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Estatística
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Distribuição Normal
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Padrão
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Slides sobre distribuição Normal, Administração, FAAP, 2016.

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  1. 1. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 1 1Gauss Distribuição Normal (D´Moivre) 2 Distribuição Normal  1. Curva em forma de “sino” 2. Média =Moda=Mediana 3. A variável aleatória assume infinitos valores 4. A distribuição normal de de dois parâmetros que são média e desvio padrão Média Mediana Moda x f(x) 3 12 15 1810 11 13 14 16 17 19 20 Média e Desvio Padrão Curvas com médias diferentes e mesmo desvio padrão Curvas com médias e desvios padrões diferentes 4 Efeitos Modificando a Média e o Desvio Padrão ( e ) f(x) x CA B 5 68% da área está compreendia entre um desvio padrão da média 95% da área está compreendia entre dois desvio padrão da média 99,7% da área está compreendia entre três desvio padrão da média 68%  2       2  3 3 6
  2. 2. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 2 7 8 9 μ  3σ μ + σμ  2σ μ  σ μ μ + 2σ μ + 3σ x Pontos de Infleção 10 Probabilidade na Distribuição Normal Probabilidade é a área sob a curva a b x f(x) ?  b a dx)x(f)bXa(P 11 Tabelas da Distribuição Normal Distribuição Normal Diferentes médias e diferentes desvios padrões Cada distribuição normal requer uma tabela. Existem infinitos valores! x f(x) 12    x padrãodesvio média-valor z A variável z- escores z A variável Z equivale à distância entre X e a média medida em desvios padrões. Valores positivos de Z indicarão que X está à direita da média; valores negativos indicarão que X está à esquerda da média.
  3. 3. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 3 13 TABELA DA NORMAL PADRÃO z P(Zz)=A(z) z P(Zz) probabilidade 2º decimal Parte inteira e 1º decimal 14  = 0 Z Distribuição Normal Padrão tabela Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão x     x Z 1 15 1 - F(z)=1-A(z) z Propriedade para uso da tabela: A(-z)=F(-z) F(-z) = ? 0-z 16 Z =0 0,12 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão 80,6 X   )5,80(n:X Seja Exemplo =80 Determine P(X<80,6)? 12,0 5 806,80x z        17 0,12 Z 0 1 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5398 0,5438 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 Tabela da Distribuição Normal Padrão 2 0,1 0,5478 Probabilidades Z   0,5478 Área a esquerda 18 Distribuição Normal Padrão Determine P(80,6<X<81) P(x1<X< x2)=P(X< x2)-P(X< x1) P(80,6<X<81)=P(X<81)-P(X<80,6) 20,0 5 8081x z        12,0 5 806,80x z       
  4. 4. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 4 19 0,12 Distribuição Normal Z  Distribuição Normal Padrão 80,6 0,20 X 81  0,0315    x Z 20 0,20 Z 0,5793 Z 0,12 0,5478 0,0315 0,12 0,20 Z Distribuição Normal Padrão 21 Z   0,32 Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão =80  X 81,6 Determine P( X  81,6) 0,3745 P(X  81,6)=1-(X<81,6)= 22 Distribuição Normal 80 x 81,6 Determine P(X81,6) P(X  81,6)=1-(X<81,6)=  z 0,32 , , X Z Z Z        81 6 80 5 0 32 23 0,32 Z 0,6255 Daí temos P(X  81,6)=1-(X<81,6)=1-(Z<0,32)= 1-0,6255=0,3745 6255,0)32,0Z(P  24 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO INVERSA prob z abscissa Parte inteira 1ºe 2º decimal 3º decimal
  5. 5. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 5 25 Z=0 =1 -3,0902 Distribuição normal padrão inversa 0,001 Determine z tal que P(Z<z) = 0,001? Tabela p 0 2 0,00 -3,0902 -2,8782 0,01 -2,3263 0,02 1 0,03 -1,8663 -2,2904 -2,2571 -2,0537 -2,0335 -2,0141 -1,8808 -1,8522  26 z =1 x =80  ? Determine o valor de x para uma determinada probabilidade Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão inversa 549,645)0902,3(80 zx    =0 0,001 0,001 -3,0902 270z 7 152152 z    29,1z 7 152161 z    57,0z 7 152148 z    Exemplo Em uma empresa o salário semanal dos funcionários pode ser considerado uma variável normalmente distribuída, com média $152,00 e desvio padrão $7,00. Determine a probabilidade do salário ser: a) inferior a $161,00; b) superior a $148,00; c) entre $152,00 e $161,00 a) P(X<161)=P(Z<1,29)=A(1,29)=0,9015 b) P(X<148)=P(Z<-0,57)=A(-0,57)=0,2843 c) P(152<X<161)= P(X<161)-P(X<152)= P(Z<1,29)- P(Z<0)= =A(1,29)-A(0)=0,9015-0,5000=0,4015 28    x padrãodesvio média-valor z A variável z- escores z A variável Z equivale à distância entre X e a média medida em desvios padrões. Valores positivos de Z indicarão que X está à direita da média; valores negativos indicarão que X está à esquerda da média. 29 TABELA DA NORMAL PADRÃO z P(Zz)=A(z) z P(Zz) probabilidade 2º decimal Parte inteira e 1º decimal 30 TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO INVERSA prob z abscissa Parte inteira 1ºe 2º decimal 3º decimal
