Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Aljabar Linear
(SPL – GAUSS, Gauss-Jordan, Matriks Invers)
Muntaha Syahroni – 1112093000055
Imam Ali Khumaedi – 1112093000...
Okeh.. Sebelum kita membahas metode gaus dan gauss-Jordan, kita
pelajari dulu perbedaan matriks eselon baris tereduksi dan...
Eleminasi gauss
ELIMINASI GAUSS adalah salah satu metode untuk menyelesaikan
suatu SPL. Langkah pada eleminasi gauss adala...
CONTOH :
Carilah solusi dari persamaan dibawah ini !
x + y + 2z = 9
2x + 4y – 3z = 1
3x + 6y – 5z = 0
Ubah persamaan terse...
2. baris kedua : B2 x (1/2),
3. baris ketiga : B3 + (-3)B2,
4. baris ketiga : B3 x -2,
pada matriks terakhir ini dinamakan...
y + (-7/2)z = -17/2
y + (-7/2)3 = -17/2
y + (-21/2) = -17/2
y = (-17/2) + 21/2
y = 4/2 = 2
x + y + 2z = 9
x + 2 + 2(3) = 9...
ELIMINASI GAUSS-JORDAN adalah lanjutan dari eleminasi
gauss, dimana martriks eselon baris dilanjutkan dengan OBE
hingga me...
Lanjutkan OBE pada matriks eselon
baris untuk
Menemukan matriks eselon baris
terduksi.
1. baris kedua : B2 + (7/2)B3
baris...
Metode Invers Matriks
Untuk menyelesaikan SPL bisa dengan invers matriks. Mula-mula
SPL dirubah dulu ke Matriks Koefisien....
1 1 2
2 4 −3
3 6 −5
𝑥
𝑦
𝑧
=
9
1
0
A X = B
Cari Invers dari Matriks A, lalu kalikan
dengan Matriks B.
Ingat rumus matriks I...
Setelah itu, kita cari Adjoin dari matriks A, untuk mencari Adjoin
Matrik ordo 3x3 dan keatas, caranya tidak seperti matri...
1 1 2
2 4 −3
3 6 −5 C23 = (-1)2+3.(3) = -3
Matriks yang tersisa adalah
1 1
3 6
Matriks tersebut memiliki determinan = 3
ma...
Maka Invers dari Matrik A adalah
A-1 =
1
(−1)
−2 17 −11
1 −11 7
0 −3 2
=
2 −17 11
−1 11 −7
0 3 −2
Maka Penyelesaian SPL ny...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Kelompok 6

