1.
Développement d’outils de calcul et de logiciels pour la réalisation et
l’implantation de stratégies de commande non linéaires échantillonnées
Thèse de Doctorat
Valentin TANAS ˘A
Thèse en cotutelle:
Université Paris-Sud 11, L2S-CNRS, dr. Dorothée NORMAND-CYROT
Université Politehnica de Bucarest, prof. dr. ing. Dumitru POPESCU
2 décembre 2012
Thèse de doctorat 1 / 52
23 Novembre 2012
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3. Introduction Contexte
Contexte
• La plupart des systèmes de commande automatisés exigent une
interaction entre le processus modélisé en temps continu et un
contrôleur numérique.
• Se pose le problème d’une synthèse de commande qui prend en
compte toutes les particularités : les non linéarités, les mesures
échantillonnées, les caractéristiques des dispositifs de mesure et
d’actionnement.
Thèse de doctorat 3 / 52
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4. Introduction Contexte
Systèmes échantillonnés
Un système échantillonné est un système qui fonctionne en temps
continu et dont les signaux d’entrée et de sortie (capteurs,
actionneurs) sont échantillonnés à des instants différents.
x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps discret
Schéma échantillonné
Thèse de doctorat 4 / 52
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5. Introduction Méthodologies de conception
Conception en temps continu
Contrôler en
temps continu
y
x(t)
x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps continu
Schéma en temps discret
Schéma échantillonné
• La méthode la plus courante - l’émulation d’un contrôleur en temps continu.
L’inconvénient majeur : les performances du contrôleur conçu en temps
continu ne sont pas maintenues.
• Pour compenser les effets d’échantillonnage - “redesign” du contrôleur
continu : procédure de discrétisation de la loi de commande, implémentation
avec de bloqeur d’ordre supérieur, à échelles de temps multiples
[Owen et al., 1990], [Keller and Anderson, 1992], [Clarke et al., 1997],
[Franklin et al., 1998], [Di Giamberardino et al., 1996a],
[Djemai et al., 1999], [Hu and Michel, 1999].
Thèse de doctorat 5 / 52
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6. Introduction Méthodologies de conception
Conception en temps discret
Contrôler en
temps continu
y
x(t)
x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps discret
Schéma échantillonné
• la conception oublie le comportement entre les instants d’échantillonnage ;
• dans le cas non linéaire le calcul exact de modèles équivalents en temps
discret devient vite très difficile ;
• les propriétés du temps continu sont généralement perdues (linéarisation,
contrôlabilité, observabilité, passivité, stabilisation, etc. [Grizzle, 1986],
[Byrnes and Lin, 1994], [Barbot et al., 1996],
[Monaco and Normand-Cyrot, 2001]
Thèse de doctorat 6 / 52
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7. Introduction Méthodologies de conception
Conception échantillonnée
x(t)
BOZ
Contrôler en
temps discret
Contrôler en
temps discret
x(k)
Schéma en temps discret
Schéma échantillonné
Si la synthèse est basée sur les objectifs fixés en temps continu ou discret :
• Conception directe - objectifs discrets [Di Giamberardino et al., 1996b], [Gennaro, 2002]
• Conception indirecte - objectifs définis en temps continu ;
Selon le modèle échantillonné :
• Conception approchée - basée sur un modèle approché
([Neši´c and Teel, 2004],[Neši´c and Grüne, 2005])
• Conception exacte - basée sur le modèle échantillonné complet (D. Normand-Cyrot et S.
Monaco)
Thèse de doctorat 7 / 52
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8. Introduction Boîtes à outils
Boîtes à outils
• Dynamiques linéaires - plusieurs solutions disponibles, basées sur
algorithmes numériques et couvrent le plupart des stratégies de commande :
commande optimale, robuste, adaptive ou prédictive.
• Dynamiques non linéaires -en temps continu et discrète. Les solutions
proposées sont basées sur des algorithmes symboliques : MACSYMA,
CONDENS, NonLinCon de Bram de Jager, NelinSys de Martin Ondera, etc.
• Systèmes échantillonnés - quelques boîtes à outils développées pour des
dynamiques linéaires (DirectSD, SDC de Fujioka ,¸ etc). Pour le cas non
linéaire - SimNLSys .
