Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com                                                  PHƯƠNG TRÌNH CHỨA...
∗     α .B +β A.B + =0         A           γ                    , đặt        t =       A.B ⇒ .B =t 2                      ...
Giải:Đặt :         t =       x 2 −2 x +3,            t≥ 2                Khi đó phương trình trở thnh :                   ...
a. A ( x ) +bB ( x ) =c       A ( x ) .B ( x ) α +βv = mu 2 +nv 2  uChúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các bi...
Bài 1. giải phương trình :                  x 2 +3        x 2 − = x 4 −x 2 +                                              ...
a =    2 x2 − 1                                                      b =                                  x 2 − 3x − 2...
 x + 3 +1 = 3 x   x = 1                                                                     (1+               )         ...
5Giải: Để phương trình có nghiệm thì :                                   x 2 +12 − x 2 + 5 = 3 x −5 ≥ 0 ⇔ x ≥             ...
Giải các phương trình sau :     x 2 +3 x +1 =( x +3 )               x 2 +1                                               x...
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (                                               )       ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 −13 x 2 +3 ...
      1                                                                  1       u = 4 2 − v                           ...
Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai.Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng ...
Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.comBài 2. Giải phương trình:                   2 x2 − x − = 4 x +     ...
Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com                                                                   ...
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Chuyên đề phương trình chứa căn thức   bookbooming
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming

67,617 views

Published on

  • Follow the link, new dating source: ♥♥♥ http://bit.ly/36cXjBY ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating direct: ♥♥♥ http://bit.ly/36cXjBY ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ❤❤❤ http://bit.ly/33tKWiU ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Sex in your area is here: ♥♥♥ http://bit.ly/33tKWiU ♥♥♥
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • nngngphat312003@gmail.com
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Chuyên đề phương trình chứa căn thức bookbooming

  1. 1. Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 1. PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA A ≥ 0( B ≥ 0)Dạng 1 : Phương trình A= B ⇔ A = B B ≥ 0 B ≥ 0Dạng 2: Phương trình A =B ⇔ Tổng quát: 2k A = B ⇔ A = B A = B 2 2kDạng 3: Phương trình A ≥ 0  +) A + B = C ⇔ B ≥ 0 (chuyển về dạng 2)  A + B + 2 AB = C +) 3 A + 3 B = 3 C ⇔A +B +3 3 A.B ( 3 A +3 B ) =C (1)và ta sử dụng phép thế : 3 A +3 B =C ta được phương trình : A +B + 3 A.B.C = 3 C (2)Dạng 4: 3 A = ⇔ =B 3 ; B A 2k +1 A =B ⇔ = 2 k + A B 1Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của ph tr (1). - Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện cho 2 vế không âm là một phépbiến đổi hệ quả. Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại.Giải các phương trình sau:1) x 2 −4 x +6 = x +4 2) x 2 −2 x +4 = 2 −x 3) ( x −3) x 2 −4 =x 2 −94) 3 x 2 −9 x + =x −2 1 5) x 2 − x +2 − −x =0 3 3 6) 3 x 2 −9 x +1 = x −27) 3x − 3x − = 3 1 5 8) 4 − 1 −x = 2 −x 9) 3 x + + x − = 5x 1 3 1 310) 3 x + + x + = 2x + 5 3 6 3 11 11) 3 x+ + x+ + x+ = 1 3 2 3 3 0 12) x− − x− = 1 2 x−313) x + − 7 − = 2x − 3 x 8 14) 5x − − 3x − − x − = 1 2 1 0 15) x + − 3− = 5− x 2 x 216) y−14 − 12 −y =0 17) 3x 2 + x + 6 16 + x 2 + x = 2 2 x2 + x + 2 418) x 2 + x + + x 2 + x + = 2x 2 + x + 3 2 6 5 9 7 19) x+ = 1 x+ − 9 2 20) x 2 +9 − x 2 −7 =2(20) x+ + 3 3x + = 1 2 x + 2x +2 Nhận xét :Nếu phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) +h ( x ) =g ( x ) +k ( x ) , thì ta biếnđổi phương trình về dạng f ( x) − h( x) = k ( x) − g ( x) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả x 3 +1(21) + x +1 = x 2 − x +1 + x + 3 x +3 Nhận xét : Nếu phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) .h ( x ) =k ( x ) .g ( x ) thì ta biến đổi f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x) sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 2. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤDạng 1: Các phương trình có dạng :
  2. 2. ∗ α .B +β A.B + =0 A γ , đặt t = A.B ⇒ .B =t 2 A ∗ α f ( x ) +β . . γ f ( x ) + =0 , đặt t = f ( x ) ⇒f ( x ) =t 2 x −b x −b ∗ α.( x − a)( x −b) + β( x − a) x −a +γ = 0 đặt t = ( x −a) x −a ⇒( x − a )( x − b) = t 2Chú ý: ∗ Nếu không có điều kiện cho t, sau khi tìm được x thì phải thử lạiBài 1. Giải các phương trình sau: 7) 5 x + x + =7 −x 10 1 2 2 −2 x1) ( x + )( x +4) =5 1 x 2 +5 x +28 2) ( x −3)2 + x −22 = 3 x 2 − x +7 3 3) x ( x +5) =23 x 2 +5 x −2 −24) x 2 −4 x +2 =2 5) −4 (4 −x)(2 +x) x 2 −4 x +5 =x 2 − x − 2 12 6) ( 4 +x )(6 −x ) =x 2 −2 x −12Bài 2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm? a) (1 + x )(3 − ) = x − x + + 2 x 2 5 3 m 2 b) −x 2 +2 x +4 (3 −x )( x + ) 1 =m −3Bài 3. Cho phương trình: −x +2 x +4 2 (3 −x )( x + ) =m −2 1 a. Giải phương trình khi m = 12 b. Tìm m để phương trình có nghiệm? x +1Bài 4. Cho phương trình: (x − 3)(x + 1) + 4( x − 3) =m (Đ3) x −3 a. Giải phương trình với m = -3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm?Dạng 2: Các phương trình có dạng: A ± B± ( A ± B ) 2 +C =0 Đặt t = A± BBài 1. Giải các phương trình sau: 2a) (QGHN-HVNH’00) 1+ 3 x −x2 = x + 1−x b) 2 x + + x + =3 x + 3 1 2 2x 2 + x + 5 3 -2 x + 4 + x −4c) (AN’01) 7x + + 7x − + 7 6 2 49 x 2 + x − 7 42 =181 − x 14 d) 2 = x + x 2 −16 − 6 5 1 3 1e) 5 x+ = 2x + +4 (Đ36) g) (TN- KA, B ‘01) 3 x+ = 2x + −7 2 x 2x 2 x 2xh) z− + z+ + 1 3 2 ( z − )( z + ) =4 − z 1 3 2 i) 3 x − + x − =4 x − + 2 1 9 2 3x 2 − x + 5 2 (KTQS‘01)Bài 2. Cho phương trình: 1 +x + 8 −x − (1 +x )(8 −x ) =a (ĐHKTQD - 1998) a. Giải phương trình khi a = 3. b. Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.?Bài 3. Cho phương trình: 3 +x + 6 −x − (3 +x )(6 −x ) =m (Đ59) a. Giải phương trình với m = 3. b. Tìm m để phương trình có nghiệm?Bài 4. Cho phương trình: x + + 3 −x − ( x + )(3 −x ) =m 1 1 (m-tham số) (ĐHSP Vinh 2000) a. Giải phương trình khi m = 2. b. Tìm để phương trình đã cho có nghiệm.Bài 5. Tìm a để PT sau có nghiệm: 2 +x + 2 −x − (2 +x )(2 −x ) =a Tất cả bài tập 2, 3, 4, 5 ta có thể sáng tạo thêm những câu hỏi hoặc những bài tập sau:Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất? (ĐK cần và đủ)Tìm a để phương trình đã cho vô nghiệm?Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu. (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )Từ những phương trình tích ( x +1 −1 )( x +1 − x +2 = 0 ) , ( 2 x +3 −x )( 2 x +3 − x +2 =0)Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó của phươngtrình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện qua các ví dụsau .Bài 1. Giải phương trình : ( ) x 2 + 3 − x 2 + 2 x =1 + 2 x 2 + 2 t = 3Giải: Đặt t= x2 + 2 , ta có : t 2 − ( 2 + x ) t − 3 + 3x = 0 ⇔  t = x −1Bài 2. Giải phương trình : ( x +1) x 2 −2 x +3 = x 2 +1
