Polinomios Ciclot´omicos en 
Cuerpos K[x] 
y 
Ra´ıces Primitivas M´odulo n. 
Jos´e Walter Ysique Quesqu´en 
Bachiller en M...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Dedicatoria 
A mis padres: 
Carlos Walter Ysique Ques˜nay y 
Mar´ıa Encarnaci...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Agradecimiento 
El m´as sincero agradecimiento a todos 
los que hicieron posi...
´I 
ndice general 
0.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 
1. Preliminares 1 
1.1. ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
0.1. Introducci´on 
La presente tesis tiene por objeto de estudio a los polin...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
que debe cumplir n en Zx 
n para la existencia de ra´ıces primitivas, lo que ...
Cap´ıtulo 1 
Preliminares 
1.1. Nociones de Grupos - Cuerpos. 
Definici´on 1.1.1 : 
(1) Para a, b ∈ Z − {0}, existe un ´un...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
es una operaci´on binaria en G (G ∗ G → G) satisfaciendo los siguientes 
axio...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Ejemplo 1.1.3 : 
Z ≤ Q y Q ≤ R con la operaci´on de adici´on. 
Definici´on 1....
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
p tal que p · 1K = 0 si tal p existe y es definido por 0 en otros casos. 
don...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
la ra´ız de cualquier polinomio no nulo con coeficientes en F ) entonces α 
e...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental del Algebra) 
P(x) = 
Xn 
i=0 
aixi, ai ∈ ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
para k > n. Por lo tanto una suma vac´ıa se entiende igual a 0 . 
-La prueba,...
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Definici´on 1.3.1 : 
Una funci´on aritm´etica f es una funci´on compleja-valu...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Prueba de la rec´ıproca: 
Supongamos que 
g(n) = 
X 
dn 
μ(d)f(n/d) =⇒ g(d) =...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
+g(2)[|μ(1) {+zμ(3}) 
0 
] 
+g(3)[|μ(1) {+zμ(2}) 
0 
] 
+g(6)[μ(1)] 
= 
X 
e6...
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Prueba: 
Supongamos que m.c.d(m,n)=1 : 
Si: 
r2m ´o q2n para alg´un r ´o q ∈ ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Prueba: 
Para m.c.d(m, n) = 1 , 
m.c.d(t,mn) = m.c.d(t, n).m.c.d(t,m) 
as´ı, ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
(note que d empieza desde 1, as´ı las sumas empiezan de ϕ(1) = 1) 
= 
Y 
(pei...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
1.4. Factores M´ultiples en Polinomios. 
-Existe un simple artificio para det...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Proposici´on 1.4.1 : 
Sea f(x) ∈ K[x] con K un cuerpo, y P un polinomio irred...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
ap 
1 + ap 
2 + ... + ap 
l . 
Esto indica que ∃ bk ∈ K tal que bp 
k = akp ,...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Prueba: 
Es suficiente verificar que el m.c.d de xn − 1 y su derivada nxn−1 e...
Cap´ıtulo 2 
Polinomios Ciclot´omicos 
2.1. Definici´on y Primeros Resultados. 
- Una n-´esima ra´ız de la unidad es una s...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Definici´on 2.1.2 : 
Un polinomio ciclot´omico es un polinomio m´onico cuyas ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Definici´on 2.1.3 : 
Una ecuaci´on expl´ıcita para Φn(x), donde n no es un cu...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
2.2. Polinomios Ciclot´omicos Con Coeficientes 
Impares 
2.2.1. Factorizaci´o...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Este opeador toma un polinomio P(x) y lo lleva a otro cuyas ra´ıces son las 
...
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As´ı: (2.2) es verdadero para P(x) = Φpn(x). Finalmente, 
Si: 
P(x) = Φpin(x)...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Luego por el lema 2.2.3 y considerando que Mp[.] es multiplicativa, se tiene:...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
2.2.2. Caracterizaci´on De Los Polinomios Ciclot´omicos 
Con Coeficientes Imp...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Por lo tanto, de la ecuaci´on (2.7) y del lema (2.2.2), tenemos 
Tt+1 
2 [P(x...
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Teorema 2.2.2 : 
Sea N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1 ...
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2.2.4. Polinomios Ciclot´omicos, Un Enfoque Adicional. 
Definici´on 2.2.3 : 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
divide a xn − 1 (por algebra elemental o por el lema 1.4.2 ). Por lo tanto, 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Puesto que n  m: 
a)-Si n  m ⇒ m.c.d(m, n) = n, as´ı 
Φm(x)  ( 
xm − 1 
xm.c....
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gradΦn(x) = ϕ(n) . 
Esto completa la prueba del teorema.  
2.2.5. Ejemplos I ...
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=⇒ Φ2m(x) = 
x2m Q − 1 
d2m 
d2m 
Φd(x)}...(∗) 
En (∗) note que { los divisor...
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Φ15(x) = x8 − x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 . 
+− 
Migotti (1883) mostr´o que los...
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K no divide a n, entonces Φn(α) = 0 si y solo s´ı α es de orden n en Kx . 
Si...
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Por lo tanto Φ9(x) = x6 + x3 + 1 es irreducible en F5[x]. m 
3) Verificar que...
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(x − 1)4 = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 en caracter´ıstica 2 se reduce a x4 + 1. 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
2.2.7. Mas Resultados. 
∗ Sea un primo p que no divide a m . Mostrar que en F...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Proposici´on 2.2.2 : 
Para p primo y para 1 ≤ e ∈ Z, el polinomio ciclot´omic...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Como en el primer caso, p2 no divide al coeficiente constante de f. Entonces ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
⇒ Φpem(x) = 
(xm − 1)pe−1(p−1)[Φm(x)]'(pe) 
(xm − 1)'(pe) 
⇒ Φpem(x) = [Φm(x)...
Cap´ıtulo 3 
Ra´ıces Primitivas 
Definici´on 3.0.5 : 
Sea K un cuerpo. Un generador de Kx es llamado una ra´ız primitiva 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Puesto que x(q−1)−1 tiene (q−1) ra´ıces en K, y los Φ′ 
ds aqu´ı son primos 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
x xp 
Teorema 3.2.1 : 
Para un primo impar p, Zpe y Z2pe tienen ra´ıces primi...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
= [1 + pk+(l−1)y]p..........(H.Induct.) 
= 1 + p(k+(l−1)+1)y............(por(...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Sea g una ra´ız primitiva modpe y l = ϕ(pe) 
⇒ gl = 1modpe ∧ gr6= 1modpe 
par...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
= 1 + py. 
Puesto que (p−1 
1 ) = p−1, vemos que y = (p−1)modp, de esto se ti...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Corolario 3.3.1 : 
Para un primo impar p, se tiene que ϕ(p − 1)/p de los elem...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
En efecto: 
Si e = 3 : (1 + 8x) = 1mod8 = 1mod23 
Si e = h  3 : (1 + 8x)2h−3 ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
y puesto que (p − 1) es par, entonces ϕ(m) debe ser impar. Si un primo 
q div...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
3.5. Programa En Turbo C++ . 
-El siguiente algoritmo elaborado en Turbo C++,...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
int NdivisibleP(int N) 
{ int i,P=1,y=1,Pr=0; 
long double Pt; 
Pr=Primo(i); ...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
}else{ return1; 
}}v 
oidmaximocomun(intN, int ph2, intsw, intClases[], int 
...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
{x = 5; 
y = y + 1; 
if(y  22){ 
gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i); 
}else{...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
{ if(Res[i] == Res[j]) 
return1; 
}}r 
eturn0; 
}voidMarco(){ Presentacion();...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
Ptc = AP ∗ Clases[i]; 
y = y + 1; 
}s 
w = BuscaRepetido(Res,NumE); 
if(sw! =...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
RESPESTO AL TOTAL ES%d /%d”, ph2, ph1); 
RaicesPrimitivas(N, ph1, ph2,Clases)...
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
getch(); 
}Rpta = Pregunta(); 
}while(Rpta ==′ S′ || Rpta ==′ s′); } 
57
TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 
INGRESE UN NUMERO POSITIVO: 50 
ELEMENTOS DEL GRUPO MULTIPLICATIVO 
1 ,3 ,7 ,...
Cap´ıtulo 4 
Conclusiones 
• En R, Φn(x) es irreducible para todo entero n ≥ 1 . Por lo tanto, 
para hallar el n´umero de ...
Bibliograf´ıa 
[1] Paul Garret , 
Abstract Algebra: Lectures and Worked Examples for a Graduate 
Course- 2005. 
http:www.m...
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POLINOMIOS CICLOTÓMICOS EN CUERPOS K[X] Y RAICES PRIMITIVAS MÓDULO N

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  • hola,me gustaria obtener una copia de pdf si fuera posible.
    un saludo atentamete JGR
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POLINOMIOS CICLOTÓMICOS EN CUERPOS K[X] Y RAICES PRIMITIVAS MÓDULO N

  1. 1. Polinomios Ciclot´omicos en Cuerpos K[x] y Ra´ıces Primitivas M´odulo n. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en Bachiller en Matem´aticas. Agosto, 2006.
  2. 2. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Dedicatoria A mis padres: Carlos Walter Ysique Ques˜nay y Mar´ıa Encarnaci´on Quesqu´en Cumpa , por su indesmayable esfuerzo en mi formaci´on personal y profesional. i
  3. 3. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Agradecimiento El m´as sincero agradecimiento a todos los que hicieron posible el desarrollo de la presente tesis. Un reconocimiento especial a la Dra. Gloria Mar´ıa Ort´ız Basauri por valioso asesoramiento . ii