Thèse de doctorat 8 / 52
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10. Plan
Plan de l’exposé
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples (académique et expérimental)
4 Conclusions et travaux futurs
Thèse de doctorat 9 / 52
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11. Contributions méthodologique Le problème
Le problème
࢛ = ࢛ࢉሺ࢚ሻ, ݇ߜ ≤ ݐ ≤ ሺ݇ + 1ሻߜ
Schéma en temps continu
ሺ࢞ሻ
Schéma échantillonnée
uc(t) V (x)Contrôleur en
temps continu
(CT)
࢞ሶ = ࢌሺ࢞ሻ + ࢍሺ࢞ሻ࢛ࢉ
δδδδ
ሺ࢞ሻ
uk ࢂሺ࢞ሻContrôleur
numérique
(DT)
࢞ሶ = ࢌሺ࢞ሻ + ࢍሺ࢞ሻ࢛BOZ
δδδδ
On suppose l’existence d’une commande
stabilisante uc(x(t)) et d’une fonction
Lyapunov V > 0, V(0) = 0 :
˙Vuc
(x(t)) < 0
⇓
(k+1)δ
kδ
˙Vuc
(x(t))dt =
(k+1)δ
kδ
˙Vuk
(˜x(t))d
aux instants d’échantillonnage t = kδ :
Vuk
(˜xk+1) − V(˜xk) < (?)0
Problème : Trouver uk telle que
Vuk
(˜xk+1) − V(˜xk) < 0
Thèse de doctorat 10 / 52
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12. Contributions méthodologique Le problème
Contexte du problème
Stabilisation en temps continu au sens de Lyapunov : très utilisé dans
différents contextes : procédure “backstepping” [Krstic et al., 1992],
commande robuste et adaptive, Lyapunov design, passivité,
optimalité, etc.
Thèse de doctorat 11 / 52
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13. Contributions méthodologique La mèthodologie
La reproduction entrée/Lyapunov aux
instants d’échantillonnage
La commande uk est calculée pour satisfaire à chaque t = kδ :
Vuk
(xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(uc(x(t)))dt (1)
avec xc(t) = xk, et
Vuk
(xk+1) = eδ(f+ukg)
V|xk
⇒
La loi de commande a la forme :
uk(xk) = uδ
d(xk) = ud0(xk) +
i≥1
δi
(i + 1)!
udi(xk) (2)
Remarque
On reproduit l’évolution de la fonction de Lyapunov et non l’évolution de la
commande ou des états ⇒ préservation de la stabilité
Thèse de doctorat 12 / 52
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14. Contributions méthodologique Des outils mathématiques
Les outils fonctionnels
Etant donné un système Σc
˙x(t) = f(x(t)) + uc(x(t))g(x(t))
uk = uc(x(t)), t ∈ [kδ, (k + 1)δ)
⇒ xk+1 = Fδ
(xk, uk)
où Fδ
(xk, uk) - le modèle discret équivalent avec :
Fδ
(X, uk) = eδ(f+ukg)
(X) = X + δ(Lf + ukLg)(X) +
i≥2
δi
i!
Li
f+ukLg
(X)
• L’opérateur linéaire de Lie : Lf =
n
i=1 fi(·) ∂
∂xi
• Lf h(x) = ∂h
∂x f(x) = dh|xf(x), h une fonction analytique
• composition Lg ◦ Lf (h)|x = Lg(Lf (h))|x
• crochet de Lie [Lf Lg] = Lf ◦ Lg − Lg ◦ Lf = L[f,g] = Ladf
g
Thèse de doctorat 13 / 52
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15. Contributions méthodologique Classe des systèmes
La classe de systèmes “strict-feedback”
La classe de systèmes non linéaires sous la forme :
˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ1(t)
˙ξ1(t) = a1(z(t), ξ1(t)) + b1(z(t), ξ1(t))ξ2(t)
...
˙ξm−1(t) = am−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t)) + bm−1(z(t), ξ1(t), . . . , ξm−1(t))ξm(t)
˙ξm(t) = am(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t)) + bm(z(t), ξ1(t), . . . , ξm(t))uc(t)
(3)
z ∈ Rn
et ξi ∈ R, bi(·) sont inversibles pour (z, ξ1, . . . , ξm) ∈ Rn+m
.
Remarque
Le degré relatif entre uc et z est égal à m + 1.
