Modelo Doblete Inerte

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Breve introducción al Modelo del Doblete Inerte

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Modelo Doblete Inerte

  1. 1. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia Modelo del Doblete Inerte Alejandro Correa L´opeza* . aUniversidad de Antioquia. 24 octubre de 2012 Resumen El Modelo del Doblete Inerte (IDM por sus siglas en ingl´es) es una extensi´on m´ınima del Modelo Est´andar con una doblete de Higgs adicional, H2, y una simetr´ıa que no se rompe en el rompimiento espont´aneo de la simetr´ıa, Z2, bajo la cual H2 es impar y los otros campos son pares. Dicha simetr´ıa impide el acoplamiento directo de H2 con los fermiones y los leptones. Una condici´on crucial para la materia oscura es que se garantice la estabilidad de las part´ıculas inertes m´as ligeras. Palabras Claves: Doblete de Higgs, simetr´ıa Z2, materia oscura. 1. Introducci´on En la actualidad, muchas observaciones cosmol´ogicas coinciden en que la mayor´ıa de materia en el universo no s´olo no es visible a nuestros ojos, sino que no est´a compuesta por ´atomos como la materia tradicional. A este tipo de materia se le conoce en la literatura como materia oscura [1]. Existen muchos candidatos a materia oscura (DM). Pero al realizar un estudio sistem´atico de los modelos, de la mano con la fenomenolog´ıa que nos otorgan colaboraciones como el LHC, se muestra que ellos no son viables, pues no dan explicaci´on satisfactoria a problemas como, por * alejandro@gfif.udea.edu.co 1
  2. 2. Seminario III Modelo del Doblete Inerte ejemplo, la masa de los neutrinos. Sin embargo, si se toma como criterio la simplicidad de los modelos, en t´erminos de los nuevos par´ametros y los nuevos campos, tales estudios sistem´aticos de hacen factibles. Este enfoque es diferente y complementario a los criterios que dieron lugar a teor´ıas como la Supersimetr´ıa y Universos con dimensiones extra, los cuales fueron creados para bordar y solucionar otros problemas fundamentales (como el problema de la jerarqu´ıa) con un n´umero de par´ametros y posibilidades muy grandes. Otro criterio de selecci´on que debe ponerse en consideraci´on es la capacidad de predicci´on y la capacidad de prueba del modelo en los aceleradores actuales junto con los experimentos de detecci´on directos o indirectos de DM. Las posibilidades particularmente simples surgen si se a˜nade al Modelo Est´andar (SM) un singlete o multipletede SU(2)L extra (escalar o fermi´onico), que contiene un campo neutral candidato DM [2]. 2. El Modelo del Doblete Inerte (IDM) El IDM es una de las m´as simples extensiones del SM y adem´as es una de las m´as vers´atiles. Este escenario, en el cual los campos usuales del SM son complementados por un doblete escalar de SU(2) que no contribuye al rompimiento espont´aneo de la simetr´ıa electrod´ebil y se acopla s´olo al sector bos´onico m´as no al sector fermi´onico, tiene una potencial riqueza en varias aplicaciones fenomenol´ogicas [3]. Denotemos el doblete del (SM) como H1. Luego, el IDM, consiste en la adici´on de de un doblete de Higgs, H2, junto con la simetr´ıa Z2 tal que H1 → H1 and H2 → −H2. Con esta simetr´ıa, la violaci´on de CP en el sector del Higgs del SM est´a prohibida y las corrientes neutrales que cambian sabor (FCNC) no son permitidas. Pero, en