546 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Kelompok 6

  1. 1. Aljabar Linear (SPL – GAUSS, Gauss-Jordan, Matriks Invers) Muntaha Syahroni – 1112093000055 Imam Ali Khumaedi – 1112093000036 Ayu
  2. 2. Okeh.. Sebelum kita membahas metode gaus dan gauss-Jordan, kita pelajari dulu perbedaan matriks eselon baris tereduksi dan matriks eselon baris. Ciri-ciri Matriks Eselon Baris tereduksi : 1. Pada setiap baris utama, entri tak-nol yang pertama adalah 1 (satu). Dan satu ini disebut Satu utama 2. Jika terdapat baris nol, maka baris tersebut di letakan pada baris yang terbawah. 3. Pada dua baris yang berurutan, letak satu utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih ke kanan. 4. Pada setiap kolom jika terdapat satu utama, entri-entri yang lain adalah nol. Jika sebuah matriks hanya memenuhi ciri 1, 2, 3 saja disebut dengan Matriks eselon baris, sedangkan jika memenuhi semuanya disebut matriks eselon baris terduksi.
  3. 3. Eleminasi gauss ELIMINASI GAUSS adalah salah satu metode untuk menyelesaikan suatu SPL. Langkah pada eleminasi gauss adalah merubah dulu sebuah SPL kedalam augmented matriks, lalu augmented tersbut kemudian dirubah menjadi Matriks eselon baris, setelah itu dilakukanlah subsitusi mundur untuk menemukan solusi dari sebuah SPL.
  4. 4. CONTOH : Carilah solusi dari persamaan dibawah ini ! x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0 Ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks yang diperbesar • kemudian gunakan OBE : 1. baris kedua : B2 + (-2)B1, baris ketiga : B3 + (-3)B1, 1 1 2 9 2 4 −3 1 3 6 −5 0 1 1 2 9 0 2 −7 −17 0 3 −11 −27
  5. 5. 2. baris kedua : B2 x (1/2), 3. baris ketiga : B3 + (-3)B2, 4. baris ketiga : B3 x -2, pada matriks terakhir ini dinamakan matriks berada dalam bentuk Matriks eselon baris. Jika menggunakan metode Eliminasi Gauss Selanjutnya lakukan subtitusi mundur. Jika kita tulis dalam bentuk SPL : x + y + 2z = 9 y + (-7/2)z = -17/2 z = 3 Nilai z sudah diketahui yaitu 3 Subtitusikan ke persamaan 2 untuk mendapat nilai y 1 1 2 9 0 1 −7/2 −17/2 0 3 −11 −27 1 1 2 9 0 1 −7/2 − 17/2 0 0 −1/2 −3/2 1 1 2 9 0 1 −7/2 −17/2 0 0 1 3
  6. 6. y + (-7/2)z = -17/2 y + (-7/2)3 = -17/2 y + (-21/2) = -17/2 y = (-17/2) + 21/2 y = 4/2 = 2 x + y + 2z = 9 x + 2 + 2(3) = 9 x + 2 + 6 = 9 x + 8 = 9 x = 9-8 = 1 Metode tersebut adalah menggunakan metode Eliminasi Gauss. Kita juga bisa mencari solusi dengan metode eliminasi gauss-Jordan. Caranya dengan melanjutkan OBE pada Matriks eselon baris menjadi matriks eselon baris tereduksi Nilai z sudah diketahui yaitu 3 dan nilai y juga sudah diketahui yaitu 2, lalu Subtitusikan ke persamaan 1 untuk mendapat nilai x Jadi, solusi dari persamaan diatas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3.
  7. 7. ELIMINASI GAUSS-JORDAN adalah lanjutan dari eleminasi gauss, dimana martriks eselon baris dilanjutkan dengan OBE hingga menghasilkan matriks eselon baris terduksi. Setelah itu, solusi akan ditemukan.
  8. 8. Lanjutkan OBE pada matriks eselon baris untuk Menemukan matriks eselon baris terduksi. 1. baris kedua : B2 + (7/2)B3 baris pertama : B1 + (-2B3), 2. baris pertama : B1 – B2, bentuk tersubut dalah matriks eselon baris tereduksi. Dengan demikian dapat dituliskan dalam bentuk SPL. x = 1 y = 2 z = 3 Solusi yang didapat dari metode Eliminasi Gauss dan Emliminasi gauss-Jordan adalah sama. 1 1 2 9 0 1 −7/2 −17/2 0 0 1 3 1 1 0 3 0 1 0 2 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 Contoh : kita ambil contoh lanjutan dari contoh soal dengan metode gauss.
  9. 9. Metode Invers Matriks Untuk menyelesaikan SPL bisa dengan invers matriks. Mula-mula SPL dirubah dulu ke Matriks Koefisien. A.X = B X = A-1.B Untuk lebih jelasnya kita langsung ke contoh saja yaa…  Contoh : Carilah solusi dari persamaan dibawah ini ! x + y + 2z = 9 2x + 4y – 3z = 1 3x + 6y – 5z = 0
  10. 10. 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 𝑥 𝑦 𝑧 = 9 1 0 A X = B Cari Invers dari Matriks A, lalu kalikan dengan Matriks B. Ingat rumus matriks Invers Agar lebih mudah dalam mencari Invers A. pertama kita cari dulu Determinan dari Matriks A. 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 1 1 2 4 3 6 |A| = ((1.4.(-5))+(1.(-3).3)+(2.2.6)) – ((2.4.3)+(1.(-3).6)+(1.2.(-5)) = ((-20)+(-9)+(24)) – (24)+(-18)+(-10)) = (-5) – (-4) = (-5)+4 = -1 A-1 = 1 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡(𝐴)
  11. 11. Setelah itu, kita cari Adjoin dari matriks A, untuk mencari Adjoin Matrik ordo 3x3 dan keatas, caranya tidak seperti matriks ordo 2x2. langakah awalnya mencari kofaktor-kofaktor dari elemen matriks. 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C11 = (-1)1+1.(-2) = -2 Matriks yang tersisa adalah 4 −3 6 −5 Matriks tersebut memiliki determinan = -2 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C12 = (-1)1+2.(-1) = 1 Matriks yang tersisa adalah 2 −3 3 −5 Matriks tersebut memiliki determinan = -1 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C13 = (-1)1+3.(0) = 0 Matriks yang tersisa adalah 2 4 3 6 Matriks tersebut memiliki determinan = 0 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C21 = (-1)2+1.(-17) = 17 Matriks yang tersisa adalah 1 2 6 −5 Matriks tersebut memiliki determinan = -17 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C22 = (-1)2+2.(-11) = -11 Matriks yang tersisa adalah 1 2 3 −5 Matriks tersebut memiliki determinan = -11 maka kofaktornya adalah
  12. 12. 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C23 = (-1)2+3.(3) = -3 Matriks yang tersisa adalah 1 1 3 6 Matriks tersebut memiliki determinan = 3 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C31 = (-1)3+1.(-11) = -11 Matriks yang tersisa adalah 1 2 4 −3 Matriks tersebut memiliki determinan = -11 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C32 = (-1)3+2.(-7) = 7 Matriks yang tersisa adalah 1 2 2 −3 Matriks tersebut memiliki determinan = -7 maka kofaktornya adalah 1 1 2 2 4 −3 3 6 −5 C33 = (-1)3+3.(2) = 2 Matriks yang tersisa adalah 1 1 2 4 Matriks tersebut memiliki determinan = 2 maka kofaktornya adalah Matriks yang terbentuk dari kofaktor – kofaktor tersebut adalah −2 1 0 17 −11 −3 −11 7 2 Maka Adjoinnya adalah transpose dari Matriks tersebut. −2 17 −11 1 −11 7 0 −3 2 Adjoin dari Matriks A adalah
  13. 13. Maka Invers dari Matrik A adalah A-1 = 1 (−1) −2 17 −11 1 −11 7 0 −3 2 = 2 −17 11 −1 11 −7 0 3 −2 Maka Penyelesaian SPL nya adalah A.X = B X = A-1.B 𝑥 𝑦 𝑧 = 2 −17 11 −1 11 −7 0 3 −2 9 1 0 𝑥 𝑦 𝑧 = 2.9 + −17.1 + (11.0) −1.9 + 11.1 + (−7.0) 0.9 + 3.1 + (−2.0) 𝑥 𝑦 𝑧 = 18 + −17 + (0) −9 + 11 + (0) 0 + 3 + (0) 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 2 3 A-1 = 1 𝑑𝑒𝑡(𝐴) 𝑎𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡(𝐴)

×