Thèse de doctorat 14 / 52
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16. Contributions méthodologique Classe des systèmes
Cas d’une seule connexion
La classe de systèmes non linéaires sous la forme “strict-feedback” :
˙z(t) = f(z(t)) + g(z(t))ξ(t) (4)
˙ξ(t) = a(z(t), ξ(t)) + b(z(t), ξ(t))uc(t) (5)
Thèse de doctorat 15 / 52
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17. Contributions méthodologique Backstepping en temps continu
Backstepping en temps continu (Rappel)
Théorème
Backstepping en temps continu - Soit le système (4)-(5), on suppose l’existence
d’une fonction φ(z) avec φ(0) = 0 et d’une fonction de Lyapunov W(z) tel que
∂W
∂z
(f(z) + g(z)φ(z)) < 0, ∀z ∈ Rn
/0. (6)
Si b−1
(z, ξ) existe pour tout (z, ξ), la commande par retour d’état
uc(x(t)) = b(z, ξ)−1 ∂φ
∂z
(f(z) + g(z)ξ) −
∂W
∂z
g(z) − a(z, ξ) + v (7)
avec y = ξ − φ(z) et v = −Kyy stabilise asymptotiquement l’origine de (4)-(5),
avec
V(z, y) = W(z) +
1
2
y2
(8)
comme fonction de Lyapunov.
Thèse de doctorat 16 / 52
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18. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR
Synthèse “backstepping” numérique-SR
Soit xT
= [zT
y]T
, le système continu transformé, réécrit comme :
˙x(t) = fc(x) + gc(x)uc
avec :
fc =
f(z) + g(z)(φ(z) + y)
a(z, y + φ(z)) − ∂φ(z)
∂z ˙z
gc =
0
b(z, y + φ(z))
. (9)
La solution uk satisfait la reproduction entrée/Lyapunov :
Vuk (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(xc(t))dt (10)
où xk = xc(t = kδ)
On considére le critère d’erreur LME (Lyapunov Matching Error) :
EV(xk) = Vuk
(xk+1) − V(xc|t=(k+1))
Thèse de doctorat 17 / 52
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19. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR
Théorème ([Tiefensee and Tanasa, 2011])
Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur de type backstepping,
alors il existe T∗ > 0 tel que ∀δ < T∗, il existe une loi de commande échantillonnée uk = uδ
d
uk = uδ
d = ud0 +
j≥1
δj
(j + 1)!
udj. (11)
qui reproduit V(x(t)) aux instants d’échantillonnage et la stabilisation asymptotique de l’origine.
La stabilisation Lyapunov du système échantillonné est assurée par (Lf + ucLg)V < 0 et uδ
d satisfait la
condition LME = 0 :
Vuk (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
(Lf(·) + uc(·)Lg(·))V(x(t))dt < 0
Les premiers termes de uδ
k sont :
ud0(zk, yk) = uc(z, y)|t=kδ commande continue (12)
ud1(zk, yk) = ˙uc(z, y)|t=kδ premier terme correcteur (dérivée)
ud2(zk, yk) = ¨uc(z, y)|t=kδ +
ud1(zk, yk)
2b(z, y + φ(z))y
ad[fc,gc]V|t=kδ.deuxième correcteur (13)
Thèse de doctorat 18 / 52
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20. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - SR
Stabilité du contrôleur d’ordre P
Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 :
EV (xk) =
δP+2
(P + 2)!
˜R(xk)
Proposition (conditions de bornitudes)
Si on suppose les mêmes conditions que Théorème 2, le système échantillonné avec un contrôleur
approché d’ordre P satisfait :
ρV1(||xk||) + O(δP+1
) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1
) (14)
V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2
). (15)
pour ∀δ < T∗, avec ρV1, ρV2, ρV4 ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui
dépendent de l’état.
