2. Đáp án Môn : Toán - Khối A (Gồm 6 trang)
Câu Nội dung Điểm
I 1.(1,0 điểm)
(2điểm) Hàm số y =x −3x +2 (C1) ứng với m=1
3
+Tập xác định: R 0,25
+Sự biến thiên - lim y =−∞ lim y =−∞
,
x→ ∞
− x→ ∞
+
- Chiều biến thiên: y ' =3x −3 =0 ⇔ =±
x 1 2
Bảng biến thiên
X -1 1
−∞
+∞
y’ + 0 - 0 +
0,25
4 +∞
Y
0
−∞
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) và ( 1; +∞ ) , nghịch biến trên
khoảng (-1;1)
0,25
Hàm số đạt cực đại tại x =−1, y CD =4
. Hàm số đạt cực tiểu tại
x =1, yCT =0
+Đồ thị: Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 2), (1; 0) và nhận I(0; 2) làm
điểm uốn
y f(x)=x^3-3x+2
4
3
2
0,25
1
x
-2 -1 1 2
-1
2.(1,0 điểm)
Ta có y ' =3x −3m 2
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y'=0
có hai nghiệm 0,25
phân biệt ⇔ >
m 0
1
Vì y= x. y '− 2mx + 2 nên đường thẳng ∆
đi qua cực đại, cực tiểu của đồ
3 0,25
thị hàm số có phương trình là y =− mx +
2 2
2 m −1 0,25
Ta có d ( I , ∆) = .Giả sử
4m + 1
2
2m −1
4m 2 +1
<1 ↔4m 2 +1 > 4m 2 − 4 m +1 ↔ m > 0 (vì m > 0),nên d ( I , ∆ < R =1
)
chứng tỏ đường thẳng luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R =
∆
1 tại 2 điểm A, B phân biệt
1
Với m≠
2 , đường thẳng ∆
không đi qua I, ta có:
1 1 1
S ∆ABI = IA.IB.sin ·
AIB ≤ R 2 Sin 900 =
2 2 2
3. 1
Nên S ∆ IAB
đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi Sin ·AIB = 1 hay ∆AIB
vuông
R 1
cân tại I ⇔ IH =
2
=
2
(H là trung điểm của AB) 0,25
2m −1 1 2± 3
⇔ = ⇔m =
4m +1 2
2 2
II 2,00
1 3 4 + 2sin 2 x
Giải phương trình: 2
+ − 2 3 = 2(cot x +1) .
cos x sin 2 x
cos 2 x ≠ 0 π 0,25
Đk: ↔ x≠k (1)
sin 2 x ≠ 0 2
Với Đk (1) phương trình đã cho tương đương với:
(
3 1 + tg2 x + ) 4
sin 2 x
− 2 3 = 2cotg x ⇔
2(sin 2 x + cos 2 x)
⇔
3tg2 x + − 3 = 2cot x ⇔
sin x cos x
⇔ 3tg2 x +2tg x − 3 =0 0,25
tg x = − 3 π
x = − 3 + kπ
⇔ ⇔ 0,25
tg x = 1
x = π + kπ
3
6
KL: So sánh với điều kiện phương trình có tậpnghiệm :
π π
Tx = + k / k ∈ Z
0,25
6 2
2 Giải phương phương trình: 2 log 2 x = x
x > 0
x > 0
Ta có (1) ⇔ 2 ⇔ ln x ln 2 0,25
x = 2 x = 2
x
(2)
ln x
XÐt hµm sè: f ( x) =
x trªn (0;+∞) ;
f ' ( x) =
1 −ln x
; f ' ( x ) =0 ⇔x =e 0,25
x2
B¶ng biÕn thiªn.
x 0 e +
∞
f’ 1.- 0 +
0,25
f(x) 1
e
Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra hÖ cã kh«ng qu¸ 2 nghiÖm: NhËn 0,25
thÊy x=2; x=4 tháa m·n (2).
4. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã tập nghiÖm Tx ={ 2, 4} .
