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Expresiones algebraicas

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Expresiones algebraicas

  1. 1. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Tr abaj ar en ál gebra consi st e en manej ar rel aci ones numéricas e nlas que una o m ás cant i dades so n desco noci das . Est as cant idade s s ellam an VARIABLES, INCÓGNITAS o INDETERMINADAS y se represent an porl et r as . Una expr esi ón al gebrai ca es una combi naci ón de l et ras y n úm er osl i gadas por l os si gnos de l as operaci ones: a di ci ón, sust racc i ón,m ul t i pl i caci ón, divi si ón y pot enci aci ón. Las e xpr esiones algebr a ic as nos p er m it en, por ej em plo, ha lla r ár eas yvolúm en es. Ej em plos de expr e siones al gebr aica s son: Longit ud de la ci r cunf er encia: L = 2 r , donde r es el r adio de lacir cunf er encia. Ár ea del cuadr ado : S = l 2 , donde l e s el lado del cuadr ado. Volum en del cubo: V = a 3 , donde a es la ar ist a del cubo. Val or numéri co de una expresi ón al gebrai ca El val or numé ri co de una expresi ón al gebrai ca, para undet er m i nado val o r, es el número que se o bt i ene al sust i t ui r en ést a elval or num éri co dado y re al i zar l as operac i ones i ndi cadas. L( r ) = 2 r r = 5 cm. L (5) = 2 · · 5 = 10 cm S( l) = l 2 l = 5 cm A( 5) = 5 2 = 25 cm 2 V( a) = a 3 1
  2. 2. a = 5 cm V( 5) = 5 3 = 125 cm 3 Cl asi f i caci ón de las expre si ones al gebrai cas M onomio Un m on omi o es una e xpr esión algebr a ic a en la que la s únic asoper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l apot enci a de exponent e nat ural . Bi nomi o Un bi nomi o es una expr e sión alg e br aica f or m ada por dos monom i os . Tr i nomi o Un t ri nomi o es una expr es ió n algeb r aica f or m ada por t r esm onom i os . Pol i nomio Un pol i n omi o es una e xp r esión a l gebr aica f or m ada por má s de unm onom i o . M onomios Un MONOMIO es una ex presi ón al gebrai ca en l a que l as única soper aci o nes que apar ece n ent r e las var ia bles son el pro duct o y l apot enci a de exponent e nat ural . 2x 2 y 3 z Part es de un monomi o Coef i ci ent e El coef i c i ent e del m onom io es el n úm er o que apar ec e m ult ipli cando alas var ia bles. 2
  3. 3. Par t e l i teral La part e l i t eral est á const ituida por l as let r as y sus exponent es . G r ado El gr ado de un m onom io e s la sum a de t od os los e xponent es de laslet r as o var iables. El gr ado de 2x 2 y 3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 M onomios semej ant es Dos mo nomi os son se mej ant es cuan d o t i enen l a mi sma par t el i t er al. 2x 2 y 3 z e s sem ej ant e a 5x 2 y 3 z Operaciones con monomios Suma de M onomios Sólo po d em os sumar monomi os semej ant es . La suma de l os monomi os es ot ro mono mi o que t i ene l a mi sm apar t e l iter al y cu yo co ef i ci ent e es l a suma de l os coef i ci ent es. ax n + bx n = ( a + b) bx n 2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z Si los m onom ios no son sem ej ant es se obt iene un pol inom io. 2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z 3