  4. 4. ´I ndice general 0.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv 1. Preliminares 1 1.1. Nociones de Grupos - Cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Polinomios e Identidad de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Funciones: Totient de Euler y M¨obius. . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Factores M´ultiples en Polinomios. . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. Polinomios Ciclot´omicos 18 2.1. Definici´on y Primeros Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Polinomios Ciclot´omicos Con Coeficientes Impares . . . . . . . 21 2.2.1. Factorizaci´on sobre Zp[x] . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Caracterizaci´on De Los Polinomios Ciclot´omicos Con Coeficientes Impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3. Caracterizaci´on De Los Polinomios Ciclot´omicos De Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4. Polinomios Ciclot´omicos, Un Enfoque Adicional. . . . . 28 2.2.5. Ejemplos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.6. Ejemplos II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.7. Mas Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.8. Factorizaci´on de Φn(x) en Fp[x] con p n. . . . . . . 39 3. Ra´ıces Primitivas 41 3.1. Ra´ıces Primitivas en ZP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Ra´ıces Primitivas en Zpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3. Conteo de Ra´ıces Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4. No Existencia De Ra´ıces Primitivas. . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5. Programa En Turbo C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4. Conclusiones 59 iii
  5. 5. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 0.1. Introducci´on La presente tesis tiene por objeto de estudio a los polinomios ciclot´omicos y a las ra´ıces primitivas (generadores) del grupo multiplicativo Zx n. En el cap´ıtulo 1 citamos algunas definiciones y resultados referente a la teor´ıa de grupos y cuerpos, necesarios para el desarrollo del cap´ıtulo 2 y 3. En el cap´ıtulo 2, se define el n-´esimo Polinomio Ciclot´omico como Φn(x) = Y j=1 (j,n)=1 (x − ξjn ) cuyas ra´ıces son precisamente las n-´esimas ra´ıces primitivas de la unidad; a partir de esta damos otras equivalentes tales como: a) Φn(x) = Q dn(xd − 1)μ(n d ), donde μ(.) es la funci´on de M¨obius. b) Inductivamente, a partir de Φ1(x) = x − 1, Φn(x) = xn − 1 m.c.m{xd − 1 con 0 < d < n, dn} . +− Adem´as, se presenta una caracterizaci´on de los polinomios ciclot´omicos con coeficientes impares. Entre estos, se encuentran los polinomios ciclot´omicos de Littlewood (i.e.,con coeficientes 1). P.Borwein y K.K. Choi prueban el siguiente: Teorema: Para N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1 es ciclot´omico si y s´olo s´ı P(x) =+− Φp1(+− x)Φp2(+− xp1)...Φpr (+− xp1p2...pr−1), donde N = p1p2...pr y los p′ is son primos, no necesariamente distintos. Ellos adem´as, conjeturan que este teorema tambi´en es v´alido para polinomios de grado impar. Tambi´en, tratamos sobre la irreducibilidad o no de algunos polinomios ci-clot ´omicos en Fp[x] con p primo. En esta parte mostramos algunas factor-izaciones usando MAPLE. En el cap´ıtulo 3, empezamos mostrando que para K un cuerpo finito, entonces Kx (los elementos invertibles de K ) es un grupo c´ıclico. Su de-mostraci ´on est´a basada en la aplicaci´on de nuestros resultados de polin´omios ciclot´omicos. En este cap´ıtulo centramos nuestro estudio en las condiciones iv
  6. 6. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. que debe cumplir n en Zx n para la existencia de ra´ıces primitivas, lo que a su vez caracteriza cuando Zx n es un grupo c´ıclico : Si n no es 2, 4 ni de las formas pe, 2pe para un primo p impar ( e ∈ Z+), entonces no existe ra´ıces primitivas modn. Incluimos tambi´en un algoritmo elaborado en Turbo C++ que nos permite mostrar (en caso existen) las ra´ıces primitivas y la forma como se genera Zx n . Finalmente se expone las conclusiones del presente trabajo. v
  7. 7. Cap´ıtulo 1 Preliminares 1.1. Nociones de Grupos - Cuerpos. Definici´on 1.1.1 : (1) Para a, b ∈ Z − {0}, existe un ´unico entero positivo d, llamado el m´aximo com´un divisor de a y b (o m.c.d de a y b), satisfaciendo: • i) d a y d b (as´ı d es divisor com´un de a y b), y • ii) si e a y e b, entonces e d (as´ı d es tal m´aximo divisor). -El m.c.d de a y b es denotado por (a,b). Si (a,b)=1, decimos que a y b son primos relativos. (2) Para a, b ∈ Z − {0}, existe un ´unico entero positivo l, llamado el m´ınimo com´un m´ultiplo de a y b ( o m.c.m de a y b ), satisfaciendo: • i) a l y b l (as´ı l es m´ultipo com´un de a y b ), • ii) Si a m y b m entonces l m (as´ı l es el m´ınimo tal m´ultiplo). La conexi´on entre el d=m.c.d y l=m.c.m de los enteros a y b es dado por d.l=a.b . -Nota: - Una consecuencia del algoritmo de la divis´on, la cual oportunamente usaremos es : Si a, b ∈ Z − {0}, entonces existe x, y ∈ Z tal que : (a, b) = ax + by. Definici´on 1.1.2 : Un grupo es un par ordenado (G, ∗ ) , donde G es un conjunto no vac´ıo y 1
  8. 8. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. es una operaci´on binaria en G (G ∗ G → G) satisfaciendo los siguientes axiomas: (i) (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G , i.e. ,* es asociativa. (ii) ∃! elemento e ∈ G, llamado identidad de G, tal que ∀a ∈ G, a ∗ e = e ∗ a = a, (iii) para cada a ∈ G, ∃!a−1 ∈ G, llamado inverso de a, tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e. Definici´on 1.1.3 : El grupo (G, ∗ ) es llamado abeliano (o conmutativo) si a ∗ b = b ∗ a ∀ a ∈ G. x9 Ejemplo 1.1.1 : Z,Q,R y C son grupos bajo + con e=0 y a−1 = a, ∀a. Definici´on 1.1.4 : Decimos que b ∈ Zn es inverso multiplicativo de a ¯∈ Zn si a.b = 1. Ejemplo 1.1.2 : Para n=9 , Z9 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y Z= {1, 2, 4, 5, 7, 8} . Pues : 2.5 = 10 = 1mod9. 4.7 = 28 = 1mod9. 8.8 = 64 = 1mod9. 1.1 = 1 = 1mod9. Definici´on 1.1.5 : El conjunto Zx n = {y ∈ Zn : m.c.d(y, n) = 1} es el grupo multiplicativo o grupo de unidades de Zn . Definici´on 1.1.6 : Sea G un grupo. El subconjunto H de G es un subgrupo de G si : i) H6= ∅ ii) si x ∈ H ⇒ x−1 ∈ H iii) si x, y ∈ H ⇒ xy ∈ H. NOTACI´O N: H ≤ G . 2
  9. 9. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Ejemplo 1.1.3 : Z ≤ Q y Q ≤ R con la operaci´on de adici´on. Definici´on 1.1.7 : Un grupo H es c´ıclico si H puede ser generado por un s´olo elemento, i.e. , existe alg´un elemento x ∈ H tal que H = {xn/n ∈ Z} ( donde como es usual la operaci´on es la multiplicaci´on). -En notaci´on aditiva H es c´ıclico si H = {nx, n ∈ Z}. -En ambos casos escribimos H = < x > y decimos H es generado por x (x es generador de H ). -Un grupo c´ıclico puede tener m´as de un generador . Por ejemplo, si H =< x >, entonces tambi´en H =< x−1 > porque (x−1)n = x−n y n corre sobre los enteros as´ı tambi´en -n, as´ı {xn : n ∈ Z} = {(x−1)n : n ∈ Z}. Definici´on 1.1.8 : Sea G un grupo y x ∈ G define el orden de x como el menor entero positivo tal que xn = 1 y denotamos este entero por | x | . Si ninguna potencia positiva de x es la identidad, el orden de x es infinito. Proposici´on 1.1.1 : Si H =< x >, entonces | H |=| x |. (a) Si | H |= n < ∞, entonces xn = 1 y 1, x, x2, , ..., xn−1 son todos los distintos elementos de H, y (b) si | H |= ∞, entonces xn6= 1 para todo n6= 0 y xa6= xb para todo a6= b en Z. Teorema 1.1.1 (de Lagrange): Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces el orden de H divide al orden de G (i.e., |H| |G|) y el n´umero de clases laterales de H en G es igual a |G| |H| . Definici´on 1.1.9 : Un cuerpo es una terna (K,+, .) tal que (K,+) es un grupo abeliano (llame a su identidad 0) y (K − {0}, ·) es tambi´en un grupo abeliano, y la siguiente ley distributiva se vale : a.(b + c) = (a.b) + (a.c), para todo a, b, c ∈ K. Definici´on 1.1.10 : La caracter´ıstica de un cuerpo K es definido como el menor entero positivo 3
  10. 10. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. p tal que p · 1K = 0 si tal p existe y es definido por 0 en otros casos. donde : p · 1K = |1K + 1K{+z ... + 1K} p−veces , 1K es la identidad en K. Proposici´on 1.1.2 : La caracter´ıstica de un cuerpo K, es cero o un primo p. Si es p entonces para cualquier α ∈ K , p.α = α| + α +{z... + α} p−veces = 0 Ejemplo 1.1.4 : (a) Los cuerpos Q y R ambos tienen caracter´ıstica cero. (b) El cuerpo Finito Zp tiene caracter´ıstica p, para cualquier primo p. Definici´on 1.1.11 : Un cuerpo K es perfecto si la caracter´ıstica de K es 0 (por ejemplo Q,R o C) o si, en caracter´ıstica p > 0, existe una p-´esima ra´ız a1/p en K para cualquier a ∈ K. i.e) Para cada a ∈ K, ∃ b ∈ K tal que bp = a. Definici´on 1.1.12 : Si K es un cuerpo conteniendo al cuerpo F, entonces K es un cuerpo ex-tensi ´on (o simplemente una extensi´on) de F, denotado por K/F ( tambi´en F ⊂ K ). Definici´on 1.1.13 : El grado (o grado relativo o ´ındice) de un cuerpo extensi´on K/F, denotado por [K : F], es la dimensi´on de K como espacio vectorial sobre F (i.e. [K : F] = dimFK). La extensi´on es finita si [K : F] es finito, caso contrario se dice que es infinita. Definici´on 1.1.14 : Si K es generado por un s´olo elemento α sobre F, K = F(α) entonces K es una extensi´on simple de F y el elemento α es llamado un elemento primitivo para la extensi´on. Definici´on 1.1.15 : El elemento α ∈ K es algebraico sobre F si α es una ra´ız de alg´un polinomio no nulo f(x) ∈ F[x]. Si α no es algebraico sobre F (i.e., no es 4
  11. 11. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. la ra´ız de cualquier polinomio no nulo con coeficientes en F ) entonces α es transcendente sobre F. La extensi´on K/F es algebraica si todo elemento de K es algebraico sobre F. Definici´on 1.1.16 : El cuerpo E es llamado una clausura algebraica de F si E es algebraico sobre F y si todo polinomio f(x) ∈ F[x] se descompone completamente sobre E . Teorema 1.1.2 (Sun-Ze) Sea m y n enteros positivos relativamente primos. Sean r y s enteros tales que rm + sn = 1 . Entonces la funci´on f : Zm × Zn −→ Zmn definida por f(x, y) = y.rm+ x.sn es una biyecci´on. La aplicaci´on inversa f−1 : Zmn −→ Zm × Zn es f−1(z) = (xmodm, ymodn). Corolario 1.1.1 (Criterio de Eisenstein para Z[x]) Sea p primo en Z y sea f(x) = xn+an−1xn−1+...+a1x+a0 ∈ Z[x], n ≥ 1. Suponga que p divide a ai para todo i ∈ {0, 1, ..., n−1} pero p2 no divide a a0. Entonces f(x) es irreducible en Z[x] y Q[x]. * La prueba de los resultados dados es esta secci´on pueden ser averiguados en muchos textos,ejm. [1],[2]o[3]. 1.2. Polinomios e Identidad de Newton. -El m´as b´asico e importante teorema referente a polinomios es el Teorema Fundamental del Algebra, el cual nos dice que todo polinomio puede ser factorizado completamente sobre los n´umeros complejos. 5
