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Unidad i números reales

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Unidad i números reales

  1. 1. Unidad I: A. Números reales a. Definición de números reales En matemáticas, los números reales (designados por R) incluyen tanto a los números racionales (positivos y negativos y el cero) como a los números irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales como: . Trascendentes: Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). Algebráicos: Un número algebraico es cualquier número real o complejo que es solución de una ecuación polinómica de la forma: Donde: , es el grado del polinomio. , los coeficientes del polinomio son números enteros. b. Ejemplos de Números Reales Cuando hablamos de los números reales nos referimos a lo siguiente: b.1 Los números enteros como………., -4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,………….. En los números enteros se incluyen los números enteros negativos, el cero y los números enteros positivos. b.2 Los números racionales, por ejemplo: 9/2, -3/4, 2.9, -1.8, etc. Los números racionales consisten de todos los números que se pueden escribir como cociente a/b, donde a y b son enteros y b no puede ser igual a cero. Un número racional también se le conoce como la fración a/b que puede ser escrita como un decimal dividiendo el numerador a por el denominador b para obtener ya sea una terminación como por
  2. 2. ejemplo ¾ = 0.75 o repetición de un decimal, como por ejemplo 1/3 =0.3.b.3 Los números irracionales los cuáles consisten de todos los númerosreales que no se pueden escribir como cociente de dos enteros.Por ejemplo: √ ,√ , 0.123…….., -5.1223334444…, 8.101001000….y .b.4 Los números naturales: (1, 2, 3, 4,………)Ejemplos utilizando números naturales:1) 327 + __________= 1,208¿Cómo resolvemos este problema?Aquí aplicaremos lo siguiente: Restaremos 1,208 a 327 y el resultadoes el término que estamos buscando. En este caso 1,208 – 327 = 881.Esto quiere decir que la solución del problema queda de la siguienteforma:327 + 881 = 1,2082) 4 * (5 + ____) = 36 ¿Cómo resolvemos este problema? En este caso se trata de suma adicional a la multiplicación. Para resolver el problema comenzamos primero por la suma luego el resultado de esa suma la multiplicaremos por 4. ¿Qué número sumado a 5 y multiplicado por 4 nos da como resultado 36? El 4. El problema queda de la siguiente forma: 4 * (5 + 4) = 36 Se resuelve de la siguiente manera, comenzando por la suma (5+4) que el resultado es 9. Luego multilplicamos 4* (9) = 36
  3. 3. c. Conjuntos Numéricos N, Z, Q, I, R y la recta real N= Números naturales = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …) La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural. La diferencia de dos números naturales no siempre da como resultado un número natural. Sólo ocurre cuando el minuendo es mayor que es sustraendo. 5-4=1N 4 - 5 = -1 no es N. El cociente de dos números naturales es natural solo si la división es exacta. 4 / 2 = 2 es N Otra forma de expresarlo es: 4 / 2 єN 2 / 4 = 0.5 no es N Otra forma de expresarlo es: 2 / 4 єN Z= Números enteros = (….-5, -4, -3, -2, -1,0, 1, 2, 3, 4, 5…..) Los números enteros nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las profundidades relacionadas al nivel del mar, etc. La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es el resultado de otro número entero. E l c o c ien t e d e d o s n ú m er o s en t er o s n o s iem p r e es u n n ú m er o en t er o , s ól o o cu r re c ua n do la d iv i s ió n e s e x a c ta . Ejemplo: 6 / 2 = 3 es Z 2 / 6 = 0.333……. no es Z
  4. 4. Q = Números Racionales = {....- ¾, - ½, - ¼, 0, ¼, ½, ¾,.....} Los números racionales se componen de todos los números que sepueden escribir como cocientes a / b donde a y b son números enteros y b ≠ 0. El término «racional» alude a fracción o parte de un todo. Existe la suma de números racionales con el mismo denominador, esto se conoce como fracción homogénea. Está la suma de números racionales con diferente denominador, esto se conoce como fracción heterogénea. Ejemplos de suma y resta en números racionales. Suma de números racionales con denominadores iguales. 1). 1 + 5 = 6 4 4 4 2). 1+3=4 5 5 5 Las fracciones homogéneas, en suma, los numeradores se suman y los denominadores se quedan igual. Resta de números racionales con denominadores iguales. 1). 5 - 1 = 4 6 6 6 2). 3- 2=1 5 5 5 En la resta de fracciones homogéneas, la regla es igual a la suma. En este caso se restan los numeradores y los denominadores se quedan igual.
