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  1. 1. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 1Matemáticas discretasPrograma desarrolladoÁrea de Ciencias Exactas, Ingenierías y TecnologíaCuatrimestre TRESPrograma de la asignaturaMatemáticas discretasClave:060910312/050910312Agosto de 2011
  2. 2. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 2Matemáticas discretasPrograma desarrolladoSECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAAlonso Lujambio IrazábalSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN SUPERIORRodolfo Tuirán GutiérrezPROGRAMA DE EDUCACIÓN SUPERIOR ABIERTA Y A DISTANCIACOORDINACIÓN GENERALManuel Quintero QuinteroCOORDINACIÓN ACADÉMICASoila del Carmen López CuevasDISEÑO INSTRUCCIONALKarla Contreras ChávezEVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE PROGRAMAS EDUCATIVOSKarina MontañoAGRADECEMOS LA COLABORACIÓN EN EL DESARROLLO DE ESTE MATERIAL A:Mtro. Darío Ruiz HernándezSecretaría de Educación Pública, 2011
  3. 3. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 3Matemáticas discretasPrograma desarrolladoTabla de contenidosI. Información general de la asignatura _________________________________________________6a. Ficha de identificación ___________________________________________________________6b. Descripción ___________________________________________________________________6c. Propósito _____________________________________________________________________7II. Fundamentación de la asignatura ____________________________________________________7III. Competencia(s) a desarrollar _______________________________________________________7IV. Temario _______________________________________________________________________8V. Metodología de trabajo ____________________________________________________________9VI. Evaluación _____________________________________________________________________9VII. Materiales de apoyo ____________________________________________________________10VIII. Desarrollo de contenidos por unidad _______________________________________________11UNIDAD 1. SISTEMAS NUMÉRICOS__________________________________________________11Propósito de la unidad ____________________________________________________________11Competencia específica___________________________________________________________11Presentación de la unidad _________________________________________________________111.1. Sistemas numéricos __________________________________________________________121.1.1. Características de los sistemas numéricos _____________________________________121.1.2. Sistema decimal__________________________________________________________131.1.3. Sistema binario___________________________________________________________131.1.4. Sistema octal ____________________________________________________________141.1.5. Sistema hexadecimal ______________________________________________________15Actividad 1. Aplicación de las representaciones numéricas______________________________151.2. Conversiones _______________________________________________________________161.2.1. Conversiones decimal-binario _______________________________________________16Actividad 2. Conversión de decimal a binario ________________________________________191.2.2. Conversiones binario-octal-hexadecimal _______________________________________19Actividad 3. Conversiones binario- octal-hexadecimal__________________________________221.2.3. Conversiones entre distintas bases ___________________________________________22Actividad 4. Conversiones entre distintas bases ______________________________________251.3. Operaciones binarias _________________________________________________________251.3.1. Suma binaria ____________________________________________________________261.3.2. Resta binaria ____________________________________________________________27Evidencia de aprendizaje. Sistema numérico de mi fecha de nacimiento _____________________29Consideraciones específicas de la unidad_____________________________________________29Fuentes de consulta______________________________________________________________29
  4. 4. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 4Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUNIDAD 2. GRAFOS Y ÁRBOLES ____________________________________________________30Propósito de la unidad ____________________________________________________________30Competencia específica___________________________________________________________30Presentación de la unidad _________________________________________________________302.1. Grafos _____________________________________________________________________312.1.1. Clasificación de un grafo ___________________________________________________32Actividad 1. Áreas dónde se aplica la teoría de grafos _________________________________352.1.2. Representación de grafos __________________________________________________35Actividad 2. Solución de problemas mediante la representación de grafos__________________40Actividad 3. Matriz de adyacencia _________________________________________________412.2. Caminos y circuitos___________________________________________________________412.2.1. Terminología básica _______________________________________________________412.2.2. Camino de Euler__________________________________________________________432.2.3. Circuitos de Euler_________________________________________________________442.2.4. Circuito de Hamilton _______________________________________________________45Actividad 4. Pozos _____________________________________________________________462.2.5. Isomorfismo _____________________________________________________________472.4. Árboles ____________________________________________________________________492.3.1. Tipos de árboles__________________________________________________________51Actividad 5. Árbol genealógico____________________________________________________54Evidencia de aprendizaje. Grafo de rutina cotidiana ___________________________________55Consideraciones específicas de la unidad_____________________________________________55Fuentes de consulta______________________________________________________________55UNIDAD 3. RELACIONES___________________________________________________________55Propósito de la unidad ____________________________________________________________56Competencia específica___________________________________________________________56Presentación de la unidad _________________________________________________________563.1. Introducción a la relación ______________________________________________________573.1.1. Definición de relación ______________________________________________________58Actividad 1. Definición de relación _________________________________________________603.1.2. Relación binaria __________________________________________________________603.1.3. Matriz de una relación _____________________________________________________623.1.4. Grafo de una relación______________________________________________________63Actividad 2. Relaciones _________________________________________________________633.2. Propiedades de las relaciones __________________________________________________643.2.1. Reflexiva________________________________________________________________643.2.2. Irreflexiva _______________________________________________________________653.2.3. Simétrica _______________________________________________________________653.2.4. Asimétrica_______________________________________________________________663.2.5. Antisimétrica_____________________________________________________________663.2.6. Transitiva _______________________________________________________________67Actividad 3. Propiedades de las relaciones __________________________________________683.3. Operaciones con relaciones ____________________________________________________693.3.1. Operaciones con relaciones_________________________________________________69Actividad 4. Operaciones con relaciones ____________________________________________71
  5. 5. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 5Matemáticas discretasPrograma desarrollado3.4. Relaciones de equivalencia ____________________________________________________733.4.1. Relación de equivalencia ___________________________________________________733.4.2. Cerraduras ______________________________________________________________74Actividad 5. Elementos de la relación ______________________________________________76Evidencia de aprendizaje. Relación de números de lotería________________________________76Consideraciones específicas de la unidad_____________________________________________77Fuentes de consulta______________________________________________________________77