  12. 12. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Teorema 1.2.1 (Teorema Fundamental del Algebra) P(x) = Xn i=0 aixi, ai ∈ C, an6= 0, entonces existe α1, α2, ..., αn ∈ C, tal que P(x) = an Yn i=1 (x − αi) . - Los n´umeros complejos α1, α2, ..., αn son llamados los ceros (o ra´ıces) de P(x) as´ı que P(αi) = 0. La multiplicidad del cero en αi es el n´umero de veces que se repite. Por ejemplo, (x − 2)5(x + i)3 es un polinomio de grado 8 con un cero de multiplicidad 5 en 2 y un cero de multipicidad 3 en -i . ⋆ El polinomio P(x) = Xn i=0 aixi, ai ∈ C, an6= 0, es llamado m´onico si su coeficiente principal, an , es igual a 1 . -Sea Sk la suma de las k-´esimas potencias de todos los ceros de P(x). A continuaci´on se da la Identidad de Newton , la cual nos da la relaci´on entre los coeficientes y Sk. Teorema 1.2.2 (Identidad de Newton) Sea (x − α1)(x − α2)...(x − αn) = xn − c1xn−1 + c2xn−2 − ... + (−1)ncn. Para un entero no negativo k, definimos Sk := αk 1 + αk 2 + ... + αkn . Tenemos Sk = (−1)k+1kck + (−1)k+1 Xk−1 j=1 (−1)jck−jSj , (1.1) para k ≤ n y Sk = (−1)k+1 Xk−1 (−1)jck−jSj , (1.2) j=k−n 6
  13. 13. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. para k > n. Por lo tanto una suma vac´ıa se entiende igual a 0 . -La prueba, la cual omitiremos, est´a en muchos textos como por ejemplo: Introduction to Algebra , A.L.Kostrikin. 1.3. Funciones: Totient de Euler y M¨obius. 1 .p2 2 ...pk Sea n un entero positivo, n puede ser escrito como n = p1 k , donde los p′ is, para i = 1, ..., k son n´umeros primos. La funci´on de M¨obius, μ(n), es definido por μ(n) := 0, si p2i n para alg´un i ; (−1)k, en otros casos. (1.3) En otras palabras, μ(n) es diferente de cero s´olo cuando n est´a libre de cuadrados y si n = p1...pk para distintos primos pj entonces μ(n) = (−1)k. Proposici´on 1.3.1 : La funci´on de M¨obius satisface la siguiente identidad X dn μ(d) = 1, si n=1; 0, en otros casos. donde P dn denota la suma sobre los divisores, d, de n. Prueba: Si n=1, entonces n no tiene divisores primos, as´ı μ(1) = (−1)0 = 1. Para n 1, sea n = p1 1 ...pk k la factorizaci´on ´unica de n como un producto de distintas potencias de primos. Sea N = p1...pk. Como μ(pi i ) = 0 para todo αi 1, i = 1, 2, ..., k, entonces X dn μ(d) = X dN μ(d). Luego: X dn μ(d) = X dN μ(p1...pk) = μ(1) + |μ(p1) + {..z. + μ(pk}) k−t´erminos +μ(p1.p2) + ... + μ(p1...pk) = 1 + k(−1)1 + Ck 2 (−1)2 + Ck 3 (−1)3 + ... + Ck k (−1)k = Xk r=0 Ck r (−1)r = Xk r=0 (kr )(−1)r = Xk r=0 (kr )(1)k−r(−1)r = (1 − 1)k = 0. 7
  14. 14. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Definici´on 1.3.1 : Una funci´on aritm´etica f es una funci´on compleja-valuada definida en los n´umeros naturales. * A continuaci´on uno de los m´as importantes resultados referente a la funci´on de M¨obius , nos referimos a la c´elebre f´ormula de inversi´on de M¨obius. Teorema 1.3.1 (F´ormula de Inversi´on de M¨obius): Sean f(n) y g(n) son funciones aritm´eticas. Entonces, tenemos (i) f(n) = X dn g(d) si y s´olo s´ı g(n) = X dn μ(d)f(n/d) (ii) f(n) = Y dn g(d) si y s´olo si g(n) = Y dn f(n/d)μ(d) Prueba: Suponga que f(n) = X dn g(d) =⇒ f(n/d) = X e n d g(e); luego : X dn μ(d)f( n d ) = X dn μ(d) X e n d g(e) = X (d.e ∧ e.d)n μ(d)g(e) = X en g(e) X d n e μ(d) = g(n)μ(1) = g(n). Puesto que , por proposici´on (1.3.1): X d n e μ(d) = 0, para todo n e 1 ; 1, cuando n e = 1,es decir cuando n=e . 8
  15. 15. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Prueba de la rec´ıproca: Supongamos que g(n) = X dn μ(d)f(n/d) =⇒ g(d) = X ed μ(e)f( d e ). Luego X dn g(d) = X dn X ed μ(e)f(d/e) = X (e.r ∧ r.e)n μ(e)f(r) = X rn f(r) X e n r μ(e) = f(n). Para esto ´ultimo considere la proposici´on (1.3.1). Para (ii) tenemos que f(n) = Y dn g(d). Luego: Y dn f(n/d)μ(d) = Y dn Y [ e n d g(e)]μ(d) = Y en [g(e)]Pdne μ(d) = g(n)μ(1) = g(n); pues: X d n e μ(d) = 0, para todo n e 1 ; 1, cuando n e = 1. De manera similar se prueba la rec´ıproca. Ejemplo 1.3.1 : Considere n=6. X d6 μ(d)f( 6 d ) = X d6 μ(d) X e 6 d g(e) = μ(1)[g(1) + g(2) + g(3) + g(6)] +μ(2)[g(1) + g(3)] +μ(3)[g(1) + g(2)] +μ(6)[g(1)] = g(1)[|μ(1) + μ(2) {+zμ(3) + μ(6}) o ] 9
  16. 16. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. +g(2)[|μ(1) {+zμ(3}) 0 ] +g(3)[|μ(1) {+zμ(2}) 0 ] +g(6)[μ(1)] = X e6 g(e) X d 6 d μ(d) = g(6)μ(1) = g(6) Definici´on 1.3.2 : Una funci´on aritmetica f(n) es multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) siempre que el m.c.d(m,n)=1. Lema 1.3.1 : Si f(n) es multiplicativa, entonces la funci´on X dn f(d) es una funci´on multiplicativa de n. Prueba: Sea g(n) = P dn f(d). Supongamos que m.c.d(n,m)=1. Entonces : g(mn) = X dmn f(d) = X d1m X d2n f(d1.d2) (por ser f multiplicativa) = X d1m X d2n f(d1)f(d2) = X d1m f(d1) X d2n f(d2) = g(m)g(n). Esto prueba el lema. Lema 1.3.2 : La funci´on de M¨obius μ(n) es multiplicativa. 10
  17. 17. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Prueba: Supongamos que m.c.d(m,n)=1 : Si: r2m ´o q2n para alg´un r ´o q ∈ Z =⇒ r2mn ´o q2mn =⇒ μ(m)μ(n) = 0 = μ(mn). Si : r2 ∤ m y q2 ∤ n =⇒ n = p1...pk y m = q1...qs donde los p′ is y los q′j s son todos distintos =⇒ nm = p1...pk.q1...qs =⇒ μ(n)μ(m) = (−1)k(−1)s = (−1)k+s = μ(mn). Por lo tanto, μ(n), es multiplicativa. Definici´on 1.3.3 : La funci´on totient de Euler, ϕ(n), es el n´umero de enteros positivos menores y relativamente primos a n, es decir, ϕ(n) := X (j,n)=1 1≤j≤n 1 , recuerde que (j,n) denota el m.c.d(j,n). -Cuando digamos funci´on de Euler nos referiremos a la funci´on totient de Euler. Ejemplo 1.3.2 : Para n=6 : ϕ(6) = X 1≤l6 (l,6)=1 1 = |{1z} l=1 +|{1z} l=5 = 2 . ∴ ϕ(6) = 2 Proposici´on 1.3.2 : Para m y n primos relativos, ϕ(mn) = ϕ(m).ϕ(n) . Para p primo y l un entero positivo ϕ(pl) = (p − 1)pl−1 y X dn d0 ϕ(d) = n . 11
  18. 18. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Prueba: Para m.c.d(m, n) = 1 , m.c.d(t,mn) = m.c.d(t, n).m.c.d(t,m) as´ı, t es primo a mn si y s´olo s´ı t es primo a m y n. El m.c.d(m, n) es el menor entero positivo de la forma rm + sn. Por teorema de Sun-Ze, f : Zm ⊕ Zn −→ Zmn (x, y)7−→ rm.y + sn.x es una biyecci´on, puesto que m y n son primos relativos(coprimos). De rm+ sn = 1, rm = 1modn as´ı rm es primo a n, y de sn = 1modm, sn es primo a m. Luego, rmy + snx tiene un factor com´un con m si y s´olo s´ı x tiene un factor com´un con m, rmy +snx tiene un factor com´un con n si y s´olo s´ı y tiene un factor com´un con n. As´ı, f da una biyecci´on {x : 1 ≤ x m, m.c.d(x,m) = 1} × {y : 1 ≤ y n, m.c.d(y, n) = 1} −→ {z : 1 ≤ z mn, m.c.d(z,mn) = 1} y ϕ(mn) = ϕ(m).ϕ(n). Para p primo, ϕ(pe) = pe − #{(m´ultiplos de p) ≤ pe | {z }} () .......(∗) = pe − #{p, 2p, 3p, ..., (pe−1)p} = pe − pe−1 = (p − 1)pe−1 . (∗) (pues m.c.d(pe, (α))= 61). P Para probar dn d0 ϕ(d) = n : -Considere n = pe, con p primo, entonces X dpe ϕ(d) = X 0≤k≤e ϕ(pk) = 1 + X 1≤k≤e ϕ(pk) = 1 + X (p − 1)pk−1 1≤k≤e = 1 + (p − 1) X 1≤k≤e pk−1 = 1 + (p − 1) pe − 1 p − 1 = pe Sea n = pe1 1 .pe2 2 ...pet t donde los pi son primos distintos . Entonces X dn ϕ(d) = Y ( 1≤i≤t X dp ei i ϕ(d)), 12
  19. 19. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. (note que d empieza desde 1, as´ı las sumas empiezan de ϕ(1) = 1) = Y (pei 1≤i≤t i ) (por resultado anterior para n = pe ) = pe1 1 .pe2 2 ...pet t = n ∴ X dn ϕ(d) = n Esto prueba la identidad para ϕ . Proposici´on 1.3.3 : Tenemos: ϕ(n) = n X dn μ(d) d = n Y pn (1 − 1 p ), (1.4) para p primo. 13
  20. 20. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 1.4. Factores M´ultiples en Polinomios. -Existe un simple artificio para detectar factores repetidos en un poli-nomio con coeficientes en un cuerpo. Definici´on 1.4.1 : Sea K un cuerpo . Para un polinomio f(x) = anxn + ... + a1x + a0 con coeficientes ai en K, se define la derivada(algebraica) Df(x) de f(x) por Df(x) = nanxn−1 + (n − 1)a(n−1)xn−2 + ... + 3a3x2 + 2a2x + a1 . D es por definici´on una aplicaci´on k-lineal D : K[x] −→ K[x] definida en las k-bases {xn} por D(xn) = nxn−1 . Lema 1.4.1 : Para f, g en K[x], D(fg) = Df.g + f.Dg . Comentario 1.4.1 : Cualquier aplicaci´on k-lineal T de una K-algebra R en s´ı misma, con la propiedad que T(rs) = T(r).s + r.T(s) es una derivaci´on k-lineal en R. Prueba: Garantizando la k-linealidad de T para probar la propiedad de derivaci´on D es suficiente considerar elementos bases xm, xn de K[x]. En un lado D(xm.xn) = Dxm+n = (m + n)xm+n−1 En el otro lado , Df.g + f.Dg = mxm−1.xn + xm.nxn−1 = (m + n)xm+n−1 produciendo la regla del producto para monomios. 14
  21. 21. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Proposici´on 1.4.1 : Sea f(x) ∈ K[x] con K un cuerpo, y P un polinomio irreducible en K[x] . a) Si Pe divide a f entonces Pe−1 divide al m.c.d(f,Df). b) Si K es perfecto y (e − 1)6= 0 en K y Pe−1 f, Pe−1 Df entonces Pef (reciproca de a) ) ( en particular vale si la caracter´ısti-ca de K es 0 ). Prueba: a) Suponga f = Pe.g con e ≥ 2. Por regla del producto Df = ePe−1DP.g + Pe.Dg que evidentemente es un m´ultiplo de Pe−1. b) Necesitamos que f = Pe.g = Pe−1.Pg ⇒ f Pe−1 = Pg . Luego, probaremos que P ( f Pe−1 ) . Escribimos : ( f Pe−1 ) = Q.P + R con grado de R grado de P. Entonces f = Q.Pe + R.Pe−1 , derivando : Df = DQ.Pe + eQPe−1 + DR.Pe−1 + (e − 1).RPe−2DP . Como por hip´otesis Pe−1 Df , necesariamente Pe−1 [(e − 1).RPe−2DP] puesto que (e − 1)6= 0 en K, entonces P R ´o P DP. • Si P R ⇒ R = 0 (pues grad R grad P) ⇒ f/Pe−1 = Q.P ⇒ pe f ( hecho !) . • Si P ∤ R ⇒ P DP. Puesto que grad DP grad P y si P DP ⇒ DP = 0. Esto requiere que los coeficientes no nulos (de DP) sean divididos por la caracter´ıstica (p 0) del cuerpo. As´ı P es de la forma P(x) = apmxpm+ap(m−1)xp(m−1)+ap(m−2)xp(m−2)+...+a2px2p+a1px1p+a0p . Usando la hip´otesis que K es un cuerpo perfecto, cada ai tiene una p-´esima ra´ız en K, pues p es la caracter´ıstica de K, as´ı (a1 + a2 + ... + al)p = 15
