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Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones                                            o                        Investigac...
Segundo Semestre 2003                                                                         Programaci´n Lineal         ...
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  1. 1. Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones o Investigaci´n de Operaciones 1 o Formulaci´n de Modelos de Programac´n Lineal o o 25 de julio de 2003 La Programaci´n Lineal (LP) es una herramienta para resolver problemas de optimizaci´n que se o ocaracterizan por tener como funci´n objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de odecisi´n. La principal ventaja radica en que existe un algoritmo eficiente (SIMPLEX) para resolver oeste tipo de modelos.1. Conceptos B´sicos a Consideremos el siguiente ejemplo para describir los t´rminos presentes en todo problema de LP. eEjemplo 1.Una muebler´ produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000 ıaen materiales, adem´s, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de alas sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y manode obra respectivamente. La fabricaci´n de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpinter´ o ıay terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpinter´ y 2 horas de terminaciones. Una silla ıarequiere de 1 hora de carpinter´ y 1 hora de terminaciones. ıaCada semana, la muebler´ puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden ıadedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpinter´ La demanda por mesas ıa.no est´ limitada, mientras que la demanda semanal m´xima por sillas es de 40. a aLa muebler´ desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matem´tico que ıa apermita maximizar las utilidades.1.1. Variables de Decisi´n o Se debe comenzar definiendo las variables de decisi´n relevantes. En un modelo de programaci´n o olineal las variables de decisi´n deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan oser tomadas y todas las variantes que existan.Antes de definir las variables de decisi´n es importante definir las unidades involucradas en el problema. oEn este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demandasemanal. De acuerdo a ello, una buena opci´n para definir las variables de decisi´n consiste en asociar o olas variables al n´mero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos udefinir: x1 = n´mero de mesas producidas por semana. u (1.1) x2 = n´mero de sillas producidas por semana. u 1
  2. 2. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o1.2. Funci´n Objetivo o En un problema de LP, se debe tomar la decisi´n de maximizar (usualmente las utilidades) oo de minimizar (usualmente los costos) cierta funci´n de las variables de decisi´n. La funci´n a o o omaximizar o minimizar se denomina funci´n objetivo. Antes de formular el modelo matem´tico o aconviene resumir los datos del problema (Cuadro 1.1). Venta Materiales Mano de Obra Carpinter´ ıa Terminaciones Dda. M´xima a $ $ $ hr. hr. un. un. un. un. un. un. sem. Mesa 27000 10000 14000 1 2 – Silla 21000 9000 10000 1 1 40 Disponibilidad – – – 80 100 – Cuadro 1.1: Resumen Ejemplo 1 En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x1 o de x2 , por lo tanto bastaconcentrarse en maximizar la diferencia entre: ingresos costos de costos por − − (1.2) semanales materiales mano de obra Luego, se debe expresar los t´rminos anteriores en funci´n de las variables de decisi´n x 1 y x2 . e o oSupondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas (respentando las condicionesde mercado del enunciado). As´ ı: ingresos ingresos ingresos = + semanales por mesas por sillas $ mesas $ sillas (1.3) = mesa semana + semana silla = 27000x1 + 21000x2 Similarmente: costos por = 10000x1 + 9000x2 materiales (1.4) costos por = 14000x1 + 10000x2 mano de obra Por lo tanto la funci´n a maximizar queda (en miles): o (27x1 + 21x2 ) − (10x1 + 9x2 ) − (14x1 + 10x2 ) = 3x1 + 2x2 (1.5) Otra opci´n para construir la funci´n objetivo consiste en calcular previamente los ingresos netos o oo utilidades de cada uno de los productos de la muebler´ As´ ıa. ı: utilidad por mesa = 27 − 10 − 14 = 3 (1.6) utilidad por silla = 21 − 9 − 10 = 2 As´ el objetivo de la muebler´ es escoger los valores de x1 y x2 tal que se maximize 3x1 + 2x2 . ı, ıaDenotando por z el valor de la funci´n objetivo para cualquier LP, la funci´n objetivo de la muebler´ o o ıaes: 2