III 1 4
x 1,00
∫ (x e +
3
2 x
Tính tích phân )dx
0 1+ x
1 4 1 1 4
x x
Đặt I = ∫ ( x e
2 x3
+
1+ x
)dx . Ta có I = ∫ x e 2 x3
dx + ∫
1+ x
dx 0,25
0 0 0
1 1
1 t 1 t 1 1
I1 = ∫ x 2e x dx ∫ e dt = 3 e
3 1
3
Ta tính 0
Đặt t = x ta có I1 =
30 0
= e−
3 3 0,25
1 4
x
Ta tính I2 = ∫ dx Đặt t = ⇒ = 4 ⇒ = t 3dt
0,25
4
x x t dx 4
0 1+ x
2 π
1 1
t4 1
Khi đó I 2 = 4∫ dx = 4 ∫ (t 2 −1 + )dt = 4( − + )
0
1 +t 2 0
1 +t 2 3 4
0,25
1
Vậy I = I1+ I2 = e +π −3
3
IV 1,00
S
A D
O
B
C
0,25
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Dễ thấy hai tam giác vuông ∆SOC và ∆BOA có ∆SOC = BOA
∆
nên
SO = BO =OD
suy ra ∆BSD vuông tại S.
1 0,25
Do đó BD = 4a 2 + x 2 ⇒OB =
2
4a 2 + x 2 . Mà OA = BC 2 −OB2 .
1
Suy ra OA = 4a 2 −
4
( 4a 2 + x 2 ) = 1 12a 2 − x 2
2
.
6. d là tiếp tuyến của (C) tại M ⇔
M thuộc (C) và d vuông góc với IM 0,25
r
Đường tròn (C) có tâm I(-6 ; 6) , d có VTCP là u = ( −a; b)
a b uuu a
r b
M là trung điểm của AB nêm M ; ÷
2 2
, IM = + 6; − 6 ÷
2 2
a 2
b
2
0,25
+ 6 ÷ + − 6 ÷ = 50
2 2
Do đó ta có hệ phương trình
−a a + 6 + b b − 6 = 0
2
÷
2
÷
a = −b
2 2
a + 6 + b − 6 = 50 b = 22 b = 14
2 ÷ ÷
⇔
2
⇔ a = −22 v a = 2
b = a + 12 b = 2 b = −2
a
2
b
2
a = −2
a = −14
0,25
2 + 6 ÷ + − 6 ÷ = 50
2
Vậy d có p/t : x -y +2 = 0
;x - y +22=0 ; x + 7y +14 = 0 ; 7x + y – 14= 0
VIa 2
C thuộc mặt phẳng (Oxy) nên C( a ; b ;0)
0,25
Tam giác ABC cân tại C
= AC =BC ⇒ ( a − 2 +(b −3) 2 +
> 5) 16 = ( a − 2 +(b −3) 2 +
1) 16 ⇒ =3
a 0.25
(1)
Ta có AB = 4 5 , trung điểm BC là I (3;3; 0)
1 0.25
S ∆ABC =
2
CI . AB = 8 5 ⇒CI = 4 => ( 3 −a )
2
+( 3 −b )
2
=4 (2)
a = 3 a = 3
Từ (1) ; (2) ta có hoặc
b = 7 b = −1 0.25
Vậy có hai điểm C(3 ; 7 ;0) , B(3;-1;0)
VIIa 2 1,00
Giả sử z = a +bi với ; a,b ∈ R và a,b không đồng thời bằng 0. Khi đó
z = a − bi ;
1
=
1 a − bi
= 2
0,25
z a + bi a + b2
25 25( a − bi )
Khi đó z+
z
= 8 − 6i ⇔a − bi +
a 2 +b2
= 8 − 6i ⇔
a ( a 2 + b2 + 25) = 8( a 2 + b 2 ) (1)
0,25
b( a + b + 25) = 6( a + b ) (2)
2 2 2 2
3
Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b= a
4 thế vào (1)
9 2 9 2
a a 2 +
16
a + 25 ÷= 8 a 2 +
16
(
a ÷↔25a a 2 +16 = 8.25a 2 ↔ ) 0,25
a 2 +16 = 8a a = 4
↔ ↔
a =0 a = 0
7. Với a = 0 ⇒ b = 0 ( Loại) Với a = 4 ⇒ b = 3 . Ta có số phức z = 4 + 3i. 0,25