  22. 22. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. ap 1 + ap 2 + ... + ap l . Esto indica que ∃ bk ∈ K tal que bp k = akp , 0 ≤ k ≤ m . Luego : (bmxm + bm−1xm−1 + ... + b1 + b0)p = P(x) . Si P es una p-´esima potencia, entonces P no es irreducible (contradicci´on con hip´otesis general que P es irreducible) . Por lo tanto, para P irreducible, la DP6= 0 (0 ≡ polinomio nulo). Por lo tanto R = 0, lo cual implica que pe f (ya se ha demostrado). Lema 1.4.2 : Para m, n dos enteros ( divisible por la caracter´ıstica del cuerpo o no ), m.c.d(xm − 1, xn − 1) = xm.c.d(m,n) − 1 . Prueba: -Aplicamos inducci´on en el m´aximo de m y n. Si m = n, entonces xm−1 = xn − 1 y la afirmaci´on es cierta. Si m n, haciendo un fragmento de la divisi´on, tenemos : xm − 1 − xm−n(xn − 1) = xm−n − 1 . ....(∗) Si P es un polinomio dividiendo a xm −1 y a xn −1 entonces P divide a xm−n − 1. Por inducci´on, m.c.d(xm−n − 1, xn − 1) = xm.c.d(m−n,n) − 1 . Pero m.c.d(m, n) = m.c.d(m − n, n) ( pues ∃ a, b ∈ Z tal que m.c.d(m, n) = am+ bn = a(m− n) + (a + b)n = a(m − n) + cn = m.c.d(m − n, n) y xm − 1 = xm−n(xn − 1) + xm−n − 1 ). Luego, de (∗): m.c.d(xm − 1, xn − 1) = m.c.d(xm−n − 1, xn − 1) = xm.c.d(m−n,n) − 1 Por hip´otesis inductiva, = xm.c.d(m,n) − 1 . Si m n invertimos los roles de m y n y repetimos el argumento anterior. Lema 1.4.3 : Sea n un entero positivo no divisible por la caracter´ıstica del cuerpo K. Entonces el polinomio xn − 1 no tiene factores repetidos. 16
  23. 23. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Prueba: Es suficiente verificar que el m.c.d de xn − 1 y su derivada nxn−1 es 1 . Puesto que la caracter´ıstica del cuerpo no divide a n , n tiene un inverso multiplicativo t en K. (i.e. n.t = 1K ). Entonces efectuando una divisi´on , (xn − 1) − (tx)(nxn−1) = −1 . As´ı, el m.c.d(xn − 1 , nxn−1) = 1K Nota: -Si la caracte´ıstica p del cuerpo K divide a n (i.e. n = p.m , donde m ∈ Z). Entonces: • ) D(xn − 1) = D(xpm − 1) = pmxpm−1 = 0 . Esto indica que ∀ α ∈ K, (x − α) es un factor de D(xn − 1), entonces xn − 1 tiene factores m´ultiples. Equivalentemente : xn − 1 = xpm − 1 = (xm − 1)p, evidentemente xn − 1 tiene factores m´ultiples. /// 17
  24. 24. Cap´ıtulo 2 Polinomios Ciclot´omicos 2.1. Definici´on y Primeros Resultados. - Una n-´esima ra´ız de la unidad es una soluci´on de zn = 1 en C. Existen precisamente n soluciones para zn = 1, es decir, e2i/n, e2i2/n, ..., e2in/n = 1. Frecuentemente escribimos ξn para e2i/n as´ı que ξn, ξ2n , ξn n son las n ra´ıces de zn = 1. Decimos que una n-´esima ra´ız de la unidad es primitiva si es de la forma ξkn con k y n relativamente primos, i.e., (k, n) = 1. Una n-´esima ra´ız de la unidad primitiva, ξ, tiene la propiedad que no satisface cualquier ecuaci´on de la forma zm = 1 con m n, y ξk, 1 ≤ k ≤ n son todas las n-´esimas ra´ıces de la unidad. Existen exactamente ϕ(n) n-´esimas ra´ıces primitivas de la unidad. Las ra´ıces de la unidad forman un grupo c´ıclico (multipicativo) de orden n y las ra´ıces primitivas corresponden a los generadores de este grupo. Definici´on 2.1.1 : El n-´esimo polinomio ciclot´omico es el polinomio m´onico Φn(x) = Yn j=1 (j,n)=1 (x − ξjn ) cuyas ra´ıces son precisamente las n-´esimas ra´ıces primitivas de la unidad. Ejemplo 2.1.1 : Φ1(x) = x − 1 y Φ2(x) = x − (−1) = x + 1. Φ3(x) = (x − (−1/2 + √3i/2)(x − (−1/2 − √3i/2)) = x2 + x + 1. y Φ4(x) = x2 + 1. 18
  25. 25. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Definici´on 2.1.2 : Un polinomio ciclot´omico es un polinomio m´onico cuyas ra´ıces permanecen en el c´ırculo unitario. Ver la figura : −1 −0.5 0 0.5 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 Eje x Eje Y Círculo Unitario Las Raices de la unidad están ubicadas en el Círculo Unitario. ⋆ Note que : xn − 1 = Y dn Y 1≤j≤n (j,n) (x − ξjn ) = Y dn Φn d (x) = Y dn Φd(x). Aplicando la f´ormula de inversi´on de M¨obius, se infiere que Φn(x) = Y dn (xd − 1)μ(n d ). (2.1) Ejemplo 2.1.2 : Hallar Φ6(x) Φ6(x) = Y d6 (xd − 1)μ(6/d) = (x − 1)μ(6).(x2 − 1)μ(3).(x3 − 1)μ(2).(x6 − 1)μ(1) Pero μ(1) = 1, μ(2) = −1, μ(3) = −1 y μ(6) = 1 =⇒ Φ6(x) = (x − 1)(x6 − 1) (x2 − 1)(x3 − 1) = x2 − x + 1 . En vista de la definici´on (2.1.1), tenemos : Corolario 2.1.1 : Sea n 1 un entero y Φn(x) el n-´esimo polinomio ciclot´omico. Entonces x'(n)Φn(1/x) = Φn(x). 19
  26. 26. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Definici´on 2.1.3 : Una ecuaci´on expl´ıcita para Φn(x), donde n no es un cuadrado simple, es dado por Φn(x) = X'(n) j=0 an,jx'(n)−j , donde an,j es calculado usando la relaci´on de recurrencia : an,j = − μ(n) j Xj−1 m=0 am,nμ(m.c.d(n, j − m))ϕ(m.c.d(n, j − m)) , con an,0 = 1, donde μ(n) es la funci´on de M¨obius . Ejemplo 2.1.3 : Φ2(x) = P'(2) j=0 a2,jx'(2)−j = P1 j=0 a2,jx1−j = a2,0x + a2,1 = 1.x + a2,1. Luego: a2,1 = − μ(2) 1 .a2,0μ(m.c.d(2, 1)).ϕ(m.c.d(2, 1)) = −(−1),1.μ(1).ϕ(1) = 1 . Por lo tanto: PΦ2(x) = x + 1 . Φ3(x) = 2 j=0 a3,jx2−j , ϕ(3) = 2 = a3,0x2 + a3,1x + a3,2 = x2 + a3,1x + a3,2. a3,1 = − μ(3) 1 a3,0μ(m.c.d(3, 1)).ϕ(m.c.d(3, 1)) a3,1 = − (−1) 1 ,1.μ(1).ϕ(1) = 1 a3,2 = − μ(3) 2 . X1 m=0 a3,mμ(m.c.d(3, 2 − m)).ϕ(m.c.d(3, 2 − m)) = − (−1) 2 .{[1.μ(1).ϕ(1)] + [1.μ(1).ϕ(1)]} = 1 Por lo tanto: Φ3(x) = x2 + x + 1 . NOTA: La restricci´on a que n6= r2 para r ∈ Z, es porque seg´un la definici´on de la funci´on de M¨obius, μ(n) = μ(r2) = 0 y esto no sirve para hallar los an,j en la relaci´on de recurrencia. 20
  27. 27. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 2.2. Polinomios Ciclot´omicos Con Coeficientes Impares 2.2.1. Factorizaci´on sobre Zp[x] -En esta secci´on se resumen algunos resultados sobre factorizac´on de poli-nomios ciclot´omicos con coeficientes impares como un producto de polinomios ciclot´omicos irreducibles. Lema 2.2.1 : Sean n y m enteros positivos distintos, relativamente primos a p (p primo). Entonces Φn(x) y Φm(x) son relativamente primos en Zp[x]. Prueba: Suponga que e y f son los m´ınimos enteros positivos tales que pe ≡ 1modn y pf ≡ 1modm. Sea Fpk el cuerpo de orden pk. Luego |Fe| = pe − 1, donde Fe es xp el grupo de unidades de Fpe , Como pe ≡ 1modn =⇒ n(pe − 1) =⇒ n|Fe |. xpxp Luego; Fpe contiene elementos de orden n, esto indica que sobre Zp[x], Φn(x) tiene factor irreducible de grado e. Como e es el m´ınimo entero positivo y el gradΦn(x) = ϕ(n), se tiene que Φn(x) es un producto de ϕ(n)/e factores irreducibles de grado e y cada factor irreducible es un polinomio m´ınimo para un elemento en Fpe de orden n sobre Zp. As´ı Φn y Φm no tienen un factor com´un en Zp[x] puesto que sus factores irreducibles son polinomios m´ınimos de diferentes grados. Definici´on 2.2.1 : Para cada primo p, sea Tp el operador definido sobre todos los polinomios m´onicos en Z[x] por Tp[P(x)] := YN i=1 (x − αp i ) para cada P(x) = QN i=1(x − αi) en Z[x]. El operador Tp[.] es extendido para ser definido sobre el cociente de dos polinomios m´onicos en Z[x] por Tp[(P/Q)(x)] := Tp[P(x)] Tp[Q(x)] . 21
  28. 28. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Este opeador toma un polinomio P(x) y lo lleva a otro cuyas ra´ıces son las p-´esimas potencias de las ra´ıces de P(x). Cuando p = 2 es referido como algoritmo de la ra´ız cuadrada de Graeffe. Lema 2.2.2 : Sea n un entero positivo relativamente primo a p e i ≥ 2. Entonces: i) Tp[Φn(x)] = Φn(x); ii) Tp[Φpn(x)] = [Φn(x)]p−1; iii) Tp[Φpin(x)] = [Φpi−1n(x)]p. Definici´on 2.2.2 : Para cada p primo, sea Mp la proyecci´on natural de Z[x] sobre Zp[x]. As´ı Mp[P(x)] = P(x)(modp). Cuando P(x) es ciclot´omico, las iteraciones Tn p [P(x)] converge en un n´umero finito de pasos a un punto fijo de Tp y definimos a este como el punto fijo de P(x) con respecto a Tp. Lema 2.2.3 : Si P(x) es un polinomio ciclot´omico m´onico en Z[x], entonces Mp[Tp[P(x)]] = Mp[P(x)] (2.2) en Zp[x]. Prueba: Puesto que Tp y Mp son ambos multiplicativos, es suficiente considerar los polinomios ciclot´omicos primitivos. Sea n un entero relativamente primo a p. Entonces (2.2) es verdadero para P(x) = Φn(x) por (i) del lema 2.2.2. Para P(x) = Φpn(x), tenemos : Mp[Tp[Φpn]] = Mp[[Φ(x)]p−1] por (ii) del lema 2.2.2, adem´as Φnp(x) = [Φn(x)]p−1 en Zp[x] con p ∤ n. O tambi´en Mp[Φpn(x)] = Mp[Φn(xp)] Mp[Φn(x)] (pues Φpn(x) = Φn(xp) Φn(x) ) = Mp[Φn(xp)] Mp[Φn(x)] = Mp[Φn(x)]p−1, en Zp . 22
  29. 29. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. As´ı: (2.2) es verdadero para P(x) = Φpn(x). Finalmente, Si: P(x) = Φpin(x) =⇒ Mp[Tp[Φpin(x)]] = Mp[Φpi−1n(x)]p = Mp[Φpi−1n(xp)] = Mp[Φpin(x)], (por (iii) de lema (2,2,2)) . El lema (2.2.3) muestra que si Tp[P(x)] = Tp[Q(x)] =⇒ Mp[P(x)] = Mp[Q(x)]. El proximo teorema muestra que la rec´ıproca tambi´en es cierta. Teorema 2.2.1 : Sean P(x) y Q(x) polinomios ciclot´omicos m´onicos en Z[x]. Mp[P(x)] = Mp[Q(x)] en Zp[x] si y s´olo s´ı P(x) y Q(x) tienen el mismo punto fijo con respecto a la iteraci´on de Tp . Prueba: Suponga que P(x) = Y d ∈ L d (x)Φe(pd) pd (x)...Φe(pkd) Φe(d) pkd (x) y Q(x) = Y d ∈ L Φe(d)′ d (x)Φe(pd)′ pd (x)...Φe(pkd)′ pkd (x) donde k, e(j), e(j)′ ≥ 0 y L = {n ∈ Z+/m.c.d(n, p) = 1} Usando el hecho que Tp[.] es multiplicativo y el lema 2.2.2, tenemos que para l ≥ k Tlp [P(x)] = Y d∈ L Φd(x)g(d) y Tlp [Q(x)] = Y d∈ L Φd(x)g(d)′ (2.3) donde g(d) = e(d) + (p − 1) Xk j=1 pj−1e(pjd) y g(d)′ = e(d)′ + (p − 1) Xt j=1 pj−1e(pjd)′ . 23
  30. 30. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Luego por el lema 2.2.3 y considerando que Mp[.] es multiplicativa, se tiene: Y d∈ L Mp[Φd(x)]g(d) = Y d∈ L Mp[Φd(x)]g(d)′ . Sin embargo, considrando el lema 2.2.1, Mp[Φd(x)] y Mp[Φd′ (x)] son relati-vamente primos si d6= d′ . As´ı tenemos que g(d) = g(d′) ∀d ∈ L y por lo tanto de (2.3), P(x) y Q(x) tienen el mismo punto fijo con respecto a Tp . Proposici´on 2.2.1 : Sea f(x) = a0 + a1x + ... + anxn ∈ Z[x], para p primo, se define f(x) = a0 + a1x + ... + anxn ∈ Zp[x], donde: ai = ai + p.Z . Si p ∤ an y f(x) es irreducible sobre Zp[x], entonces f(x) es irreducible sobre Q. El siguiente lema nos dice cuales Φm(x) pueden ser factores de polinomios con coeficientes impares. Lema 2.2.4 : Suponga que P(x) es un polinomio con coeficientes impares de grado N −1. Si Φm(x) divide a P(x), entonces m divide a 2N . Prueba: Puesto que Φm(x) divide a P(x), entonces Φm(x) tambi´en divide a P(x) en Z2[x] (ver proposici´on 2.2.1). En Z2[x], P(x) = xN−1 + ... + x + 1 y puede ser factorizado como P(x) = [Φ1(x)]−1 Y dM [Φd(x)]2t (2.4) donde N = 2tM, t ≥ 0 y M es impar. Por el lema 2.2.1, Φd1(x) y Φd2(x) son relativamente primos en Z2[x] si d1 y d2 son enteros impares diferentes. Si m es impar, Φm(x) es un factor de P(x), luego m=d para alg´un dM. En el caso que m es par y m = 2lm′, donde l ≥ 1 y m′ impar, Φm(x) = Φ2lm′(x) = x2lm′ Q − 1 d2lm′ d2lm′ Φd(x) = (x2l−1)2m′ − 1 Q d2m′ d2m′ Φd(x2l−1) = Φ2m′ (x2l−1 ) = [Φm′ (x2l−1 )]2−1 = Φm′ (x2l−1 ) = [Φm′(x)]2l−1 (2.5) en Z2[x]. As´ı, tenemos m′ = d para dM y l ≤ t + 1. Por lo tanto, en ambos casos, m divide a 2N = 2t+1M . 24