una teor´ıa m´as real, la simetr´ıa Z2 deja de ser invariante, es decir, es violada [6]. Todos los campos del SM son pares bajo la simetr´ıa Z2, mientras que H2 no lo es. Este hecho garantiza la estabilidad de la componente m´as ligera de H2 la cual se considerar´a como la candidata a DM. Se asumir´a adem´as que dicha simetr´ıa no se rompe espont´aneamente, es decir, no adquiere un valor de expectaci´on en el vac´ıo. Cabe resaltar que la simetr´ıa discreta previene la aparici´on de FCNC. En este orden de ideas, y con la intenci´on de tener una componente neutral, la hipercarga del doblete escalar deber´a ser Y = ±11 . Por convenci´on, se tomar´a Y = +1 como la hipercarga de H2. Luego, los dobletes H1 y H2 se expresan como H1 = 0 v+h√ 2 ; H2 = H± H0+iA0 √ 2 Observemos que H2 es el doblete inerte, pues no interact´ua con ning´un tipo de fermi´on y adem´as introduce los nuevos campos: H± (estados cargados) y H0 , A0 (estados neutros). Cualquiera de ellos es candidato a ser la materia oscura. 1 Donde se ha elegido la carga el´ectrica como Q = T3 + Y/2 2
  3. 3. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia 2.1. El Potencial El potencial renormalizable m´as general con dos dobletes se expresa de la forma V = µ2 1|H1|2 + µ2 2|H2|2 + λ1|H1|4 + λ2|H2|4 + λ3|H1|2 |H2|2 + λ4|H† 1H2|2 + λ5 2 [(H† 1H2)2 + (H† 2H1)2 ]. (1) Dicho potencial contiene un par´ametro de masa que acompa˜na al t´ermino H† 1H2 el cual viola de manera suave la simetr´ıa Z2. Esta violaci´on suave implica que la simetr´ıa Z2 est´a rota pero cerca del valor de la masa, y se restaura para perque˜nas distancias 1/Mi, donde Mi representa las masas de los Higgs [6]. 2.1.1. Valor de expectaci´on del vac´ıo Para hallar el valor de expectaci´on del vac´ıo con el potencial (1), se consideran los campos H1 y H2 como H1 = 0 h ; H2 = φ1 φ2 . (2) Reemplazando las expresiones (2) en la expresi´on del potencial (1) se obtiene que V = µ2 1h2 + µ2 2(φ2 1 + φ2 2) + λ1h4 + λ2(φ2 1 + φ2 2)2 + λ3h2 (φ2 1 + φ2 2) + λ4h2 φ2 2 + λ5 2 [(hφ2)2 + (φ2h)2 ] = [µ2 1 + λ3(φ2 1 + φ2 2) + (λ4 + λ5)φ2 2]h2 + µ2 2(φ2 1 + φ2 2) + λ4h4 + λ2(φ2 1 + φ2 2)2 . Derivando ahora respecto a h para hallar el valor de expectaci´on ∂V ∂h = 2[µ2 1 + λ3(φ2 1 + φ2 2) + (λ4 + λ5)φ2 2]h + 4λ1h3 = {2[µ2 1 + λ3(φ2 1 + φ2 2) + (λ4 + λ5)φ2] + 4λ1h2 }h. Como se espera que en el doblete inerte φ2 no rompa el vac´ıo electrod´ebil entonces los t´erminos con φ2 se descartan. Luego ∂V ∂h = 2[µ2 1 + 4λ1h2 ]h. Y como se espera un m´ınimo en el vac´ıo, entonces ∂V ∂h = 0 lo cual implica que µ2 1 = −2λ1h2 → h2 = − µ2 1 2λ1 . 3
  4. 4. Seminario III Modelo del Doblete Inerte Es decir, si la simetr´ıa electrod´ebil se rompe, entonces se encuentra que H1 adquiere un vev tal que H1 = v √ 2 , (3) donde v = −µ2 1/λ1 ≈ 248 GeV. Por otro lado, asumiendo que µ2 2 > 0 entonces H2 = 0. (4) Se define ahora el Vac´ıo Inerte [4] si se cumple las relaciones (3) y (4). La masa del bos´on de Higgs2 del SM (denotado por h) es M2 h = −2µ2 1 ≡ 2λ1v2 . 2.1.2. T´erminos de masa Sean H1 y H2 los dobletes del modelo tales que H1 = 0 v+h√ 2 ; H2 = H± H0+iA0 √ 2 donde H1 es el doblete de Higgs del SM y H2 es el doblete inerte que introduce los nuevos campos: H± (estados cargados) y H0 , A0 (estados neutros). Cualquiera de ellos es candidato a ser la materia oscura. Ahora, consideremos el potencial escalar V = µ2 1|H1|2 + µ2 2|H2|2 + λ1|H1|4 + λ2|H2|4 + λ3|H1|2 |H2|2 + λ4|H† 1H2|2 + λ5 2 [(H† 1H2)2 + (H† 2H1)2 ] Luego, expandamos cada t´ermino para identificar la masa de los nuevos campos. 