  6. 6. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 6Matemáticas discretasPrograma desarrolladoI. Información general de la asignaturaa. Ficha de identificaciónÁrea Ciencias Exactas, Ingenierías y TecnologíaNombre del curso o asignatura Matemáticas discretasClave de asignatura 050910312Seriación Sin seriaciónCuatrimestre TerceroHoras contempladas 72b. DescripciónTal vez te preguntes por qué se llaman matemáticas discretas. El término discreto tiene muchossignificados que se relaciona con el contexto en el que se utiliza, por ejemplo, cuando decimos que unapersona es discreta, es porque se encuentra alejada o aislada de las demás personas. En matemáticas, eltérmino discreto tiene que ver con el manejo de objetos numerables, con valores distintos separables, asícomo con la descripción de objetos y problemas reales de modelos abstractos.Las matemáticas discretas proporcionan gran parte de los fundamentos de computación, como lautilización de estructuras que pueden contabilizarse, números naturales, gráficas finitas y procesos derazonamientos, mediante un número finito de pasos.El enfoque que se utiliza se apega a la formalidad matemática, haciendo énfasis en las aplicaciones decomputación relevantes.En la unidad uno se introduce a los códigos binarios y sistemas numéricos, así como la conversión entresistemas. La importancia de utilizar estos sistemas y códigos está en la aplicación que tiene el software yel hardware de un sistema de cómputo, sistemas de control automáticos y comunicaciones.La unidad dos aborda los grafos y árboles que se refieren a estructuras de datos que permiten organizar ymantener información que usualmente es para los sistemas de cómputo; sin embargo, se extiende pararepresentar procesos de distintos campos como la química o la psicología.En la unidad tres, se utilizan algunas estructuras básicas para representar relaciones entre elementos deconjuntos. Dichas relaciones tienen una importancia fundamental tanto en la teoría como en lasaplicaciones de la informática, pues, son parte de un modelo matemático que están a menudoimplícitamente representadas por relaciones en una estructura de datos.En general con esta asignatura tendrás la capacidad de analizar y representar situaciones reales yproblemas diversos mediante modelos, así como métodos analíticos y numéricos.Esta asignatura se imparte en el tercer cuatrimestre de las carreras de Telemática, Desarrollo de softwarey Matemáticas y contribuye con elementos para las materias de Lógica, Probabilidad I y II, Estadística,Álgebra I y II, Análisis numérico, Álgebra lineal y Habilidades del pensamiento.
  7. 7. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 7Matemáticas discretasPrograma desarrolladoAdemás de los conocimientos teórico-prácticos que se adquieren con este curso, se fortalecen habilidadesdel pensamiento matemático tales como el pensamiento abstracto y el razonamiento inductivo y deductivo.c. PropósitosAl concluir el curso el alumno: Representará e interpretará datos que impliquen el uso desistemas tecnológicos. Representará situaciones de índole tecnológica y social usandografos y árboles. Relacionará componentes de distintos conjuntos.II. Fundamentación de la asignaturaUno de los antecedentes que permitió la estructura de la asignatura es el progreso de la informática y delas técnicas computacionales que dio impulso y la convirtió en una de las ramas de la matemática aplicadade gran importancia. Siendo ahora una base para el desarrollo tecnológico actual, ya que es posiblerepresentar y analizar información con un sentido estructural.El enfoque de la asignatura será teórico práctico, ya que es necesario poner en práctica los conceptosteóricos para su comprobación.III. Competencia(s) a desarrollarGeneral:Desarrollar representaciones gráficas y de códigos para describirestructuras de datos y su relación a través de la aplicación de reglascon base en procedimientos de matemáticas abstractas.
  8. 8. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 8Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEspecíficas: Resolver operaciones aritméticas para identificar la equivalencia entre diferentes códigos numéricosmediante la aplicación de métodos establecidos con fundamento en las reglas de conversión. Analizar modelos de grafos para esquematizar conjuntos de datos relacionando estructurasbasadas en teoría de grafos y árboles. Analizar estructuras básicas para identificar las clases y los tipos de relaciones, resolviendooperaciones entre conjuntos e interpretando sus propiedades.IV. Temario1. Sistemas numéricos1.1. Sistemas numéricos1.1.1. Características de los sistemas numéricos1.1.2. Sistema decimal1.1.3. Sistema binario1.1.4. Sistema octal1.1.5. Sistema hexadecimal1.2. Conversiones1.2.1. Conversiones decimal-binario1.2.2. Conversiones binario-octal-hexadecimal1.2.3. Conversiones entre distintas bases1.3. Operaciones binarias1.3.1. Suma binaria1.3.2. Resta binaria2. Grafos y árboles2.1. Grafos2.1.1. Clasificación de un grafo2.1.2. Representación de grafos2.2. Caminos y circuitos2.2.1. Terminología básica2.2.2. Camino de Euler2.2.3. Circuitos de Euler2.2.4. Circuito de Hamilton2.2.5. Isomorfismo2.3. Árboles2.4.1. Tipos de árboles3. Relaciones3.1. Introducción a la relación3.1.1. Definición de relación3.1.2. Relación binaria3.1.3. Matriz de una relación
  9. 9. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 9Matemáticas discretasPrograma desarrollado3.1.4. Grafo de una relación3.2. Propiedades de las relaciones3.2.1. Reflexiva3.2.2. Irreflexiva3.2.3. Simétrica3.2.4. Asimétrica3.2.5. Antisimétrica3.2.6. Transitiva3.3. Operaciones con relaciones3.3.1. Operaciones con relaciones3.4. Relaciones de equivalencia3.4.1. Relación de equivalencia3.4.2. CerraduraV. Metodología de trabajoDebes tener, además de tu computadora, papel y lápiz a la mano para poder realizar anotaciones y seguirlos ejemplos expuestos, así como anotar el desarrollo del procedimiento de cada ejercicio que se teindique realizar. Es importante que te encuentres en un espacio donde te sientas cómodo y no hayadistractores. Este tipo de matemáticas requiere un grado de concentración importante para podercomprender los procedimientos y las reglas que lo rigen, ya que el razonamiento es la característica másimportante para el buen entendimiento. Recuerda que el (la) Facilitador(a) es un(a) maestro(a) de consultano de dar detalles. Se ha procurado que la información puesta en este curso sea lo más clara posible; sinembargo, si quieres profundizar en un tema en particular, consulta la bibliografía y las herramientastecnológicas, como los foros y wikis. La función del estudiante es cumplir con las tareas y exámenes entiempo y forma mostrando dedicación, responsabilidad y empeño, ya que este tipo de asignaturasrequieren de una atención extra para poder tener un desarrollo satisfactorio.VI. EvaluaciónEn el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un proceso participativo,sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que el estudiante ingresa al aula virtual, por lo quese le considera desde un enfoque integral y continuo.Por lo anterior, para aprobar la asignatura de Matemáticas discretas, se espera la participaciónresponsable y activa del estudiante así como una comunicación estrecha con su facilitador para que puedaevaluar objetivamente su desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidencias que permitanapreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentales y actitudinales.En este contexto, la evaluación es parte del proceso de aprendizaje en el que la retroalimentaciónpermanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo y reconocer el esfuerzo. Es requisitoindispensable la entrega oportuna de cada una de las tareas, actividades y evidencias, así como laparticipación en foros, wikis, blogs y demás actividades programadas en cada una de las unidades, dentrodel tiempo especificado y conforme a las indicaciones dadas. La calificación se asignará de acuerdo con laescala establecida para cada actividad, por lo que es importante que el estudiante la revise antes derealizar la actividad correspondiente.