  31. 31. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 2.2.2. Caracterizaci´on De Los Polinomios Ciclot´omicos Con Coeficientes Impares. En esta secci´on se caracteriza los polinomios ciclot´omicos con coeficientes impares, esto se muestra en el corolario (2.2.2) . Del lema (2.2.4), se tiene que todo polinomio ciclot´omico, P(x), con coefi-cientes impares de grado N-1 puede ser escrito como P(x) = Y d2N [Φe(d) d (x)] (2.6) donde e(d) ≥ 0 . En seguida caracterizamos los polinomios ciclot´omicos m´onicos por su imagen sobre Zp[x] v´ıa la proyecci´on Mp. Todos ellos tienen el mismo punto fijo bajo Tp . Si p=2, tenemos: Corolario 2.2.1 : Todos los polinomios ciclot´omicos m´onicos con coeficientes impares de grado N-1 tienen el mismo punto fijo bajo la iteraci´on de T2. Especificamente, si N = 2tM donde t ≥ 0 y m.c.d(2,M) = 1 entonces el punto fijo ocurre en el (t+1)-´esimo paso de la iteraci´on e igual a (xM − 1)2t (x − 1)−1 . Prueba: La primera parte se sigue del teorema (2.2.1) y el hecho que M2[P(x)] = 1 + x + ... + xN−1 en Z2[x] si P(x) es un polinomio m´onico con coeficientes impares de grado N-1. Si N = 2tM, entonces de (2.6), P(x) = Y dM d (x)Φe(2d) 2d (x)...Φe(2t+1d) Φe(d) 2t+1d . Sobre Z2[x], 1 + x + ... + xN−1 = [Φ1(x)]−1 Y dM Φ2t d (x) , as´ı f(d) = e(d) + Xt+1 i=1 2i−1e(2id) = {2t para dM, d1 ; 2t−1 para d=1 . (2.7) 25
  32. 32. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Por lo tanto, de la ecuaci´on (2.7) y del lema (2.2.2), tenemos Tt+1 2 [P(x)] = Y dM Φf(d) d (x) = [Φ1(x)]−1 Y dM Φ2t d (x) = (xM − 1)2t (x − 1)−1 . En el corolario (2.2.1), cuando N es impar (t=0), se muestra que T2[P(x)] es igual a 1+x+...+xN−1 para todo polinomio ciclot´omico con coeficientes impares y de las ecuaciones (2.6) y (2.7), tenemos la siguiente carac-terizaci ´on de polinomios ciclot´omicos con coeficientes impares. Corolario 2.2.2 : Sea N = 2tM con t ≥ 0 y m.c.d(2,M)=1. Un polinomio, P(x), con coeficientes impares de grado N-1 es ciclot´omico si y s´olo s´ı P(x) = Y dM Φe(d) 2d (x)...Φe(2t+1d) d (x)Φe(2d) 2t+1d (x) , y los e(d) satisfacen la condici´on (2.7). Adem´as, si N es impar, entonces cualquier polinomio, P(x), con coeficientes impares de grado par N-1 es ci-clot ´omico si y s´olo s´ı P(x) = Y dN d1 Φe(d) d (+−x) (2.8) donde los e(d) son enteros no negativos. 2.2.3. Caracterizaci´on De Los Polinomios Ciclot´omicos De Littlewood . Entre todos los polinomios ciclot´omicos, se encuentran los polinomios de Littlewood, i.e.,con coeficientes +− 1. En esta secci´on, consideramos la car-acterizaci ´on de tales polinomios. P. Borwein y K.K.Choi (en su texto On Cyclotomic Polynomials with +− 1 Coefficients, Experiment. Math. 9(2000), no1, 153-158), prueban el Teorema (2.2.2) . 26
  33. 33. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Teorema 2.2.2 : Sea N impar. Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N-1 es ciclot´omico si y s´olo s´ı P(x) =+− Φp1(+− x)Φp2(+− xp1)...Φpr (+− xp1p2...pr−1) , (2.9) donde N = p1p2...pr y los p′ is son primos, no necesariamente distintos . Corolario 2.2.3 : Sea N impar. Entonces P(x) es un polinomio ciclot´omico de Littlewood de grado N-1 si y s´olo s´ı P(x) =+− Yt i=1 xNi + (−1)+i xNi−1 + (−1)+i (2.10) donde ε = 0 ´o 1, N0 = 1, Ni−1 es un divisor propio de Ni−1 para i = 1, 2, ..., t . Prueba: Del teorema (2.2.2) P(x) es un polinomio ciclot´omico de Littlewood si y s´olo s´ı P(x) = Φp1(+− x)Φp2(+− xp1)...Φpr (+− xp1p2...pr−1) = Φp1(x)...Φpn1 (xp1...pn1−1)Φpn1+1(−xp1...pn1 )...Φpn2 (−xp1...pn2−1) ...Φpnt+1((−1)t−1xp1...pnt−1) (2.11) donde N = p1...pnt . Puesto Φp(x) = xp−1 x−1 , (2.14) se convierte en P(x) = Yt i=1 xNi + (−1)i xNi−1 + (−1)i donde N0 = 1 y Ni = p1...pn1 para i = 1, .., t. Esto prueba el corolario. P. Borwein y K.K.Choi conjeturan que el Teorema (2.2.2) tambi´en es v´alido para polinomios de grado impar. Conjetura: Un polinomio de Littlewood, P(x), de grado N − 1 es ciclot´omico si y s´olo s´ı P(x) =+− Φp1(+− x)Φp2(+− xp1)...Φpr (+− xp1p2...pr−1) , (2.12) donde N = p1p2...pr y todos los p′ is son primos, no necesariamente distintos . 27
  34. 34. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 2.2.4. Polinomios Ciclot´omicos, Un Enfoque Adicional. Definici´on 2.2.3 : Sea K un cuerpo, el exponente de K es el menor entero positivo n tal que bn = 1 ∀ b ∈ K . Pero bd6= 1 para 0 d n (si tal entero n no existe, el exponente de K es ∞ ). En otras palabras, b es una ra´ız del polinomio xn−1 pero no de xd−1 para 0 d n . Construimos polinomios Φn(x) ∈ Z[x] tal que Φn(b) = 0 si y s´olo s´ı b tiene exponente n . Estos polinomios Φn son llamados Polinomios Ciclot´omicos.. Definici´on 2.2.4 : Se define el n-´esimo polinomio ciclot´omico Φn(x) por Φ1(x) = x − 1 y para n 1, inductivamente , Φn(x) = xn − 1 m.c.m{xd − 1 con 0 d n, d n} con el m´ınimo com´un m´ultiplo m´onico. Teorema 2.2.3 : Sean m y n enteros, ninguno de los cuales es divisible por la caracter´ıstica del cuerpo K. Entonces : • Φn es un polinomio m´onico con coeficientes enteros. • Para α en el cuerpo K , Φn(α) = 0 si y s´olo s´ı αn = 1 y αt6= 1 ∀t con 0 t n . • m.c.d(Φm(x),Φn(x)) = 1 para n m . • El grado de Φn(x) es ϕ(n) (funci´on de Euler). • Existe una m´as eficiente descripci´on de Φn(x) : Φn(x) = xn − 1 Π1≤dn, dn Φd(x) . • El polinomio xn − 1 se factoriza como xn − 1 = Π1≤d≤n, dn Φd(x) Prueba: • En primer lugar verificamos que el m.c.m de xd − 1 con d n y d n divide a xn − 1 . Se sabe que si d n (y d 0 ) implica que xd − 1 28
  35. 35. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. divide a xn − 1 (por algebra elemental o por el lema 1.4.2 ). Por lo tanto, usando factorizaci´on ´unica de polinomios con coeficientes en un cuerpo, se sigue que m.c.m{xd − 1 tal que (xd − 1) (xn − 1) con d n} tambi´en divide a xn − 1 . Luego, la afirmaci´on que Φn es m´onico se sigue de esta definici´on, puesto que Φn(x) es el cociente del polinomio m´onico xn − 1 por el m.c.m de polinomios m´onicos. • Para α ∈ K, (x − α) Φn(x) ⇔ Φn(α) = 0 . Y αt = 1 si y s´olo s´ı (x − α) (xt − 1) . La definici´on : Φn(x) = xn − 1 m.c.m{xd − 1 con 0 d n, d n} muestra que si Φn(α) = 0 ⇒ αn = 1 . Tambi´en, si αt = 1 para t n con t n, entonces (x − α) (xt − 1) y as´ı (x − α) divide al m.c.m {xd − 1 con 0 d n, d n}. Esto obligar´ıa a que xn − 1 = (x − α)rH(x) para alg´un r ∈ Z, r 1. Lo cual es una contradicci´on pues xn − 1 no tiene factores repetidos. Por lo tanto αt6= 1 para 0 t n. • Para determinar el m.c.d(Φm,Φn), primero observe que Φm(x) xm − 1 y Φn(x) xn − 1, as´ı m.c.d(Φm,Φn) m.c.d(xm − 1, xn − 1). En el lema 1.4.2 calculamos que m.c.d(xm − 1, xn − 1) = xm.c.d(m,n) − 1 . =⇒ m.c.d(Φm,Φn) (xm.c.d(m,n) − 1) De la definici´on Φm(x) = xm − 1 m.c.m{xd − 1 con 0 d m, d m} tenemos que : Φm(x) xm − 1 xd − 1 29
  36. 36. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Puesto que n m: a)-Si n m ⇒ m.c.d(m, n) = n, as´ı Φm(x) ( xm − 1 xm.c.d(m,n) − 1 ) b)-Si m.c.d(m, n) = 1 y puesto que d tambi´en toma el valor de 1, en este caso tambi´en Φm(x) ( xm − 1 xm.c.d(m,n) − 1 ) . As´ı, m.c.d(Φm(x),Φn(x)) tambi´en divide a xm − 1 xm.c.d(m,n) − 1 . Puesto que xm−1 no tiene factores repetidos, entonces Φm(x) y xm.c.d(m,n)− 1 no tienen factores en comun ´(el m.c.d(m, n) se toma como d, ver a) y b) ). Por lo tanto del hecho que m.c.d(Φm(x),Φn(x)) divide a (xm.c.d(m,n) − 1) y tambi´en divide a (xm−1) , concluimos que (xm.c.d(m,n)−1) m.c.d(Φm(x),Φn(x)) = 1 . • Luego, probamos que xn − 1 = Y 1≤d≤n dn Φd(x) . De la definici´on de Φn(x), tenemos xn − 1 = Φn(x).(m.c.m{xd − 1 : d n, 0 d n}) , ya hemos probado que Q para m= 6n el m.c.d(Φm,Φn) = 1, as´ı m.c.m{xd−1 : d n, 0 d n} = dn Φd(x) . dn Por lo tanto, xn − 1 = Φn(x). Q dn dn Φd(x) como necesitamos. • La afirmaci´on acerca del gradΦn(x) se sigue de la identidad (probada en la secci´on 1.3) para la funci´on de Euler X dn d0 ϕ(d) = n , adem´as de xn−1 = Q Φd(x) se tiene que n = ΣgradΦd(x). Por lo tanto X dn 1≤d≤n dn gradΦd(x) = X dn ϕ(d) 30
  37. 37. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. gradΦn(x) = ϕ(n) . Esto completa la prueba del teorema. 2.2.5. Ejemplos I . Ejemplos : (en Z[x]) a) Para p primo, xp − 1 = Q dp Φd(x) =⇒ xp − 1 = Φ1(x).Φp(x) = (x − 1)Φp(x) =⇒ Φp(x) = xp − 1 x − 1 = xp−1 + xp−2 + ... + x + 1 b) Para n = 2p , p ≡ primo impar: Φ2p(x) = x2p − 1 Φ1(x).Φ2(x).Φp(x) = x2p − 1 Φ2(x)(xp − 1) =⇒ Φ2p(x) = xp + 1 x + 1 , Φ2(x) = x + 1 =⇒ Φ2p(x) = xp−1 − xp−2 + ... − x + 1 c) Para n = p2 con p primo : Φp2(x) = xp2 − 1 Φ1(x).Φp(x) = xp2 − 1 xp − 1 = (xp)p − 1 xp − 1 =⇒ Φp2(x) = xp(p−1) + xp(p−2) + ... + xp + 1 = Φp(xp) d) En forma general para n = pe, p primo y e ≥ 1 Φpe(x) = Φp(xpe−1 ) = xpe−1(p−1) + xpe−1(p−2) + ... + xpe−1 + 1 e) Para n = 2m (con m impar 1) demostraremos que Φ2m(x) = Φm(−x) Note que, Φ2(−x) = −x + 1 = −Φ1(x) . Probaremos por inducci´on : x2m − 1 = Y d2m d2m Φd(x).Φ2m(x) 31
  38. 38. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. =⇒ Φ2m(x) = x2m Q − 1 d2m d2m Φd(x)}...(∗) En (∗) note que { los divisores de 2m } 2m (con m impar), son todos los divisores de m y los n´umeros de la forma 2{divisores de m } (menos el 2m que no lo estamos considerando). As´ı : Φ2m(x) = x2m − 1 Q dm Φd(x). Qdm dmΦ2d(x) = x2m − 1 (xm − 1). Q dm dm Φ2d(x) Por hip´otesis inductiva : Φ2d(x) = Φd(−x), puesto que d es divisor de m (impar), entonces d es impar. =⇒ Φ2m(x) = x2m − 1 (xm − 1)Πdm dm Φd(−x) =⇒ Φ2m(x) = Q(xm + 1)Φm(−x) dm dm Φd(−x).Φm(−x) = (xQm + 1)Φm(−x) dm Φd(−x) = (xm + 1)Φm(−x) ((−x)m − 1)(−1) = Φm(−x) donde el (-1) en el denominador es porque Φ2(x) = −Φ1(−x), adem´as (−1)m = −1 pues m es impar. Ejemplos de aplicaci´on de los anteriores resultados: Φ1(x) = x − 1 Φ2(x) = x + 1 ........................................ caso a) con p = 2. Φ3(x) = x2 + x + 1 .................................. caso a) con p = 3. Φ4(x) = x2 + 1 .................................... caso c) con p = 2. Φ5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1............................. caso a) con p = 5. Φ6(x) = Φ3(−x) = x2 − x + 1............................. caso e) con p = 3. Φ7(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1................. caso a) con p = 7. Φ8(x) = x4 + 1 . Φ9(x) = Φ32(x) = x6 + x3 + 1.......................... .. caso c) con p = 3 . Φ10(x) = Φ2(5)(x) = Φ5(−x) = x4 − x3 + x2 − x + 1 . Φ11(x) = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 . Φ18(x) = Φ2(9)(x) = Φ9(−x) = x6 − x3 + 1 . Para n = pq con p y q primos distintos, por ejemplo n = 15 = 3 · 5 Φ15(x) = x15 − 1 Φ1(x).Φ3(x).Φ5(x) = x15 − 1 Φ3(x)(x5 − 1) = x10 + x5 + 1 x2 + x + 1 32