  3. 3. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o Maximizar z = 3x1 + 2x2 (1.7) El coeficiente que acompa˜a a cada variable en la funci´n objetivo se denomina coeficiente en la n ofunci´n objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable a la funci´n objetivo. o o1.3. Restricciones En la medida que las variables x1 y x2 crecen, la funci´n objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si ose pudiera escoger arbitrariamente el valor de x1 y x2 , la muebler´ podr´ hacer crecer arbitrariamente ıa ıael valor de sus utilidades. Evidentemente, en la pr´ctica esto no es posible. En este ejemplo, el valor ade las variables est´ limitado por las siguientes tres restricciones: a Restricci´n 1 : m´ximo 100 horas semanales para terminaciones o a Restricci´n 2 : m´ximo 80 horas semanales para carpinter´ o a ıa Restricci´n 3 : producci´n m´xima de 40 sillas semanales o o a Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el pr´ximo paso consiste en oformular matem´ticamente las restricciones anteriores en funci´n de las variables de decisi´n. Para a o oformular la primera restricci´n en funci´n de las variables x1 y x2 observamos que: o o terminaciones = terminaciones mesas semana mesa semana + terminaciones sillas (1.8) silla semana = 2x1 + 1x2 Por lo tanto la primera restricci´n queda: o 2x1 + x2 ≤ 100Es importante notar que todos los valores en la expresi´n anterior son por semana, ya que las variables ode decisi´n se han escogido con esa referencia. oAn´logamente la segunda restricci´n queda: a o x1 + x2 ≤ 80Finalmente, la tercera restricci´n s´lo limita el valor de x2 : o o x2 ≤ 40El valor que aparece a la derecha del signo de la desigualdad en cada restricci´n se denomina the oconstraint’s right-hand side (rhs) o coeficiente del lado derecho de la restricci´n. Usualmente, orepresenta la cantidad disponible de cierto recurso.1.4. Restricci´n de Signo o Para completar la formulaci´n del modelo es importante definir si existe alguna restricci´n de signo o opara cada variable de decisi´n. oSi una variable de decisi´n xi debe cumplir condiciones de no-negatividad, debemos agregar la re- ostricci´n xi ≥ 0. Si la variable de decisi´n xi puede asumir valores positivos y negativos se dice que la o ovariable xi no tiene restricci´n de signo (srs). oEn este ejemplo, ambas variables de decisi´n se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son ono-negativas, luego: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. Sin embargo, en otros ejemplos las varibles pueden ser srs, porejemplo en el caso de que xi se refiere al saldo de alguna cuenta. 3
  4. 4. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal oCombinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matem´tico para este aproblema de optimizaci´n: o Max z = 3x1 + 2x2 (Funci´n Objetivo) o sujeto a (st) 2x1 + x2 ≤ 100 (Restricci´n o de terminaciones) x1 + x 2 ≤ 80 (Restricci´n o de carpinter´ ıa) (1.9) x2 ≤ 40 (Restricci´n o de demanda m´xima) a x1 ≥ 0 (Restricci´n o de signo) x2 ≥ 0 (Restricci´n o de signo) Se deja como ejercicio al lector determinar las modificaciones sobre el modelo anterior si: El excedente de horas de terminaciones puede ser empleado para carpinter´ y viceversa. ıa La misma hip´tesis del punto anterior pero suponiendo que cada hora de terminaciones equivale o a dos horas de carpinter´ ıa. La producci´n de mesas no puede exceder al 40 % del total de unidades producidas de mesas y o sillas.2. Generalizaci´n o Repasemos en primer lugar algunos conceptos de linealidad de funciones y desigualdades.Definici´n 1 Una funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) de x1 , x2 , · · · , xn es una funci´n lineal s´ y s´lo s´ para o o o ı o ıun conjunto de constantes c1 , c2 , · · · , cn , se tiene: f (x1 , x2 , · · · , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xnDefinici´n 2 Para cualquier funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) y cualquier n´mero b las desigualdades: o o u f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ b f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≥ bson desigualdades lineales.Definici´n 3 Un problema de programaci´n lineal (LP) es un problema de optimizaci´n para el cual o o odebemos