Breve introducción al Modelo del Doblete Inerte

1. Instituto de F´ısica, Universidad de Antioquia
Modelo del Doblete Inerte
Alejandro Correa L´opeza*
.
aUniversidad de Antioquia.
24 octubre de 2012
Resumen
El Modelo del Doblete Inerte (IDM por sus siglas en ingl´es) es una extensi´on m´ınima
del Modelo Est´andar con una doblete de Higgs adicional, H2, y una simetr´ıa que no
se rompe en el rompimiento espont´aneo de la simetr´ıa, Z2, bajo la cual H2 es impar y
los otros campos son pares. Dicha simetr´ıa impide el acoplamiento directo de H2 con
los fermiones y los leptones. Una condici´on crucial para la materia oscura es que se
garantice la estabilidad de las part´ıculas inertes m´as ligeras.
Palabras Claves: Doblete de Higgs, simetr´ıa Z2, materia oscura.
1. Introducci´on
En la actualidad, muchas observaciones cosmol´ogicas coinciden en que la mayor´ıa de materia
en el universo no s´olo no es visible a nuestros ojos, sino que no est´a compuesta por ´atomos como
la materia tradicional. A este tipo de materia se le conoce en la literatura como materia oscura
[1]. Existen muchos candidatos a materia oscura (DM). Pero al realizar un estudio sistem´atico
de los modelos, de la mano con la fenomenolog´ıa que nos otorgan colaboraciones como el LHC,
se muestra que ellos no son viables, pues no dan explicaci´on satisfactoria a problemas como, por
*
alejandro@gfif.udea.edu.co
1

2. Seminario III Modelo del Doblete Inerte
ejemplo, la masa de los neutrinos. Sin embargo, si se toma como criterio la simplicidad de los
modelos, en t´erminos de los nuevos par´ametros y los nuevos campos, tales estudios sistem´aticos
de hacen factibles. Este enfoque es diferente y complementario a los criterios que dieron lugar a
teor´ıas como la Supersimetr´ıa y Universos con dimensiones extra, los cuales fueron creados para
bordar y solucionar otros problemas fundamentales (como el problema de la jerarqu´ıa) con un
n´umero de par´ametros y posibilidades muy grandes. Otro criterio de selecci´on que debe ponerse en
consideraci´on es la capacidad de predicci´on y la capacidad de prueba del modelo en los aceleradores
actuales junto con los experimentos de detecci´on directos o indirectos de DM. Las posibilidades
particularmente simples surgen si se a˜nade al Modelo Est´andar (SM) un singlete o multipletede
SU(2)L extra (escalar o fermi´onico), que contiene un campo neutral candidato DM [2].
2. El Modelo del Doblete Inerte (IDM)
El IDM es una de las m´as simples extensiones del SM y adem´as es una de las m´as vers´atiles.
Este escenario, en el cual los campos usuales del SM son complementados por un doblete escalar
de SU(2) que no contribuye al rompimiento espont´aneo de la simetr´ıa electrod´ebil y se acopla s´olo
al sector bos´onico m´as no al sector fermi´onico, tiene una potencial riqueza en varias aplicaciones
fenomenol´ogicas [3].
Denotemos el doblete del (SM) como H1. Luego, el IDM, consiste en la adici´on de de un doblete
de Higgs, H2, junto con la simetr´ıa Z2 tal que
H1 → H1 and H2 → −H2.
Con esta simetr´ıa, la violaci´on de CP en el sector del Higgs del SM est´a prohibida y las corrientes
neutrales que cambian sabor (FCNC) no son permitidas. Pero, en una teor´ıa m´as real, la simetr´ıa
Z2 deja de ser invariante, es decir, es violada [6]. Todos los campos del SM son pares bajo la
simetr´ıa Z2, mientras que H2 no lo es. Este hecho garantiza la estabilidad de la componente
m´as ligera de H2 la cual se considerar´a como la candidata a DM. Se asumir´a adem´as que dicha
simetr´ıa no se rompe espont´aneamente, es decir, no adquiere un valor de expectaci´on en el vac´ıo.
Cabe resaltar que la simetr´ıa discreta previene la aparici´on de FCNC. En este orden de ideas,
y con la intenci´on de tener una componente neutral, la hipercarga del doblete escalar deber´a ser
Y = ±11
. Por convenci´on, se tomar´a Y = +1 como la hipercarga de H2. Luego, los dobletes H1 y
H2 se expresan como
H1 =
0
v+h√
2
; H2 =
H±
H0+iA0
√
2
Observemos que H2 es el doblete inerte, pues no interact´ua con ning´un tipo de fermi´on y adem´as
introduce los nuevos campos: H±
(estados cargados) y H0
, A0
(estados neutros). Cualquiera de
ellos es candidato a ser la materia oscura.
1
Donde se ha elegido la carga el´ectrica como Q = T3 + Y/2
2

3. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
2.1. El Potencial
El potencial renormalizable m´as general con dos dobletes se expresa de la forma
V = µ2
1|H1|2
+ µ2
2|H2|2
+ λ1|H1|4
+ λ2|H2|4
+ λ3|H1|2
|H2|2
+ λ4|H†
1H2|2
+
λ5
2
[(H†
1H2)2
+ (H†
2H1)2
]. (1)
Dicho potencial contiene un par´ametro de masa que acompa˜na al t´ermino H†
1H2 el cual viola de
manera suave la simetr´ıa Z2. Esta violaci´on suave implica que la simetr´ıa Z2 est´a rota pero cerca
del valor de la masa, y se restaura para perque˜nas distancias 1/Mi, donde Mi representa las
masas de los Higgs [6].
2.1.1. Valor de expectaci´on del vac´ıo
Para hallar el valor de expectaci´on del vac´ıo con el potencial (1), se consideran los campos H1
y H2 como
H1 =
0
h
; H2 =
φ1
φ2
. (2)
Reemplazando las expresiones (2) en la expresi´on del potencial (1) se obtiene que
V = µ2
1h2
+ µ2
2(φ2
1 + φ2
2) + λ1h4
+ λ2(φ2
1 + φ2
2)2
+ λ3h2
(φ2
1 + φ2
2)
+ λ4h2
φ2
2 +
λ5
2
[(hφ2)2
+ (φ2h)2
]
= [µ2
1 + λ3(φ2
1 + φ2
2) + (λ4 + λ5)φ2
2]h2
+ µ2
2(φ2
1 + φ2
2) + λ4h4
+ λ2(φ2
1 + φ2
2)2
.
Derivando ahora respecto a h para hallar el valor de expectaci´on
∂V
∂h
= 2[µ2
1 + λ3(φ2
1 + φ2
2) + (λ4 + λ5)φ2
2]h + 4λ1h3
= {2[µ2
1 + λ3(φ2
1 + φ2
2) + (λ4 + λ5)φ2] + 4λ1h2
}h.
Como se espera que en el doblete inerte φ2 no rompa el vac´ıo electrod´ebil entonces los t´erminos
con φ2 se descartan. Luego
∂V
∂h
= 2[µ2
1 + 4λ1h2
]h.
Y como se espera un m´ınimo en el vac´ıo, entonces ∂V
∂h
= 0 lo cual implica que
µ2
1 = −2λ1h2
→ h2
= −
µ2
1
2λ1
.
3

4. Seminario III Modelo del Doblete Inerte
Es decir, si la simetr´ıa electrod´ebil se rompe, entonces se encuentra que H1 adquiere un vev tal
que
H1 =
v
√
2
, (3)
donde v = −µ2
1/λ1 ≈ 248 GeV. Por otro lado, asumiendo que µ2
2 > 0 entonces
H2 = 0. (4)
Se define ahora el Vac´ıo Inerte [4] si se cumple las relaciones (3) y (4). La masa del bos´on de
Higgs2
del SM (denotado por h) es M2
h = −2µ2
1 ≡ 2λ1v2
.
2.1.2. T´erminos de masa
Sean H1 y H2 los dobletes del modelo tales que
H1 =
0
v+h√
2
; H2 =
H±
H0+iA0
√
2
donde H1 es el doblete de Higgs del SM y H2 es el doblete inerte que introduce los nuevos campos:
H±
(estados cargados) y H0
, A0
(estados neutros). Cualquiera de ellos es candidato a ser la materia
oscura. Ahora, consideremos el potencial escalar
V = µ2
1|H1|2
+ µ2
2|H2|2
+ λ1|H1|4
+ λ2|H2|4
+ λ3|H1|2
|H2|2
+ λ4|H†
1H2|2
+
λ5
2
[(H†
1H2)2
+ (H†
2H1)2
]
Luego, expandamos cada t´ermino para identificar la masa de los nuevos campos.
1.
|H1|2
= H†
1H1 =
(v + h)2
2
=
1
2
(h2
+ 2hv + v2
)
2.
|H2|2
= H†
2H2 = H±† H0
− iA0
√
2
H±
H0+iA0
√
2
= (H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
2
Es claro que la masa del Higgs depende de un par´ametro libre y por lo tanto su valor depender´a del valor que
le asignemos a µ. Pero, para julio de 2012 se encontr´o un indicio de que dicha masa es de aproximadamente 125
GeV.
4

5. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
3.
|H1|4
=
(v + h)4
4
4.
|H2|4
= (H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
2
= (H±
)4
+ (H±
)2
[(H0
)2
+ (A0
)2
] + [(H0
)2
+ (A0
)2
]2
= (H±
)4
+ (H±
)2
[(H0
)2
+ (A0
)2
] + (H0
)4
+ 2(H0
)2
(A0
)2
+ (A0
)4
5.
|H1|2
|H2|2
=
1
2
(v + h)2
(H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
=
1
2
(h2
+ 2hv + v2
) (H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
6.
|H†
1H2|2
= 0
h + v
√
2
H±
H0+iA0
√
2
2
=
1
2
(h + v)(H0
+ iA0
)
2
=
1
4
(h + v)2
[(H0
)2
+ (A0
)2
]
7.
(H†
1H2)2
=
1
2
(h + v)(H0
+ iA0
)
2
=
1
4
(h + v)2
(H0
+ iA0
)2
=
1
4
(h2
+ 2hv + v2
)[(H0
)2
− (A0
)2
+ 2iH0
A0
]
(H†
2H1)2
=
1
4
(h2
+ 2hv + v2
)[(H0
)2
− (A0
)2
− 2iH0
A0
]
Luego, el potencial, en t´erminos de los campos, toma la forma de
V =
µ2
1
2
(h2
+ 2hv + v2
) + µ2
2 (H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
+ λ1
(v + h)4
4
+ λ2 (H±
)4
+ (H±
)2
[(H0
)2
+ (A0
)2
] + (H0
)4
+ 2(H0
)2
(A0
)2
+ (A0
)4
+
λ3
2
(h2
+ 2hv + v2
) (H±
)2
+
(H0
)2
+ (A0
)2
2
+
λ4
4
(h + v)2
[(H0
)2
+ (A0
)2
]
+
λ5
4
(h2
+ 2hv + v2
) (H0
)2
− (A0
)2
. (5)
5

6. Seminario III Modelo del Doblete Inerte
Ahora, del potencial (1) podemos identificar los siguientes t´erminos de masa:
M2
h = 2λ1µ2
1
M2
H± = µ2
2 +
λ3v2
2
M2
H0 =
µ2
2
2
+
v2
4
(λ3 + λ4 + λ5)
M2
A0 =
µ2
2
2
+
v2
4
(λ3 + λ4 − λ5) (6)
Puesto que ´unicamente el doblete H1 toma parte en el SSB, s´olo h es un bos´on de Higgs como
tal. El resto de part´ıculas escalares remanentes son entonces llamados escalares inertes, pues no
contribuyen al SSB y no tienen acoplamientos con fermiones.
2.2. Restricciones te´oricas y experimentales
El espacio de los par´ametros del potencial escalar (1) del IDM se reduce debido tanto a las
restricciones te´oricas como a los resultados de las b´usquedas experimentales. Desde el punto de
vista te´orico, existen varias limitaciones de suma importancia que garantizan la unitariedad a nivel
´arbol y la estabilidad del vac´ıo del modelo [7]:
Garantizar Perturbaci´on: Se obliga a que el potencial sea perturbativo exigiendo que todos
los acoplamientos cuadr´aticos del potencial (1) sean tales que |λi| ≤ 8π.
Estabilidad del vac´ıo: Para garantizar que el potencial sea acotado, y por tanto el vac´ıo sea
estable, al menos a nivel ´arbol, se requiere que
λ1,2 > 0,
λ3 + λ4 − |λ5| > −2 λ1λ2,
λ3 > −2 λ1λ2.
Unitariedad: Para restringir los par´ametros del potencial escalar del IDM se puede exi-
gir que a nivel ´arbol la unitariedad se preserva en una variedad de procesos de dispersi´on:
escalar–escalar, bos´on gauge–bos´on gauge y escalar–bos´on gauge. Para efectos pr´acticos, se
considerar´a el proceso puramente escalar dominado por las interacciones cuadr´aticas.
El conjunto completo de procesos dispersivos que son escalares pueden representarse medi-
ante la matriz S de 22 × 22 compuesta de 4 submatrices que no se acoplan una con otra
debido a la conservaci´on de la carga y a la invarianza CP. Las entradas son precisamente los
acoplamientos cuadr´aticos los cuales median los procesos de dispersi´on.
6

7. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
Seg´un [12] los autovalores de la matriz S son
e1,2 = λ3 ± λ4, e3,4 = λ3 ± λ5,
e5,6 = λ3 + 2λ4 ± λ5, e7,8 = −λ1 − λ2 ± (λ1 − λ2)2λ2
4,
e9,10 = −3λ1 − 3λ2 ± 9(λ1 − λ2)2 + (2λ3 + λ4),
e11,12 = −λ1 − λ2 ± (λ1 − λ2)2 + λ2
5.
Luego, se impone una restricci´on perturbativa unitaria sobre todos los autovalores tal que
|ei| ≤ 8π∀i = 1, 2, 3, ..., 12. As´ı, la restricci´on m´as pesada sobre λ1,2 proviene de los autoval-
ores e9,10, pues
λ1 + λ2 ≤
8π
3
.
Electro Weak Precision Tests: En 1990, los par´ametros fenomenol´ogicos S, T, y U fueron
presentados por Peskin y Takeuchi [5] para cuantificar las contribuciones de las correc-
ciones radiativas electrod´ebiles de la f´ısica m´as all´a del SM. Dichos par´ametros tienen
una simple relaci´on con los par´ametros del Lagrangiano quiral electrod´ebil. El an´alisis de
Peskin-Takeuchi estaba basado en el formalismo general para las correcciones radiativas
electrod´ebiles realizadas por Kennedy, Lynn, Peskin y Stuart. Los par´ametros S, T, y U
describen correcciones de los propagadores de bosones de gauge electrod´ebiles de la f´ısica
m´as all´a del SM. En el SM, los EWPT implican una relaci´on entre Mh y MZ. En el IDM
tambi´en se presentan la relaci´on entre las masas.
Para el IDM se exige que los valores calculados de S y T se encuentran dentro de una
significancia de 2σ en un plano S, T con los siguientes valores centrales: S = 0,03 ± 0,09 y
T = 0,07 ± 0,08, con un ajuste de correlaci´on igual al 87 % [4]. Luego, parece que, cuando
las restricciones sobre unitariedad y la estabilidad del vac´ıo son aplicadas, se puede obtener
una cota para las masa de H0
.
LEP: Gracias al Gran colisionador Electr´on–Positr´on, tanto en su fase LEPI como en LEPII,
se han encontrado ciertas cotas sobre las masas escalares
MH± + MH0
> MW , MH± + M
0
> MW ,
MH0 + MA0 > MZ, 2MH± > MZ, MH± > 70 GeV,
y se excluyen las regiones donde MH0 < 80 GeV, MA0 < 100 GeV y MA0 − MH0 > 8 GeV.
2.3. Notas Finales
El patr´on de rompimiento de la simetr´ıa electrod´ebil, dado por las ecuaciones (3) y (4), asegura
que la simetr´ıa Z2 permanece invariante. Despu´es del rompimiento de la simetr´ıa electrod´ebil las
part´ıculas finales resulta en dos escalares pares neutros (h, H0
), un escalar impar neutro (A0
)
7