  39. 39. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Φ15(x) = x8 − x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 . +− Migotti (1883) mostr´o que los coficientes de Φpq(x) para p y q primos distintos pueden ser s´olo 0,1 . Φ30(x) = Φ15(−x) = x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 . Para p primo Φp(x) = Σp−1 k=0xk, es decir, los coeficientes son todos 1. El primer polinomio ciclot´omico que tiene coeficientes adem´as de 0 y +− 1 +− es Φ105(x), +− +− el cual tiene coeficiente -2 para x7 y x41. Pues 105 es el primer numero ´que tiene tres primos impares distintos como factores, i.e., 105 = 3 · 5 · 7 . Los valores de n para los cuales Φn(x) tiene uno o m´as coeficientes 1,2,3, ... son 105, 385, 1365, 1785, 2805, 3135, 6545, 10465, 11305, ... . 35 30 25 20 15 10 5 0 −5 −10 PRIMEROS POLINOMIOS CICLOTÓMICOS 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 −5 0 5 Eje X P1 P2 P3 P4 0 2.2.6. Ejemplos II. Ejemplos Elaborados. 1) Verificar que el polinomio x4 + x3 + x2 + x + 1 es irreducible en F3[x]. p Usando la f´ormula recursiva Φn(x) = xn − 1 Πdn dn Φd(x) El polinomio dado es Φ5(x). Usamos el hecho que la caracter´ıstica del cuerpo 33
  40. 40. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. K no divide a n, entonces Φn(α) = 0 si y solo s´ı α es de orden n en Kx . Si Φ5(x) tiene un factor lineal (x−α) con α ∈ F3, entonces Φ5(α) = 0, α es de orden 5 en F3 x . Pero F3 x es de orden 2, as´ı no tiene elementos de orden 5 (por el Teorema de Lagrange). Por lo tanto Φ5(x) no tiene factor lineal en F3. Si Φ5(x) tiene un factor cuadr´atico irreducible en F3[x] , esto es equivalente a decir que existe un elemento α de orden 5 en F32 x . Pero | F32 x |= 32−1 = 8, el cual no es divisible por 5 , as´ı (por T. de Lagrange) Fx 32 no tiene elemeto de orden 5. Φ5(x) no tiene factor c´ubico irreducible en F3[x], ya que si lo tuviese tambi´en tendr´ıa un factor cuadr´atico o dos lineales, y ya comprobamos que no los tiene. Por lo tanto Φ5(x) es irreducible en F3[x]. m 2) Verificar que el polinomio x6 + x3 + 1 es irreducible en F5[x] . En efecto: Usamos la f´ormula recursiva : Φn(x) = xn − 1 Πdn dn Φd(x) x5 x5 El polinomio dado es Φ9(x). Usamos el hecho que la caracter´ıstica del cuerpo K no divide a n , Φn(α) = 0 si y s´olo s´ı α es de orden n en Kx. Si Φ9(x) tiene factor lineal (x−α) con α ∈ F5 , entonces Φ9(x) = 0, α es de orden 9 en F. Pero Fes de orden 4, as´ı no tiene elemento de orden 9 (por Teorema de Lagrange). Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor lineal en F5[x]. Supongamos que Φ9(x) tiene un factor cuadr´atico irreducible en F5[x], esto es equivalente a decir que existe un elemento α de orden 9 en Fx 52 . Pero |Fx 52 | = 52−1 = 24, el cual no es divisible por 9, as´ı (por T. de Lagrange) no tiene elemento de orden 9. Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor cuadr´atico irreducible en F5[x]. Supongamos que Φ9(x) tiene un factor c´ubico irreducible en F5[x], esto es equivalente a decir que existe un elemento α de orden 9 en Fx 53 . Pero |Fx 53 | = 53 − 1 = 124, el cual no es divisible por 9, as´ı ( por T.Lagrange ) no tiene elemento de orden 9. Por lo tanto Φ9(x) no tiene factor c´ubico irreducible en F5[x]. Se deduce que Φ9(x) no tiene factor de grado 4 en F5[x], pues si lo tuviese esto implicar´ıa que tiene un factor cuadr´atico o dos lineales y ya sabemos que no es el caso. Analogamente Φ9(x) no tiene factor irreducible de grado 5. 34
  41. 41. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Por lo tanto Φ9(x) = x6 + x3 + 1 es irreducible en F5[x]. m 3) Verificar que el polinomio x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 se factoriza como el producto de dos polinomios c´ubicos irreducibles en F11[x]. En efecto: Vemos que el polinomio dado es Φ7(x) = x7−1 1(x) . Si tuviese un factor lineal (x − α) en F11[x], entonces (puesto que la carac-ter ´ıstica = 11 no divide al orden 7 ) existe un elemento α de orden 7 en Fx 11 , pero |Fx 11| = 10 el cual no es divisible por 7, as´ı (por T. de Lagrange) no existe tal elemento. Si tuviese un factor cuadr´atico irreducible en F11[x], entonces existe un elemento de orden 7 en la extensi´on Fx 112 , pero |Fx 112 | = 120 el cual no es divisible por 7, as´ı (por T. Lagrange) no existe tal elemento. Supongamos que existe un polinomio c´ubico irreducible f(x) ∈ F11[x] tal que f(β) = 0, β ∈ E (E es la extensi´on c´ubica de F11 ), [E : F11] = 3. E tiene 113 = 1331 elementos , |Ex| = 113 − 1 = 1330, β7 = 1 , βr6= 1, si 1 ≤ r ≤ 6. Vemos que 7 (113−1) = (11−1)(112+11+1). Puesto que β ∈ E−F11, el m´ınimo polinomio f(x) de β sobre F11 es c´ubico. Mostraremos que en esta circunstancia f(x) divide a Φ7(x). En efecto: Φ7(x) = x6+x5+x4+x3+x2+x+1 = Q(X).f(x)+R(x) con Q(x) ,R(x) ∈ F11[x] y grado R grado f. Entonces el grado de R es 1 ´o 2 ´o R = 0. Eval-uando en α, 0 = Φ7(α) = Q(α).f(α) + R(α), lo que implica que R(α) = 0, puesto que f(x) es el m´ınimo polinomio tal que f(α) = 0, entonces R = 0. Por lo tanto Φ7(x) = Q(x).f(x), por lo anterior, Φ7(x) no tiene factor lineal ni cuadr´atico irreducible en F11[x], lo que implica que Q(x) es c´ubico irre-ducible en F11[x]. -Usando Maple podemos hallar esta factorizaci´on ingresando: Factor(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) mod 11; obtenemos: (x3 + 7x2 + 6x + 10)(x3 + 5x2 + 4x + 10) . 4) Explicar porqu´e x4 + 1 se factoriza propiamente en Fp[x] para cualquier primo p. Explicaci´on: Observamos que x4 + 1 es el polinomio ciclot´omico Φ8(x). Si p 8, es decir p = 2 , entonces Φ8(x) = x4 + 1 = (x − 1)4, pues 35
  42. 42. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. (x − 1)4 = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1 en caracter´ıstica 2 se reduce a x4 + 1. Para p impar: Si 8 |Fxp | = (p − 1) es decir si p = 1mod8, entonces Fxp (el cual es c´ıclico) tiene un elemento de orden 8, as´ı x4 + 1 tiene un factor lineal en Fp[x]. Si 8 ∤ (p − 1) , es decir si p6= 1mod8 , escribimos p = 2m + 1 y notamos que p2 − 1 = (2m + 1)2 − 1 = (2m)(2m + 2) = 4m(m + 1) luego , si m es impar ⇒ m + 1 es par ⇒ 8 p2 − 1. si m es par ⇒ 4m es m´ultiplo de 8 ⇒ 8 p2 − 1. Por lo tanto para p impar, p2 − 1 es invariablemente divisible por 8. Esto es, existe un α de orden 8 en Fp2. El polinomio m´ınimo para α, el cual es cuadr´atico, divide a x4 + 1. m -Veamos algunas de estas factorizaciones usando Maple : Factor(x^4 + 1) mod 3; (x2 + 2x + 2)(x2 + x + 2) ; Factor(x^4 + 1) mod 5; (x2 + 3)(x2 + 2) ; Factor(x^4 + 1) mod 7; (x2 + 3x + 1)(x2 + 4x + 1) ; Factor(x^4 + 1) mod 11; (x2 + 8x + 10)(x2 + 3x + 10) ; 36
  43. 43. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 2.2.7. Mas Resultados. ∗ Sea un primo p que no divide a m . Mostrar que en Fp[x] Φmp(x) = [Φm(x)]p−1 . En efecto: p ∤ m. Usando f´ormula recursiva tenemos: Φpm(x) = xpm Q − 1 dpm dpm Φd(x) Observamos que {d : d pm} = {d : d m} ∪ {pd : d m ∧ d m} ⇒ Y dpm dpm .Φd(x) = Y dm Φd(x). Y dm dm Φpd(x) ⇒ Φpm(x) = xpm Q − 1 dm Φd(x). Q dm dm Φpd(x) Hip´otesis inductiva, para d m , Φpd(x) = [Φx(x)]p−1 ⇒ Φpm(x) = xpm − 1 (xm − 1). Q dm dm Φpd(x) Por ser p la caracter´ıstica del cuerpo, se tiene que (xmp − 1) = (xm − 1)p Y por hip´otesis inductiva : Φpm(x) = (xm − 1)p (xm − 1). Q dm dm [Φd(x)]p−1 = [ xm Q − 1 dm dm Φd(x) ]p−1 = [Φm(x)]p−1 . Ejemplo 2.2.1 : En F5[x] Φ30(x) = Φ6·5(x) = [Φ6(x)]4 , (note que 5 ∤ 6) Es decir : Φ30(x) = x8 + x7 − x5 − x4 − x3 + x + 1 = (x2 − x + 1)4 = [Φ6(x)]4 37
  44. 44. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Proposici´on 2.2.2 : Para p primo y para 1 ≤ e ∈ Z, el polinomio ciclot´omico Φpe(x) es irreducible en Q[x]. Prueba (de proposici´on): -Usamos el criterio de Eisenstein para probar que Φpe(x) es irreducible en Z[x], invocamos el lema de Gauss para asegurar que es irreducible en Q[x] . Especificamente, sea f(x) = Φpe(x + 1) Si e = 1, estamos frente a un caso familiar. Puesto que p divide a los coeficientes binomiales (p i ) para 0 i p Φp(x + 1) = (x + 1)p − 1 (x + 1) − 1 = Pp k=0(p k)xp−k − 1 x 0)xp−1 + (p = (p 1)xp−2 + ... + (p 1) , por el criterio de Eisenstein este es irreducible. Ahora considere e 1. Sea f(x) = Φpe(x + 1) , sabemos que Φpe(x) = Φp(xpe−1) = xpe −1 xpe−1−1 . Tambi´en (x + 1)pe−1 = xpe−1 + 1modp . Por lo tanto en Fp[x] f(x) = Φp((x + 1)pe−1 ) = (x + 1)pe − 1 (x + 1)pe−1 − 1 = (xpe + 1) − 1 (xpe−1 + 1) − 1 = xpe xpe−1 = xpe−1(p−1) en Fp[x]. As´ı, todos los coeficientes de x de grado menor son divididos por p. Para determinar el coeficiente constante de f(x), usamos otra vez Φpe(x) = Φp(xpe−1) . Para calcular : Coeficiente constante de f = f(0) = Φpe(1) = Φp(1pe−1) = Φp(1) = p. =⇒ f(x) = xpe−1(p−1) = xpe−1(p−1) + p (note que p ≡ 0modp) . 38
  45. 45. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Como en el primer caso, p2 no divide al coeficiente constante de f. Entonces aplicamos criterio de Eisenstein y lema de Gauss para obtener la irreductibil-idad. 2.2.8. Factorizaci´on de Φn(x) en Fp[x] con p n. Teorema 2.2.4 : Sea p un n´umero primo, m ∈ Z con p ∤ m, y el entero e ≥ 1, en Fp[x] el polinomio ciclot´omico Φpem(x) es Φpem(x) = [Φm(x)]'(pe) = [Φm(x)](p−1)(pe−1) donde ϕ es la funci´on de Euler. Prueba: -De la f´ormula recursiva : Φpem(x) = xpem − 1 Πdpem 0dpem Φd(x) = xpem − 1 [Πdm 0≤f≤(e−1) Φpf d(x)][Πdm dm Φped(x)] = xpem − 1 (xpe−1m − 1)Πdm dm Φped(x) . Por hip´otesis inductiva , para d m Φped(x) = [Φd(x)]'(pe) , adem´as, por ser el cuerpo de caracter´ıstica p, xpem − 1 = (xm − 1)pe ∧ xpe−1m − 1 = (xm − 1)pe−1 ⇒ Φpem(x) = (xm − 1)pe (xm − 1)pe−1 .Πdm dm [Φd(x)]'(pe) | {z } (∗∗) . Tenemos que (∗∗) = (xm − 1)'(pe) [Φm(x)]'(pe) 39
  46. 46. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. ⇒ Φpem(x) = (xm − 1)pe−1(p−1)[Φm(x)]'(pe) (xm − 1)'(pe) ⇒ Φpem(x) = [Φm(x)]'(pe), pues ϕ(pe) = pe−1(p − 1). Ejemplo 2.2.2 : Para Φ45(x) en Z3 tenemos que 45 = 32 · 5 entonces p = 3 , e = 2, y m = 5, 3 ∤ 5 , e = 2 ≥ 1 . ⇒ Φ45(x) = Φ32·5(x) = [Φ5(x)]'(9) = (x4 + x3 + x2 + x + 1)6. (Ya sabemos por ejercicio anterior que Φ5(x) es irreducible en F3[x]). 40