  10. 10. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 10Matemáticas discretasPrograma desarrolladoA continuación presentamos el esquema general de evaluación.ESQUEMA DE EVALUACIÓNForos y Bases de datos 10%Actividades formativas 30%E-Portafolio 50%EvidenciasAutorreflexiones40%10%Examen final 10%Calificación final 100%Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe obtener la calificación mínima indicada por la ESAD.VII. Materiales de apoyoBibliografía básica Matousek, J. y Nesetril, J. (2008). Invitación a la matemática discreta. España: Reverte. Morris Mano, M. (2007). Fundamentos de diseño lógico y de computadoras. España: Pearson. Hortala González, M. T. (2008). Matemática discreta lógica matemática. España: Complutense.Bibliografía complementaria Malva, A. (2005). Matemática discreta: con aplicaciones a las ciencias de la programación y de lacomputación. Santa Fe Universidad Nacional del litoral: ULN. García, C. y Pulgjanerd. (2002). Matemática discreta. Madrid: Pearson. Kolman. (1995). Estructuras de matemáticas discretas para la computación. Nueva York: Prentice Hall. Rosen, K. (2004). Matemática discreta y sus aplicaciones. México: McGraw-Hill. Biggs, N. L. (1994). Matemática discreta. Vicens Vives. Kolman, B. y Busby, R. (1986). Estructuras de matemática discreta para la computación. México:Prentice Hall Hispanoamericana. Lipschutz, S. (1990). Matemática discreta. Mc-Graw-Hill. Ross, K.A. Wright, C.R. (1990). Matemáticas discretas. Prentice Hall. Johnsonbaugh, R. (1988). Matemáticas discretas. Grupo Editorial Iberoamericana. Martínez, E. (1997). Elementos de matemática discreta. Prentice Hall.
  11. 11. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 11Matemáticas discretasPrograma desarrolladoVIII. Desarrollo de contenidos por unidadUNIDAD 1. SISTEMAS NUMÉRICOSPropósito de la unidadEl propósito de esta unidad es identificar las característicasprincipales y aplicaciones de los sistemas numéricos actuales(decimal, binario, octal y hexadecimal), además de realizaroperaciones para conocer la equivalencia entre ellos.Este hecho es de gran importancia para comprender elfuncionamiento de sistemas tecnológicos tales como la computadora.Competencia específicaResolver operaciones aritméticas para identificar la equivalencia entrediferentes códigos numéricos mediante la aplicación de métodosestablecidos con fundamento en las reglas de conversión.Presentación de la unidadActualmente, existen varios sistemas numéricos que se han diseñado para diversos fines y bajo distintascircunstancias. Por mencionar un ejemplo del uso de éstos, se puede decir que gran parte de los sistemastecnológicos y digitales manejan sistema binario y aquellos que aún no lo manejan tienden a hacerlo en elcorto plazo; de ahí la importancia de comprender e interpretar estos sistemas numéricos.
  12. 12. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 12Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUna de las principales ventajas de estos sistemas es que puedenmanejar volúmenes grandes de información, ya sea paraalmacenarla o para procesarla.Los sistemas tecnológicos no solo ocupan sistema binario pararepresentar su funcionamiento, sino que utilizan también otrossistemas (octal y hexadecimal) para poder representar grandesvolúmenes de información de forma abreviada.1.1. Sistemas numéricosDesde hace cientos de años, los sistemas numéricos forman parte del desarrollo de la humanidad, suprincipal aplicación es la de representar cantidades, es así que se tienen el sistema numérico decimal,maya, romano, etc.Con la aparición de la tecnología informática fue necesario desarrollar nuevas representaciones de lascantidades, tal es el caso de los sistemas de numeración binario, octal y hexadecimal.En esta unidad analizaremos las características de los sistemas numéricos actuales y aplicaremosoperaciones para obtener su equivalencia entre cada uno de ellos.1.1.1. Características de los sistemas numéricosUn sistema numérico se define como el conjunto ordenado de símbolos o dígitos y reglas con que secombinan para representar cantidades numéricas.A pesar de que existe un número considerable de sistemas numéricos, los más utilizados son decimal,binario, octal y hexadecimal. Su principal característica es que estos sistemas numéricos utilizan una base.La base de un sistema numérico es el número de dígitos diferentes usados en ese sistema.A continuación se ejemplifica esta definición con los sistemas numéricos más comúnmente utilizados.Base Sistemas Dígitos2 Binario 0,18 Octal 0,1,2,3,4,5,6,710 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,916 Hexadecimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,FA lo largo de este curso para distinguir entre los diferentes sistemas numéricos encerraremos entreparéntesis el número y añadiremos un subíndice indicando su base. Sin embargo, si no se usa subíndicese entenderá que el número está en base diez.