8. Seminario III Modelo del Doblete Inerte
y un par de escalares cargados (H±
). No hay mezcla entre los dos dobletes3
y, por tanto H1
juega el papel de la bos´on de Higgs del SM. Una caracter´ıstica importante, y que debe tenerse
muy en cuenta, es que el resto de bosones, es decir H0
, A0
y H±
son inertes y no tienen ning´un
tipo de interacci´on con los quarks y los leptones. La simetr´ıa Z2 tambi´en asegura la estabilidad
del escalar ligero (sea H0
o A0
) que puede actuar como un candidato a materia oscura. Como
vimos en la secci´on 2.1.2, los seis escalares pueden ser escritos en t´erminos de los seis par´ametros
{µ2
2, λ1, λ2, λ3, λ4, λ5}. Luego, es posible los acoplamientos cuadr´aticos λi en t´erminos de las masas
f´ısicas escalares y µ2 de la siguiente manera:
λ1 =
M2
h
2v2
, λ3 =
2
v2
(MH± − µ2
2), λ4 =
M2
H0 + M2
A0 − 2M2
H±
v2
, λ5 =
MH0 − MA0
v2
. (7)
Es claro entonces que se tienen seis par´ametros independientes (λi, con i = 1, 2, ..., 5) y µ2 o de
equivalentemente cuatro masas f´ısicas escalares, λ2 y µ2: {µ2
2, Mh, MA0 , MH± , λ2}
Por otro lado, Teniendo en cuenta un bos´on de Higgs con masa Mh ∼ 125 GeV, se encuentra
que una mejora en la significancia del decaimiento de h a dos fotones es solo posible para valores
acotados de los acoplamientos escalares λ3 ∼ hH+
H−
, λ345 ∼ hHH y las masas de los escalares
cargados y las part´ıculas de materia oscura. una mejora por debajo de 1.3 demanda que las masas
de H± y H0
est´en en el intervalo (65,2, 135) GeV y −1,46 < λ3, λ3,4,5 < −0,24.
Los par´ametros λ3 y λ3,4,5 son proporcionales a los acoplamientos hH+
H−
y hHH respectivamente.
El ´unico par´ametro del potencial escalar que se encuentra ausente es λ2, el cual se relaciona
con los auto–acoplamientos cuadr´aticos de los escalares, es decir, HHHH o H+
H−
H+
H−
. Una
caracter´ıstica de suma importancia es que el vac´ıo inerte puede realizarse s´olo si se cumplen las
siguientes condiciones
M2
h, M2
H0 , M2
A0 , M2
H± ≥ 0,
M2
11
√
λ1
>
M2
22
√
λ2
, (8)
donde M11 y M22 son las masas de los bosones de Higgs SM y DM. Luego, partiendo de la existencia
de dicho vac´ıo, el valor de la masa del Higgs SM de 125 GeV y la condici´on de unitariadad sobre
λ2 se sigue la condici´on sobre M22: M2
22
<
∼ 9 × 104
GeV2
.
Para finalizar, una idea de cu´ales ser´ıan las cotas para los nuevos par´ametros que introduce el
IDM viene dada por la exploraci´on aleatoria del espacio de par´ametros. Tomando en cuenta las
restricciones anteriores dadas en la secci´on (2.2), y variando los par´ametros, encontramos las
siguientes cotas:
MH0 = 125 GeV,
70 GeV ≤ MH± ≤ 800(1400) GeV,
0 < MA0 ≤ 800(1400) GeV,
0 < MH0 ≤ MA0 , MH± ,
−25 × 104
(−2 × 106
) GeV2
≤ M2
22 ≤ 9 × 104
GeV2
,
0 < λ2 ≤ 10.
3
En el sentido de que no se presenta en el modelo una superposici´on de H1 y H2 que de como resultado otro
doblete.
8

9. Instituto de F´ısica Universidad de Antioquia
Referencias
[1] L. Lopez Honorez, E. Nezri, J. F. Oliver and M. H. G. Tytgat, JCAP 0702, 028 (2007)
[hep-ph/0612275].
[2] T. Hambyea , F. S. Linga , L. Lopez Honoreza, and J. Rochera arXiv:hep-ph/09034010
[3] E. Dolle , X. Miao , S. Su, and B. Thomas arXiv:hep-ph/09093094
[4] B. ´Swie˙zewska , and M. Krawczyk arXiv:hep-ph/12124100
[5] M. E. Penskin, and T. Takeuchi ((New constraint on a strongly interacting Higgs sector))
(1990). Physical Review Letters 65 (8): pp. 964–967. doi:10.1103/PhysRevLett.65.964. PMID
10043071.
[6] I. F. Ginzburg , and I. P. Ivanov arXiv:hep-ph/0508020
[7] A. Arhrib, R. Benbrik, and N. Gaur, arXiv:hep-ph/12012644
[8] E. Ma Phys. Rev. D 73 (2006) 077301 [arXiv:hep-ph/0601225].
[9] R. Barbieri, L. J. Hall and V. S. Rychkov, Phys. Rev. D 74 (2006) 015007 [arXiv:hep-
ph/0603188].
[10] M. Cirelli, N. Fornengo and A. Strumia, arXiv:hep-ph/0512090.
[11] T. Takeuchi, In *Hiroshima 1991, Proceedings, Electroweak symmetry breaking* 165-188, and
SLAC Stanford - SLAC-PUB-5730 (92/03,rec.May) 24 p. (see Conference Index)
[12] B. W. Lee, C. Quigg and H. B. Thacker, Phys. Rev. D 16 (1977) 1519
9