  47. 47. Cap´ıtulo 3 Ra´ıces Primitivas Definici´on 3.0.5 : Sea K un cuerpo. Un generador de Kx es llamado una ra´ız primitiva para Kx . Teorema 3.0.5 : Sea K un cuerpo finito . Entonces Kx es un grupo c´ıclico. Prueba: Sea q el n´umero de elementos en K. El grupo de unidades (nos referimos a los elementos invertibles) Kx es un grupo. Por ser K un cuerpo, cualquier b6= 0 tiene un inverso multiplicativo en K. As´ı el orden de Kx es (q −1). Por resultados del teorema de Lagrange, para b6= 0, b(q−1) = 1 Esto es, cualquier elemento no nulo de K es una ra´ız del polinomio f(x) = x(q−1) − 1. Por otro lado, por el teorema fundamental del ´algebra, este polinomio tiene a lo m´as (q − 1) ra´ıces en K. Por lo tanto, se tiene exactamente (q − 1) (distintas) ra´ıces en K. -Sea p la caracter´ıstica de K. Luego p no puede dividir a (q − 1), porque si lo divide entonces la derivada de f(x) = x(q−1) − 1 es cero, as´ı m.c.d(f, f′) = f y f tiene ra´ıces m´ultiples. Pero ya tenemos notado que f tiene (q − 1) ra´ıces distintas, as´ı esto no sucede. Por lo tanto la caracter´ıstica de K no divide a (q − 1), luego podemos aplicar los resultados anteriores sobre polinomios ciclot´omicos. As´ı, x(q−1) − 1 = Y d(q−1) Φd(x) 41
  48. 48. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Puesto que x(q−1)−1 tiene (q−1) ra´ıces en K, y los Φ′ ds aqu´ı son primos relativos cada uno del otro, cada Φd con d (q −1) debe tener un n´umero de ra´ıces (en K) igual a este grado. Esto es, cada Φd con d (q−1) tiene ϕ(d) ( 0) ra´ıces en K (funci´on de Euler). Finalmente, las ra´ıces de Φq−1(x) son los elementos del cuerpo tal que b(q−1) = 1, una potencia positiva menor a (q − 1) no tiene esta propiedad. Las ra´ıces primitivas son exactamente las ra´ıces de Φq−1(x). El polin´omio ciclot´omico Φq−1(x) tiene ϕ(q − 1) ra´ıces. Por lo tanto, existen ϕ(d) ( 0) ra´ıces primitivas. Esto es, el grupo Kx tiene un generador, es decir, es c´ıclico. 3.1. Ra´ıces Primitivas en ZP -Ahora verificamos que el grupo multiplicativo Zxp del cuerpo finito Zp con p primo es un grupo c´ıclico. Cualquier generador de este es llamado una ra´ız primitiva para Zp. Teorema 3.1.1 : Sea K el cuerpo finito Zp con p primo. Entonces Zxp es un grupo c´ıclico. Prueba: Por teorema 3.0.5 el grupo multiplicativo Kx de cualquier cuerpo finito K es c´ıclico. Por lo tanto todo lo que se necesita es verificar que Zp sea un cuerpo. Esto es, verificar que ∀b ∈ Zp, con b6= 0, ∃ b−1 ∈ Zp (inverso multiplicativo). En efecto: puesto que p es primo , b6= 0modp ⇒ m.c.d(b, p) = 1 ⇒ ∃t, s ∈ Z talque tb + sp = 1 ⇒ tb = 1modp Por lo tanto t es un inverso multiplicativo para b en m´odulo p . 3.2. Ra´ıces Primitivas en Zpe. -No es dif´ıcil probar que existe una ra´ız primitiva en Zpe para p primo impar , si conocemos que existe una ra´ız primitiva para Zp. Una menor adaptaci´on se aplica tambi´en para Z2pe . 42
  49. 49. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. x xp Teorema 3.2.1 : Para un primo impar p, Zpe y Z2pe tienen ra´ıces primitivas. Esto es, los grupos multiplicativos Ze y Z2pe son c´ıclicos. Corolario 3.2.1 (de prueba): Para un entero g el cual es una ra´ız primitiva modp,entonces g es una ra´ız primitiva modpe y mod2pe ∀e ≥ 1 , o de otro modo (1+p)g lo es. En particular, si gp−16= 1modpe , entonces g es una ra´ız primitiva modpe y mod2pe ∀e ≥ 1. Proposici´on 3.2.1 : Sea p un primo impar. Para enteros 1 ≤ k ≤ e, y para enteros t con p ∤ t , el orden de un elemento 1 + pkt en Zx pe es pe−k. En particular, para p ∤ t y k ≥ 1, (1 + pkt)pl = 1 + pk+ly, con y = tmodp . Prueba(de proposici´on): Notemos que un primo p divide a los coeficientes binomiales (p 1), (p 2), ..., (p p−1). Tambi´en la hip´otesis que p 2 es esencial. Primero calculamos: 1)pkt + (p (1 + pkt)p = 1 + (p 2)p2kt2 + ... + (p p−1)p(p−1)ktp−1 + ppktp 1 + pk+1 (t + (p 2)p2k−(k+1)t2 + ... + (p p−1)p(p−1)k−(k+1)tp−1 + ppk−(k+1)tp) | {z } y Puesto que p divide a los coeficientes binomiales, la expresi´on y se diferencia de t por un m´ultiplo de p , i.e y = tmodp. Observando el ´ultimo t´ermino ppk−(k+1)tp , notamos que para este trabajo es necesario que pk−(k +1) ≥ 1.(Si pk−(k+1) = 0 ⇒ tendr´ıamos adem´as del t´ermino t a tp, luego fallar´ıa y = tmodp ) . Tambi´en, conocemos que k ≥ 1, entonces si en pk − (k + 1) ≥ 1 reemplazamos k = 1 (m´ınimo valor de k), entonces p ≥ 3. Esta es la explicaci´on porque el argumento falla para el primo 2 . Por tanto tenemos probado que (1 + pkt)p = 1 + pk+1y.................(∗) y = tmop. Por inducci´on probaremos que (1 + pkt)pl = 1 + pk+ly con y = tmodp . En efecto: (1 + pkt)pl = [(1 + pkt)p(l−1) ]p 43
  50. 50. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. = [1 + pk+(l−1)y]p..........(H.Induct.) = 1 + p(k+(l−1)+1)y............(por(∗)) = 1 + pk+ly , xp con y = tmodp . Por lo tanto hemos probado la f´ormula afirmada en la proposici´on. -Ahora vemos la afirmaci´on respecto a los ´ordenes. Primero verificar que se cumple el orden en Ze de elementos de la forma 1 + pt. Primero, tenemos que m.c.d(1 + pt, p) = 1, luego es un elemento en Zpe . Por otro lado, si 1 + pt = (1 + pt′)modpe ⇒ pe(1 + pt − 1 − pt′) ⇒ pe−1(t − t′), luego 1 + pt = (1 + pt′) en Zxp e solo si t = t′modpe−1. As´ı, los pe−1 enteros t = 0, 1, 2, ..., (pe−1 − 1) dan todos los elementos de Zxp e expresables como 1 + pt. Por lo tanto, el n´umero de elementos en Zxp e expresables como 1+pt es pe−1. Por el teorema de Lagrange, el orden de cualquier elemento 1 + pt en Zxp e debe dividir a pe−1. Luego, para p ∤ t, se tiene que (1 + pkt)pl = 1 + pk+ly con y = tmodp, de esto , 1 + pk+ly = 1modpe s´olo para k + l ≥ e ⇒ l ≥ (e − k) (tomando el m´ınimo) ⇒ l = e − k Por lo tanto, el orden (multiplicativo) de (1 + pkt)modpe es pe−k. Esto prueba la proposici´on. (Prueba del teorema y corolario). -La afirmaci´on del corolario es fuerte para la demostraci´on del teorema . -Primero veamos como un entero g el cual es una ra´ız primitiva para Ze p , tambi´en es ra´ız primitiva para Z2pe . Notamos que para un primo impar p , ϕ(2pe) = (2 − 1)(p − 1)pe−1 = (p − 1)pe−1 = ϕ(pe). 44
  51. 51. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Sea g una ra´ız primitiva modpe y l = ϕ(pe) ⇒ gl = 1modpe ∧ gr6= 1modpe para 1 ≤ r l , ⇒ gl = 1mod2pe, xp xp pues pe2pe (as´ı, no existe r , con 1 ≤ r l que cumpla tal condici´on). Por lo tanto, una ra´ız primitiva modpe tambi´en es una ra´ız primitiva mod2pe. -Ahora el caso central, el de ra´ıces primitivas para Zpe . Esto es, necesitamos mostrar que Ze = g para algun ´g ǫ Ze . Sea g1 una rea´ız primitiva modp (el cual existe pues Zxp es c´ıclico). Si p−1 = 1 + pt, con p ∤ t, entonces mostrar que g1 es una ra´ız primitiva modpe , ∀e ≥ 1. Por el Teorema de Lagrange, |g1|(ϕ(pe) = (p − 1)pe−1) en Zxp g1 e . Puesto que g1 l = 1modp con l = p− 1 y gr 16= 1modp con 1 ≤ r l ⇒ (p − 1)|g1| en Zxp e . (resultados de subgrupos c´ıclicos). Luego el orden de g1 puede ser cualquiera de la siguiente lista (p − 1), (p − 1)p, (p−1)p2,..., (p−1)pe−1 = ϕ(pe) ¿cu´al es el menor positivo s ? tal que g1 (p−1)ps = 1modpe. Como estamos asumiendo que g1 p−1 = 1 + pt con p ∤ t, entonces se debe averiguar el menor positivo s tal que (1 + pt)ps = 1modpe , de la proposici´on, el menor entero positivo con esta propiedad es s = e−1. As´ı, tenemos probado que g1 es una ra´ız primitiva modpe, ∀e ≥ 1. -Ahora suponga que g1 p−1 = 1 + pt con p t . Entonces considere g = (1 + p)g1 = g1 + pg1 = g1modp. Tenemos que g es a´un una ra´ız primitiva modp, porque g = g1modp. Calculamos (1 + p)p−1 = 1 + (p−1 1 )p + (p−1 2 )p2 + ... + (p−1 p−2)pp−2 + pp−1 = 1 + p [(p−1 1 ) + (p−1 2 )p + (p−1 3 )p2 | {z + ...}] y 45
  52. 52. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. = 1 + py. Puesto que (p−1 1 ) = p−1, vemos que y = (p−1)modp, de esto se tiene que p ∤ y. As´ı, (g)p−1 = ((1 + p)g1)p−1 = (1 + p)p−1.gp−1 1 = (1 + py)(1 + pt) = 1 + p(y + t + pty). Adem´as, puesto que pt, entonces y + t + pty = ymodp. En particular p ∤ (y + t + pty), sea z = y + t + pty , entonces gp−1 = 1 + pz con p ∤ z, as´ı retornamos al primer caso en que ya sabemos que tal g es una ra´ız primitiva modpe, ∀e ≥ 1. Esto concluye la prueba de existencia de ra´ıces primitivas en Zpe para p primo impar. . 3.3. Conteo de Ra´ıces Primitivas. -Despu´es de probar existencia de ra´ıces primitivas, es al menos igual in-teresante tener una idea ¿cu´antas s´on? . Teorema 3.3.1 : Si Zn tiene una ra´ız primitiva, entonces son exactamente ϕ(ϕ(n)) ra´ıces primitivas modn.(Este es phi Euler de phi Euler de n). Por ejemplo, son : ϕ(ϕ(pe)) = ϕ(p − 1).(p − 1)pe−2 ra´ıces primitivas modpe para un primo impar p. Prueba: La hip´otesis que Zn tiene una ra´ız primitiva quiere decir que Zx n es c´ıclico. Esto es, Zx n = g para alg´un g (la ra´ız primitiva”). Luego, |g| (el orden de g ) debe ser ϕ(n) (el orden de Zx n). Sabemos (por subgrupos c´ıclicos) que g = {g0, g1, g2, ...., g'(n)−1}. Adem´as |gk| = |g| m.c.d(k, |g|) . As´ı los generadores para g son exactamente los elementos gk con 1 ≤ k |g| y m.c.d(k, |g|) = 1. Por definici´on de ϕ−funci´on de Euler, existen ϕ(|g|) de estos valores. As´ı, puesto que |g| = ϕ(n), existen ϕ(ϕ(n)) ra´ıces primitivas. 46
  53. 53. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Corolario 3.3.1 : Para un primo impar p, se tiene que ϕ(p − 1)/p de los elementos de Zxp e son ra´ıces primitivas. Prueba: Del teorema, #raices primitivas ordenZxp e = ϕ(ϕ(pe)) ϕ(pe) = ϕ(p − 1).(p − 1)pe−2 (p − 1)pe−1 = ϕ(p − 1) p . como deseamos. Comentario 3.3.1 : As´ı, tenemos que existen relativamente muchas ra´ıces primitivas modpe. 3.4. No Existencia De Ra´ıces Primitivas. -Para enteros gen´ericos n, no existe ra´ız primitiva en Zn . Teorema 3.4.1 : Si n no es 2, 4 ni de las formas pe, 2pe para un primo p impar (e ∈ Z+), entonces no existe ra´ıces primitivas modn. Prueba: Primero, analizamos que ocurre en Z2e con e ≥ 3. Cualquier b ∈ Zx2 e puede ser escrito como b = 1 + 2x, ∀x ∈ Z (pues b es impar). (1 + 2x)2 = 1 + 4x + 4x2 = 1 + 4x(1 + x). Observamos que, ∀x ∈ Z,x(x + 1) es divisible por 2. Pues si , x es par ⇒ x(x + 1) es par ∨ si x es impar ⇒ (x + 1) es par ⇒ x(x + 1) es par. As´ı, (1 + 2x)2 = 1mod8 (mejor a´un mod4)...............................(*) Podemos probar por inducci´on que: (1 + 8x)2e−3 = 1mod2e...................(∗∗) 47