Le désavantage :(dynamique interne)
ρW1(||xk||) + O(δ2
) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δ2
) (16)
W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δ3
). (17)
Thèse de doctorat 19 / 52
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21. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR
Synthèse “backstepping” numérique-MR
La solution : trouver u1k et u2k tels que
• u1k actif pour t ∈ [kδ, kδ + δ
2 ),
• u2k actif pour t ∈ [kδ + δ
2 , (k + 1)δ).
en appliquant la stratégie de reproduction entrée/Lyapunov sur V et W :
Vu1k,u2k (xk+1) − V(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙V(xc(τ))dτ (18)
Wu1k,u2k
(xk+1) − W(xk) =
(k+1)δ
kδ
˙W(xc(τ))dτ (19)
oú xk = xc(t = kδ) et
xk+1 = eBCH2 δ
2 (fc+u1kgc), δ
2 (fc+u2kgc)
xk,
BCH : Baker Campbell Hausdorf exposant.
Thèse de doctorat 20 / 52
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22. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR
Théorème ([Tanasa et al., ])
Etant donné le système en temps continu, en supposant l’existence d’un contrôleur
en temps continu uc(x(t)) de type backstepping, alors il existe T∗
> 0 et il existe
une loi de commande échantillonnée à 2 échelles de temps uik = u
δ/2
id qui reproduit
les évolutions de Lyapunov V, W aux instant d’échantillonnage et assure la
stabilisation asymptotique de l’origine, pour ∀δ < T∗
, avec la commande :
uik = u
δ/2
id = udi0 +
j≥1
δj
2j(j + 1)!
udij, i = 1, 2 (20)
Les premiers termes de u
δ/2
ik sont :
(ud10, ud20) = ( uc|xk
, uc|xk
) (21)
(ud11, ud21) = (
2
3
˙uc
xk
,
10
3
˙uc
xk
) (22)
ud12 =
4
3
˙uc 4ucL2
gc
Lfc + Lgc L2
fc
W · (Lgc Lfc W)−1
− 6˙ucucLgc V · (Lgc V)−1
|xk
ud22 = 8˙uc + 12˙ucucLgc V · (Lgc V)−1
− ud12|xk .
Thèse de doctorat 21 / 52
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23. Contributions méthodologique La solution échantillonnée - MR
Stabilité du contrôleur 2-rate d’ordre P
Le critère LME est satifait avec un erreur en δP+2 pour V respectivement en δP+3 pour W.
Proposition (conditions des bornitudes)
Supposant les conditions du Théorème 2, le systéme échantillonné avec un contrôleur 2-rate, approché
d’ordre P satisfait :
ρV1(||xk||) + O(δP+1
) ≤ V(xk) ≤ ρV2(||xk||) + O(δP+1
) (23)
V(xk+1) − V(xk) ≤ −δρV4(||xk||) + O(δP+2
). (24)
respectivement
ρW1(||xk||) + O(δP+2
) ≤ W(xk) ≤ ρW2(||xk||) + O(δP+2
) (25)
W(xk+1) − W(xk) ≤ −δρW4(||xk||) + O(δP+3
). (26)
pour ∀δ < T∗, avec ∀ρ· ∈ K∞ et O(δP+1) inclut les termes d’ordre supérieur en δ qui dépendent de
l’état.
Cette solution peut être comparée à la solution avec bloqueur d’ordre supérieur [Barbot et al., 1996]
Thèse de doctorat 22 / 52
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24. Contributions méthodologique Extensions
Extension I
La fonction de Lyapunov peut être remplacée par une fonction d’énergie pour
caractériser la passivité ou le façonnement de l’énergie : IDA-PBC 1
.
Application - la synthèse échantillonnée IDA-PBC, Pile à Combustible avec
Supercondensateurs (Chapitre 10 Thèse)
˙xc(t) = (J − R) H + g1(xc)u1(t) + g2(xc)u2(t)
xc =
vB
vSC
iL
, J =
0 0 − 1
LLC
0 0 0
1
LLC
0 0
, R =
0 0 0
0 0 0
0 0
RL
L2
L
, g1 =
1
C
vFC
vB
0
0
, g2 =
1
C
vSC
vB
− 1
Csc
0
;
H =
1
2
xT
c Qxc, avec Q =
C 0 0
0 CSC 0
0 0 LL
;
Reproduction aux instants d’échantillonnage de l’Hamiltonian en BF.