1. |H1|2 = H† 1H1 = (v + h)2 2 = 1 2 (h2 + 2hv + v2 ) 2. |H2|2 = H† 2H2 = H±† H0 − iA0 √ 2 H± H0+iA0 √ 2 = (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 2 Es claro que la masa del Higgs depende de un par´ametro libre y por lo tanto su valor depender´a del valor que le asignemos a µ. Pero, para julio de 2012 se encontr´o un indicio de que dicha masa es de aproximadamente 125 GeV. 4
  5. 5. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia 3. |H1|4 = (v + h)4 4 4. |H2|4 = (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 2 = (H± )4 + (H± )2 [(H0 )2 + (A0 )2 ] + [(H0 )2 + (A0 )2 ]2 = (H± )4 + (H± )2 [(H0 )2 + (A0 )2 ] + (H0 )4 + 2(H0 )2 (A0 )2 + (A0 )4 5. |H1|2 |H2|2 = 1 2 (v + h)2 (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 = 1 2 (h2 + 2hv + v2 ) (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 6. |H† 1H2|2 = 0 h + v √ 2 H± H0+iA0 √ 2 2 = 1 2 (h + v)(H0 + iA0 ) 2 = 1 4 (h + v)2 [(H0 )2 + (A0 )2 ] 7. (H† 1H2)2 = 1 2 (h + v)(H0 + iA0 ) 2 = 1 4 (h + v)2 (H0 + iA0 )2 = 1 4 (h2 + 2hv + v2 )[(H0 )2 − (A0 )2 + 2iH0 A0 ] (H† 2H1)2 = 1 4 (h2 + 2hv + v2 )[(H0 )2 − (A0 )2 − 2iH0 A0 ] Luego, el potencial, en t´erminos de los campos, toma la forma de V = µ2 1 2 (h2 + 2hv + v2 ) + µ2 2 (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 + λ1 (v + h)4 4 + λ2 (H± )4 + (H± )2 [(H0 )2 + (A0 )2 ] + (H0 )4 + 2(H0 )2 (A0 )2 + (A0 )4 + λ3 2 (h2 + 2hv + v2 ) (H± )2 + (H0 )2 + (A0 )2 2 + λ4 4 (h + v)2 [(H0 )2 + (A0 )2 ] + λ5 4 (h2 + 2hv + v2 ) (H0 )2 − (A0 )2 . (5) 5
  6. 6. Seminario III Modelo del Doblete Inerte Ahora, del potencial (1) podemos identificar los siguientes t´erminos de masa: M2 h = 2λ1µ2 1 M2 H± = µ2 2 + λ3v2 2 M2 H0 = µ2 2 2 + v2 4 (λ3 + λ4 + λ5) M2 A0 = µ2 2 2 + v2 4 (λ3 + λ4 − λ5) (6) Puesto que ´unicamente el doblete H1 toma parte en el SSB, s´olo h es un bos´on de Higgs como tal. El resto de part´ıculas escalares remanentes son entonces llamados escalares inertes, pues no contribuyen al SSB y no tienen acoplamientos con fermiones. 2.2. Restricciones te´oricas y experimentales El espacio de los par´ametros del potencial escalar (1) del IDM se reduce debido tanto a las restricciones te´oricas como a los resultados de las b´usquedas experimentales. Desde el punto de vista te´orico, existen varias limitaciones de suma importancia que garantizan la unitariedad a nivel ´arbol y la estabilidad del vac´ıo del modelo [7]: Garantizar Perturbaci´on: Se obliga a que el potencial sea perturbativo exigiendo que todos los acoplamientos cuadr´aticos del potencial (1) sean tales que |λi| ≤ 8π. Estabilidad del vac´ıo: Para garantizar que el potencial sea acotado, y por tanto el vac´ıo sea estable, al menos a nivel ´arbol, se requiere que λ1,2 > 0, λ3 + λ4 − |λ5| > −2 λ1λ2, λ3 > −2 λ1λ2. Unitariedad: Para restringir los par´ametros del potencial escalar del IDM se puede exi- gir que a nivel ´arbol la unitariedad se preserva en una variedad de procesos de dispersi´on: escalar–escalar, bos´on gauge–bos´on gauge y escalar–bos´on gauge. Para efectos pr´acticos, se considerar´a el proceso puramente escalar dominado por las interacciones cuadr´aticas. El conjunto completo de procesos dispersivos que son escalares pueden representarse medi- ante la matriz S de 22 × 22 compuesta de 4 submatrices que no se acoplan una con otra debido a la conservaci´on de la carga y a la invarianza CP. Las entradas son precisamente los acoplamientos cuadr´aticos los cuales median los procesos de dispersi´on. 6
