Matemáticas I Unidad I

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Resumen teórico del curso Matemáticas I de la preparatoria abierta de la SEP. Primera unidad.

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Matemáticas I Unidad I

  1. 1. El presente material debe ser considerado únicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.<br />MATEMÁTICAS I<br />UNIDAD I<br />CONJUNTOS<br />Contacto: joelamparn@gmail.com<br />
  2. 2. Conjunto: colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.<br />Ejemplos<br />Los Estados de la República Mexicana<br />Los días de la semana<br /> Las vocales del alfabeto.<br />
  3. 3. Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto.<br />Notación  Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y las minúsculas para sus elementos.<br />A podría ser el conjunto de días de la semana.<br />x podría ser lunes.<br />
  4. 4. Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos: <br />es un elemento de…<br />no es un elemento de…<br />Así…<br />se lee x es elemento del conjunto A.<br />se lee m no es elemento del conjunto A.<br />
  5. 5. Notación enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves…<br />{lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}<br />Notación por descripción: anotar entre llaves la condición para pertenecer al conjunto…<br />{días de la semana}<br />Observación: { } simboliza un conjunto.<br />
  6. 6. Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x.<br />Una línea vertical como | se lee tal que.<br />La notación para construir conjuntos permite abreviar la representación de los mismos…<br />V={ x | x sea una vocal}<br />E={ x | x sea una de las estaciones del año}<br />
  7. 7. Oración abierta: aquella en la que interviene una variable.<br />Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable.<br />Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera.<br />
  8. 8. Sea E={ x | x es una de las estaciones del año}<br />y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M:<br />M={primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío}<br />Notación para construir conjuntos:<br />Conjunto de verdad:<br /> E={primavera, verano, otoño, invierno}<br />
  9. 9. Cardinalidad: número de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre paréntesis.<br /> V={a, e, i, o, u}<br /> n(V)=5<br />Un conjunto es finito cuando es posible determinar el número de elementos que lo conforma, aún cuando no sea fácil.<br />Si no se cumple la condición anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}<br />
  10. 10. Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operación (equivale al conjunto de reemplazamiento).<br />Conjunto vacío: el que no contiene elementos. Su símbolo es .<br />Conjuntos equivalentes. los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunívoca).<br />
  11. 11. Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunívoca:<br />{verde, blanco, rojo}<br />{5, 4, 3}<br />Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.<br />
  12. 12. Subconjuntos: al conjunto R que está formado por elementos que también pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P. <br />Si V={vocales del alfabeto} <br />y A={todas las letras del alfabeto}, <br />entonces , pero .<br />
  13. 13. Subconjunto propio: siendo , pero A tiene además elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V está incluido en A y no tiene la misma cardinalidad).<br />Con lo cual se puede establecer que <br />A>V<br />y<br />n(A)>n(V).<br />
  14. 14. Número naturales:<br />N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}<br />Conjunto de múltiplos de k:<br />Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,…}<br />Conjunto de números primos:<br />P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}<br />Conjunto de números compuestos:<br />C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}<br />
  15. 15. Se factoriza un número cuando se expresa como producto de sus factores.<br />Una factorización se considera completa cuando sólo tenemos factores primos.<br />2, 3, 4 y 6 son factores de 12.<br />2 x 2 x 3 es la factorización completa de 12.<br />5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.<br />
  16. 16. Unión: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto.<br />La operación efectuada se llama unión.<br />Los elementos del tercer conjunto pertenecerán al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos.<br />P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}<br />P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}<br />
  17. 17. Intersección: operación entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultáneamente pertenezcan a los conjuntos dados.<br />P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}<br />P Q ={3, 4}<br />Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en común. Su intersección es un conjunto vacío.<br />
  18. 18. Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado.<br />Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S.<br />Complemento de S = S’<br />U={todas las letras del alfabeto}<br />V={vocales del alfabeto}<br />V’={consonantes del alfabeto}<br />Observación: <br />
  19. 19. Gráfica de un conjunto (diagramas de Venn).<br />U<br />U<br />10<br />El rectángulo indica el conjunto universal.<br />B<br />A<br />4<br />2<br />5<br />1<br />Los círculos A y B muestran conjuntos disjuntos.<br />7<br />3<br />6<br />8<br />9<br />1, 2 y 3 son elementos de A;<br />4, 5, 6 y 7 son elementos de B;<br />8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero sí pertenecen al universo.<br />
  20. 20. Gráfica: unión de conjuntos.<br />V={i, o, w, a, e}<br />M={a, e, b, d, g, c, f}<br />U<br />M<br />V<br />b<br />o<br />a<br />c<br />i<br />d<br />e<br />w<br />f<br />g<br />El resultado es toda el área sombreada.<br />
  21. 21. Gráfica: intersección de conjuntos.<br />V={i, o, w, a, e}<br />M={a, e, b, d, g, c, f}<br />U<br />M<br />V<br />b<br />o<br />a<br />c<br />i<br />d<br />e<br />w<br />f<br />g<br />El resultado es el área con doble sombreado.<br />
  22. 22. Gráfica: conjunto complemento.<br />U<br />S’<br />S<br />
  23. 23. Gráfica: conjuntos disjuntos<br />U<br />U<br />
  24. 24. Gráfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br />
  25. 25. Gráfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br />
  26. 26. Gráfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br />
  27. 27. Gráfica:<br />U<br />B<br />A<br />C<br />
  28. 28. Gráfica:<br />U<br />A<br />B<br />C<br />
  29. 29. Tomado de:<br /> <br />Matemáticas I, Libro de Texto, SEP, <br />Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco René Zubieta.<br />

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