  5. 5. Suma de números racionales (fracciones) con denominadordiferente:A los números racionales con denominador diferente se les conoce comofracción heterogénea.Para realizar una suma de fracciones con denominador diferente se realiza losiguiente:1. Se multiplican los denominadores.2. Se multiplica cruzado y se coloca en el numerador.3. Se suman los productos para obtener el numerador.4. Se simplifica la fracción de ser necesarioEjemplos:5+14 6- DenominadoresPrimero multiplicamos los denominadores, que en este caso es 4 * 6 =24Luego multiplicamos cruzado y el resultado lo colocamos en el numerador.Quedaría de la siguiente manera:5*6 + 4*1 = 30 + 4 24 24Luego sumamos los productos para obtener el numerador 30 + 4 = 34 24 24Por último vamos a simplificar la fracción. Para realizarlo debemos dividirtanto el numerador como el denominador entre 2.34/2 = 17  Este es el resultado final.24/2 12El resultado final es 17/12. Se queda de esta forma porque ya el numeradorno se puede seguir dividiendo entre 2 ya que no quedaría un número entero.
  6. 6. Resta de números racionales con denominadores diferentes:En este caso se realizan las mismas reglas que en la suma condenominadores diferentes. La única diferencia es que se restan losproductos para obtener el numerador.Ejemplo:6–2=4 31. Lo primero que hacemos en este caso es multiplicar los denominadores. Que sería 4 x 3. El resultado es 12 y se escribe como denominador.2. Luego multiplicamos cruzado y el resultado lo escribimos en el numerador.Quedaría de la siguiente forma:(6*3) – (4*2) = 18 - 8 12 123. El tercer paso restar los numeradores y el resultado escribirlo en el numerador. Es este caso sería 18 menos 8 que es igual a 10. 18 – 8 = 10 12 124. Por último verificamos si se puede simplificar dividiendo entre 2 tanto el numerador como el denominador. En este caso es dividir 10 entre 2 que es 5 y 12 entre 2 que es 6. El 5 no se puede simplificar más pero el 6 sí. Se divide 6 entre 2 que es 3. Ya el 3 no se puede simplificar más. El resultado es: 5 3
  7. 7. I = Números irracionales= Se componen de todos los números reales que no pueden escribirse como el cociente de dos números enteros. Ejemplo de números irracionales:Pi (∏) que es igual a 3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)Algunas raíces cuadradas, cúbicas, etc. son irracionales como por ejemplo:√3 = 1.7320508075688772935274463415059 (etc)√99 = 9.9498743710661995473447982100121 (etc)Pero no todas las raíces son irracionales, por ejemplo √4 = 2 o sea no esirracional.La raíz de 9 √9 = 3 no es irracional.