  3. 3. Giải:Đặt : t = x 2 −2 x +3, t≥ 2 Khi đó phương trình trở thnh : ( x +1) t = x 2 +1 ⇔ 2 + −( x + ) t =0 x 1 1Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có ∆ chẵn : t = 2 x 2 − 2 x + 3 −( x +1) t + 2 ( x −1) = 0 ⇔t 2 − ( x +1) t + 2 ( x −1) = 0 ⇔  t = x −1Từ một phương trình đơn giản : ( 1 −x −2 1 +x )( 1 −x −2 + 1 + x =0 ) , khai triển ra ta sẽ được pt sauBài 3. Giải phương trình sau : 4 x + − =3 x +2 1 −x + 1 −x 2 1 1Giải:Nhận xét : đặt t = 1 − x , pttt: 4 1 +x = x + t + 3 2 t 1 +x (1)Ta rút x =1 −t 2 thay vào thì được pt: ( 3t 2 − 2 + 1 + x t +4 ) ( 1 + x −1 = 0 ) ( ) ( ) 2Nhưng không có sự may mắn để giải được phương trình theo t ∆= 2 + 1 + x −48 x +1 −1 khôngcó dạng bình phương . ( ) ,( ) 2 2Muốn đạt được mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 1−x 1+ xCụ thể như sau : 3 x =− 1 −x ) +2 (1 +x ) ( thay vào pt (1) ta được:Bài 4. Giải phương trình: 2 2 x +4 +4 2 −x = 9 x 2 +16Giải .Bình phương 2 vế phương trình: 4 ( 2 x +4 ) +16 2 ( 4 − x 2 ) +16 ( 2 − x ) = 9 x 2 +16Ta đặt : t = 2( 4 − x2 ) ≥ 0 . Ta được: 9x2 − t − 16 32 + x = 8 0Ta phải tách 9 x 2 =α ( 4 −x 2 ) +( 9 +2α) x 2 −8α 2 làm sao cho ∆t có dạng chính phương . Nhận xét : Thông thường ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt được mục đíchBài tập đề nghị: Giải các phương trình sau1) (4 x −1) x +1 =2 x +2 x +1 2 2) 2(1 −x ) x +2 x − =x −2 x − 2 1 1 3) x +x + x + =36 12 1 2 2 24) 1 + − x 2 = 4x 2 − − 2x + x 2 1 1 5) 4 1 +x − =x + 1 −x + 1 −x 2 3 3 6) sin x +sin x +sin 2 x +cos x =1 x −1 1 1  x+y 7) 2x + − 1 − −3 x − = 0 8) 4 3. 4 x − x 2 sin 2 + 2 cos( x + y )  = 13 + 4 cos 2 ( x + y ) x x x  2  12 12(9) 12 − + x2 − 2 = x2 x2 xMột số dạng khác. 31) 9( x + ) =(3 x +7 ) 1 − 3 x +4 1 2 ( ) 2 2) x 2 − 3 x +1 = − x 4 + x 2 +1 3) x 3 − = x 2 +3 x − 1 1 3 6x 12 x 12 x4) 10. ( x 3 +8 =3 x 2 −x +6 ) 5) 4 x − x 2 − + x + x 2 − =2 1 1 6) − − 24 =0 x −2 x −2 x −2 x 35 1 3x 1−x 2 + x 2 3x7) x+ = 8) = −1 ⇔ = −1 x 2 −1 12 1− x 2 1−x 2 1− x 2 1− x 2 x x +1 4x 210) −2 =3 11) = 2x + 9 x +1 x (Đ141) (1 − 1 + 2x ) 2Dạng 4: . Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u +α +βv =0 uv (1) bằng cách 2 2 2 u  u Xét v ≠0 phương trình trở thành :  ÷ + α  ÷+ β = 0  v v v =0 thử trực tiếpCác trường hợp sau cũng đưa về được (1)
  4. 4. a. A ( x ) +bB ( x ) =c A ( x ) .B ( x ) α +βv = mu 2 +nv 2 uChúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theodạng này .a) . Phương trình dạng : a. A ( x ) +bB ( x ) =c A ( x ) .B ( x )  P ( x ) = A ( x ) .B ( x ) Như vậy phương trình Q ( x ) =α P ( x ) có thể giải bằng phương pháp trên nếu  Q ( x ) = aA ( x ) + bB ( x ) Xuất phát từ đẳng thức : x 3 +1 =( x +1) ( x 2 −x +1) x 4 +x 2 + =( x 4 +2 x 2 + ) −x 2 =( x 2 +x + ) ( x 2 −x + ) 1 1 1 1 ( x 4 +1 = x 2 − 2 x +1 )( x 2 + 2 x +1 ) 4 x 4 + =( 2 x 2 −2 x + ) ( 2 x 2 +2 x + ) 1 1 1 Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 −2 2 x +4 = x4 +1Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai at 2 + − = bt c 0giải “ nghiệm đẹp”Bài 1. Giải phương trình : 2 ( x 2 + 2 ) = 5 x 3 +1Giải: Đặt u= x+ v= 1, x 2 −x +1 u = 2v Phương trình trở thành : 2( u + v2 2 ) = 5uv ⇔  Tìm được: x= 5 ± 37 u = 1 v 2  2 3Bài 2. Giải phương trình : x 2 − 3x +1 = − x 4 + x 2 +1 3Bài 3: giải phương trình sau : 2 x 2 +5 x − =7 1 x3 −1Giải:Đk: x ≥1Nhận xt : Ta viết α( x −1) +β( x 2 + x +1) = 7 ( x −1) ( x 2 + x +1)Đồng nhất thức ta được: 3 ( x −1) +2 ( x 2 + x +1) = 7 ( x −1) ( x 2 + x +1) v = 9uĐặt u =x − ≥0 , v =x 2 +x + >0 , ta được: 3u + 2v = 7 uv ⇔  v = 1 u 1 1  4Ta được : x =4 ± 6Bài 4. Giải phương trình : ( x +2 ) 3 x 3 −3 x 2 +2 −6 x = 0Giải:Nhận xét : Đặt y= x +2 ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y : x = y x 3 − 3 x 2 + 2 y 3 − 6 x = 0 ⇔ x3 − 3 xy 2 + 2 y 3 = 0 ⇔  x = −2 yPt có nghiệm : x =2, x =2 −2 3 b).Phương trình dạng : αu +βv = mu +nv 2 2 Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.
