【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター

1. フィールド・エンジニア安原祐二東京版

2. 白く塗装した２つの球。片方は純金製、片方は純銀製。素材を特定する方法は？・色、形、大きさは同じ・質量、重心も同じ・純金製の球は中空（上図）・純銀製の球は稠密（下図）

3. 積分完全マスター

4. ４列３個３×４＝12 ３個×４列＝12個

5. ４m ３m ３×４＝12 ３m×４m＝12m2

6. ３m×４m＝12m2 ３×４＝12 ４m ３m 長さと長さを掛けると面積？

7. ぜんぜん違う話！ 12個 12m2 ４列３個４m ３m

8. ３m×４m＝12m2 ３×４＝12 ４m ３m 長さと長さを掛けると面積？積分の神秘はこれと同じ

9. ３極小の長さぶんを

10. ３範囲ぶん足す

11. ３m 単位が変わる４m 12m2

12. 極小長さ：方向の微小区間（デルタ）という y x x dx x

13. で積分する面積を出す y x x

14. 長さmを長さmで積分→面積m2

15. 長さmを長さmで積分→面積m 面積m を長さmで積分→体積m 2 2 3 積分すると必ず単位が変化する

16. 積分の計算には　を使う計算は呪文のようなもの理解そのものとは無関係（いんてぐらる） Z

17. 例：球の体積（部分） r S t V = Z t r Sdx = Z t r ⇡(r2 x2 )dx = ⇡[r2 x x3 3 ]t r = ⇡{r2 t t3 3 ( r2 r r3 3 )} = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 円の面積を重ねる呪文理解 x y

18. 〜今回のおはなし〜力積慣性テンソル最小実装外力接触

19. 物理シミュレーションの最小実装

20. 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2

21. 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;

22. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt;

23. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ

24. 動画最小実装はこれだ！

25. public class MyRigidbody : MonoBehaviour { public Vector3 acceleration; public Vector3 velocity; public Vector3 position; const float dt = 1f/60f; public void AddForce(Vector3 force) { acceleration += force; } void FixedUpdate() { velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; if (position.y < 0.5f) { velocity = -velocity; } transform.position = position; acceleration = Vector3.zero; } }

26. Unityの物理更新と FixedUpdate

27. １秒 60回 60fpsのゲームは１秒に60回画面を更新している dt

28. １秒 60回 60fpsのゲームは１秒に60回画面を更新している dt

29. 余裕 1/60秒余裕期間は待機処理

30. 余裕 1/60秒

31. 余裕 1/60秒

32. 1/60秒余裕

33. 1/60秒余裕

34. 超過 1/60秒

35. 待機 1/60秒

36. 1/60秒責任重大

37. Update FixedUpdate 物理計算 1/60秒通常更新

38. FixedUpdate 物理計算 1/60秒物理更新通常更新 Update

39. FixedUpdate 物理計算 FixedUpdate 物理計算物理更新は複数回実行される物理更新物理更新責任重大フレーム Update

40. FixedUpdate 物理計算 FixedUpdate 物理計算 Time.ﬁxedDeltaTime Time.deltaTime 固定変動 Updateはが変動責任重大フレーム ※TimeManagerの設定で事情は変化 Update dt

41. FixedUpdate 物理計算 FixedUpdate 物理計算 OnCollision*は　　　から OnCollisionEnter OnCollisionExit OnTriggerEnter 物理更新

42. 外力

43. :力 :質量 :加速度 F am= F m a 運動方程式

44. :力 :質量 :加速度物理シミュレーションは位置を知りたい質量は固定なので加速度は力 F am= F m a Fa m= 運動方程式

45. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ加速度があれば位置を出せる

46. 力ベクトルは足せる

47. FixedUpdate 物理計算物理更新

48. 物理更新 FixedUpdate 物理計算

49. 物理更新 FixedUpdate 物理計算摩擦力反発力重力 AddForce +) トータル外力足す様々な力を

50. AddForceは足すだけ void FixedUpdate() { Vector3 f = new Vector3(0f, -9.81f, 0f); // 重力 f += new Vector3(1f, 0f, 0f); // 風の影響 f += new Vector3(0f, 1f, 0f); // 浮力 rigidbody.AddForce(f); } こんなふうにあらかじめ足しても良い AddForceをそれぞれ呼ぶのと同じ

51. 外力の応用浮力

52. 浮力とは物体が押しのけた水の重さ潜っている部分の体積かなりたいへん潜っている部分の重心

53. 浮力の計算はたいへん球で代用する単純な式で出せる！向きを考慮しなくていい波の対応も容易

54. 動画浮力っぽい

55. 浮力の計算はたいへん球で代用する V = ( t3 3 + r2 t + 2 3 r3 )⇡ 単純な式で出せる！向きを考慮しなくていい波の対応も容易 r S t x y