  13. 13. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 13Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemploA continuación se analizará con detalle los sistemas numéricos decimal, binario, octal y hexadecimal.1.1.2. Sistema decimalEl sistema numérico que usamos todos los días en la escuela y en nuestra vida cotidiana se conoce comosistema numérico decimal, en éste un número es representado por una cadena de dígitos y cadaposición tiene un peso asociado.El valor del número es la suma ponderada de todos los dígitos, por ejemplo:(2345)10 = 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5*1El peso de cada potencia de 10 corresponde a la posición del dígito. Observa la siguiente tabla:El sistema numérico decimal es expresado con una base 10, lo que significa que las cantidades sonrepresentadas utilizando 10 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).1.1.3. Sistema binarioLa información que manejan los circuitos que contienen los sistemas de cómputo tiene señales que estánen una de dos condiciones: alto o bajo, activado o desactivado, etc. Las señales en estos circuitosrepresentan dígitos binarios llamados bits. Un bit es un dígito binario (abreviación del inglés binary digit),es decir, un 0 o un 1.Este sistema numérico utiliza la base 2, es decir, solo utiliza dos dígitos (0 y 1) para representarcantidades; la agrupación de varios bits se conoce como byte.
  14. 14. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 14Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemploByte (1101)2El bit ubicado más a la izquierda de un número binario se llama bit de orden superior o bit más significativo(MSB, siglas en inglés de most significant bit); y el bit más a la derecha es el bit de orden inferior o bitmenos significativo (LSB, siglas en inglés de least significant bit).En conclusión, podemos decir que cada uno de los bits que forman un byte tiene un peso específico deacuerdo a su posición.1.1.4. Sistema octalLos sistemas numéricos que utilizan la base 10 son de suma importancia, ya que se usan en la vidacotidiana, y los de base 2 son los que pueden procesarse directamente mediante circuitos electrónicosdigitales. Aunque los números en otras bases no se procesan directamente, a menudo se utilizan pararepresentaciones breves que son convenientes para números con múltiples bits en un sistema digital, tales el caso del sistema numérico octal.Este sistema utiliza como base el 8. El sistema octal necesita 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) para poderrepresentar cantidades.
  15. 15. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 15Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemploMúltiples bits representación breve en octal(100011001110)2 = (4316)81.1.5. Sistema hexadecimalAl igual que el sistema numérico octal, el sistema numérico hexadecimal es utilizado ampliamente comocódigo para representar números de múltiples bits en códigos abreviados. Este sistema tiene como base el16, lo que significa que utiliza 16 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) para representarcantidades.EjemploMúltiples bits representación breve en hexadecimal(1010001011101000)2 = (A2E8)16Actividad 1. Aplicación de las representaciones numéricasEsta es la primera actividad de nuestro curso, es por eso que antes de realizar el trabajo propiamenterelacionado con el tema que acabamos de estudiar, haremos un pequeño paréntesis para dedicar unmomento a presentarnos con el grupo.Entonces, lo primero que tienes que hacer, es ingresar al foro que lleva el mismo nombre que estaactividad, una vez ahí, da clic sobre la entrada Presentación y dentro de ésta, agrega tu presentación enun nuevo comentario. Considera lo siguiente: Indica tu lugar de residencia, tus expectativas de la asignatura, que conocimientos previos tienes deésta, entre otros puntos que quieras compartir.Cuando ya hayas realizado tu presentación regresa a la pantalla principal del foro y esta vez accede a laentrada Aplicaciones de las representaciones numéricas. Posteriormente responde las siguientespreguntas:
  16. 16. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 16Matemáticas discretasPrograma desarrollado ¿De lo que te rodea dónde puedes utilizar las representaciones numéricas? ¿Dónde has observado estos tipos de numeración? ¿Crees que estos códigos además de representar números puedan representar objetos o colores?Consulta la Rúbrica general de participación en foros, que se encuentra en la sección Material de apoyo.1.2. ConversionesPara diferentes aplicaciones tecnológicas de electrónicay computación es importante utilizar equivalencias entrecada uno de los sistemas numéricos aplicandoconversiones; sin embargo, la conversión entre dosbases no puede hacerse por simple sustitución, serequiere de operaciones aritméticas.1.2.1. Conversiones decimal-binarioUna de las conversiones más utilizadas es de decimal a binario y viceversa. Antes de realizar lasconversiones es importante mencionar que existen diferentes técnicas para conocer su equivalencia; sinembargo, utilizaremos una técnica sencilla llamada equivalencia de acuerdo a su posición. Esta técnicaimplica la suma ponderada de cada una de sus posiciones.Las siguientes tablas contienen una serie de conversiones para los diferentes sistemas numéricos; por elmomento observa sólo la primera, que es la referente a la conversión de decimal a binario, en ellaobservarás el valor en decimal que corresponde a cada posición del sistema numérico binario.
  17. 17. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 17Matemáticas discretasPrograma desarrolladoTablas de conversión de sistemas numéricosTabla de conversiones de Sistema numérico decimal a binario.Tabla de conversiones de Sistema numérico binario a octal.Tabla de conversiones de Sistema numérico binario a hexadecimal.Recordemos que en el sistema numérico binario se utilizan 2 dígitos (0 y 1). El 1 es utilizado para dar elvalor numérico, y el 0 para llenar la posición de la cual no necesitamos el valor.
  18. 18. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 18Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemplo 1De acuerdo con la tabla revisada anteriormente, el valor equivalente en decimal según su posición es:De tal forma que: (1001)2 = (9)10Ejemplo 2Tomando en cuenta la posición de los dígitos 1 tenemos:La suma de las posiciones es: (190)10Por lo tanto: (10111110)2 = (190)10Hasta el momento hemos realizado operaciones para conocer la equivalencia de sistema numérico binarioa sistema numérico decimal. Para realizar conversiones de sistema numérico decimal a binario se utilizaun método semejante.
