Circunferencia y círculo: propiedades y ejercicios resueltos

2 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TALLER 4 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
PROFESORA:YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
1
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.
Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 su diametro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi”:
UN ÁNGULO, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que delimita dicho arco.
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi- inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

2
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
I.- Dibuja, identificando claramente los radios:
Dos circunferencias tangentes interiores
Dos circunferencias secantes
Dos circunferencias tangentes interiores
II.- Dibuja los siguientes ángulos en la circunferencia:
NOMBRE
DIBUJO
FORMULA
Angulo exterior
Angulo interior

3
Angulo central
Angulo inscrito
III.Dibuja cada teorema
TEOREMA
DIBUJO
1. En un círculo, o en c;irculos congruentes, las cuerdas congruentes tienen arcos congruentes.
2. En un círculo, o en círculos congruentes, los arcos menores congruentes tienen cuerdas congruentes.
3. En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas congruentes equidistan del centro.
4. En un círculo, o en círculos congruentes, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

4
5. La bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro del círculo.
6. Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor.
7. Si una cuerda que pasa por el centro de un círculo biseca a una recta que no es un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.
8. Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo, entonces la recta es tangente al círculo.
9. Si una recta es tangente a un círculo, entonces el radio trazado hasta el punto de contacto es perpendicular a la tangente.
10. Si una recta es perpendicular a una tangente en un punto del círculo, entonces la recta contiene al centro del círculo.
11. Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto exterior son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une al centro con el punto.
12. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de su arco interceptado.
13. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

5
14. Un ángulo formado por dos cuerdas que se intersecan en el interior de un círculo tiene una medida igual a la semisuma de los arcos interceptados.
15. La medida del ángulo formado por una tangente y una cuerda trazada al punto de contacto es igual a la mitad del arco interceptado.
16. La medida de un ángulo formado por dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la mitad de la diferencia de los arcos interceptados.
17. La medida de un ángulo formado por una tangente y una secante, o por dos secantes desde un punto exterior a un círculo, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
18. Si se traza un segmento tangente y un segmento secante desde un punto exterior a un círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante por su segmento secante externo.
19. Si dos cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de la segunda cuerda.
20. Si se trazan dos segmentos secantes a un círculo desde un punto exterior, entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y su segmento secante externo.

6
EJERCICIO I
Calcula el dato pedido aplicando las propiedades:
1) O centro de la circunferencia, ∡BAC=30° ∡EOC=40°. Calcular ∡EDB
B
A
O C
D
E
2) En la circunferencia P es punto medio de AB ,Si ∡ACB=30° , calcular la medida del arco
AP.
C
A B
P
3) Si ∡ABC=30° y arco AC =80° . Calcular la medida del arco DE.
A D
B
E
C
4) AD = 26° y BC = 96° . Calcular la medida del ∡BPC
C
A
P
O
D B
A)20°
B)30°
C)25°
D)50°
A)15°
B)30°
C)60°
D)7,5°
A)10°
B)30°
C)60°
D)20°
A)23°
B)46°
C)61°
D)48°

7

8
Circunferencia I
Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:
1) x = ? 2) x = ? 3) <ABC 60º, AB
diámetro; x = ?
4) <CAO = 20º; 5) <BOC = 140º 6) <OCB = 55º;
<AOB = 100º; <ABC = 80º; x = ?
x = ? <OAB = ?
7) AB//CD; <COE = 30º; 8) Recta AB tangente; 9) <CAB = 50º;
<EOD = 70º; <AOC = 110º; <ABO = 30º;
<DOB = ? x = ? x = ?
O
30
x
O
40
x
A
x
B
O
C
A
B
O
C
A
x
B
O
C
A
x
B
O
C
E
D
A
x
B
O
C
A
x
B
O
C
x
C
B
O
A

9
10) Los arcos MN, NP, 11) Los arcos MN, NP = 120º; 12) <PQR = 34º;
y PQ son iguales; y PQ son iguales; <MOQ, <POR = ?
<MOP = 100º; <MRP = ?
<PRQ = ?
.
13) OS//QP; 14) OA = AB; x = ? 15) Los arco AB, BC <PQR = 30º ; y CA son iguales
<SOP = ? x + 2z = ?
16) z = 100º; x + y = ? 17) <SOD = 140º; 18) <MPQ = 20º; x = ?
<LSD = 80º; x = ?
19) ¿Qué parte del circulo 20) x = ?
representa el sector OBA?
O
Q
P
M
R
N
N
R
O
M
P
Q
Q
R
P
O
A
O
B
C
x
O
A
B
C
z
x
O
P
Q
R
S
S
x
L
D
O
O
C
A
B
x
x
z
O
N
Q
M
P
x
20
O
B
A
x
40
O
B

10
CIRCUNFERENCIA: Guía 2
Determina el valor de x en las siguientes figuras considerando siempre el punto O como centro de la circunferencia:
1) x = ? 2) El arco AB es el 15% de 3) x = ?
la circunferencia; <AOB = ?
4) <COB = 120º; 5) AB tangente; 6) x + y = ?
<AED = 85º; x = ? <AOB = 70º
7) AB = AO; <ACB = ? 8) 2·AB = AC; <ADO = ? 9) ABC triángulo
equilátero;
rectas DA y DC
tangentes, x = ?
x
x
O
O
A
B
x
C
O
A
B
D
a
3a
6a
C
O
A
B
E
x
120
O
A
B
x
y
65
x
60
A
C
B
O
A
C
B
O
D
A
C
B
O
D
x

11
10) AB tangente; <AOB = aº; 11) AB diámetro; <OCB = 55º;
x = ? x = ?
CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO 3 Longitud de una circunferencia. Área de un círculo Longitud de un arco de Área del sector circular Circunferencia.
Área de un segmento circular.
A segc = Área del sector circular AOB menos Área del triángulo AOB . Área de una corona circular
x
C
B
O
A
A
C
B
O
x

12
El área de una corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor. Área de un trapecio circular.
El área del trapecio circular es igual al área del sector circular mayor menos el área del sector circular menor. EJERCICIOS.
1. Calcular la longitud de una circunferencia de 90 cm de diámetro.
2. Si la longitud de una circunferencia es 43.96 cm. ¿Cuál es el área del círculo?
3. Los brazos de un columpio miden 1.8 m de largo y pueden describir como máximo un ángulo de 146°. Calcular el espacio recorrido por el asiento del columpio cuando el ángulo descrito en su balanceo es el máximo.
4. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 4 cm el radio de la circunferencia.
5. Sobre un círculo de 4 cm de radio, se traza un ángulo central de 60°. Calcular el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.
6. En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcular el área de la zona de paseo.
7. Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm, respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.
Resp CIRCUNFERENCIA 1.: 1) 60 2) 80 3) 120 4) 30 5) 60 6) 110 7) 40 8) 160 9) 60 10) 25 11) 40 12) 44 13) 30 14) 30 15) 30
Resp.CIRCUNFERENCIA 2: 1) 60 2) 54 3) 54 4) 25 5) 160 6) 250 7) 30 8) 30 9) 60 10) 90+a 11) 35

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