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Programacion no lineal

metodos de progranacion no lineal yonathan rodríguez
iupsm. maracaibo

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Programacion no lineal

  1. 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la Educación Superior Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Optimización de sistemas y funciones Integrante Yonathan Rodríguez CI: 18.282.757 Profesor Wilfredy Inciarte Maracaibo, julio del 2015 Edo.Zulia
  2. 2. • En matemáticas, Programación no lineal (PNL) es el proceso de resolución de un sistema de igualdades y desigualdades sujetas a un conjunto de restricciones sobre un conjunto de variables reales desconocidas, con un función objetivo a maximizar (o minimizar), cuando alguna de las restricciones o la función objetivo no son lineales. PROGRAMACIÓN NO LINEAL • Programación no lineal: Se tiene que encontrar los puntos extremos, críticos o estacionarios lo que es solución optima f(x)=0. • Función Cóncava: En la primera derivada de un punto máximo. • Función Convexa: Da como resultado un punto máximo. • Máximo local: Punto en el cual una función tiene un valor local mínimo. Si x* es un maximizador local entonces f(x)<=f(x*)para toda x de una variedad de x*(optima) • Máximo global: Punto en el que una función tiene un valor global máximo. Si x* es un maximizador global entonces f(x)<=f(x*) para toda x. CONCEPTOS BÁSICOS
  3. 3. Programación Lineal Programación No Lineal Variables elevadas al exponente 1. Elevadas al exponente n. Número producto de variables Si hay productos de variables Proporcionalidad No siempre hay proporcionalidad Solución óptima es factible No siempre es factible Aditividad DIFERENCIAS ENTRE PROGRAMACIÓN LINEAL Y PROGRAMACIÓN NO LINEAL
  4. 4. FORMA ESTANDAR DEL MÓDELO Sujeta a las restricciones: a11x1 + a12x2 +….+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +….+ a2nxn < b2 am1x1 + am2x2 +….+ amnxn < bm X1 ³ 0, X2 ³0, …, Xn ³0. En Datos necesarios para un modelo de programación lineal que maneja la asignación de recursos a actividades particular, este modelo consiste en elegir valores de x1,x2,….,xn Para: Optimizar (maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 +….+ cnxn. • FUNCIÓN CÓNCAVA: Función cóncava: en ese punto si f”(x) <0. Función estrictamente cóncava: si f”(x) <0. Función cóncava: si f”(x) <= 0. • EJEMPLO Una compañía importa aceite de coco de su pueblo natal. Usa este aceite para poder producir 2 clases de crema; tostado y quemado. El precio por libra de lo que pueda vender depende de la cantidad que produzca. En concreto si la compañía produce x1 Libras de tostado y x2 Libras de quemado, podrá vender todo lo que produzca a los siguientes precios en dólares: Precio/libra de tostado: = 80 -3 x1 Precio/libra de quemado:= 60-2×2 El costo de fabricación de x1 de pan tostado y x de quemado es: 12×1+ 8×2+ 4×1+ x2 Suponiendo que puede vender todo lo que produzca, la compañía desea determinar cuantas libras da cada crema debe programar el la producción que maximice su ganancia. Condiciones de Concavidad y Convexidad • FUNCIÓN CONVEXA: Función convexa: en ese punto si g”(x)>0. Función estrictamente convexa: en ese punto si g”(x) <0. Función convexa: si g´(x)>=0.
  5. 5. MODELO DETERMINÍSTICO El modelo de PL involucra únicamente tres tipos de parámetros: C, a, y b, de ahí su sencillez y gran aplicación. Sin embargo, el valor de dichos parámetros debe ser conocido y constante. Cuando el valor de los parámetros tiene un cierto riesgo o incertidumbre, pude utilizarse la programación paramédica, la programación estocástica, o realizarse un análisis de sensibilidad. DIVISIBILIDAD Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fracciónales. LIMITACIONES DEL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL MODELO ESTÁTICO En algunos modelos matemáticos se han empleado con éxito las ecuaciones diferenciales, para inducir la variable tiempo en ellos. En este sentido, puede decidirse que la PL utiliza un modelo estático, ya que la variable tiempo no se involucra formalmente. Adquiriendo un poco de experiencia en la formulación de modelos de PL, puede imbuirse la temporabilidad mencionada, con el uso de subíndices en las variables MODELO QUE NO SUB-OPTIMIZA Debido a la forma que se plantea el modelo de PL, o encuentra la solución óptima o declara que ésta no existe. Cuando no es posible obtener una solución óptima y se debe obtener alguna, se recurre a otra técnica más avanzada que la PL, la cual se denomina programación lineal por metas
  6. 6. MÉTODO DE RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un poli topo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal. Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor limite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima. Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa
  7. 7. PROGRAMACÓN NO LINEAL RESTRINGIDA Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente Maximizar f(x) sobre todos los valores x= (x1, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesa- ria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solución analítica simultánea. ¿QUÉ SE PUEDE HACER EN ESE CASO? Las secciones 13.4 y 13.5 describen procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algo- ritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración. Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición necesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x= 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y suficiente para que x= 0 sea óptima. Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restricciones funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.
  8. 8. EJEMPLOS DE PROGRAMACION NO LINEAL  Respuesta: Si consideramos como variables de decisión X e Y que correspondan a las respectivas coordenadas de la bodega a instalar, se puede definir el siguiente modelo de optimización no lineal sin restricciones, donde la siguiente función objetivo de minimización de distancia (Min f(x,y)) Existen múltiples aplicaciones típicas para modelos no lineales. A continuación se resume una • Localización de Instalaciones: Considere que una empresa distribuidora de productos farmacéuticos requiere determinar la localización de una bodega que funcionará como centro de distribución y abastecimiento para sus locales en el país. En especial se busca estar a la menor distancia de los 3 principales locales de venta al público denominados A, B y C, respectivamente. Las coordenadas geográficas de dichos locales se presentan en el siguiente gráfico: Formule y resuelva un modelo de optimización que permita determinar la localización óptima de la bodega y que minimize la distancia a los distintos locales de la empresa. Asuma que la bodega puede ser ubicada en cualquier coordenada o punto del mapa.
  9. 9. Planteamiento de problemas de Programación no lineal y optimización Una suposición importante de programación lineal es que todas sus funciones (Función objetivo y funciones de restricción) son lineales. Aunque, en esencia, esta suposición se cumple para muchos problemas prácticos, es frecuente que no sea así. De hecho, muchos economistas han encontrado que cierto grado de no linealidad es la regla, y no la excepción, en los problemas de planeación económica, por lo cual, muchas veces es necesario manejar problemas de programación no lineal. De una manera general, el problema de programación no lineal consiste en encontrar x=(x1,x2,…,xn) para maximizar ƒ(x), No se dispone de un algoritmo que resuelva todos los problemas específicos que se ajustan a este formato. Sin embargo, se han hecho grandes logros en lo que se refiere a algunos casos especiales, haciendo algunas suposiciones sobre las funciones, y la investigación sigue muy activa.

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