  7. 7. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia Seg´un [12] los autovalores de la matriz S son e1,2 = λ3 ± λ4, e3,4 = λ3 ± λ5, e5,6 = λ3 + 2λ4 ± λ5, e7,8 = −λ1 − λ2 ± (λ1 − λ2)2λ2 4, e9,10 = −3λ1 − 3λ2 ± 9(λ1 − λ2)2 + (2λ3 + λ4), e11,12 = −λ1 − λ2 ± (λ1 − λ2)2 + λ2 5. Luego, se impone una restricci´on perturbativa unitaria sobre todos los autovalores tal que |ei| ≤ 8π∀i = 1, 2, 3, ..., 12. As´ı, la restricci´on m´as pesada sobre λ1,2 proviene de los autoval- ores e9,10, pues λ1 + λ2 ≤ 8π 3 . Electro Weak Precision Tests: En 1990, los par´ametros fenomenol´ogicos S, T, y U fueron presentados por Peskin y Takeuchi [5] para cuantificar las contribuciones de las correc- ciones radiativas electrod´ebiles de la f´ısica m´as all´a del SM. Dichos par´ametros tienen una simple relaci´on con los par´ametros del Lagrangiano quiral electrod´ebil. El an´alisis de Peskin-Takeuchi estaba basado en el formalismo general para las correcciones radiativas electrod´ebiles realizadas por Kennedy, Lynn, Peskin y Stuart. Los par´ametros S, T, y U describen correcciones de los propagadores de bosones de gauge electrod´ebiles de la f´ısica m´as all´a del SM. En el SM, los EWPT implican una relaci´on entre Mh y MZ. En el IDM tambi´en se presentan la relaci´on entre las masas. Para el IDM se exige que los valores calculados de S y T se encuentran dentro de una significancia de 2σ en un plano S, T con los siguientes valores centrales: S = 0,03 ± 0,09 y T = 0,07 ± 0,08, con un ajuste de correlaci´on igual al 87 % [4]. Luego, parece que, cuando las restricciones sobre unitariedad y la estabilidad del vac´ıo son aplicadas, se puede obtener una cota para las masa de H0 . LEP: Gracias al Gran colisionador Electr´on–Positr´on, tanto en su fase LEPI como en LEPII, se han encontrado ciertas cotas sobre las masas escalares MH± + MH0 > MW , MH± + M 0 > MW , MH0 + MA0 > MZ, 2MH± > MZ, MH± > 70 GeV, y se excluyen las regiones donde MH0 < 80 GeV, MA0 < 100 GeV y MA0 − MH0 > 8 GeV. 2.3. Notas Finales El patr´on de rompimiento de la simetr´ıa electrod´ebil, dado por las ecuaciones (3) y (4), asegura que la simetr´ıa Z2 permanece invariante. Despu´es del rompimiento de la simetr´ıa electrod´ebil las part´ıculas finales resulta en dos escalares pares neutros (h, H0 ), un escalar impar neutro (A0 ) 7
  8. 8. Seminario III Modelo del Doblete Inerte y un par de escalares cargados (H± ). No hay mezcla entre los dos dobletes3 y, por tanto H1 juega el papel de la bos´on de Higgs del SM. Una caracter´ıstica importante, y que debe tenerse muy en cuenta, es que el resto de bosones, es decir H0 , A0 y H± son inertes y no tienen ning´un tipo de interacci´on con los quarks y los leptones. La simetr´ıa Z2 tambi´en asegura la estabilidad del escalar ligero (sea H0 o A0 ) que puede actuar como un candidato a materia oscura. Como vimos en la secci´on 2.1.2, los seis escalares pueden ser escritos en t´erminos de los seis par´ametros {µ2 2, λ1, λ2, λ3, λ4, λ5}. Luego, es posible los acoplamientos cuadr´aticos λi en t´erminos de las masas