  5. 5. Bài 1. giải phương trình : x 2 +3 x 2 − = x 4 −x 2 + 1 1Giải: u = x 2 Ta đặt :  khi đó phương trình trở thành : u +3v = u 2 −v 2 v = x − 1 2 Bài 2.Giải phương trình sau : x 2 +2 x + 2 x − = 3 x 2 +4 x + 1 1Giải 1Đk x≥ . Bình phương 2 vế ta có : 2 (x 2 +2 x ) ( 2 x −1) = x 2 +1 ⇔ (x 2 +2 x ) ( 2 x − ) =( x 2 +2 x ) −( 2 x −1) 1  1− 5 u = x + 2 x 2 u = v uv = u 2 − v 2 ⇔  2Ta có thể đặt :  khi đó ta có hệ : v = 2 x − 1  1+ 5 u = v  2 1+ 5 1+ 5Do u, v ≥0 . u= v ⇔x2 + 2x = ( 2 x −1) 2 2Bài 3. giải phương trình : 5 x 2 − x + − x 2 −x − 14 9 20 =5 x+1Giải:Đk x ≥5 . Chuyển vế bình phương ta được: 2 x 2 −5 x +2 = 5 (x 2 − x −20 ) ( x +1)Nhận xét : không tồn tại số α ,β để : 2 x 2 −5 x +2 =α( x 2 −x −20 ) +β( x + ) 1 vậy ta không thể đặt u = x 2 − x − 20  . v = x + 1Nhưng may mắn ta có : (x 2 −x −20 ) ( x + ) =( x +4 ) ( x −5 ) ( x + ) =( x +4 ) ( x 2 −4 x −5 ) 1 1 . Ta viết lạiphương trình: 2 ( x 2 −4 x −5 ) +3 ( x +4 ) =5 ( x 2 −4 x −5)( x +4) . Đến đây bài toán được giải quyết .Dạng 5: Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tíchXuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà khi giải nóchúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệXuất phát từ đẳng thức ( a +b +c ) =a 3 +b 3 +c 3 +3 ( a +b ) ( b +c ) ( c +a ) , Ta có 3 a 3 + 3 +c 3 =( a +b +c ) ⇔ a +b ) ( a +c ) ( b +c ) =0 ( 3 bTừ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba . 3 7 x + −3 x 2 −x − +3 x 2 − x + =2 1 8 8 1 3 3 x + +3 5 − +3 2 x − −3 4 x − = 1 x 9 3 0Bài 1. Giải phương trình : x = 2− . x 3− + 3− . x x 5− + 5− . x x 2−x u = 2 − x 2 − u 2 = uv + vw + wu ( u + v ) ( u + w ) = 2      v = 3 − x , ta có : 3 − v = uv + vw + wu ⇔ ( u + v ) ( v + w ) = 3 , giải hệ ta được: 2Giải :  5 − w2 = uv + vw + wu  w = 5 − x   ( v + w ) ( u + w ) = 5 30 239 u= ⇔x= 60 120Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x 2 − + x 2 − x − = 2 x 2 + x + + x 2 −x + 1 3 2 2 3 2
  6. 6. a = 2 x2 − 1  b =  x 2 − 3x − 2 a + b = c + dGiải . Ta đặt :  , khi đó ta có :  2 ⇔ x = −2 a − b = c − d 2 2 2 c = 2 x2 + 2 x + 3  d =  x2 − x + 2Bài 3. Giải các phương trình sau 4x2 + x + − 5 1 2 x 2 −x + =9 x − 1 3 x + 4 x ( 1 −x ) + 4 ( 1 − x ) = 1 − x + 4 x 3 + 4 x 2 ( 1 −x ) 3 3. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.Sử dụng đẳng thức v 1 uv ⇔u − ) ( v − ) =0 u+ = + ( 1 1 au +bv =ab +vu ⇔u − ) ( v − ) =0 ( b a ( a - c) x + ( b - d ) ax + b ± cx + d = m A2 =B 2 ⇔A − )( A + ) = ( B B 0a3−b3 ⇔ (a−b)(a2+ab+b2)=0 ⇔ a=bBài 1. Giải phương trình : 3 x + +3 x +2 = +3 x 2 + x +2 1 1 3 x = 0Giải: pt ⇔ ( 3 x +1 −1 )( 3 ) x + 2 −1 = 0 ⇔  x = −1Bi 2. Giải phương trình : x+ + 1 3 3 x 2 = 3 x +3 x 2 +xGiải:+ x = 0 , không phải là nghiệm x +1 3  x +1 + x ≠0 , ta chia hai vế cho x: 3 x + x =1 + 3 x +1 ⇔  3 x −1÷ ( 3 ) x −1 = 0 ⇔ x = 1  Bài 3. Giải phương trình: x + +2 x 3 x + =2 x + x 2 +4 x + 1 3Giải: dk : x ≥−1 x =1pt ⇔ ( x + 3 − 2 x ) ( x +1 −1) = 0 ⇔ x = 0  4xBài 4. Giải phương trình : x +3 + =4 x x +3Giải:Đk: x ≥0 2 4x 4x  4x Chia cả hai vế cho x +3 : 1+ =2 ⇔ 1 − ÷ = 0 ⇔ x =1 x +3 x +3  x +3 Dùng hằng đẳng thứcBiến đổi phương trình về dạng : Ak = k ⇔ − )( A K − + K − .B + K − .B 2 + + .B K − + K − ) B (A B 1 A 2 A 3 ... A 2 B 1Bài 1. Giải phương trình : 3 −x = x 3 +xGiải:Đk: 0 ≤x ≤ 3 khi đó pt đ cho tương đương : x 3 + 3 x 2 +x − 3 =0 3  1  10 3 10 −1 ⇔ x + ÷ = ⇔x =  3 3 3 3Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x + =9 x 2 −x − 3 4Giải:
  7. 7.  x + 3 +1 = 3 x x = 1 (1+ ) ⇔ 2Đk: phương trình tương đương : 3+ x = 9x ⇔  2  x = −5 − 97 x ≥−3   x + 3 +1 = −3 x   18Bài 3. Giải phương trình sau : 2 +3 3 9 x 2 ( x +2 ) = 2 x +3 3 3 x ( x +2 ) 2 ( ) 3Giải : pttt ⇔ 3 x + 2 − 3 3x = 0 ⇔x =1 ĐS: x=1.Bài tập đề nghịGiải các phương trình sau :1) x2 + x + 10 21 =3 x+ + 3 2 x+ − 7 6 4) 8) x2 + x + 8 15 =3 x+ + 3 2 x+ − 5 6 x2 + 7x + 42) n ( x +1)2 +3n ( x −1)2 +2 n x 2 − =0 1 (với n ∈ N; n ≥ 2) 5) x +2 =4 x (ĐHDL ĐĐ’01)3) x 2 −x − − 2 2 x − +2 = 2 x+1 6) ( x + )(2 x − ) − 2 1 3 x+ = − 6 4 ( x + )(2 x − ) + 6 1 3 x+27) x−2 x− −x−) 1 ( 1 x + x 2 −x =0 (1) (HVKT QS - 2001) 4. PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC1. (ĐHSPHN2’00) x ( x − ) + x ( x +2) = 1 x2 2. x2 − x + + x2 − x + = x2 − x + 3 2 4 3 5 43. x2 −2002 x +2001 + x 2 −2003 x +2002 = x2 −2004 x +2003 4. 2 x ( x − − x ( x +2) = 1 x25. x ( x − ) + x ( x − ) =2 1 2 x( x + ) 3 8) x 2 − x + + x 2 − x + ≥2 3 2 4 3 x2 − x + 5 4 (Đ8) x ( x − ) + x( x −2) = 1 x( x + ) 3 9. x 2 + x + + x 2 + x + = 2x 2 + x + 3 2 6 5 9 7 (BKHN- 2001) 5. PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.1. x 2 −4x +5 − x 2 −10x +50 =5 2. x +3 −4 x− + x+ − 1 8 6 x− = 1 1 x +33. x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 4. x +2 +3 2 x − + x −2 − 2 x − =2 5 5 25. x +2 x − − x −2 1 x − =2 1 (HVCNBC’01) 6. x 4 −2 x 2 + =1 −x 1 (Đ24) 8. 4 x +2 = x +1 +47. x − 4 x −4 + x + 4 x −4 =2 . 8. x+ − 15 8 x − + x + −6 1 8 x− = 1 1 6. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP6.1. Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chungPhương pháp Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về đượcdạng tích ( x −x0 ) A ( x ) =0 ta có thể giải phương trình A( x ) = 0 hoặc chứng minh A( x ) = 0 vô nghiệm ,chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A( x ) = 0 vô nghiệmVí dụBài 1 . Giải phương trình sau : 3 x 2 −5 x +1 − x 2 −2 = 3 ( x 2 −x −1) − x 2 −3 x +4Giải:Ta nhận thấy : ( 3x 2 −5 x + ) −( 3 x 2 −3 x −3 ) =− ( x −2 ) 1 2 v (x 2 −2 ) −( x 2 −3 x +4 ) =3 ( x −2 ) −2 x + 4 3x − 6 =Ta có thể trục căn thức 2 vế : 3 x − 5 x +1 + 3 ( x − x +1) 2 2 x − 2 + x 2 − 3x + 4 2Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .Bài 2. Giải phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : x 2 +12 +5 =3 x + x 2 +5
  8. 8. 5Giải: Để phương trình có nghiệm thì : x 2 +12 − x 2 + 5 = 3 x −5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng ( x −2 ) A ( x ) =0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau : x2 − 4 x2 − 4 x 2 + 12 − 4 = 3 x − 6 + x 2 + 5 − 3 ⇔ = 3( x − 2) + x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3  x+2 x +1  ⇔ ( x − 2)  − − 3 ÷= 0 ⇔ x = 2  x + 12 + 4 x2 + 5 + 3 2  x +2 x +2 5Dễ dàng chứng minh được : − − 3 < 0, ∀ > x x 2 +12 + 4 x2 +5 + 3 3Bài 3. Giải phương trình : 3 x 2 − +x = 1 x3 −1Giải :Đk x ≥ 2 3Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình    ( x − 3) ( x + 3 x + 9 ) 2  x +3 3 x −1 − 2 + x − 3 = 2 x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 + 3 = (x −1) x3 − 2 + 5 2  3 2 + 2 x −1 + 4  3 2   x +3 x +3 1+ =1 + <2 x 2 + 3x + 9Ta chứng minh : (x −1) + 2 x −1 + 4 ( ) < 2 2 3 2 3 2 3 x −1 +1 2 +3 x3 − 2 + 5 Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3 6.2. Đưa về “hệ tạm “ a) Phương phápNếu phương trình vô tỉ có dạng A + B =C , mà : α A− = C Bở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của . Ta có thể giải như sau : x A −B  A + B =C  = C ⇒ A − B =α , khi đĩ ta có hệ:  ⇒ 2 A = C +α A− B  A − B =α  b) Ví dụBài 4. Giải phương trình sau : 2 x 2 +x +9 + 2 x 2 −x + =x +4 