  19. 19. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 19Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemploTenemos el número en decimal (48)10 y necesitamos su equivalente binario utilizando la tabla deconversiones de sistema decimal a binario. Comenzamos con la posición 6ª, que equivale al número 32 endecimal, ya que la posición 7ª es 64 en decimal y excede el número (48)10 del cual necesitamos conocer suequivalencia. A partir de la posición 6ª comenzaremos nuestra suma de posiciones procurando que esasuma se ajuste al número que necesitamos conocer, recordemos que el dígito 1 en binario es el que le dael valor a la posición y el dígito 0 es solo para llenar espacio.Actividad 2. Conversión de decimal a binarioHa llegado la hora de llevar a la práctica lo que acabas de aprender, para hacerlo, deberás realizar losiguiente:1. En un archivo de Word, convierte los siguientes ejercicios de numeración decimal a numeración binaria.• (135)10• (77)10• (83)10• (200)10• (15)102. Guarda tu documento con el nombre MDI_U1_A2_XXYZ.3. Envía el archivo a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.1.2.2. Conversiones binario-octal-hexadecimalUna parte importante de las conversiones es que podemos tener representaciones breves utilizandodiferentes sistemas de numeración, tal es el caso de los sistemas de numeración octal y hexadecimal, estose debe a que utilizan diferentes dígitos. Comencemos con la conversión de binario a octal. Recuerdaque el sistema de numeración octal utiliza 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
  20. 20. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 20Matemáticas discretasPrograma desarrolladoHaciendo uso de la siguiente tabla, observemos la equivalencia de binario a octal.Ejemplo:Supón que tenemos el número en binario (10111001)2 y necesitamos su equivalente en sistema numéricooctal.El primer paso es realizar agrupaciones de tres bits partiendo de derecha a izquierda como se muestra acontinuación:(10 111 001)2Utilizando la tabla, de forma directa convertimos su equivalente de binario en octal como si fueran gruposindependientes.En resumen tenemos:(10111001)2 = (271)8Ahora realizaremos la conversión de binario a hexadecimal. Recuerda que el sistema numéricohexadecimal utiliza 16 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).Haciendo uso de la siguiente tabla, observemos la equivalencia de binario a hexadecimal.
  21. 21. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 21Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemplo:Supón que tenemos el número en binario (111010111001)2 y necesitamos su equivalente en sistemanumérico hexadecimal.El primer paso es hacer agrupaciones de cuatro bits partiendo de derecha a izquierda como se muestra acontinuación:(1110 1011 1001)2Utilizamos la tabla de conversiones correspondiente y de forma directa convertimos su equivalente debinario en hexadecimal como si fueran grupos independientes.En resumen tenemos: (111010111001)2 = (EB9)16
  22. 22. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 22Matemáticas discretasPrograma desarrolladoActividad 3. Conversiones binario- octal-hexadecimalPara practicar lo aprendido sobre las conversiones de binario a octal y decimal, realiza lo que se te pide acontinuación:1. Convierte los siguientes ejercicios de numeración binaria a octal o hexadecimal.• (110101)2 a octal• (11001111)2 a hexadecimal• (111111)2 a octal• (11101110)2 a hexadecimal2. Guarda tus ejercicios en un documento de Word con el nombre MDI_U1_A3_XXYZ y envíalo a tuFacilitador(a).1.2.3. Conversiones entre distintas basesYa hemos realizado operaciones para conocer las equivalencias de decimal a binario y viceversa, debinario a octal y de binario a hexadecimal, pero ¿qué pasaría si quisiéramos realizar una conversión dedecimal a hexadecimal o a octal? A continuación realizaremos los procesos para llevar a cabo dichasconversiones.Conversión de decimal a octalEjemplo:Supón que necesitamos conocer la equivalencia de (105)10 en sistema numérico octal.El primer paso tendría que ser la conversión del sistema numérico decimal al sistema numérico binariocomo se muestra a continuación:Recuerda que este proceso ya lo analizamos en el tema 1.2.1; una vez que tenemos el código en binario loque resta es convertir el sistema binario en sistema octal usando la tabla correspondiente:Como se muestra:
  23. 23. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 23Matemáticas discretasPrograma desarrollado(1101001)2 = (151)8Por lo tanto, en conclusión podemos decir que:(105)10 = (151)8Conversión de decimal a hexadecimalEl proceso para conocer el equivalente de decimal en hexadecimal es muy parecido al que se realiza parala conversión de decimal a octal.Ejemplo:Supón que necesitamos conocer el número (170)10 en sistema numérico hexadecimal.El primer paso será convertir el número decimal en número binario.Una vez que tenemos el número en binario lo convertimos en hexadecimal usando la tabla siguiente:
  24. 24. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 24Matemáticas discretasPrograma desarrolladoDe tal forma que:Por lo tanto, en conclusión podemos decir que:
  25. 25. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 25Matemáticas discretasPrograma desarrolladoActividad 4. Conversiones entre distintas basesAhora toca el turno a las conversiones entre distintas bases, realiza lo que se pide enseguida:1. Convierte los siguientes ejercicios en el código que se te indica.(4F)16 a binario(101111)2 a octal(36)8 a decimal(69)10 a binario2. Guarda tu documento en Word con el nombre MDI_U1_A4_XXYZ.3. Envía los resultados a tu Facilitador(a).1.3. Operaciones binariasLa suma y la resta de números binarios usan la misma técnica aprendida en la escuela para los númerosdecimales. Es importante mencionar que este tipo de operaciones se realiza con frecuencia en lossistemas digitales tales como computadoras y sistemas de comunicación, entre otros, por lo que cobra unamayor importancia utilizar operaciones binarias.En la numeración decimal para representar números negativos solo hay que multiplicar por (-1) el númeropositivo; sin embargo, en el sistema binario existe una representación especial para las cantidadesnegativas.En la siguiente imagen se expresan los números decimales tanto positivos como negativos y sucorrespondiente en binario.
  26. 26. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 26Matemáticas discretasPrograma desarrollado1.3.1. Suma binariaLa suma se realiza bit a bit entre columnas de derecha a izquierda, verificando si existe un acarreo.El acarreo es un bit extra que se genera a partir de la suma de 1 + 1, este bit de acarreo se asigna a lacolumna izquierda próxima.En la tabla siguiente se muestra bajo qué condiciones se presenta un acarreo.
