 を 出 すには 共分散行列 が 必要

く 簡便 な 推定方法 >
d:
=
Bot BiX + β
aT :←
β 3 ( x :一区 (x) ) ( T た -
区 (T ) )
平均 からの 偏差 の 積
B 3 = TATE
Var[β 3
] = S .
e (TATE )
β 3 そのまま 推定
でまるで

く 6 章 から 9 章 までのまとめ 〉
結果変数 に 影響 するが 、 処置変数 c は 関係 のなり
( 6 .
6 )
共変量 はモに 入 れなくても 偏 りに 悪影響
はないデル
ただしモデルの 説明力 を 向上 させるため 、
利用できるなら
活用 するべ 1 。
共変量
Tた
X ,
Y ESS
K
置変数
☆
玉
結果変数
ESS
ex) ランダム比較化検証
X ,

( 6 .
7 ) 結果変数 に 影響 をお ,
処置 と
七与
え τ Y 変数
関連 のある 共変量 は , 偏 りに
影響悪 を 及 ぼす
ためモデルに 含 めなければならない 。
このような 変数 を 交絡因子 と 呼 ぶ
交絡因子
Ti
Y ESS X,
A 幽 〜
ESS Ti I
,
X ,
ex) 最初 のテストの例

( 7 . 処置変数 と
関連 があるが 結果変数 に 影響 のなり
31)
変数 は 標準誤差 を 大 きくするため 入 れない 方 が 望 まい 。
しかしモデルに 含 めても 偏 りに 影響悪 はない 。
影響 するかわからないなら 入 れろ
Y EssT,
X ,
X,
A 逃
Ti I
,

( 7.
3 . 2 ) 処置変数 ε 結果変数 の 因果 のパスの 間 に 存在
する 中間変数 (媒介変数 ) は 、 モデルに 入 れてはならない
媒介変数
Ti X,
Y ESS
@
@
因果
A
Ti ,
ESS
X ,
広告
( )
ex) aimpression
ベン 図 は ( 6 .
7 ) と 同 じ
逅
Cost CV
1

( 8 . 1 . 3 ) 2 つ 以上 の 共変量 に 強 い多重共線性 があっても 、
そのまま
モデルに 入 れておけばよい
ただし 共変量 と 処置変数 に 強 い 多重共線性 が
ある 場合 は 取 り 除 くことが 望 まい
前者
7 後者
( )
Tた
Ti
Y
Y 1
竺
X , ↓
取 り 除 く
1
× 2 入 れてよし
→
ー

8 .
3 ) あまり 重要 でない 共変量 は 誤 として
差 扱 うことが 現実的
な 場合 もある 。
正規分布 誤差 の 分布 重要 でないなら 誤差みたいなもの
1
匹
. ) 処置群 と 統制群 で 回帰 の 傾きが 平行 でないと 考 え
られるならば、 モデルに 交互作用項 を 入 れる 。

含
めるべきくつ
σ
結果 数 の 原因 となている 共変量 ( 6 . 6 )
変
∞
処置
の 原因となっている 共変量(交絡因子 ) 6
. )
α
処置 と 結果変数 の 共通 の 原因 となっている 変数 が
観測 できない 場合 の
,
代理変数
例 ) 知識 IQ テストの 点数
動能力
運 体 カテストエンジニア
?
カ
く 含 めるべきでな v 7
。 中間変数 。 合流点因果
の
。 操作変数 ( 13 ,
14 )

く 何 が 間変数 かはときと 場合 による 7
中
,
σ 知 いたい
恕
X , X
,
X 2
← 中間変数
。
交絡因子
」
a 山修X 、 ε % の位置 を
X , m 変える 。
4
知 りたい X 、
交絡因子
山 M
X
' 知
いたと
m

く 因果 の 合流点 は 含 めない >
剩
X
の 因果 の 合流点
鸞
祟 d ↓
X , : T, re
2 を 含 めると ,
X.
eX に 相関 が 見 られることがある 。
選 バイアス
抜

< 共分散分析 ε 傾向 スコアの 優劣 >
傾向 スコアとは 共変量 X が与
えられたき
処置 に
割付 けられる 確率 ( O 〜 I )
イヌ ー
ジン
7
ex) ランダム 化比較検証 ex ) 交絡因子 と 含 む (最初 のテストの例)
id 共変量 処置 割付 け確率 id 共変量 処置 割付 け確率
1 20
1 O . S
I 20 0 0
2
40
0 O .
S
2
40 1
I
3 3 0
0 O . S
3 3 0 0
0
4 35 L O .
S 4 35 I
I
S
19 0 O . S S I 5 O 0
6 4 S I O .
S 6 4 S I 1

0 傾向 スコアの 利点 ( 共分散分析 と 比 べて )
ATECATT の 両方 を 推 できる
定
誤設定 されたモデルに 強 い