1Giải:Ta thấy : ( 2x 2 +x +9 ) −( 2 x 2 −x + ) =2 ( x +4 ) 1 x =−4 không phải là nghiệmXét x ≠−4 2 x +8Trục căn thức ta có : = x + 4 ⇒ 2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x +1 = 2 2 x + x +9 − 2 x − x +1 2 2  2 x 2 + x + 9 − 2 x 2 − x +1 = 2 x = 0 Vậy ta có hệ:  ⇒ 2 2x + x +9 = x + 6 ⇔  2  2 x + x + 9 + 2 x − x +1 = x + 4 2 2 x = 8   7 8Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 v x= 7Bài 5. Giải phương trình : 2 x 2 +x + + x 2 −x + =3x 1 1Ta thấy : ( 2x 2 +x + ) −( x 2 −x + ) = x 2 +2 x 1 1 , như vậy không thỏa mãn điều kiện trên. 1Ta có thể chia cả hai vế cho x và đặt t = thì bài toán trở nên đơn giản hơn xBài tập đề nghị
  9. 9. Giải các phương trình sau : x 2 +3 x +1 =( x +3 ) x 2 +1 x 2 − + 3 x 3 −2 =3 x −2 3 1 4 −3 10 −3 x = x −2 (HSG Toàn Quốc 2 x2 − x + 11 21 − 3 4 x − = 3 4 0 (OLYMPIC 30/4-2007) 2002) 2 x 2 − + x 2 − x − = 2 x 2 + x + + x 2 −x +2 1 3 2 2 3 2 ( 2 −x ) ( 5 −x ) =x + ( 2 −x ) (10 −x ) 2 x2 + x + 16 18 + x 2 − =2 x +4 1 3 x 2 +4 = x − +2 x −3 1 x2 +15 =3 x −2 + x 2 +8Giải các phương trình sau:1) x ( x − ) + x ( x − ) =2 1 2 x( x + ) 3 2) 2 x ( x − ) − x ( x +2) = 1 x2 3) 2 x + − 2 x − =x 2 1 21 + x + 21 − x 21 3 7 − x −3 x −54) = 5) =6−x 6) x2 − x + + x2 − x + = 3 2 4 3 2 x2 − x + 5 4 21 + x − 21 − x x 3 7 − x + 3 x −57) 2x 2 − + x 2 − x − = 2x 2 + x + + x 2 − + 1 3 2 2 3 x 28) 3x 2 − x + − x 2 − = 3 x 2 − x − − x 2 − x + 7 3 2 5 1 3 49) x2 −2003 x +2002 + x 2 −2004 x +2003 =2 x2 −2005 x +2004 7. PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ1. Dùng hằng đẳng thức : A= 0Từ những đánh giá bình phương : A2 +B 2 ≥0 , phương trình dạng A2 +B 2 =0 ⇔  B = 02. Dùng bất đẳng thức A≥ mMột số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:  nếu dấu bằng ỏ (1) và (2) cùng dạt B ≤ mđược tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A =B 1Ta có : 1 +x + 1 −x ≤2 Dấu bằng khi và chỉ khi x =0 và x +1 + ≥2 , dấu bằng khi và chỉ khi x +1 1x=0. Vậy ta có phương trình: 1 − 2008 x + 1 + 2008 x = + 1+x x +1  A ≥ f ( x)  A = f ( x) Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :  khi đó : A=B⇔  B ≤ f ( x)  B = f ( x ) Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều bài nghiệm là vô tỉviệc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được 2 2Bài 1. Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): + x = x +9 x +1Giải: Đk x ≥0  2 2  2  1  x   2 + x÷ ≤ 2 2 ( ) + x +1  2Ta có :   +   x +1  ÷  = x +9  x +1     x +1     2 2 1 1Dấu bằng ⇔ = ⇔x = x +1 x +1 7Bài 2. Giải phương trình : 13 x 2 −x 4 +9 x 2 +x 4 =16Giải: Đk: −≤ ≤ 1 x 1 ( ) 2Biến đổi pt ta có : x 2 13 1 − x 2 + 9 1 + x 2 = 256
  10. 10. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( ) ≤ ( 13 + 27 ) ( 13 −13 x 2 +3 +3 x 2 ) = 40 ( 16 −10 x 2 ) 2 13. 13. 1 − x 2 +3. 3. 3 1 + x 2 2  16 Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 2 ( 16 −10 x 2 ) ≤  ÷ = 64  2   2  1 + x2 x = 5  1− x = 2Dấu bằng ⇔ 3 ⇔ 10 x 2 = 16 − 10 x 2  2  x = − 5 Bài 3. giải phương trình: x 3` − x 2 − x + 3 8 40 − 4 4 x + = 8 4 0Ta chứng minh : và x 3 −3 x 2 − x +40 ≥0 ⇔ x −3) ( ( x +3 ) ≥x + 2 8 4 4 x +4 ≤x +13 8 13Bài tập đề nghị .Bài 1: Giải các phương trình sau 1 −2x 1 + 2x 16 x 4 +5 =6 3 4 x3 +x 1 − 2x + 1 + 2x = + 1 +2x 1 −2x x 3` − x 2 − x + 3 8 40 − 4 4 x + = 8 4 0 4 x +4 1 − + x − 1 − = 2 +4 8 x x 8 +x 3 + 64 −x 3 =x 4 − x 2 +28 8 2 x 4 + =4 8 4 +x 4 +4 x 4 −4 1  1 2 − x2 + 2 − 2 = 4 − x + ÷ x  xBài 2: Giải các phương trình sau: x 2 − 6 x +151) 3x 2 + x + + 5 x 2 + x + 6 7 10 14 = − x − 2 4 2 x 2) = x 2 − 6 x +18 x 2 − 6 x +113) x2 − x + + x2 − x + 6 11 6 13 + x 2 − x + = + 2 4 4 5 3 4) x 2 − x + ,5 = 3 3 (x 2 2 )( − x + x2 − x + 2 4 5 )5) 2x2 − x + 8 12 = − 3 x 2 − x + 3 4 12 13 6) x 2 −2 x +5 + x − =2 1 7) 2( 1 −x + x ) =4 1 −x +4 x 1 − 2x 1 + 2x8) 1 − 2x + 1 + 2x = 1 + 2x + 1 − 2x 9) x − + 4 − =x 2 − x + 2 x 6 11 (Đ11)10) x 2 − x + = 2 x 2 −x + 1 + x − x 2 2 3 3 3 11) x − + 10 − =x 2 − x + 2 x 12 52 8. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ .Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường. Hoặc hệ đối xứng loại một.Đặt u =α( x ) , v =β( x ) và tìm mối quan hệ giữa α ( x) và β ( x) từ đó tìm được hệ theo u,vBài 1. Giải phương trình: ( x 3 25 − x 3 x + 3 25 − x 3 = 30 )Đặt y = 3 35 −x 3 ⇒ 3 + y 3 =35 x  xy ( x + y ) = 30 Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:  3 3 , giải hệ này ta tìm được  x + y = 35  ( x; y ) =(2; 3) =(3; 2) . Tức là nghiệm của phương trình là x∈{2;3} 1Bài 2. Giải phương trình: 2 −1 − x + 4 x = 4 2Điều kiện: 0 ≤x ≤ 2 −1   2 −1 − x = uĐặt  ⇒0 ≤ u ≤ 2 −1, 0 ≤ v ≤ 4 2 −1 4 x = v 
  11. 11.  1  1 u = 4 2 − v u + v = 4 Ta đưa về hệ phương trình sau:  2 ⇔ 2 u 2 + v 4 = 2 −1  1 − v  + v 4 = 2 − 1   4 2 ÷   2  1 Giải phương trình thứ 2: (v 2 +1) 2 −  v + 4 ÷ = 0 , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương  2trình.Bài 3. Giải phương trình sau: x + 5 + x −1 = 6Điều kiện: x ≥1Đặt a= x − b = 5 + x − a ≥0, b ≥0) 1, 1( thì ta đưa về hệ phương trình sau: a 2 + b = 5   2 → ( a + b)( a − b +1) = 0 ⇒ a − b +1 = 0 ⇒ a = b −1 b − a = 5  11 − 17Vậy x −1 +1 = 5 + x −1 ⇔ x −1 = 5 − x ⇒ x = 2 6 − 2x 6 + 2x 8Bài 4. Giải phương trình: + = 5−x 5+x 3GiảiĐiều kiện: −< < 5 x 5Đặt u = 5 −x , v = 5 − y ( 0 <u , v < 10 ) . u 2 + v 2 = 10 (u + v) 2 = 10 + 2uv  Khi đó ta được hệ phương trình:  4 4 8 ⇔  2  4 − − + 2(u + z ) = (u + v) 1 − ÷=  u v 3   uv  3Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau 3 2 −x = − x − 1 1 (ĐHTCKTHN - 2001) (34 − x ) 3 x +1 − ( x +1)3 34 − x = 30 3 34 − x − 3 x +1 3 − +x 2 − 2 +x − 2 = x x 1 1+ 1− 2 x [ (1 − ) x 3 − (1 + ) x 3 ] =2 + 1− 2 x x + x + − x 2 +x = 1 1 (ĐHDL HP’01) 3 2+ + 2 + 2− − 2 = 4 x x 3 x x 3 4 5− + x − = 2 x 4 1 x2 − x + + x2 − x + = 3 3 3 6 3 3 (3 x +1)2 +3 (3 x − ) 1 2 +3 9 x 2 − = 1 1 3 x+34 − x − = 3 3 1 (Đ12) 3 (2 −x ) 2 +3 (7 +x ) 2 −3 (2 −x )(7 +x ) =3 4 x + 97 − = 4 x 5 2 x + x + + + 2 x − x + =2 1 1 1 x+ + 1 1 3 14 + + 12 − = x 3 x 2 3 sin2 x + cos x = 4 3 2 3 3 (x + )2 + (x − )2 + x2 − 8 3 8 3 64 =4 sin x + 2 −sin2 x +sin x. 2−sin2 x =3 x + 17 −x 2 +x 17 −x 2 =9 1 1 4 − cos2x + 4 + cos2x =1 1 1 2 2 + =2 2 − x2 x 4 10 + sin2 x − 8 cos x − = 8 4 2 1 1 3 1 + x +3 1 − x =2 17 + − 17 − = x x 2 (DL Hùng vương- 2001) 65 x − + = 6− 1 1 x (CĐ mẫu giáo TW1- 2001) 3 x2 + 2 = 3 x2 − +1 8 x 2 + − + x x 5 2 + x − = 8 4 5 1 1 1 3 + x + 3 − x =1 x 2 + x +1 − x 2 − x +1 = (Đ142) 2 2 2 3 7 +tgx + 2 − 3 tgx =3 x 3 35 − 3 x + 35 − 3 x 3 x ( ) =30 3x 2 + x + − 3x 2 + x + = 5 8 5 1 1 3 24 + + 12 − = x x 6 2x 2 + x + − 5 2 2 2x 2 + x − = 5 6 1 4 47 − x + 35 + x = 2 4 2 4