  6. 6. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 6 31 Z=0 =1 -3,0902 Distribuição normal padrão inversa 0,001 Determine z tal que P(Z<z) = 0,001? Tabela p 0 2 0,00 -3,0902 -2,8782 0,01 -2,3263 0,02 1 0,03 -1,8663 -2,2904 -2,2571 -2,0537 -2,0335 -2,0141 -1,8808 -1,8522  32 Probabilidades e distribuições normais 115100 Pontuações de QI são normalmente distribuídas, com uma média de 100 e um desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115. Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z correspondente a x = 115. 10 P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115) = 0,8413 P(x < 115) = P(z < 1) 1 15 100115   z 33 As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115. P(80 < x < 115) Distribuição normal P(80<X<115)=P(–1,67 < z < 1,25)=P(Z<1,25)-P(Z<_1,67) =0,8944-0,0475= 0,8469 A probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 e US$ 115 é 0,8469. Aplicação 67,1 12 10080   z 25,1 12 100150   z 34 z Da área ao escore z Localize 0,980 na tabela. Leia os valores no início da linha e no alto da coluna correspondentes. O escore z será 2,054. Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,980. z = 2,054 corresponde mais ou menos ao 98%. –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 35 Determinando escores z a partir de áreas Determine o escore z correspondente a área acumulada de 90%. z0 0,90 Na tabela, isso corresponde a z = 1,282. Um escore z de 1,282 corresponde a área acumulada de 90%. 36 Determinando percentis ou valores de corte As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Qual é o valor mais baixo entre os 10% mais altos? 10% 90% Determine, na tabela, (o 90º percentil); 90%corresponde a um escore z de 1,286. x = 100 + 1,28(12) = 115,36. US$ 115,36 é o valor mais baixo entre os 10% mais altos. z Para determinar o valor x correspondente, use:
  7. 7. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 7 37 De escores z a escores brutos As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7. Determine a pontuação de um candidato com escore z: i) P 99% ii) P 3% iii) P 50% Para determinar um valor x a partir de um escore z:    x z i) x = 152 + (2,326)(7) = 168,282 ii) x = 152 + ( -1,881)(7) = 138,833 iii) x = 152 + (0)(7) = 152  zx   zx  38 Exemplo: Calcule a probabilidade de um variável aleatória com distribuição normal com  = 3 e  = 2 apresentar valores entre 2 e 5.  = 2  = 3 30 2 5 50,0 2 32 z    5328,03085,08413,0 )5,0(A)1(A )2X(P)5X(P )5X2(P     00,1 2 35 z    39 Um teste psicológico (introvertido x extrovertido) mostra que as notas possuem n(80; 10). Conclui-se que 10% daqueles que tem maiores notas são extrovertidos. Qual é a nota a partir da qual a pessoa pode ser considerada extrovertido? Exemplo   10)282,1(80  zx X Z  0,90  0,90 z0,90 0,10 40 O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$1800,00 com desvio padrão de R$200,00. Pede-se: a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$1500,00 e R$1900,00. b) determine o intervalo simétrico que cairão 96% dos salários? P(x1X  x2)=P(X  x2)-P(X  x1) P(1500 X  1900)=P(X1900)-P(X 1500) =0,6915-0,0668=0,6247 Exemplo 41 6915,0)50,0Z(P)1900X(P  0668,0)50,1Z(P)1500X(P  50,0 200 18001900x z       50,1 200 18001500x z       42   Z 0,96 Z0,98Z0,02 P(1389,26X 2210,74)=0,96 74,2210200.054,21800 2 26,1389200.054,21800 1       zX zX
  8. 8. Estatística Profª Josefa A . Alvarez 8 43 A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma granja pode muito bem ser representada por uma distribuição normal, com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro comprará 5000 coelhos e pretende classifica-los de acordo com o peso, do seguinte modo: 20% dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de pesos para cada classificação? Exemplo 44 0,55 z0,20 z0,75 z0,90 0,20 0,10 0,15 Z 33,48,0).842,0(520,0   za 53,58,0).675,0(575,0   zb 03,68,0)282,1(5 90,0   zc 45 Os depósitos mensais na caderneta de poupança tem distribuição normal com média igual a R$ 500,00 e desvio padrão R$ 150,00. Se um depositante realizar um depósito, pede-se calcular as seguintes probabilidades: a) de que esse depósito seja: a1) igual ou menor que R$ 650,00. a2) igual ou maior que R$ 650,00. a3) seja um valor entre R$ 250,00 e R$ 650,00. b) Determine os quartis: Q1 Q2 e Q3 interprete. c) Calcule P(-  X  + ) d) determine o intervalo simétrico para o qual corresponda a probabilidade de 0,90 46 Solução:a1) P(X 650)= P(Z<1)=0,8413 1 150 500650       x z a2) P(X> 650)= 1-0,8413=0,1587 a3) P(250 X 650)= P(Z<1)=0,8413 0,8413-0,0475=0,7938 P(X 250)= P(Z<-1,67)=0,0475 67,1 150 500250       x z 47 b) Q1 =+z 0,25  = 500 -0,675.150=398,825 Q2 =+z 0,50  =500 Q3 =+z 0,75  =500+0,675.150=601,175 c) P(-  X  + )= P(X  + ) -P(X  - ) = P(Z  1 ) -P(Z  -1 ) =0,8413-0,1587=0,6826 48 1 x z          1 x z          d) a=+z 0,05  = 500 -1,645.150=253,265 b =+z 0,95  =500+1,645.150=746,735

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