  8. 8. R= Números Reales = En matemáticas, los números reales (designados porR) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero)como a los números irracionales (trascendentes y algebraicos), que no sepueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimalesno periódicas, tales como: .Ejemplo de números reales: a. 2 + 8 = 10 b. 40 x 2 = 80 c. (5 + 2) x (8 + 3)= 7 x 11 = 77 El 7 es la suma de 5+ 2 y el 11 es la suma de 8 + 3 d. -7 x 3 = -21 e. 8 / 2 = 4 f. 1.3 x 5.6 = 7.28 g. 48 / 6 = 8
  9. 9. Propiedades de los números reales: a. ¿Cuáles son las propiedades de los números reales? Las propiedades de los números reales son las siguientes: 1. Propiedad asociativa (suma y multiplicación) 2. Propiedad conmutativa ( suma y multiplicación) 3. Propiedad de identidad ( suma y multiplicación) 4. Propiedad del inverso ( suma y multiplicación) 5. Propiedad distributiva1. La propiedad asociativa en suma dice que para cualesquiera números reales a, b, y c, si se cambia la agrupación de dos sumandos no cambia la suma. En símbolos, a+ (b + c) = (a + b) + c2. La propiedad asociativa en multiplicación dice para cualesquiera números reales a, b y c, si se cambia la agrupación de dos factores, no cambia el producto. En símbolos, a * (b * c) = (a * b) * c3. La propiedad conmutativa en suma dice que para cualquier número a y b, si se cambia el orden de los dos sumandos no cambia la suma. En símbolos, a + b+ = b + a.4. La propiedad conmutativa en multiplicación dice que para cualquier número a y b, si se cambia el orden de los dos factores, no cambia el producto. En símbolos, a *b = b * a5. Propiedad identidad para la suma ( Elemento identidad para la suma) El cero es el elemento de identidad para la suma; esto es, para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a6. Propiedad identidad para multiplicación (Elemento identidad para la multiplicación) El número 1 es el elemento de identidad para la multiplicación; esto es, para cualquier número a, a *1 = 1 * a = a.7. Inverso en adición(suma) dice que para cualquier número a, existe otro número –a, se denomina su inverso aditivo (o el opuesto) tal que a + (-a) = 0
  10. 10. 8. Inverso en multiplicación dice que para cualquier número a (excepto 0), existe otro número 1 / a llamado el inverso multiplicativo (o recíproco) de tal manera que a * 1/a = 1 9. Propiedad distributiva dice que para cualquier número a, b y c, a(b + c) = ab + ac Orden de operaciones y valor absoluto de un número real Reglas del orden de operaciones: 1. Realizar todos los cálculos que estén agrupados dentro de paréntesis o corchetes. Si un paréntesis incluye otro debe resolverse primero el paréntesis de adentro. 2. Evaluar todos los exponentes. 3. Realizar todas las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan de izquierda a derecha. 4. Realizar todas las sumas y restas en el orden que aparezcan de izquierda a derecha.Ejemplo: a) 8 + 12 ÷ 4 – 2: Para simplificar esta expresión debemos hacer lo siguiente: 8 + 12 ÷ 4 – 2 = 8 + 3 – 2 -> Resolvemos la división 8 + 3 -2 = 11-2 -> Resolvemos la suma 11-2 = 9 -> Por último resolvimos la resta b) 9 * 2 – 4 ÷ 2 = 36 – 4 ÷ 2 -> resolvemos la multiplicación 36 – 4 ÷ 2 = 36 – 2 -> resolvemos la división 36 – 2 = 34 -> Por último resolvemos la resta c) 8 + 23 (3 – 1) = 8 + 23(2) -> solución del paréntesis 8 + 23(2) = 8 + 8(2) -> solución del exponente 8 + 8(2) = 8 + 16 -> solución de la multiplicación 8 + 16 = 24 -> por último solución de la suma d) 3 + [4 + (3 * 22) - 62 = 3 + [4 + (3 * 4) – 6]2 solución del paréntesis de adentro
  11. 11. = 3 + [4 + (3 * 4) – 6]2 = 3 + [4 + 12 – 6]2 solución paréntesis = 3 + [4 + 12 – 6]2 = 3 + [16 – 6]2 solución suma dentro del corchete = 3 + [16 – 6]2 = 3 + [10]2 solución resta dentro del corchete = 3 + [10]2 = 3 + 100 solución del exponente = 3 + 100 = 103 por último solución de la suma Valor absoluto de un número real El valor absoluto de un número x es una operación en x, que se denota simbólicamente como |x| valor absoluto de x (No corchetes) que produce otro número. ¿Qué número? Si x es positivo ó 0 permanece igual; si x es negativo se convierte en positivo. Simbólica y formalmente, x si x es un número positivo ó 0 |x| = { } -x si x es un número negativo { } Ejemplo: A) |+7| = +7 B) |-7| = + 7 C) |0| =0Esto quiere decir que:1. El valor absoluto de un número positivo es un número positivo2. El valor absoluto de un número negativo es un número positivo3. El valor absoluto de 0 es 0.En conclusión el valor absoluto de un número nunca es negativo.“El valor absoluto” y “el opuesto de” son operaciones que a veces secombinan y es preciso ejecutar las operaciones en el orden adecuadogeneralmente de adentro hacia afuera.Ejemplo:a. |-(-3)| = | +3| = +3b. -|-3| = -(+3) = -3c. –(|- 5| -|-2|= -[(+5) – (+2)] = -(+3) =-3

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