  27. 27. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 27Matemáticas discretasPrograma desarrolladoA continuación se presenta un ejemplo de la suma de dos números binarios:En la primera columna de la derecha, el número 1+1=0 con acarreo 1. Ese bit de acarreo se pasa a lasiguiente columna de la izquierda para sumarlo, por lo tanto queda 1+0=1 y 1+1=0 con acarreo 1. Este bitde acarreo pasa a la siguiente columna de la izquierda, pero en esta ocasión no tiene que sumarse conningún bit por lo tanto pasa hasta el resultado.Una forma de comprobar la suma es convirtiendo los sumandos y el resultado a decimal y comprobar sicoinciden.Ejemplo:Otro ejemplo sería:Realiza la siguiente operación:Verifica el resultado convirtiendo el número binario en decimal.1.3.2. Resta binariaLa resta de números binarios puede realizarse como si fuesen números binarios ordinarios sin signo, ypueden formularse reglas apropiadas para detectar el desborde. El desborde es un bit final que determinael signo del resultado. Sin embargo, la mayoría de los circuitos para resta de números binarios no realiza laresta de forma directa; más bien niega el sustraendo y luego lo suma al minuendo con las reglas normalesde la suma.
  28. 28. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 28Matemáticas discretasPrograma desarrolladoNegar el sustraendo y sumar el minuendo puede realizarse con una sola operación de suma como sigue:convierte a binario el sustraendo, luego súmalo al minuendo con un acarreo inicial de 1 en vez de 0.En seguida se proporcionan algunos ejemplos:Ejemplo 1:En este ejemplo es importante mencionar que, para negar el sustraendo (0011)2 equivalente al +3,simplemente se cambia el cero (0) por uno (1) y viceversa por lo tanto queda como (1100)2Finalmente se realiza la suma bit a bit obteniendo el resultado.Ejemplo 2:En este ejemplo observamos la resta de dos números negativos. Utilizando la Representación de conteomodular de números de 4 bits, que te mostramos en el Tema 1.3 “Operaciones binarias”, podemos conocerqué combinación binaria corresponde a cada número negativo, por ejemplo -3 = (1101)2 y -8 = (1000)2.Ahora el siguiente paso es aplicar las reglas: negar el sustraendo, es decir, en (1000)2 cambiamos cerospor unos y viceversa quedando como resultado (0111)2; a continuación se realiza la suma bit a bit yobtenemos el resultado.
  29. 29. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 29Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEvidencia de aprendizaje. Sistema numérico de mi fecha de nacimientoComo sabes, la entrega de tus Evidencias de aprendizaje es muy importante para tu evaluación final delcurso. La evidencia consta de dos partes: de las entregas que hagas de los trabajos solicitados y de lasautorreflexiones por unidad, de modo que para cada una de las unidades de la asignatura deberás cumplircon ambas cosas.Para comenzar con la primera parte:1. Realiza la conversión de la fecha de nacimiento de cinco miembros de tu familia como sigue:• El día convertirlo a sistema hexadecimal• El mes convertirlo a sistema octal• El año convertirlo a sistema binario2. Averigua cuál es la fecha que se obtiene de convertir los siguientes códigos en sistema decimal.• (1111)2 / (0B)16 / (1563)8• (1001)2 / (09)16 / (1753)8• (1100)2 / (0A)16 / (1436)83. Consulta la Escala de evaluación para conocer los criterios que debe cumplir tu actividad.4. Cuando hayas terminado tu evidencia, guarda tu documento con el nombre MDI_U1_EA_XXYZ yenvíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente. Posteriormente revisa los comentarios y atiéndelospara mejorar tu trabajo y volverlo a enviar.Para la segunda fase de la Evidencia de esta unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas deAutorreflexión y consultes las preguntas que tu Facilitador(a) formule, a partir de ellas, debes elaborar tuAutorreflexión en un archivo de texto llamado MDI_U1_ATR_XXYZ. Tu archivo lo deberás enviar mediantela herramienta Autorreflexiones.Consideraciones específicas de la unidadEn el estudio de esta unidad es necesario que no recurras al uso de una calculadora, ya que el propósitoes que desarrolles la parte de razonamiento.Fuentes de consultaHortala González, M. T. (2008). Matemática discreta y lógica matemática. España: Complutense.Matousek, J. y Nesetril, J. (2008). Invitación a la matemática discreta. España: Reverte.Morris Mano, M. (2007). Fundamentos de diseño lógico y de computadoras. España: Pearson.
  30. 30. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 30Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUNIDAD 2. GRAFOS Y ÁRBOLESPropósito de la unidadEl propósito de esta unidad es presentar una parte de lasmatemáticas discretas que tiene que ver con la representación desituaciones o procesos mediante dibujos o diagramas paraproporcionar información que permita un mayor análisis.Competencia específicaConstruir modelos de grafos para esquematizar conjuntos de datosrelacionando estructuras mediante la teoría de grafos y árboles.Presentación de la unidadEn esta unidad se proporciona una introducción formal a grafos yárboles. Estos temas son de fácil comprensión y sus conceptos seilustran fácilmente con dibujos.Aunque la exposición del tema con frecuencia sea intuitiva, no esdescuidada, a lo largo de esta unidad se va introduciendo larigurosidad matemática. Sin embargo, se trató de desarrollar estaunidad de manera sencilla para adquirir práctica y sensibilidad haciael tipo de problemas relacionados con las matemáticas discretas.En la presente unidad se describirá qué es y para qué es útil ungrafo y un árbol, así como sus características; de la misma manerase describirá a los caminos y circuitos.