tener presente lo siguiente: 1. Se maximiza (o minimiza) una funci´n lineal de las variables de decisi´n. La funci´n que es o o o maximizada o minimizada se denomina funci´n objetivo. o 2. Los valores de las variables de decisi´n deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada o restricci´n debe ser una ecuaci´n o desigualdad lineal. o o 3. Existe una restricci´n de signo asociada a cada variable. Para toda variable x i , la res- tricci´n o o de signo especifica si xi debe ser no-negativa (xi ≥ 0)o bien sin restricci´n de signo (srs). o De acuerdo a las definiciones anteriores, el ejemplo estudiado corresponde efectivamente a un LP,pues tanto la funci´n objetivo como las restricciones son funciones lineales de x 1 y x2 . El proble- oma estudiado corresponde a un problema t´ ıpico de decisi´n donde se debe obtener el programa de oproducci´n que maximiza las utilidades sujeto a recursos limitados. o 4
  5. 5. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o3. Consecuencias y Supuestos El hecho que la funci´n objetivo de un PL sea una funci´n lineal de las variables de decisi´n tiene o o odos implicancias: 1. La contribuci´n a la funci´n objetivo de cada variable es proporcional al valor de la variable de o o decisi´n. o 2. La contribuci´n a la funci´n objetivo para toda variable es independiente de los valores de las o o otras variables de decisi´n. o An´logamente, el hecho de que cada restricci´n sea una ecuaci´n o desigualdad lineal tambi´n a o o etiene dos implicancias: 1. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es propor- o o cional al valor de la variable. 2. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es indepen- o o diente de los valores de las otras variables. Las primeras implicancias de la listas anteriores constituyen el Supuesto de Proporci´n en LP. oLas segundas implicancias de las listas anteriores constituyen el Supuesto de Adici´n en LP. oPara que un modelo de LP corresponda a una representaci´n adecuada de la realidad, las variables ode decisi´n deben satisfacer los dos supuestos anteriores. Adicionalmente, se agregan dos supuestos: oel supuesto de Divisibilidad y el de Certeza.El Supuesto de Divisibilidad requiere que cada variable de decisi´n pueda tomar valores frac- ocionarios. En el ejemplo anterior, el supuesto se traduce en que es aceptable producir 2.4 sillas ´ 1.6 omesas. Evidentemente, el supuesto de divisibilidad no se satisface en el ejemplo. En este caso se puedeproceder a formular el modelo como un problema de programaci´n lineal entera (ILP), problema en el ocual una o m´s variables deben ser enteras. Este tipo de problema se estudiar´ m´s adelante. Cuando a a ano se satisface el supuesto de divisibilidad, una posibilidad es redondear la soluci´n obtenida a un ovalor entero, sin embargo no existen garant´ que dicha soluci´n sea la mejor. ıas oEl Supuesto de Certeza exige que cada par´metro: coeficientes de la funci´n objetivo, coeficientes a odel lado derecho, etc. sean conocido con certeza, es decir, no se acepta incertidumbre en sus valores.Es claro que es muy dif´ que un problema cumpla exactamente con todos los supuestos. Sin embargo, ıcilun modelo puede ser util aunque difiera de la realidad si se es consistente con los requerimientos m´s ´ aestrictos del problema y se tienen presente las limitaciones al interpretar los resultados.4. ´ Regiones Factibles y Soluciones Optimas Dos de los conceptos m´s fundamentales en LP son el de regi´n factible y de soluci´n ´ptima de a o o oun problema. Llamaremos punto a la especificaci´n de un valor para cada variable de decisi´n. o oDefinici´n 4 La regi´n factible para un LP es el conjunto de puntos que satisfacen todas las re- o ostricciones (incluidas las de signo) de un problema de LP. 5