1. R. Ortega, A. van der Schaft, B.M. et Escobar, G. (2002). Interconnection and damping assign-
ment passivity based control of port-controlled hamiltonian systems, Automatica, 38(4)
Thèse de doctorat 23 / 52
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25. Contributions méthodologique Extensions
Extension - II - Stabilité et optimalité
J(x) =
∞
0
l(x) + uT
R(x)u dt
On considère en parallèle le critère d’optimalité et la stabilisation, avec
l’Hamiltoniene H :
Hc(x, u) :=
∂V(x)
∂x
˙x + l(x) + uT
R(x)u (27)
Se pose le problème de trouver le contrôleur échantillonné qui préserve les deux
propriétes : optimalité et stabilisation
Une première solution [Tanasa et al., 2012] 2
représente une version non linéaire du
résultat [Halanay and R˘asvan, 1977] 3
.
2. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, C. Nonlinear optimal stabilizing control under sam-
pling 51th Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, 2012
3. Halanay, A. & Rãsvan, V. General theory of linear hybrid control Int. Journal of Control, 1977,
26, 621-634
Thèse de doctorat 24 / 52
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26. Contributions méthodologique Extensions
Extension - III - Système avec retards
Par exemple, le système avec m connexions en cascade :
zk+1 = f(zk) + g(zk)ξ1 k
ξ1 k+1 = ξ2 k
...
ξm k+1 = uk
zk+1 = f(zk) + g(zk)uk−m
Pour assurer la stabilisation :
ξ1 k = γ(zk)
avec la commande
uk = γ(zk+m).
Application le robot mobile, Chapitre 9. 4
4. Tanasa, V. ; Monaco, S. & Normand-Cyrot, D. Digital stabilization of finite sampled nonlinear
dynamics with delays : the unicycle example 13th European Control Conference (ECC), Zürich, 2013
Thèse de doctorat 25 / 52
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27. Contributions méthodologique Extensions
Extension - IV
L’étude sur la “robustesse” de la solution échantillonnée vis à vis des erreurs de
quantification (Chapitre 11) 5
:
˙x = f(x) + (uk( ˜xk) + uk
) g(x) (28)
• ˜xk- erreurs à cause du convertisseur analoque-numérique.
• uk - erreurs à cause des calculs.
Différentes approches : systèmes avec des perturbations bornées, “quantized
feedback” [Liberzon, 2001].
5. Tanasa V., Normand-Cyrot D., Popescu D. -" Quantization errors in sampled-
data systems with backstepping controllers", UPB Scientific Buletin, Series A (sou-
mis)
Thèse de doctorat 26 / 52
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28. Logiciel
Plan de l’exposé
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples
4 Conclusions et travaux futurs
Thèse de doctorat 27 / 52
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29. Logiciel Les solutions fournis
SimNLSys
Σc
˙x(t) = f(x) + g(x) · u(t)
y(t) = h(x)
• système non linéaire MIMO
• syntaxe acceptée par Matlab
Solutions fournies
• conception assistée pour la commande échantillonnée
• simulations des systèmes en boucle ouverte/fermée dans le cas continu et échantillonné
• simulations complexes (pour intervalles de δ)
• options pour visualiser/ comparer/ enregistrer les résultats.
Thèse de doctorat 28 / 52
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30. Logiciel Les solutions fournis
Critères de performance
Erreur de reproduction cumulée :
1 :=
N
k=1 |h(xc(t))|t=kδ − h(xk)|
h(xc(0))
Décalage maximum :
2 := max
k=1:N
|h(xc(t))|t=kδ − h(xk)|
Énergie du contrôleur- Eu :
Eu =
Tf
0
u2
(t) dt
Norme du signal x(t)
Ex =
Tf
0
||x(t)|| dt
Thèse de doctorat 29 / 52
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32. Exemples
Plan
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples
• Exemple academique-cas d’étude de la litterature
• Expérimental (suspension électromagnétique)
Thèse de doctorat 30 / 52
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33. Exemples
Plan
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples
• Exemple academique-cas d’étude de la litterature
• Expérimental (suspension électromagnétique)
Thèse de doctorat 30 / 52
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34. Exemples Système avec un seul intégrateur
Système avec un seul intégrateur
Soit l’exemple suivant :
˙x1(t) = x2
1(t) + x2(t) (29)
˙x2(t) = u(t) (30)
La solution de commande backstepping en temps continu :
uc(x(t)) = −2(x2(t) + x1(t) + x2(t)x1(t) + x2
1(t) + x3
1(t))
avec
W(x1(t)) = x2
1(t)/2
et
V(x1(t), x2(t)) = W(x1(t)) +
1
2
(x1(t) + x2(t) + x2
1(t))2
comme fonction de Lyapunov.