  31. 31. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 31Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.1. GrafosMuchas situaciones de la vida real pueden ser esquematizadas por medio de diagramas construidos porpuntos (vértices o nodos) y líneas (aristas o arcos) que conectan algunos pares de vértices, aunqueeventualmente alguna línea puede unir un vértice consigo mismo.Estos esquemas, que facilitan la comprensión del problema a resolver, aparecen frecuentemente endisciplinas dispares y bajo nombres diversos, a saber: redes (en ingeniería, economía), sociogramas (enpsicología), organigramas (en economía y planificación) así como diagramas de flujo (en programación).A la teoría que se ocupa del estudio de estos diagramas o esquemas se leconoce como teoría de grafos.La teoría de grafos desempeña un papel importante en varios campos de lasciencias, entre ellos ciencias de la conmutación, tales como la teoría de laconmutación y diseño lógico, inteligencia artificial, lenguajes formales, gráficospor computadora, sistemas operativos, escritura de compiladores yorganización, así como en la recuperación de información.Como ya se mencionó, los grafos están formados por vértices que se unen entre sí mediante aristas, talcomo se ilustra en la Figura 2.1. Por tanto, una definición matemática de grafo debe basarse en el conjuntode vértices y en el conjunto de aristas. Toda arista está asociada con dos vértices, esto es, existe unacorrespondencia entre las aristas y los pares de vértices. A continuación se da la definición formal de grafo.Definición: Un Grafo G =(N, A, f) consta de un conjunto no vacío Ndenominado conjunto de vértices del grafo, un conjunto A dearistas del grafo y una correspondencia f del conjunto de aristas Aen un conjunto de pares ordenados o desordenados de N. Si unaarista se corresponde con un par ordenado, entonces se dice quees una arista dirigida; en caso contrario, se denomina arista nodirigida.La definición de grafo implica que a toda arista del grafo G se le puede asociar una pareja ordenada odesordenada de vértices del grafo. Si una arista e  A está asociada de esta forma con un par ordenado(u, v) o con un par desordenado {u, v}, en donde u, v  N, entonces se dice que la arista e conecta losvértices u y v. Se supondrá en todo momento que tanto el conjunto A como el conjunto N de un grafo sonfinitos. Con frecuencia es conveniente escribir los grafos en una forma abreviada G = (N, A), o biensimplemente como G. En el primer caso, cada arista se representa directamente como el par con el cual secorresponde, lo cual obvia la necesidad de especificar f si f es una correspondencia uno a uno.
  32. 32. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 32Matemáticas discretasPrograma desarrolladoLa definición de un grafo no contiene referencias de las longitudes o formas y posiciones de las aristas quepuedan conectar pares de vértices, y tampoco estipula ningún orden de las posiciones de los vértices. Portanto, para un grafo dado no existe un único diagrama que represente al grafo, y puede ocurrir que dosdiagramas que tengan un aspecto completamente diferente entre sí representen un mismo grafo.En los siguientes temas se dará información precisa de algunos términos usados en la definición previa,para su mejor comprensión y estudio.Partes de un grafoComo se mencionó en la sección anterior, una grafo está compuesto por puntos (también llamado vérticeso nodos) y líneas (también llamado aristas o arcos) que conectan algunos pares de vértices. Una parteimportante de los grafos son las etiquetas, que identifican a las aristas y los vértices.En lo sucesivo utilizaremos los nombres de Vértices para referirnos a los puntos y Aristas para referirnos alas líneas.2.1.1. Clasificación de un grafoEn lo general, existen tres tipos de grafos: Dirigidos: Si las aristas tienen un sentido concreto, lo cual se indica mediante una cabeza deflecha, entonces se dice que es un grafo dirigido o dígrafo. No-dirigidos: En este tipo de grafos las aristas no tienen un sentido. Mixto: Cuando en un grafo existen aristas dirigidas y aristas no-dirigidas.Ejemplos:
  33. 33. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 33Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUna arista de un grafo que conecte un vértice o nodo consigo mismo se denominará bucle o lazo. Ladirección de un bucle no es significativa; por tanto, se puede considerar como una arista dirigida o comouna arista no-dirigida. Existen grafos que tienen más de una arista entre pares de nodos, estas aristas sedenominan arista paralela. En el caso de aristas dirigidas, las aristas entre una pareja de vértices quetienen sentidos opuestos no se consideran paralelas.Todo grafo que contenga aristas paralelas sedenominará multígrafo. Para este caso, lanotación abreviada G = (N, A) no basta pararepresentar los multígrafos, y se necesita lanotación completa G = (N, A, f). Por otra parte, sino hay más de una arista entre pares de nodos,entonces el grafo se denomina grafo sencillo.Antes de continuar, se describen algunas definiciones de teoría de grafos que ayudarán a la comprensión yestudio de este tema en las secciones posteriores.Definiciones: Los pares de vértices que estén conectados por una arista dentro de un grafo se denominanvértices adyacentes. En un grafo, un vértice que no sea adyacente a ningún otro vértice se denominará vértice aislado. Un grafo que contenga solamente nodos aislados se denominará grafo nulo. Entonces, el conjuntode aristas, A, de un grafo nulo está vacío. Los grafos en los que cada arista tiene asignado un peso se denominan grafos ponderados. Un grafo no dirigido es conexo si para cualquier pareja de vértices del grafo se puede llegar hasta elotro vértice partiendo de cualquiera de ellos.Definición: En un grafo dirigido, para todo vértice v el número de aristas que tienen a v como vértice inicialse denomina grado de entrada del vértice v. El número de aristas que tienen a v como vértice terminal sedenomina grado de salida, y la suma de ambos es lo que se denomina grado total del vértice v. De manerageneral, el grado total de un vértice v, δ (v), es el número de aristas dirigidas o no-dirigidas incidentes en v.El grado total de un vértice aislado es 0, y el de un vértice con bucle y sin otras aristas que incidan en él es2.
  34. 34. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 34Matemáticas discretasPrograma desarrolladoDefinición: Sea N(H) el conjunto de vértices deun grafo H, y sea N(G) el conjunto de vérticesde un grafo G tales que N(H)  N(G). Siademás toda arista de H es también una aristade G, entonces se dice que el grafo H es unSubgrafo del grafo G, y esto se expresa en laforma H  G.En la figura Grafo y algunos de sus subgrafos,los grafos de la parte (b) son subgrafos de laparte (a).También, se dice que un grafo G = (N, A) es completo si todos sus vértices son adyacentes a todos losvértices del grafo, es decir, existe una arista ente cada par de vértices distintos. Los grafos completos de nvértices se denotan en la forma Kn.La figura Grafos completos del 1 al 5 muestra los cinco primeros grafos completos.Un tipo de grafo sencillo es el bipartito. Un grafo G = (N, A) se denomina grafo bipartito si el conjunto devértices N se puede separar en dos subconjuntos V1 y V2 de modo que cada arista en A sea incidente enun vértice de V1 y en un vértice de V2. Dicho de otro modo, que no haya dos vértices de V1 que seanadyacentes, ni tampoco dos vértices de V2 que sean adyacentes.El grafo ilustrado en la figura Grafo (a) es un grafo bipartito, ya que los dos subconjuntos disjuntos devértices son V1 = {v1, v2} y V2 = {v3, v4, v5}, cada arista es incidente en un vértice de V1 y un vértice de V2.Por el contrario, la figura (b) no es un grafo bipartito, puesto que no es posible descomponer el conjunto Nen dos subconjuntos disjuntos no vacíos.