  6. 6. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal oDefinici´n 5 En el caso de un problema de maximizaci´n, una soluci´n ´ptima del LP es un punto o o o ode la regi´n factible que est´ asociado al mayor valor posible de la funci´n objetivo. Similarmente, o a opara un problema de minimizaci´n, una soluci´n optima es un punto que est´ asociado al menor valor o o ´ aposible de la funci´n objetivo. o La mayor´ de los problemas de LP tienen s´lo una soluci´n ´ptima. Sin embargo, existen muchos ıa o o oproblemas de LP que no poseen soluci´n ´ptima o bien poseen varios o infinitos valores ´ptimos. o o o5. Algunos Ejemplos5.1. Problema de la Dieta Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2000 [kCal], 55 [g] de prote´ ınas y 800 [mg] deCalcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de m´ ınimo costoa partir de los alimentos indicados en el Cuadro 5.1. $ u Alimento Porci´n o Energ´ [kCal] ıa Prote´ ınas [g] Calcio [mg] Precio u L´ ımite d´a ı Avena 28 110 4 2 3 4 Pollo 100 205 32 12 24 3 Huevos 2 160 13 54 13 2 Leche 237 160 8 285 9 8 Pastel 170 420 4 22 20 2 Cerdo 260 260 14 80 29 2 Cuadro 5.1: Alimentos disponibles Modelo:En este caso resulta natural definir como variable de decisi´n xi la cantidad de alimento tipo ”i”(i = o1 . . . 6) a consumir. Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisi´n por osu respectivo coeficiente y construir la funci´n objetivo a minimizar. Las restricciones obedecen a los ol´ ımites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energ´ prote´ ıa, ınas y calcio que debecumplir la dieta. Por lo tanto, el modelo queda: Min z = 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 29x6 (Funci´n Objetivo) o st 110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 (Energ´ m´ ıa ınima) 4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 (Proteinas m´ınimas) 2x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 (Calcio m´ınimo) x1 ≤ 4 (Porci´n l´ o ımite) x2 ≤ 3 (Porci´n l´ o ımite) x3 ≤ 2 (Porci´n l´ o ımite) x4 ≤ 8 (Porci´n l´ o ımite) x5 ≤ 2 (Porci´n l´ o ımite) x6 ≤ 2 (Porci´n l´ o ımite) xi ≥ 0 ∀i (Restricci´n de signo) o 6
  7. 7. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o5.2. Problema de Planificaci´n de Personal o Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. Laadministraci´n ha decidido definir 6 cambios de turno al d´ para minimizar las distracciones y los o ıaproblemas de comunicaci´n que ocurren en los cambios de turno. oEl hospital ha realizado un an´lisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios adel d´ Las caracter´ ıa. ısticas de cada bloque se muestran en el Cuadro 5.2. Hora del D´ ıa Per´ ıodo N´mero m´ u ınimo de enfermeras 2 AM - 6 AM 1 25 6 AM - 10 AM 2 60 10 AM - 2 PM 3 50 2 PM - 6 PM 4 35 6 PM - 10 PM 5 55 10 PM - 2 AM 6 40 Cuadro 5.2: Caracter´ ısticas de cada Bloque Horario. Las enfermeras que empiezan a trabajar en los per´ıodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al d´ y aquellas ıa,que comienzan en los per´ıodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al d´ ¿Cu´l es la planificaci´n de los turnos de ıa. a olas enfermeras que minimizan los costos por salarios?Modelo:En este caso podemos identificar como variable de decisi´n el n´mero de enfermeras N i que comienza o ua trabajar en el turno ”i”(i = 1 . . . 6). De esta forma, la funci´n objetivo queda: o z = 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6Evidentemente, la funci´n anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente orecurrir a una representaci´n gr´fica de los turnos (Figura 5.1). o a Turno 1 2 3 4 5 6 N1 N2 N3 N4 N5 N6 Figura 5.1: Esquema de los turnos De la gr´fica anterior se observa que en cada bloque trabajan las enfermeras que comenzaron su aturno en dicho bloque, pero tambi´n las que empezaron su turno en el bloque anterior. Por lo tanto, elas restricciones de personal m´ ınimo por turno quedan: N1 + N 2 ≥ 60 N2 + N 3 ≥ 50 N3 + N 4 ≥ 35 N4 + N 5 ≥ 55 N5 + N 6 ≥ 40 N6 + N 1 ≥ 25 7
  8. 8. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo: Ni ≥ ∀ i5.3. Problema de Planificaci´n de Producci´n o o La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes(grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los pr´ximos 4 trimestres. oActualmente, Sil Computer tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para lospr´ximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. Sil Computer tiene el material y la capacidad de oproducir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Emple-ando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2500 computadores m´s a un costo individual ade US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la de-manda de ese per´ ıodo, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computadoren inventario tiene un costo adicional de US$100 por per´ ıodo para reflejar los costos de almacenaje.¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo m´ ınimo?Modelo:En este caso la decisi´n a tomar corresponde a la producci´n de computadores por trimestre. Co- o omo se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambostipos de producci´n en variables distintas. Adem´s, se debe decidir en cada per´ o a ıodo cuantas unidadesguardar en inventario. Definamos las siguientes variables (∀ t = 1 . . . 4): xt = producci´n en el per´ o ıodo t en horario normal yt = producci´n en el per´ o ıodo t en sobretiempo it = inventario al final del per´ ıodo t De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balancetrimestral entre lo producido, lo proveniente del per´ ıodo anterior en inventario y la demanda deltrimestre respectivo. Min z = 2000(x1 + x2 + x3 + x4 ) + 2200(y1 + y2 + y3 + y4 ) + 100(i1 + i2 + i3 ) st 5000 + x1 + y1 = 7000 + i1 i1 + x 2 + y2 = 15000 + i2 i2 + x 3 + y3 = 10000 + i3 i3 + x 4 + y4 = 8000 xt ≤ 10000 ∀t yt ≤ 2500 ∀t x t , yt , i t ≥ 0 ∀t Para la formulaci´n anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado oen horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente estesupuesto puede no ser correcto en la situaci´n real, pero constituye una buena aproximaci´n del prob- o olema.Revisando la formulaci´n propuesta, se observa que no existe la variable i 4 ¿ Porqu´ no se incluye en o eel modelo ? ¿ Qu´ pasar´ si se incorporara ? e ıa 8
  9. 9. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o5.4. Problema de Transporte Supongamos un problema de transporte de alg´n producto desde n or´ u ıgenes hacia m destinos. Encada origen hay una existencia de productos ei (i = 1 . . . n). En cada destino hay una demanda por djunidades (j = 1 . . . m). El costo unitario de env´ desde cada origen i hacia cada destino j es de c ij . ıoFormule un modelo de programaci´n lineal que permita definir la distribuci´n del producto de modo o ode minimizar los costos de transporte.Modelo:La decisi´n consiste simplemente en determinar el n´mero de productos que son transportados desde o ucada origen hacia cada destino. Luego, se emplear´n las siguientes variables: a xij = cantidad enviada desde origen i a destino jDe acuerdo a las variables definidas, la funci´n objetivo queda: o n m M in cij xij i=1 j=1Las restricciones corresponden a la capacidad m´xima en cada origen y a la demanda en cada destino. aAdem´s, como las variables representan cantidades, deben ser positivas. a m j=1 xij ≤ ei ∀ i = 1 . . . n (disponibilidad) n i=1 xij ≥ dj ∀ j = 1 . . . m (demanda) xij ≥ 0 ∀i×j (restricci´n de signo) oEl problema anterior se dice balanceado si se satisface que: n m ei = dj i=1 j=1El problema anterior admite m´ltiples variaciones como la incorporaci´n de l´ u o ımites a la capacidadde cada ruta, incorporaci´n de costos fijos, puntos de transbordo, rutas alternativas entre otras posi- obilidades. Este tipo de problema es muy vers´til y puede ser aplicado a muchas situaciones que no anecesariamente se refieren a transporte, adem´s posee su propio algoritmo de resoluci´n. ¿ C´mo a o ocambiar´ la formulaci´n si se incorporaran k puntos de transbordo, es decir, puntos intermedios sin ıa odemanda ni oferta, pero que pueden servir como rutas alternativas para disminuir costos de env´ ıodesde un origen i a alg´n destino j ? u5.5. Problema de Mezcla Una refiner´ de petr´leos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende ıa oa su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos sepreparan del inventario de petr´leo nacional refinado y de petr´leo importado refinado que tiene la o orefiner´ y deben cumplir las especificaciones que se presentan en el Cuadro 5.3. ıa Las caracter´ ısticas del inventario de petr´leos refinados se muestran en el Cuadro 5.4. o Formule un modelo de programaci´n lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la re- ofiner´ıa. 9