  12. 12. Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai.Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II ( x + 1) 2 = y + 2  (1)Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  việc giải hệ này thì đơn giản ( y + 1) = x + 2 2  (2)Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y = f ( x) sao cho (2) luôn đúng , y= x +2 −1 ,khi đó ta có phương trình : (x+ ) 2 1 =( x +2 − + ⇔ 2 +2 x = 1) 1 x x +2Vậy để giải phương trình : x 2 +2 x = x +2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ ( α x + β ) 2 = ay + b Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  , ta sẽ xây dựng được phương trình ( α y + β ) = ax + b 2  a β ( αx + β ) 2dạng sau : đặt αy +β = ax +b , khi đó ta có phương trình : = ax + b + b − α α a β ( αx + β ) nTương tự cho bậc cao hơn : = n ax + b + b − α αTóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng : ( αx +β) = p n a x +b +γ v nđặt αy +β = n ax +b để đưa về hệ , chú ý về dấu của α ???Việc chọn thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : ( αx +β) = p n a x +b +γ là chọn được. n α ;βGiải phương trình: x 2 −2 x =2 2x −1 1Điều kiện: x≥ 2Ta có phương trình được viết lại là: ( x − 2 − =2 1) 1 2x −1  x 2 − 2 x = 2( y − 1) Đặt y − = 2x − 1 1 thì ta đưa về hệ sau:  2  y − 2 y = 2( x − 1) Trừ hai vế của phương trình ta được ( x −y )( x +y ) =0Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x = 2 + 2Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1 − 2; 1 + 3}
  13. 13. Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.comBài 2. Giải phương trình: 2 x2 − x − = 4 x + 6 1 5Giải 5Điều kiện x≥ − 4Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x2 − x − = 12 2 2 4x + ⇔ x − 2 = 5 (2 3) 2 4x + + 5 11Đặt 2 y −3 = 4 x +5 ta được hệ phương trình sau: (2 x − 3) 2 = 4 y + 5   ⇒ ( x − y )( x + y −1) = 0 2 (2 y − 3) = 4 x + 5 Với x =y ⇒ x − = 4 x + ⇒ =2 + 3 2 3 5 x . Với x +y − =0 ⇒ = − → = − 2 1 y 1 x x 1Bài tập đề nghị : Giải các phương trình sau1) x 3 + =23 2 x − 1 1 2) x 3 + = 3 3x − 2 3 2 3) (x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x+44) x2 − = 1 x+1 5) − 2 + = 2− x 2 x 6) x 2 + 5 −x =5 7) 5 − 5 +x = x 4x + 98) 7x 2 + 7x = 28 ,x > 0 (ĐHAN-D) 9) 4 − 4 +x = x 10) x− =x− ) + ( 3 3 9 3 611) x 2 + 5 +x =5 12) x 3 − 3 3x + =2 3 2 13) x 2 + 1 +x =1 14) 3 + 3 + x =x 9. PHƯƠNG PHÁP ĐẠO HÀM.Các bước:Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó.Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến(nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phươngtrình.Ví dụ. Giải phương trình sau: 3 2x + + 2x + + 2x + = 1 3 2 3 3 0 (1) Giải:Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 3 2x + + 2x + + 2x + 1 3 2 3 3 2 2 2 1 3Ta có: f ( x) = + + > 0; ∀ ≠ − ,−1,− x 3 ( 2 x +1) 2 3 ( 2 x + 2) 2 3 (2 x + 3) 2 2 2
  14. 14. Tả i nhiề u tài liệ u, đề thi hơ n tạ i bookbooming.com  1  1   3  3 Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên tập M=  − ∞ −  ∪ − ,−1 ∪ −1,−  ∪ − ,+∞ ,  2  2   2  2  1 3Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: f (− ) = 3; f ( − ) = −3 2 2Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): x 3 1 -∞ − 2 -1 − 2 +∞ f’(x)    F(x) +∞ 0 3 -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1. Vậy phương trình đã cho có duy nhất mộtnghiệm x = -1.Bài tập tương tự:Giải các phương trình sau:1) 3 x + + x + = 2x2 + + 2x2 2 3 1 3 1 3 2)  ( 2 x +1)2 + ( 2 x +1) 2    ( ) +3 +3 x 2 + 9 x 2 +3 =0Từ bài 2, ta có bài tập 3.3) 1( (2 x + ) 2000 + (2 x + )2 1 + ) 1999 +x 2000 + x 2 +1999 =0( ) 4) x+ + x+ 3 19 = y+ + 3 y+195) (ĐH.B’02) Xác định m để phương trình sau có nghiệm: m ( 1+ 2 − 1− 2 + = x x 2 2 ) 1− 4 + 1+ 2 − 1− 2 x x x6) (ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2x + 2x + 4 6 − + 2 x 2 6− = x m 10. PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ.Ví dụ. Giải phương trình sau: x3 + (1 −x ) 2 3 =x 2 −2 x 2 (1) Giải:Tập xác định: D = [-1; 1]. (2)Do (2) nên đặt x = cost (*), với 0 ≤ t ≤ π (A)

×