En este material les comparto la teoría del tema de razones y proporciones que les ayudará en sus exposiciones, exámenes, grabaciones, etc.

1. “UNIVERSIDAD NACIONAL HERMILIO VALDIZÁN”
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
Por: ASENCIOS PARDAVE,
Wily Berly
RAZONES Y PROPORCIONES
“Las matemáticas son las creaciones más bellas

2. RAZÓN
Una razón, es el resultado de comparar dos
cantidades homogéneas, esta comparación puede
realizarse mediante las operaciones de sustracción
o división.
Ejemplo
Sean las edades de 2 personas: 8 y 16 años, al
comparar las edades tenemos:
• Una de ellas es mayor que la otra por 8 años.
16 – 8 = 8 años
• Una de ellas tiene el doble de la edad que la
otra.
16
8
= 2 veces
 RAZÓN ARITMÉTICA (R.A.)
Es el resultado de comparar dos cantidades
homogéneas mediante la operación de sustracción.
Sean los números a y b su razón aritmética será:
Donde:
• a:antecedente
• b: consecuente
• k: valor de la R.A.
a – b = k
NOTA: EL valor de
la R.A, puede ser
mayor, menor o
igual que cero.
R.A. (15;8)=15 – 8= 7; k˃0
R.A. (7;10)=7 – 10= -3; k˂0
R.A. (8;8)=8 – 8= 0; k=0
Ejemplos
:

3.  RAZÓN GEOMÉTRICA (R.G.)
 PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Ejemplos
:
Es el resultado de comparar dos cantidades
homogéneas mediante la operación de división.
Sean los números a y b su razón geométrica será:
Donde:
• a:antecedente
• b: consecuente
• k: valor de la R.G.
𝒂
𝒃
= 𝒌
R.G. (9;5) =
𝟗
𝟓
= 𝟏, 𝟖 (k˃1)
R.G. (3;4) =
𝟑
𝟒
= 𝟎, 𝟕𝟓 (k˂1)
R.G. (2;2) =
𝟐
𝟐
= 𝟏 (k=1)
NOTA: EL valor de la
R.G, puede ser mayor,
menor o igual a la
unidad.
Una proporción es el resultado de igualar dos razones
y estas pueden ser proporción aritmética o proporción
geométrica.
PROPORCIÓN
Es el resultado de igualar a dos razones aritméticas.
Sean los números a, b, c y d, la proporción aritmética
correspondiente es:
Notación: a x b :: c x d
Se lee: “a” es a “b”, como “c” es a “d”.
a – b = c - d
Ejemplos:

4.  PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplos
:
Es el resultado de igualar a dos razones
geométricas.
Sean los números a, b, c y d, la proporción
geométrica correspondiente es:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
Notación: a : b :: c : d
Se lee: “a” es a “b”, como “c” es a “d”.
Para ambas proporciones, se cumple:
• Términos de la primera razón: a y b
• Términos de la segunda razón: c y d
• Antecedentes: a y c
• Consecuentes: b y d
• Extremos: a y d
• Medios: b y c
 DISCRETA
La proporción aritmética es discreta si sus términos
medios son distintos.
Al término “d” se le conoce como cuarta diferencial.
a – b = c - d
La proporción aritmética discreta
que se puede formar con los
términos: 24, 18, 48 y 42 es:
24 – 18 = 48 - 42
R.A. = 6 R.A. = 6
Ejemplos:

5.  CONTINUA
 DISCRETA
La proporción aritmética es continua si sus términos
medios son iguales.
• “b” es la media diferencial o media aritmética de
“a” y “c”.
• “c” es la tercera diferencial de “a” y “b”.
a – b = b - c
La proporción aritmética continua
que se puede formar con los
términos: 54, 47 y 40 es:
54 – 47 = 47 - 40
R.A. = 7 R.A. = 7
Una proporción geométrica es discreta si sus términos
medios son diferentes.
• Al término “d” se le conoce como cuarta
proporcional.
• El producto de los extremos es igual al producto de
los medios.
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
La proporción geométrica discreta
que se puede formar con los
números: 15, 20, 48 y 64 es:
15
20
=
48
64
R.G.=
3
4
R.G.=
3
4
Ejemplos:
Ejemplos:

6.  CONTINUA
PROPIEDADES DE UNA
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
Ejemplos
:
Una proporción geométrica es continua si sus
términos medios son iguales.
• “b” es la media proporcional o media geométrica
de “a” y “c”.
• “c” es la tercera proporcional de “a” y “b”.
𝒂
𝒃
=
𝒃
𝒄
La suma o diferencia de los antecedentes es a la
suma o diferencia de los consecuentes, como cada
antecedente es a su respectivo consecuente.
Sea:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
= k, se cumple:
𝒂 + 𝒄
𝒃 + 𝒅
=
𝒂 − 𝒄
𝒃 − 𝒅
= 𝐤
A partir de una proporción geométrica, podemos
escribir otras 8 proporciones geométricas.
Sea la proporción original:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
, se puede conseguir las siguientes
proporciones.
La proporción geométrica continua
que se puede formar con los
números: 6, 18 y 54 es:
6
18
=
18
54
R.G.=
1
3
R.G.=
1
3
Ejemplo:

7. SERIE DE RAZONES
GEOMÉTRICAS IGUALES
Ejemplos
:
𝒂 + 𝒃
𝒃
=
𝒄 + 𝒅
𝒅
𝒂
𝒂 + 𝒃
=
𝒄
𝒄 + 𝒅
𝒂 + 𝒃
𝒂
=
𝒄 + 𝒅
𝒄
𝒂 − 𝒃
𝒂
=
𝒄 − 𝒅
𝒄
𝒂
𝒂 − 𝒃
=
𝒄
𝒄 − 𝒅
𝒂 − 𝒃
𝒃
=
𝒄 − 𝒅
𝒅
𝒂 + 𝒃
𝒂 − 𝒃
=
𝒄 + 𝒅
𝒄 − 𝒅
𝒂 − 𝒃
𝒂 + 𝒃
=
𝒄 − 𝒅
𝒄 + 𝒅
Es el resultado de igualar a más de dos razones
geométricas, todas de igual valor.
Forma discreta:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
= ⋯ = 𝒌
Forma continua:
𝒂
𝒃
=
𝒃
𝒄
=
𝒄
𝒅
= ⋯ = 𝒌

8. PROPIEDADES
Ejemplos
:
Sea la serie:
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
= 𝒌
La suma de los antecedentes es a la suma de los
consecuentes, como cada antecedente es a su
respectivo consecuente.
𝒂+𝒄+𝒆
𝒃+𝒅+𝒇
=
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
=
𝒆
𝒇
= 𝒌
El producto de los antecedentes es al producto de
los consecuentes, como el valor de la razón elevado
al número de razones consideradas.
𝒂. 𝒄. 𝒆
𝒃. 𝒅. 𝒇
= 𝒌𝟑