56. 力積

57. 加速度は微小期間の速度変化 m F m :力 :質量 :加速度 F= a a a dv dt = 運動方程式

58. 加速度は微小期間の速度変化 mF= a a dv dt = mF= dv dt これも運動方程式

59. 加速度は微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積運動量（速度）の変化

60. 加速度は微小期間の速度変化 mF= dv dtmF = dvdt 力積力積も運動量もの変形に過ぎない F = ma 運動量（速度）の変化

61. F 「力積は運動量を変化させる」 dt期間に発生した力の合算を速度変化に適用する術 m= dvdt

62. 瞬間的に発生する力に使う「力積は運動量を変化させる」 dt期間に発生した力の合算を速度変化に適用する術 m= dvdtF

63. 爆発で吹っ飛ばしたい爆発力が存在する期間 AddForce を呼べばいいが、爆発は一瞬が大き過ぎて一瞬を作れないdt

64. ForceMode.Impulse rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse);

65. ForceMode.Impulse rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更（の右辺）質量は考慮するがは考慮しない mF = dvdt dt

66. ForceMode.Impulse に依存しない速度変化になる OnCollisionEnterなどの瞬間的な力 rigidbody.AddForce(force, ForceMode.Impulse); 内部的には速度の直接変更（の右辺）質量は考慮するがは考慮しない mF = dvdt dt dt

67. if (hit) { rb.AddForce(force); } if (hit) { rb.AddForce(force, ForceMode.Impulse); } 誤正を変えると動作が変わってしまう瞬間的な外力には力積を使用する dt

68. Drag

69. Dragとは速度に比例した抵抗力例：空気抵抗

70. 指定終端速度を得るための外力 [Unity]RigidbodyのDragから終端速度を得る https://qiita.com/yuji_yasuhara/items/1f438f0f27f5ef854a73参考 :質量 :Drag m k F = 1 dt vmk k v F

71. 〜実践的な物理入門〜 https://www.youtube.com/watch?v=FqjM9oujyNE [Unity道場札幌スペシャル] プロが教える脱初心者スクリプト術！参考

72. 物理シミュレーションのウソ

73. 仮に物理シミュが完璧ならこんなに設定は必要ない

74. なにがウソなのか？あらゆる問題の根源が大きすぎるdt

75. なにがウソなのか？が大きすぎるあらゆる問題の根源物理シミュレーションの品質あらゆる工夫dt

76. Wikipedia「Newton’s cradle」より実現困難な例 https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_cradle

77. 接触

78. 接触していない移動

79. 接触！（図形的に算出）接触＝必ず潜り込みが発生

80. 潜り込みを直す位置と角度を調整 Solve(ソルブ) と呼ばれる処理

81. 接触は物理シミュレーションの最大の難関多くの進化や工夫はここに集約される

82. 下にも物体があったら調整したせいで潜り込む！

83. 何度も調整求める完全さはアプリの特徴次第負荷大

84. 慣性テンソル

86. 「質量　」 F = m dv dt m m F v 外力：速度v 質量は「動かしにくさ」

87. T = I d! dt 慣性テンソルは「回しにくさ」回転ににおける「慣性テンソル　」 F = m dv dt 移動における「質量　」 m I m I T ! F v 外力トルク：速度v ：角速度!

88. 動画慣性テンソルを可視化

89. 回しにくい回しにくい回しやすい

90. 外積ここからは武装が必要行列テンソルトルク

91. 外積〜ベクトルの立体関係〜どちらのベクトルにも垂直なベクトル A B A×B外積

92. B 行列〜ベクトルに掛けるもの〜 BにPを掛けたらA AもBもひとつの値（スカラー）なら大きさしか変えないが、ベクトルの場合は大きさも方向も変えるのでPは行列 0 @ Ax Ay Az 1 A 0 @ Bx By Bz 1 A 0 @ P00 P01 P02 P10 P11 P12 P20 P21 P22 1 A= PA =

93. ベクトルスカラー行列０階テンソル１階テンソル２階テンソル今回扱うのは２階テンソル〜単なる呼びかた〜テンソル

94. 回転には必ず回転軸がある〜回転力の記述〜トルクトルク（と角速度）は軸ベクトルで表現回転させる力をトルクと呼ぶ

95. 速度m/sを時間tで積分→位置m 加速度m/s を時間tで積分→速度m/s 2 velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt; これが物理シミュ再掲加速度があれば位置を出せる

96. 加速度があれば位置を出せる加速度があれば（速度を出せるから）位置を出せる

97. トルクがあれば姿勢を出せる加速度があれば位置を出せる加速度があれば（速度を出せるから）位置を出せる

98. トルクがあれば姿勢を出せる加速度があれば位置を出せるトルクから角速度を出せば姿勢を出せる加速度があれば（速度を出せるから）位置を出せる

99. トルクがあれば姿勢を出せる加速度があれば位置を出せるトルクから角速度を出せば姿勢を出せる加速度があれば（速度を出せるから）位置を出せるトルクと角速度の関係は単純ではない