f´ısicas escalares y µ2 de la siguiente manera: λ1 = M2 h 2v2 , λ3 = 2 v2 (MH± − µ2 2), λ4 = M2 H0 + M2 A0 − 2M2 H± v2 , λ5 = MH0 − MA0 v2 . (7) Es claro entonces que se tienen seis par´ametros independientes (λi, con i = 1, 2, ..., 5) y µ2 o de equivalentemente cuatro masas f´ısicas escalares, λ2 y µ2: {µ2 2, Mh, MA0 , MH± , λ2} Por otro lado, Teniendo en cuenta un bos´on de Higgs con masa Mh ∼ 125 GeV, se encuentra que una mejora en la significancia del decaimiento de h a dos fotones es solo posible para valores acotados de los acoplamientos escalares λ3 ∼ hH+ H− , λ345 ∼ hHH y las masas de los escalares cargados y las part´ıculas de materia oscura. una mejora por debajo de 1.3 demanda que las masas de H± y H0 est´en en el intervalo (65,2, 135) GeV y −1,46 < λ3, λ3,4,5 < −0,24. Los par´ametros λ3 y λ3,4,5 son proporcionales a los acoplamientos hH+ H− y hHH respectivamente. El ´unico par´ametro del potencial escalar que se encuentra ausente es λ2, el cual se relaciona con los auto–acoplamientos cuadr´aticos de los escalares, es decir, HHHH o H+ H− H+ H− . Una caracter´ıstica de suma importancia es que el vac´ıo inerte puede realizarse s´olo si se cumplen las siguientes condiciones M2 h, M2 H0 , M2 A0 , M2 H± ≥ 0, M2 11 √ λ1 > M2 22 √ λ2 , (8) donde M11 y M22 son las masas de los bosones de Higgs SM y DM. Luego, partiendo de la existencia de dicho vac´ıo, el valor de la masa del Higgs SM de 125 GeV y la condici´on de unitariadad sobre λ2 se sigue la condici´on sobre M22: M2 22 < ∼ 9 × 104 GeV2 . Para finalizar, una idea de cu´ales ser´ıan las cotas para los nuevos par´ametros que introduce el IDM viene dada por la exploraci´on aleatoria del espacio de par´ametros. Tomando en cuenta las restricciones anteriores dadas en la secci´on (2.2), y variando los par´ametros, encontramos las siguientes cotas: MH0 = 125 GeV, 70 GeV ≤ MH± ≤ 800(1400) GeV, 0 < MA0 ≤ 800(1400) GeV, 0 < MH0 ≤ MA0 , MH± , −25 × 104 (−2 × 106 ) GeV2 ≤ M2 22 ≤ 9 × 104 GeV2 , 0 < λ2 ≤ 10. 3 En el sentido de que no se presenta en el modelo una superposici´on de H1 y H2 que de como resultado otro doblete. 8
  9. 9. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia Referencias [1] L. Lopez Honorez, E. Nezri, J. F. Oliver and M. H. G. Tytgat, JCAP 0702, 028 (2007) [hep-ph/0612275]. [2] T. Hambyea , F. S. Linga , L. Lopez Honoreza, and J. Rochera arXiv:hep-ph/09034010 [3] E. Dolle , X. Miao , S. Su, and B. Thomas arXiv:hep-ph/09093094 [4] B. ´Swie˙zewska , and M. Krawczyk arXiv:hep-ph/12124100 [5] M. E. Penskin, and T. Takeuchi ((New constraint on a strongly interacting Higgs sector)) (1990). Physical Review Letters 65 (8): pp. 964–967. doi:10.1103/PhysRevLett.65.964. PMID 10043071. [6] I. F. Ginzburg , and I. P. Ivanov arXiv:hep-ph/0508020 [7] A. Arhrib, R. Benbrik, and N. Gaur, arXiv:hep-ph/12012644 [8] E. Ma Phys. Rev. D 73 (2006) 077301 [arXiv:hep-ph/0601225]. [9] R. Barbieri, L. J. Hall and V. S. Rychkov, Phys. Rev. D 74 (2006) 015007 [arXiv:hep- ph/0603188]. [10] M. Cirelli, N. Fornengo and A. Strumia, arXiv:hep-ph/0512090. [11] T. Takeuchi, In *Hiroshima 1991, Proceedings, Electroweak symmetry breaking* 165-188, and SLAC Stanford - SLAC-PUB-5730 (92/03,rec.May) 24 p. (see Conference Index) [12] B. W. Lee, C. Quigg and H. B. Thacker, Phys. Rev. D 16 (1977) 1519 9

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