  4. 4. Product o de un número por un monomi o El pr odu ct o de un núm er o por un m o nom io es ot r o monom i o sem ej ant e cuyo coef i ci ent e es el product o del coef i ci ent e de m onom i o por el número . 5 · 2x 2 y 3 z = 10x 2 y 3 z Product o de monomi os El pr od u ct o de m onom ios es ot r o monomi o que t i e ne por c oef i ci ente el pr oduct o de l os coef i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene m ul t i pl i cando en t re sí la s part es l i t erales t eni endo en cuent a l as pr opi edades de l as pot enci as . ax n · bx m = ( a · b)bx n +m 5x 2 y 3 z · 2 y 2 z 2 = 10 x 2 y 5 z 3 Coci ent e de monomi os. El cocie n t e de m onom ios e s ot r o monomi o que t iene por coefi ci ent e el coci ent e de l os coe f i ci ent es y cu ya part e l i t eral se obt i ene di vi di endo ent re sí las part es l i t erales t eni endo en cuent a l as pr opi edades de l as pot enci as ax n : bx m = ( a : b)bx n − m Pot enci a de un monomi o Par a r eal izar la pot encia d e un m onom io se eleva, cada elem ent o de ést e, al expo nent e de la pot encia. 4
  5. 5. ( ax n ) m = a m · bx n · m ( 2x 3 ) 3 = 2 3 ( x 3 ) 3 = 8x 8 ( - 3x 2 ) 3 = ( - 3) 3 ( x 3 ) 2 = −27x 6 Concept o de pol inomi o de una sol a vari abl e Un pol i nomi o de una sola var iable es una e xpr esi ón algebr a ic a de la f or m a: P( x) = a n x n + a n - 1 xn - 1 + an - 2 xn - 2 + .. . + a 1 x 1 + a 0 Siend o a n , a n -1 . . . a 1 , a o núm er os, llam ados coef i ci ent es . n un número nat ural . x l a variabl e o i ndet ermi nada. a n es el coef i ci ent e pri nci pal . a o es el térmi no independ i ent e. G rado de un pol inomi o El gr ad o de un poli nom i o P( x) e s el ma yor exp onent e al qu e s e encuent r a elevad a la vari abl e x. Ti pos de pol i nomi osPol i nom io nul o El pol i nomi o nul o t iene t odos sus coef i ci entes nul os .Pol i nom io compl et o Un pol i nomi o compl et o t iene t odo s l o s t érmi nos desde el t ér m ino indep end ient e has t a el t érm ino de m ayor grado. 5
  6. 6. P( x) = 2x 3 + 3x 2 + 5x - 3Pol i nom io ordenado Un pol i nomi o está orden ado si lo s monomi os que lo f or m an est án escr it os de ma yo r a menor grado . P( x) = 2x 3 + 5x - 3 Ti pos de pol i nomi os según su grado Pol i nomio de grado cero P( x) = 2 Pol i nomio de primer grado P( x) = 3x + 2 Pol i nomio de segundo grado P( x) = 2x 2 + 3x + 2 Pol i nomio de t ercer grado P( x) = x 3 - 2x 2 + 3x + 2 Pol i nomio de cuart o grado P( x) = x 4 + x 3 - 2x 2 + 3x + 2 Val or numéri co de un pol inomi o El val or numéri co de un pol i nomio es el r esult ado que obt e nem os al sust it uir la var iabl e x por un núm er o cualqui e r a. P( x) = 2x 3 + 5x - 3 ; x = 1 6
  7. 7. P( 1) = 2 · 1 3 + 5 · 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 Suma de pol i nomi os Par a su mar dos pol i no mi os se suman l os coef i ci ent es de l ost ér m i nos del mi smo grado. P( x) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x) = 4x - 3x 2 + 2 x 3 1O r denam os los poli nom i os, si no lo est án. Q ( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x P( x) + Q( x) = ( 2x 3 + 5x - 3) + ( 2x 3 - 3x 2 + 4 x) 2Agr upa m os los m onom io s del m ism o gr ado. P( x) + Q( x) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x 2 + 5x + 4x - 3 3Sum am os los m onom ios sem ej antes. P( x) + Q( x) = 4x 3 - 3x 2 + 9x - 3 Rest a de pol i nomi os La r est a de p olin om io s consi st e en sumar el op uest o d elsust r aen do . P( x) − Q (x) = ( 2x 3 + 5x - 3) − ( 2x 3 - 3x 2 + 4x) P( x) − Q( x) = 2x 3 + 5x - 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x P( x) − Q( x) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x - 3 P( x) − Q( x) = 3 x 2 + x - 3 7