Thèse de doctorat 31 / 52
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35. Exemples Système avec un seul intégrateur
La solution “backstepping”
échantillonnée - SR
La commande (BksSR) du deuxième ordre (LME en O(δ4
)) :
uδ2
d = ud0 +
δ
2!
ud1 +
δ2
3!
ud2 (31)
avec les termes :
ud0 = uc|t=kδ (32)
ud1 = −2((x2
1 + x2)2
− 2x3
1 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 − x2)|t=kδ (33)
ud2 = (2x7
1 + 11x6
1 + (6x2 + 10)x5
1 + (35x2 − 17)x4
1 + (6x2
2 + 28x2 − 24)x3
1
+ (37x2
2 − 14x2 − 8)x2
1 + (2x3
2 + 18x2
2 − 8x2)x1 + 13x3
2 − x2
2)/(x2
1
+ x1 + x2)|t=kδ (34)
Thèse de doctorat 32 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
36. Exemples Système avec un seul intégrateur
La solution “backstepping”
échantillonnée, MR
La commande (BksMR) du deuxième ordre :
uδ2
di = udi0 +
δ
4
udi1 +
δ2
24
udi2 (35)
avec i = 1, 2, et les termes suivants :
(ud10, ud20) = (uc|t=kδ , uc|t=kδ) (36)
ud11 = −4(x4
1 − 2x3
1 + 2x2
1x2 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 + x2
2 − x2)/3 (37)
ud12 = −20(x4
1 − 2x3
1 + 2x2
1x2 − 3x2
1 − 2x1x2 − 2x1 + x2
2 − x2)/3 (38)
ud21 = 0 (39)
ud22 = 96(x2
1 + x1 + x2)2
− 128x1x2 − 32x1 − 160x2
1 − 128x3
1. (40)
Thèse de doctorat 33 / 52
23 Novembre 2012
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37. Exemples Système avec un seul intégrateur
Thèse de doctorat 34 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
0 5 10
−4
−2
0
2
time (s)
u
u, δ =0.05
−0.2 0 0.2 0.4 0.6
−2
−1
0
x1
x2
Phase portrait, δ =0.05
Con, Eu= 2.585
Emu, Eu= 2.643
SR1, Eu= 2.530
SR2, Eu= 2.534
MR1, Eu= 2.567
MR2, Eu= 2.568
Con, Ex= 1.520
Emu, Ex= 1.461
SR1, Ex= 1.523
SR2, Ex= 1.521
MR1, Ex= 1.521
MR2, Ex= 1.520
38. Exemples Système avec un seul intégrateur
Thèse de doctorat 35 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
0 0.5 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V , K =0.10
0 0.2 0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
δ (s)
V
V , K =0.10
Emul
BksSR1
BksSR2
BksMR1
BksMR2
Emul
BksSR1
BksSR2
BksMR1
BksMR2
39. Exemples Étude comparative
Étude comparative
BksNe1
Contrôleur approché d’ordre 1 [Neši´c and Teel, 2006] - synthèse directe sur
l’approximation Euler du modèle continu.
BksNe2
Contrôleur approché d’ordre 2 [Neši´c and Grüne, 2005] -“redesign” Lyapunov ; la
solution minimise le critère LME. Le contrôleur approché d’ordre 1 coïncide avec
la solution BksSR1.
BksBu1,BksBu2
Contrôleurs approchés d’ordre 1 et 2 [Burlion et al., 2006] - synthèse sur une
approximation d’ordre supérieur du modèle continu.
Thèse de doctorat 36 / 52
23 Novembre 2012
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41. Exemples Systèm avec un double intégrateur
Si on ajoute un deuxième intégrateur sur l’entrée ?