VIb 2,00
1 1,00
Ta có A , B thuộc đường thẳng AB nên A(a ; 9 – 4a) , B( b ; 9 – 4b )
11 0,25
Do G(1 ; 3
) là trọng tâm tam giác ABC nên C( - a - b + 3; 4a + 4b – 7)
r
d : x - 3y +8 = 0 có một VTCP là u (3;1) ;
3−a 0;25
Gọi I là trung điểm BC ta có I
2
; 2a + 1÷
d là trung trực của cạnh BC
3 − a
I ∈ d
− 3(2a + 1) + 8 = 0 0,25
⇔
uuu r
r ⇔ 2
BC.u = 0
3. ( 3 − 2b − a ) + (4a + 8b −16) = 0
a = 1
⇔ Vậy A(1;5) , B(3;-3) và C (-1 ;9)
b = 3 0,25
2 1,00
Mặt phẳng (P) qua A(1;1;2) có phương trình : 0,25
a(x-1)+ b(y -1)+c(z -2) = 0 ( a2 + b2 + c2 ≠ 0)
Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;2) bán kính R = 2
r
Mặt phẳng (Q) có VTPT n(2;1; −6)
2a + b − 6c = 0 0,25
Ta có (P) vuông góc với (Q) và tiếp xúc (S) nên −3b
2 =2
a +b +c
2 2
2a = 6c − b
2a = 6c − b 2a = 6c − b
⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ b = 2c
9b = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 b + 3bc −10c 2 = 0 b = −5c
0,25
b = − 5c
a = 2c
⇔
và 11
b = 2c a = 2 c
Chọn c = 0 thì a = b = 0 (loại)
Nên Từ (I) Pt (P) : 2c(x-1)+ 2c(y -1)+c(z -2) = 0
c ≠0
⇔ + y+ − =
2x 2 z 6 0
0,25
11
Hoặc 2
c (x-1) -5c(y -1)+c(z -2) = 0 ⇔x− y+ z − =
11 10 2 5 0
VIIb 1,00
T×m sè nguyªn d¬ng n biÕt:
2C2n+ −
2
1 3.2.2C2 n+ +
3
1 .... + − k k( k −
( 1) 1)2k− C2 n+ +
2 k
1 .... − n(2n +
2 1)22n− C2n+ = 40200
1 2n +
1
1
−
* XÐt 0,25
(1 − ) 2 n + = 0 n + − 1 n +x + 2 n +x 2 − +− k C2 n +x k + − 2 n +x 2 n +
x 1
C2 1 C2 1 C2 1 .... ( 1) k
1 .... 1
C2 n +
1
1
(1)
* LÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ cña (1) ta cã:
−2n +)(1 − )2 n = C1 n + + C2 n +x − +− k kC2 n +x k − +
( 1 x −2 1 2 2 1 ... ( 1) k
1
1
.... − n +)C2n +x 2 n
(2 1 2n +
1
1
(2)
8. L¹i lÊy ®¹o hµm c¶ hai vÕ cña (2) ta cã:
1 x 1
2 2 1 3 2 1 ... ( 1) 1 k
1
2
.... 2 1 0,25
2n(2n +)(1 − )2 n − = C2 n + − C3 n +x + +− k k ( k −)C2 n +x k − + − n(2n +)C2 n +x 2 n −
2n +
1
1
1
Thay x = 2 vµo ®¼ng thøc trªn ta cã:
−2n(2n + =
1) 2C2 n+ −
2 1 3.2.2C3 + + + − k k(k −
2n 1 ... ( 1) 1)2k − C2n+ + −
2 k
1 ... 2n(2n +1)22n− C2n+
1 +1
2n 1
0,25
Ph¬ng tr×nh ®· cho ⇔ (2n + =
2n 1) 40200⇔ 2 + −
2n n 20100= ⇔ 100
0 n =
0,25
Mọi cách làm khác mà đúng đều cho điểm tương đương.