  8. 8. Product o Product o de un número por un pol i nomi o Es ot r o p ol i nomi o que t i en e de gr a do el mi smo del poli nom i o y com ocoef i ci ent es el product o de l os coef i ci ent es del pol i nomi o por elnúm er o . 3 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3 - 9x 2 + 12x - 6 Product o de un monomi o por un pol i nomi o Se m ul t ipl i ca el monomi o por t odos y ca da uno d e los mo nom i osque f or m an el poli nomi o . 3 x 2 · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x 5 - 9x 4 + 12x 3 - 6x 2 Product o de pol inomi os P( x) = 2x 2 - 3 Q( x) = 2x 3 - 3x 2 + 4x Se m ul t ipl i ca cada monomi o del pri mer pol i nomi o por t odos l osel em ent os segu ndo pol inomi o. P( x) · Q (x) = ( 2x 2 - 3) · ( 2x 3 - 3x 2 + 4x) = = 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 12 x = Se suma n l os monomi os del mi smo grado. = 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x Se obt i e ne ot ro pol i nomio cu yo g rado es l a suma de l os gr ados del os pol i nomi os que se mul t i pli can. 8
  9. 9. Coci ent e de pol i nomi os Resol ver el coci e nt e: P( x) = 2x 5 + 2x 3 −x - 8 Q( x) = 3x 2 −2 x + 1 P( x) : Q( x) A l a i zqui erda si t uamos el d i vi dendo . Si e l poli nom i o no e scom pl et o dej am os huecos en los lugar es que cor r espondan. A l a derecha si t uamos el di vi sor dent ro de una caj a. Real i zamos el coci ent e ent re el pri mer monomi o del di vi dendo yel pr i m er monomi o del divi sor. x5 : x2 = x3 M ul ti pl i camos ca da t érmino del pol i nomi o di vi sor por el resul t adoant er i or y l o rest amos del pol i nomi o di videndo: Volvem o s a divid ir el pr im er m onom io del dividen d o ent r e el pr im erm onom io del divi sor . Y el r esult ad o lo m u l t ip licam o s por el divis or y lor est am os al divide ndo. 2x 4 : x 2 = 2 x 2 9
  10. 10. Pr ocede m os igual que ant es. 5x 3 : x 2 = 5 x Volvem o s a hacer las m ism as oper aciones. 8x 2 : x 2 = 8 10x − 6 es el res t o , por que su gra do es m enor que el del d i vi sor ypor t ant o no se puede cont i nuar divi diend o. x 3 + 2x 2 +5x+8 es el cocien t e. 10
  11. 11. I de nt i dades not abl esBi nom i o al cuadrado ( a - b) 2 = a 2 - 2 · a · b + b 2 ( x + 3) 2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9 ( 2x − 3) 2 = ( 2x) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x 2 − 12 x + 9 Un bi nomi o al cuadrado es i gual es i gual al cuadrado del pri m er t ér m i no m ás, o menos, el dob l e product o del primero por el segundo m ás el cuadrado segundoSum a por di f erenci a Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados. ( a + b) · ( a − b) = a 2 − b 2 Sum a por di f erenci a es i gual a di ferenci a de cuadr ados. 11
  12. 12. ( 2x + 5) · ( 2x - 5) = ( 2 x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25 Fracci on es al gebrai cas Una f rac ci ón al gebrai ca es el co ci ent e de dos p ol i nomi os y ser epr esent a por : P( x) es el num er ador y Q( x) el denom inad or . Fracci on es al gebrai cas equi val ent es Dos f racci ones al gebrai cas son equi val ent es , y lo r epr esent am os por : si se veri f i ca que P( x) · S(x) = Q ( x) · R( x). son equi val ent es por que: ( x+ 2) · ( x+2) = x 2 − 4 Dada un a f r acción algebr aica, si mul t i pl i camos el numerador y eldenom i nador de dicha f r acción p or un mi smo pol i nomi o di st i nt o d ecer o, l a fr acci ón al gebrai ca resul t ant e es equi val ent e a l a dada. 12
  13. 13. Si mpl i fi caci ón de f racci ones al gebrai cas Par a si mpl i fi car una f racci ón al gebrai ca se di vi de el numerador yel deno m i nador de l a f racci ón po r un pol i nomi o que sea f act or co m únde am bos. 13

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