˙x1(t) = x2
1(t) + x2(t)
˙x2(t) = x3(t)
˙x3(t) = u(t)
Thèse de doctorat 38 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
42. Exemples Système avec un double intégrateur
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
(a) 1 intégrateur
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
V
V
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
(b) 2 intégrateurs
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
W
W
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
δ (s)
W
W
Emu
SR1
SR2
MR1
MR2
Thèse de doctorat 39 / 52
23 Novembre 2012
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43. Exemples Système avec un double intégrateur
Plan de l’exposé
1 Contributions méthodologiques
2 Le logiciel SimNLSys
3 Exemples
• Exemple academique
• Expérimental (suspension électromagnétique)
Thèse de doctorat 40 / 52
23 Novembre 2012
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44. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
La suspension électromagnétique
Le modèle du banc expérimental
(Service Auto, P. Boucher) :
˙x1 = x2
˙x2 =
c·K2
v
m
v2
(x0−x1)2 − g
(41)
La fonction de Lyapunov :
V(x1, x2) =
1
2
2
β2
+ (x2 + Kφ
β
)2
(42)
où = yref − βx1
La commande en temps continu
uc(x1, x2) =
m
K2
v c
(x0 − x1)2
g − (Kφ + Ky)x2 +
KφKy
β
. (43)
La sortie : h(x) = βx1
Thèse de doctorat 41 / 52
23 Novembre 2012
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45. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
Conception échantillonnée
La commande échantillonnée uδ
d = ud0 + δ
2 ud1 + δ2
6 ud2 + O(δ3
)
ud0 = uc|t=kδ
ud1 = −
m
cK2
v
(x0 − x1) 2x2(g + ˙x2) +
(x0 − x1) KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 |t=kδ
ud2 = −
ud1
x0 − x1
x2 −
m
cK2
v
(x0 − x1) 2˙x2(g + ˙x2) + 2x2¨x2 −
−x2 KφKyx2 + (Kφ + Ky)˙x2 + (x0 − x1) KφKy ˙x2 +
+(Kφ + Ky)¨x2 +
ud1
2
(Kφ +
z
Kφz + ξ
−
2ξ
x0 − z
) |t=kδ (44)
avec
˙x2 = −(Kφ + Ky)x2 +
KφKy
β
( )
¨x2 = −(Kφ + Ky)˙x2 − KφKyx2
Thèse de doctorat 42 / 52
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46. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
Simulations 3D
Emulated Control
δ
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
Sampled Data Control
1st
order
K
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
Sampled Data Control
2nd
order
30 40 50
1
2
3
4
5
6
7
x 10
−3
2
4
6
8
10
12
14
16
Thèse de doctorat 43 / 52
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47. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
Expérimental - δ = 3ms
−5
0
5
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
x1
Traiectories δ =0.003
x2
x3
emulated
order 1
order 2
(a) Trajectoires
−4
−2
0
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.6
0.8
1
1.2
x1
Full time trajectories for δ = 0.003 s
x2x3
emulated
order 1
order 2
(b) Trajectoires -temps complet
Thèse de doctorat 44 / 52
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c 2012 by Valentin TANASA
48. Exemples Contrôle d’une suspension électromagnétique
Expérimental - δ = 7ms
−5
0
5
−0.02
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
x1
Traiectories δ =0.007
x2
x3
emulated
order 2
(c) Trajectoires
−2
−1
0
1
2
x 10
−3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x1
Full time trajectories for δ = 0.007 s
x2
x3
emulated
order 2
(d) Trajectoires -temps complet
Thèse de doctorat 45 / 52
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50. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
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51. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
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52. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
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53. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
23 Novembre 2012
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54. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
23 Novembre 2012
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55. Conclusions Conclusions
Conclusions
• La technique de reproduction aux instants d’échantillonnage du
comportement de fonctions «cible» donne de bons résultats ;
• L’existence des lois de commandes échantillonnées SR ou MR est assurée
sans hypothèse supplémentaire sur le système continu ;
• Une extension multi-échelles améliore la stabilité interne ;
• Les preuves sont constructives : un algorithme exécutable permet de calculer
les termes successifs des solutions qui ont la forme d’une série infinie en δ
autour de la solution continue (quand elle existe) ;
• Dans le cas de séries finies, des solutions purement discrètes peuvent être
proposées même si aucune solution continue n’existe
• Des solutions approchées sont appliquées en pratique. On ne garantit pas la
stabilisation globale mais une stabilisation « pratique » - un comportement
de la Lyapunov aux instants d’échantillonnages dans des limites qui sont
fonction de l’ordre d’approximation ;
Thèse de doctorat 47 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
56. Conclusions Conclusions
• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
Thèse de doctorat 48 / 52
23 Novembre 2012
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57. Conclusions Conclusions
• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
Thèse de doctorat 48 / 52
23 Novembre 2012
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58. Conclusions Conclusions
• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
Thèse de doctorat 48 / 52
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59. Conclusions Conclusions
• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
Thèse de doctorat 48 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
60. Conclusions Conclusions
• Les propriétés combinatoires des séries solutions se prètent à la réalisation
d’un outil logiciel ;
• Le logiciel inclut des simulations et des tests comparatifs ; il permet
d’évaluer les performances et d’obtenir le meilleur compromis entre vitesse
de convergence /période d’echantillonnage /temps de calcul ;
• Il est important de considérer le temps de calculs “off-line” de la commande
et l’évaluation “on-line” ;
• Les exemples académiques et comparatifs avec d’autres méthodes, les tests
expérimentaux sur plate-formes de laboratoires confirment la théorie et les
résultats de simulation ;
• Le plus gros inconvénient reste la difficulté d’obtenir des critères quantitatifs
sur les périodes admissibles, les domaines de stabilisation, les effets de la
quantification.