  54. 54. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. En efecto: Si e = 3 : (1 + 8x) = 1mod8 = 1mod23 Si e = h 3 : (1 + 8x)2h−3 = 1mod2h (Suponemos cierto) ⇒ (1 + 8x)2(h+1)−3 = [(1 + 8x)2h−3 ]2 = [1mod2h]2 = (1 + 2hk)2, k ∈ Z = 1 + 2h+1k + 22hk2 = 1 + 2h+1k(1 + 2h−1k) = 1mod2h+1 Por lo tanto (1 + 8x)2e−3 = 1mod2e. Luego colocando juntos (∗) y (∗∗) tenemos: [(1 + 2x)2]2e−3 = 1mod2e (note que 1 + 8x = 1mod8) ⇒ (1 + 2x)2e−2 = 1mod2e. Pero 2e−2(= orden(1 + 2x = b)) 2e−1 = ϕ(2e). Esto es, no puede ser una ra´ız primitiva mod2e con e 2. -Ahora consideramos n no una potencia de 2. Entonces escribimos n = pem con p primo impar y p ∤ m. Por teorema de Euler, se sabe que: b'(pe) = 1modpe b'(m) = 1modm Sea M = m.c.m(ϕ(pe), ϕ(m)), ⇒ {bM=(b'(pe)) M '(pe) =1 M '(pe) =1modpe bM=(b'(m)) M '(m) =1 M '(m) =1modm As´ı, (consecuencia del Teorema Chino del Resto) bM = 1modpem bl = 1modpem , donde l = ϕ(pem) y br6= 1modpem , con r ϕ(pem). Por lo tanto , a menos que m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) = 1, tenemos m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) ϕ(pe).ϕ(m) = ϕ(pem) la cual niega la posibilidad que exista una ra´ız primitiva . -Luego, necesitamos que m.c.d(ϕ(pe), ϕ(m)) = 1, como ϕ(pe) = (p−1)pe−1 48
  55. 55. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. y puesto que (p − 1) es par, entonces ϕ(m) debe ser impar. Si un primo q divide a m, ⇒ m = qk , con k m ⇒ ϕ(m) = ϕ(qk) = ϕ(q).ϕ(k) = (q − 1).ϕ(k) ⇒ (q − 1) ϕ(m) ⇒ ϕ(m) es par , lo cual es imposible. Por lo tanto, ning´un primo impar puede dividir a m. Luego, si cualquier potencia de 2 mayor que 2 divide a m, entonces otra vez ϕ(m) es par, y no puede existir ra´ız primitiva. Por lo tanto , excepto para los casos donde ya tenemos probado que una ra´ız primitiva ex´ıste, ella no es una ra´ız primitiva modn. Ejemplo 3.4.1 : -Los elementos de Zx 14 son las clases de congruencia de 1, 3, 5, 9, 11 y 13. Entonces 3 es una ra´ız primitiva m´odulo 14, veamos : 32 = 9, 33 = 13, 34 = 11, 35 = 5 y 36 = 1mod14 . Note que Zx 14 se puede expresar como Zx 2∗7, seg´un teorema anterior es de la forma Zx 2pe con e = 1 y p = 7 (primo impar), esto garantiza la existencia de ra´ıces primitivas. Tambi´en, ϕ(ϕ(14)) = ϕ(6) = 2, esto es, existen 2 ra´ıces primitivas en Zx 14. Si adaptamos el corolario para el caso Zx 2pe , tenemos que la raz´on entre el n´umero de ra´ıces primitivas y el total de elementos de Zx 2pe es: ϕ(ϕ(14)) ϕ(7) = 2 6 = 1 3 . La otra ra´ız primitiva en Zx 14 es 5, pues 52 = 11, 53 = 13, 54 = 9, 55 = 3, 56 = 1 . -La siguiente tabla contiene las menores ra´ıces primitivas para algunos val-ores de n. n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ra´ız primit. modn 1 2 3 2 5 3 - 2 3 2 - 2 3 49
  56. 56. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. 3.5. Programa En Turbo C++ . -El siguiente algoritmo elaborado en Turbo C++, nos permite: 1)Verificar si el grupo multiplicativo Zx n es c´ıclico. 2)Mostrar todos los elementos de Zx n . 3)Mostrar cu´antas y cuales son las ra´ıces primitivas. # include stdio.h # include conio.h # include math.h # define Max 9999 void Presentacion() { clrscr(); textcolor(2); gotoxy(1,1); cprintf(”* * * * * PROYECTO WALTER * * * * * ”); for(int i=1; i 25 ;i++) {g otoxy(1,i); cprintf(”*”); gotoxy(80,i); cprintf(”*”); }g otoxy(1,25); cprintf(”* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *”); } void Inicia(int Clases[]) {f or(int i=0; i Max; i++) Clases[i]=0; } int Primo(int Num) int i,P=0; for(i=2; i = Num/2; i++) { if ((Num%i)==0) P=P+1; } if(P==0) return 0; else return 1; } 50
  57. 57. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. int NdivisibleP(int N) { int i,P=1,y=1,Pr=0; long double Pt; Pr=Primo(i); if(Pr==0) return 0; else{ for(i=3; i = N; i++) {P=Primo(i); if(P==0) {Pt=pow(i,y); while(Pt= N){ if(N==Pt || (N==2*Pt)) return 0; else{ y=y+1; Pt=pow(i,y); } } y=1; } } } return 1; } int VerificaN(int N) { int V=1; V=NdivisibleP(N); if( (N==2) || N == 4) —— (V == 0)) { textcolor(14); gotoxy(4, 7); cprintf(”SI EXISTE RAICES PRIMITIV AS EN ESTE GRUPO MULTIPLICATIV O”); getch(); gotoxy(4, 7); printf(” ”); return0; 51
  58. 58. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. }else{ return1; }}v oidmaximocomun(intN, int ph2, intsw, intClases[], int y){inti,C, x = 0, d, P, n = 0; textcolor(11); if(sw == 1) {gotoxy(5, 3); cprintf(”ELEMENTOSDELGRUPOMULTIPLICATIV O”); }f or(i = 1; i N; i + +) {P = 0; // getch(); for(intz = 1; z = i; z + +) {{ if(((N %z) == 0)((i%z) == 0)) P = P + 1; }} if(P == 1){ x = x + 5; if(sw == 1){ if(x == 5){ if(y 22){ gotoxy(x + 5, y); printf(”%d”, i); }else{ y = 2; //Presentacion(); gotoxy(x + 5, y); printf(”%d”, i); }} else{ if(x + 5 74){ if(y 22){ gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i); }else{ y = 2; gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i); }} else 52
  59. 59. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. {x = 5; y = y + 1; if(y 22){ gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i); }else{ y = 2; gotoxy(x + 5, y); printf(”, %d”, i); }}} Clases[n] = i; }n = n + 1; if((y == 21)((x + 5) == 70)) { textcolor(15); gotoxy(30, 25); cprintf(”Presione una tecla para continuar... ”); getch(); Presentacion(); }}} if(sw == 1){ textcolor(11); gotoxy(5, y+1); cprintf(”EL GRUPO MULTIPLICATIVO TIENE% d EL-EMENTOS”, n); } else{ gotoxy(5, y + 2); cprintf(”EL N´ UMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS DEL GRUPO MULTI-PLICATIVO ES%d”, n); getch(); }p h2 = n; } intBuscaRepetido(intRes[], intNumE) {f or(inti = 0; i NumE − 1; i + +) {f or(intj = i + 1; j NumE; j + +) 53
  60. 60. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. { if(Res[i] == Res[j]) return1; }}r eturn0; }voidMarco(){ Presentacion(); gotoxy(5, 2); printf(”PRESENTACI`aN DE LAS RA´ ICES PRIMITIVAS”); }v oidRaicesPrimitivas(intN, intNumE, intPh2, intClases[ ]) { intA, pos = 0, z = 1, sw = 0, yi = 12,Res[Max], y = 0, paso = 1,AP, sy = 0; unsignedlongPtc; Inicia(Res); if(NumE 24) { Marco(); z = 2; pos = 0; yi = 2; }f or(int i = 0; i NumE; i + +) {y = 0;A = 0; Ptc = pow(Clases[i], (y + 1)); while(Ptc = N y NumE){ paso = 0; Res[y] = Ptc; Ptc = pow(Clases[i], (y + 2)); AP = Ptc; y = y + 1; } while(y NumE){ if(Ptc = N) A = Ptc; else A = (Ptc%N); Res[y] = A; AP = A; 54
  61. 61. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. Ptc = AP ∗ Clases[i]; y = y + 1; }s w = BuscaRepetido(Res,NumE); if(sw! = 1){ if(yi 23){ textcolor(4); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”A%d − ”, i + 1); }f or(intind = 0; ind NumE; ind + +) {p os = pos + 6; if(pos 71) {yi = yi + 1; pos = 0; }if(yi 22) {textcolor(15); gotoxy(30, z +yi); cprintf(”Presione una tecla para contin-uar... ”); getch(); Marco(); yi = 2; pos = 0; textcolor(4); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”A%d − ”, i + 1); pos = pos + 6; } textcolor(15); gotoxy(4 + pos, z + yi); cprintf(”, %d”,Res[ind]); }y i = yi + 1; }I nicia(Res); pos = 0; } textcolor(15); gotoxy(30, z + yi); cprintf(”Presione una tecla para contin-uar... ”); }v oidProcesaN(intN, intClases[]) {intph1 = 0, ph2 = 0, sw, x, y = 4; textcolor(11); maximocomun(N, ph1, 1,Clases, y); getch(); maximocomun(ph1, ph2, 2,Clases, y); gotoxy(5, 11); cprintf(”EL N´ UMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS CON 55
  62. 62. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. RESPESTO AL TOTAL ES%d /%d”, ph2, ph1); RaicesPrimitivas(N, ph1, ph2,Clases); getch(); }charPregunta(){ charr; Presentacion(); gotoxy(10, 22); cprintf(”DESEA INGRESAR OTRO N´ UMERO SI O NO?”); do{ gotoxy(47, 22); printf(” ”); gotoxy(47, 22); scanf(”%c”, r); }while(!(r ==′ S′ || r ==′ s′ || r ==′ N′ || r ==′ n′)); returnr; }v oidmain() {intN,X,C, V = 1; intClases[Max]; charRpta; clrscr(); do{ Presentacion(); do{ textcolor(11); gotoxy(10, 2); cprintf(”INGRESE UN N´ UMERO POSITIVO: ”); gotoxy(40, 2); scanf(”%d”, N); if(N 0) { textcolor(14); gotoxy(5, 10); cprintf(”INGRESE SOLO N´ UMEROS POSITIVOS ENTEROS”); getch(); gotoxy(5, 10); printf(” ”); gotoxy(40, 2); printf(” ”); }} while(N 0); V = V erificaN(N); if(V == 0) {I nicia(Clases); ProcesaN(N,Clases); } else{ textcolor(14); gotoxy(5, 6); cprintf(”NO EXISTEN RA´ ICES PRIMITIVAS EN ESTE GRUPO MULTIPLICATIVO”); 56
  63. 63. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. getch(); }Rpta = Pregunta(); }while(Rpta ==′ S′ || Rpta ==′ s′); } 57
  64. 64. TESIS UNPRG. Jos´e Walter Ysique Quesqu´en. INGRESE UN NUMERO POSITIVO: 50 ELEMENTOS DEL GRUPO MULTIPLICATIVO 1 ,3 ,7 ,9 ,11 ,13 ,17 ,19 ,21 ,23, 27 ,29 ,31 ,33 ,37 ,39 ,41 ,43 ,47 ,49 EL GRUPO MULTIPLICATIVO TIENE 20 ELEMENTOS EL NUMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS DEL GRUPO MULTIPLICA-TIVO ES 8 EL NUMERO DE RA´ ICES PRIMITIVAS CON RESPESTO AL TOTAL ES 8 / 20 A2− 3, 9 ,27 ,31 ,43 ,29 ,37 ,11 ,33 ,49, 47 ,41 ,23 ,19 ,7 ,21 ,13 ,39 ,17 ,1 A6− 13, 19 ,47 ,11 ,43 ,9 ,17 ,21 ,23 ,49 ,37, 31,3, 39 ,7 ,41 ,33 ,29 ,27 ,1 A7− 17 ,39 ,13 ,21, 7 ,19 ,23 ,41 ,47 ,49 ,33, 11 ,37 ,29 ,43 ,31 ,27 ,9 ,3 ,1 A10− 23 ,29, 17 ,41 ,43 ,39 ,47 ,31 ,13 ,49 ,27, 21, 33 ,9 ,7 ,11 ,3 ,19 ,37 ,1 A11− 27 ,29 ,33 ,41 ,7 ,39 ,3 ,31 ,37 ,49 ,23, 21 ,17, 9 ,43 ,11 ,47 ,19 ,13 ,1 A14− 33 ,39 ,37 ,21 ,43 ,19 ,27 ,41 ,3 ,49 ,17, 11 ,13 ,29 ,7 ,31 ,23 ,9,47,1 A15− 37 ,19 ,3 ,11 ,7 ,9 ,33 ,21 ,27 ,49 ,13, 31 ,47, 39 ,43 ,41 ,17 ,29 ,23 ,1 A19− 47 ,9 ,23 ,31 ,7 ,29 ,13 , 11 ,17 ,49 ,3 41 ,27 ,19 ,43 ,21 ,37 ,39 ,33 ,1 Presione una tecla para continuar... ¿DESEA INGRESAR OTRO NUMERO SI O NO ? . 58
  65. 65. Cap´ıtulo 4 Conclusiones • En R, Φn(x) es irreducible para todo entero n ≥ 1 . Por lo tanto, para hallar el n´umero de factores de xn − 1, basta hallar el n´umero de divisores de n. Esto por la identidad xn − 1 = Y dn Φd(x) . • En Fp[x], con p primo, algunos polinomios Φn(x) son factorizables; por ejemplo Φ8(x) en Fp[x] para todo p primo . • No todos los polinomios ciclot´omicos tienen como coeficientes s´olo a 0,+1 y -1; por ejemplo Φ105(x), tiene como coeficiente a -2 para x7 y x41 . • No todos los grupos multiplicativos Zx son c´ıclicos. n 59
  66. 66. Bibliograf´ıa [1] Paul Garret , Abstract Algebra: Lectures and Worked Examples for a Graduate Course- 2005. http:www.math.umn.edu/ garrett/ [2] Robert B. Ash , Abstract Algebra: The Basic Graduate Year . [3] David S. Dummit - Richard M. Foote Abstract Algebra: 2da Edition-University of Vermont 1999. [4] Shabnan Akntari On The Cyclotomic Polynomials With +1 ´or -1 Coefficients: Sharitf University of Technology 2002. 60

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