  10. 10. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o Presi´n m´xima o a Octanaje Demanda m´xima a Entregas m´ ınimas de vapor m´ınimo [barril/semana] [barril/semana] Regular 23 88 100.000 50.000 Extra 23 93 20.000 5.000 Cuadro 5.3: Especificaciones de las gasolinas Presi´n o Inventario Costo Octanaje de vapor [barril] [US$/barril] Nacional 25 87 40.000 8 Importado 15 98 60.000 15 Cuadro 5.4: Caracter´ ısticas de los petr´leos oModelo:Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen p´rdidas en el pro- eceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presi´n de vapor se pueden mezclar linealmente. oDe acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que propor-ci´n de cada tipo de petr´leo se emplear´ para fabricar cada tipo de gasolina, as´ o o a ı: xij = cantidad de petr´leo refinado tipo i (i = 1, 2) para fabricar gasolina j (j = 1, 2) oDonde petr´leo refinado tipo 1 corresponde a Nacional y tipo 2 a Importado, gasolina 1 equivale a oRegular y gasolina 2 a Extra. Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplearlas proporciones entregadas en el enunciado.Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petr´leo, la funci´n objeti- o ovo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades. M ax 12(x11 + x21 ) + 14(x12 + x22 ) − 8(x11 + x12 ) − 15(x21 + x22 )A continuaci´n construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y de- omanda de cada tipo de gasolina se explican por s´ solas: ı x11 + x12 ≤ 40000 (Inventario petr´leo tipo 1) o x21 + x22 ≤ 60000 (Inventario petr´leo tipo 2) o x11 + x21 ≥ 50000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 1) x11 + x21 ≤ 100000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 1) a x12 + x22 ≥ 5000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 2) x12 + x22 ≤ 20000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 2) aLas restricciones de presi´n de vapor y de octanaje m´ o ınimo deben ser normalizadas respecto de la 10
  11. 11. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal ocantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad m´xima o m´ a ınima posible de fabricar. 25x11 +15x21 x11 +x21 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 1) o a 25x12 +15x22 x12 +x22 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 2) o a 87x11 +98x21 x11 +x21 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 1) 87x12 +98x22 x12 +x22 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 2)Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo: xij ≥ 0 ∀i×j5.6. Problema de Producci´n y Asignaci´n de Personal o o Un peque˜o taller arma dispositivos mec´nicos, ya sea como un producto terminado que entrega n aal mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran f´brica. Trabajan 3 personas aen jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora, y eltercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres est´n dispuestos a trabajar hasta 10 horas aadicionales a la semana con un salario 50 % superior durante este per´ıodo.Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operaci´n variable son de $1,0 por hora de otrabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mec´nicos sin aacabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El due˜o del taller tiene como pol´ n ıtica el producirno m´s de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. aLos dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado.Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir undispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensam-blarse y dejarlo terminado agreg´ndole 0,5 horas de trabajador calificado. aUn dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no califi-cado y 0,5 horas de obrero calificado.Plantear el modelo de Programaci´n Lineal que permita responder la consulta: ¿ C´mo y cu´nto o o aproducir para cumpir el contrato de modo de maximizar las utilidades ?Modelo:En este caso, es posible establecer tres tipo de productos: intermedio (i = 1), intermedio que seacaba (i = 2) y acabado (i = 3). Por lo tanto, se puede definir las siguientes variables: xi = cantidad de productos tipo i fabricados i = 1, . . . 3De acuerdo al enunciado, los dos obreros no calificados y el obrero calificado trabajan 40 horas se-manales fijas, por lo tanto, s´lo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de otrabajo. zj = horas extraordinarias de los trabajadores tipo j j = 1, 2Donde tipo 1 corresponde a obreros no calificados y tipo 2 a obreros calificados. 11