Thèse de doctorat 48 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
61. Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
Thèse de doctorat 49 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
62. Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
Thèse de doctorat 49 / 52
23 Novembre 2012
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63. Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
Thèse de doctorat 49 / 52
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64. Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
Thèse de doctorat 49 / 52
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65. Conclusions Perspectives
Perspectives
• Développer des critères spécifiques permettant une analyse quantitative plus
fine des performances en relation avec les périodes d’échantillonnage
admissibles, la rapidité de convergence, les incertitudes paramétriques ou les
erreurs de quantification ;
• Des études plus approfondies sur la synthèse d’observateurs et sur l’analyse
des incertitudes sont demandées ;
• La validation expérimentale des solutions échantillonnées proposées ;
• Les stratégies échantillonnées offrent des perspectives nombreuses sur des
applications diverses dans le cadre des systèmes hybrides et interconnectés,
énergétique ou en réseau ;
• Sur le logiciel - SimNLSys
• des nouveaux modules du logiciel SimNLSys seront mis en œuvre pour de nouvelles
avancées théoriques PBC, optimalité, retard, etc.) ;
• l’amélioration des algorithmes symboliques en utilisant de nouvelles techniques
disponibles concernant simplification des expressions.
Thèse de doctorat 49 / 52
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67. Contributions
CONFERENCE - WITH PEER REVIEW
[C11] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. -Digital stabilization of finite sampled nonlinear dynamics with delays : the unicycle
example, 13th European Control Conference (ECC), Zürich, July 17-19, 2013 (submitted).
[C10] Monaco S., Normand-Cyrot D. and Tanasa V. - Digital stabilization of delayed-input strict-feedforward dynamics, 51th
Conference on Decision and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012.
[C09] Tanasa V., Monaco S., Normand-Cyrot D. - Nonlinear optimal stabilizing control under sampling, 51th Conference on Decision
and Control (CDC), Maui, Hawaii, December 10-13, 2012.
[C08] Hilairet M.,Tanasa V., Bethoux O., Normand-Cyrot D. -A passivity-based controller with charge estimation for coordination of
converters in a fuel cell System ; experimental results. 8th PPPSC (Power Plant and Power Systems Control) symposium,
Toulouse, France, September 3-5, 2012.
[C07] Udrea A., Ticlea A.,Tanasa V., Flutur C. - Necessary conditions for solving the nonlinear MIMO output regulation problem,
20th Mediterranean Conference on Control and Automation, Barcelona, Spain, 2012.
[C06] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - "Sur la gestion échantillonée de lénergie d’un système - pile à combustible-super
condensateurs"- Septième Conférence Internationale Francophone d’Automatique, Grenoble, 4-7 July, France, page(s) :
727-732, 2012.
[C05] Tanasa V. and Calofir V. - "A sampled-data level control of nonlinear coupled-tanks"- AQTR, May 24-27, Cluj, Romania, 2012,
ISBN 978-1-4673-0703-1.
[C04] Tanasa V. and Normand-Cyrot D. - Experimental digital control of a magnetic suspension. American Control Conference
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Thèse de doctorat 51 / 52
23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA
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23 Novembre 2012
c 2012 by Valentin TANASA