100. 動画衝撃的な事実

101. 期待した動き実際の動き動画

102. 重心 r 角速度ω ある点pにおける速度vは重心からのベクトルrと角速度ωと垂直なのでと外積で表せる v 点p !v = ⇥r

103. 重心 r 速度vで移動している点pは働いた力fの結果そうなっている f v 点p 角速度ω !v = ⇥r

104. 重心 r トルクT トルクTはすべての点で働いた力fを距離を考慮して合計したもの外積 r×f をぜんぶ足す X はぜんぶ足すの意味 ff f f f 点p fT r= X ⇥

105. 質点の分布が対称でない場合トルクT（r×f の総計）と角速度ω（運動の結果）は軸が異なる重心 r トルクT f 角速度ω

106. 動画慣性テンソルの性質

107. 速度と角速度の関係 !v = ⇥ r 運動方程式 = m d dt v f fT r= X ⇥ トルクと力の関係

108. !T = X r ⇥ m d dt ( ⇥r) 運動方程式 = m d dt v f 速度と角速度の関係 !v = ⇥ rfT r= X ⇥ トルクと力の関係トルクと角速度の関係！

109. トルクと角速度の関係 ! = d dt T IT 右辺はベクトルを線形変換しているこの変換は必ず行列　とおけて ! （計算略） d dt I T = X r ⇥ m d dt ( ⇥r) トルクと角速度の関係！

110. Iこのすなわちトルクベクトルと角速度ベクトルを関連づける行列（２階テンソル）のこと慣性テンソルとは複雑な状況を行列ひとつで吸収できる驚異 ! = d dt T IT

111. ~A ⇥ ( ~B ⇥ ~C) = ( ~A · ~C) ~B ( ~A · ~B) ~C ~r ⇥ (~! ⇥ ~r) = (~r · ~r)~! (~r · ~!)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z)~r = |~r|2 ~! (rx!x + ry!y + rz!z) 0 @ rx ry rz 1 A = |~r|2 ~! 0 @ r2 x!x + rxry!y + rzrx!z rxry!x + r2 y!y + ryrz!z rzrx!x + ryrz!y + r2 z!z 1 A = (r2 x + r2 y + r2 z)~! 0 @ r2 x rxry rzrx rxry r2 y ryrz rzrx rxry r2 z 1 A 0 @ !x !y !z 1 A = 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A ~! 参考密度と物体形状で　　を積分したものが慣性テンソル I

112. 0 @ r2 y + r2 z rxry rzrx rxry r2 x + r2 z ryrz rzrx ryrz r2 x + r2 y 1 A x y z a b c m abc Z c 2 c 2 Z b 2 b 2 Z a 2 a 2 (y2 + z2 )dxdydz = m 12 (b2 + c2 ) I = 0 @ m 12 (b2 + c2 ) 0 0 0 m 12 (c2 + a2 ) 0 0 0 m 12 (a2 + b2 ) 1 A 例：直方体の慣性テンソル９要素すべてを計算

113. Rigidbody.inertiaTensor Rigidbody.inertiaTensorRotation これはなんださて

114. Rigidbody.inertiaTensor Rigidbody.inertiaTensorRotation どういうこっちゃ型が… Vector3 Quaternion

115. 慣性テンソルは対角化できる行列行列は二種類ある対角化できるか、できないかだ！

116. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 対角化とは0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 対角行列に変換する術対角行列 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 =

117. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1

118. 0 @ A00 0 0 0 A11 0 0 0 A22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 0 @ a00 a01 a02 a10 a11 a12 a20 a21 a22 1 A 0 @ b00 b01 b02 b10 b11 b12 b20 b21 b22 1 A 1 = IdIr I Ir 1 I = IrIdIr 1

119. Rigidbody.inertiaTensor Rigidbody.inertiaTensorRotation 対角行列なのでVector3で表現可能回転行列なのでQuaternionで表現可能 Id Ir I = IrIdIr 1

120. 動画具体的に慣性テンソルを使う

121. public class SimpleRotator : MonoBehaviour { void Update() { if (Input.GetMouseButton(0)) { var rb = GetComponent<Rigidbody>(); var omega = new Vector3(0f, 1f, 0f); var R = transform.rotation; var RI = Quaternion.Inverse(transform.rotation); var Id = rb.inertiaTensor; var Ir = rb.inertiaTensorRotation; var IrI = Quaternion.Inverse(Ir); var torque = R * Ir * Vector3.Scale(Id, IrI * RI * omega); rb.AddTorque(torque, ForceMode.Impulse); } } } 鉛直の角速度をもたらすトルクを得るサンプル（現在の姿勢も考慮したもの）

122. 白く塗装した２つの球。片方は純金製、片方は純銀製。素材を特定する方法は？・色、形、大きさは同じ・質量、重心も同じ・純金製の球は中空（上図）・純銀製の球は稠密（下図）

123. 転がす答え同じ質量なら中空の純金製のほうが慣性テンソルが大きい。よって回転しにくいほうが純金製

124. おしまい

【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター

【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot(20)

More from Unity Technologies Japan K.K.

More from Unity Technologies Japan K.K.(20)

Recently uploaded

Recently uploaded(11)

【Unity道場】物理シミュレーション完全マスター