  12. 12. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal oComo existe informaci´n de costos de producci´n y de precio de venta para razonable plantear el o oproblema como uno de maximizaci´n de utilidades. Luego, debemos expresar la diferencia entre in- ogresos (I) y costos (C) como funci´n de las variables de decisi´n: o o I = 6,5 × x1 + 15 (x2 + x3 ) C = 2 × 40 × 0,4 + 0,6 × z1 + 1 × 40 × 0,6 + 0,9 × z2 + sueldos o.n.c. sueldos o.c. 1 × (2 × 40 + z1 ) + 2,4 (1 × 40 + z2 ) + 800 gastos de operaci´n variables o costos fijosLuego, la funci´n objetivo queda: o M ax Z =I −CDe acuerdo al enunciado, existen l´ ımite inferior y superior para la demanda de productos intermedios: x1 ≥ 100 x1 ≤ 150Las otras restricciones tienen que ver con la disponibilidad de mano de obra para producci´n: o 0,5 (x1 + x2 ) + 0,6 × x3 ≤ 80 + z1 z1 ≤ 20 0,25 × x1 + 0,75 × x2 + 0,5 × x3 ≤ 40 + z2 z2 ≤ 10Finalmente, se deben incorporar la restricciones de signo: x i , zj ≥ 0 ∀ i, j5.7. Problema de la Aerol´ ınea Una determinada aerol´ ınea, con centro en Santiago, est´ dise˜ando un nuevo sistema de atenci´n a n oa pasajeros que realicen viajes a cuatro destinos espec´ ıficos: Antofagasta, Temuco, Puerto Montt yPunta Arenas. Para eso consta de tres tipos de aviones, los que difieren en capacidad, rendimientoy costos, seg´n se muestra en el Cuadro 5.5. Hist´ricamente para esta ´poca se tiene una demanda u o e Tipo de Costo de Operaci´n por viaje en la ruta: o Avi´n o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas 1 1000 1100 1200 1500 2 800 900 1000 1000 3 600 800 800 900 Cuadro 5.5: Costos de operaci´n por viaje om´ınima diaria de 90 pasajeros a Antofagasta, 100 a Temuco, 200 a Puerto Montt y de 120 pasajerosa Punta Arenas. Adem´s, lo que la aerol´ a ınea recibe por pasajero a cada lugar es de 40 si el destinoes Antofagasta, 40 si el destino es Temuco, 45 si el destino es Puerto Montt y 70 si se viaja a PuntaArenas.Los datos tanto de operaci´n y de disponibilidad que actualmente tiene la aerol´ o ınea se muestran enel Cuadro 5.6. Finalmente, se ha dispuesto (de preferencia, pero no obligatoriamente) atender m´s a 12
  13. 13. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal o Tipo de Avi´n o Capacidad (pasajeros) N´mero de Aviones u 1 50 5 2 30 8 3 20 10 Cuadro 5.6: Capacidad y disponibilidad de aviones Tipo de N´mero m´ximo de viajes diarios a: u a Avi´n o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas 1 3 2 2 1 2 4 3 3 2 3 5 5 4 2 Cuadro 5.7: Costos de operaci´n por viaje ode una ruta por cada tipo de avi´n, ante lo cual se han planteado condiciones al dise˜o del sistema o nde pasajeros (Cuadro 5.7). Determinar el modelo de programaci´n lineal que permita optimizar la oasignaci´n de los aviones a las distintas rutas. oModelo:Para plantear el problema, se debe definir variables de decisi´n que sean capaces de reflejar el tipo de oavi´n (i = 1, . . . 3) y el destino (j = 1, . . . 4) al que es asignada. Luego, se define: o xij = n´mero de aviones de tipo i asignados al destino j uEn este problema, no se conoce el valor exacto de la demanda por pasajes ya que s´lo se conoce el ovalor m´ınimo de la demanda por pasajes. Por lo tanto, se puede formular la funci´n objetivo de dos oformas: como un un problema de maximizaci´n de las utilidades obtenidas de la diferencia entre el oingreso m´ınimo asociado a la demanda m´ ınima conocida y el costo de asignaci´n de los aviones (in- ogresos constantes), o bien simplemente como un problema de minimizaci´n de costos de asiganci´n. o oIntuitivamente es claro que maximizar una constante menos unas funci´n frente a minimizar la misma ofunci´n es equivalente, por lo que cualquiera de las dos formulaciones conduce a la misma soluci´n. o oLuego, la funci´n objetivo queda: o 3 4 Min cij × xij i=1 j=1Donde los coeficientes cij corresponden a los datos del Cuadro 5.5. Luego, se procede a plantear lasrestricciones. En primer lugar se debe garantizar poder satisfacer la demanda m´ınima, por lo tantobasta ponderar la capacidad de cada tipo de avi´n por el n´mero asignado a cada destino j: o u 50x1j + 30x2j + 20x3j ≥ dj ∀ j = 1, . . . 4Donde dj representa la demanda de cada destino j, es decir: 90, 100, 200 y 120 para Antofagasta,Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas, respectivamente. 13
  14. 14. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal oPor otro lado, no es posible asignar m´s aviones de los disponibles: a 4 xij ≤ ni ∀ i = 1, . . . 3 j=1Donde ni representa la disponibilidad del tipo de avi´n i, es decir, 5, 7 y 10. oTambi´n existe una restricci´n asociada al n´mero de viajes diarios m´ximo por tipo de avi´n i a e o u a ocada destino j: xij ≤ mij ∀i×jLos coeficientes mij corresponden a los datos del Cuadro 5.7.Finalmente, s´lo se debe agregar la restricci´n de signo: o o xij ≥ 0 ∀i×j 14

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