  35. 35. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 35Matemáticas discretasPrograma desarrolladoActividad 1. Áreas donde se aplica la teoría de grafosCon el propósito de proporcionar ejemplos de campos donde es posible aplicar la teoría de grafos pararepresentar situaciones y dar solución, ya sea en el ámbito científico o social, debes participar en el foro:Áreas donde se aplica la teoría de grafos. En vista de lo anterior, realiza lo que se te indica.1. Ingresa al foro y contesta las siguientes preguntas:¿En qué áreas del ámbito científico se pueden aplicar los grafos?¿Será posible hacer grafos del funcionamiento del cuerpo humano?¿Será posible hacer grafos de tu rutina diaria?2. Recuerda retroalimentar la participación de mínimo dos de tus compañeros(as).Puedes consultar la Rúbrica de participación general del foro, que se encuentra en la sección Material deapoyo.2.1.2. Representación de grafosHasta ahora se ha representado a los grafos mediante diagramas o esquemas; sin embargo, en muchoscasos, como por ejemplo al utilizar una computadora para analizar un grafo, es necesaria unarepresentación más formal. La representación más formal de un grafo es mediante su matriz deadyacencia, o mediante su matriz de incidencia.Matriz de adyacenciaPara obtener la matriz de adyacencia, considerando el grafo de la figura mostrada. Primero se debe elegirun orden para los vértices, por ejemplo: a, b, c, d, e. Posteriormente, construir una matriz y etiquetar losrenglones y las columnas con los vértices ordenados. La entrada en esta matriz es un 1 si los vértices delrenglón y la columna son adyacentes y 0 en caso contrario.
  36. 36. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 36Matemáticas discretasPrograma desarrolladoFigura a) Representación de un grafo.La matriz de adyacencia del grafo de la figura anterior es la que a continuación se presenta:Observa que se puede obtener el grado de un vértice v en un grafo sencillo sumando el renglón v ocolumna v en la matriz de adyacencia. Ejemplo: el grado total del vértice b es 3.Además, aunque la matriz de adyacencia permite representar bucles, no permite representar aristasparalelas; sin embargo, si modificamos la definición de una matriz de adyacencia para que ésta puedacontener enteros no negativos arbitrarios, podemos representar las aristas paralelas. En la matriz deadyacencia modificada, interpretamos la entrada ij-ésima especificando el número de aristas entre i y j.Considerando el grafo de la figura inferior para obtener la matriz de adyacencia, siguiendo la metodologíadel ejemplo anterior, la matriz de adyacencia es la que se muestra como A.Figura b) Representación de un grafo.
  37. 37. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 37Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUtilizando el ejemplo previo, se mostrará que si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo G, laspotencias de A, A, A2, A3,…, cuentan el número de caminos de diversas longitudes. Más precisamente, silos vértices de G se etiquetan 1, 2,…, la entrada ij-ésima en la matriz Anes igual al número de caminos dei a j de longitud n. Por ejemplo, supón que se obtiene el cuadrado de la matriz A del ejemplo de la figurab).Al considerar la entrada del renglón a, columna c en A2, obtenida al multiplicar por pares las entradas delrenglón a por las entradas de la columna c de la matriz A y sumando:La única forma en que un producto distinto de cero podría aparecer en esta suma es cuando ambasentradas por multiplicar son iguales. En este ejemplo la suma es 2 pues existen dos caminos de longitud 2de a a c.(a, b, c) y (a, d, c)En general, la entrada en el renglón x y la columna y de la matriz A2es el número de caminos de longitud2 del vértice x al vértice y.Las entradas de la diagonal de A2proporcionan los grados de los vértices (cuando el grafo es sencillo).Considerando el vértice c en el ejemplo de la figura b) el grado de c es 3 pues c es incidente en las tresaristas (c, b), (c, d), (c, e). Pero cada una de estas aristas se puede convertir en un camino de longitud 2de c a c.(c, b, c), (c, d, c) y (c, e, c)
  38. 38. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 38Matemáticas discretasPrograma desarrolladoTeorema: Si A es la matriz de adyacencia de un grafo sencillo, la entrada ij-ésima de Anes igual alnúmero de caminos de longitud n del vértice i al vértice j, n = 1, 2,…Matriz de incidenciaOtra manera de representar un grafo es mediante la matriz de incidencia. Para obtener la matriz deincidencia, considera el grafo de la siguiente figura. Primero se debe construir una matriz y etiquetar losrenglones con los vértices y las columnas con las aristas en algún orden arbitrario. La entrada del renglón vy la columna e es 1 si e es incidente en v y 0 en caso contrario.Figura c) Representación de un grafo.La matriz de incidencia del grafo de la figura es la que a continuación se da:La matriz de incidencia permite representar las aristas paralelas y los bucles. La columna como e7representa un bucle. Obsérvese que en un grafo sin bucles, cada columna tiene dos 1s y que la suma delos elementos de un renglón proporciona el grado del vértice identificado con ese renglón. Las aristasparalelas en este ejemplo son e1 y e2.
  39. 39. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 39Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEjemplos complementarios de la secciónProblema: elabora un grafo que represente un mapa de carreteras y ciudades, considera 5 ciudades (A, B,C, D, E), con las siguientes características: 1) hay dos rutas que unen las ciudades A y B, 2) no existe unaruta entre A y D, 3) existe un camino que pasa por B, C y D, 4) la ciudad E está aislada.Solución: una posible solución al ejercicio, es la que se muestra en la figura siguiente. Se usa un grafo nodirigido puesto que el problema no plantea alguna dirección para alguna carretera. Las aristas representana las carreteras y los vértices representan a las ciudades. Para cumplir con el requisito 1), se usan aristasparalelas.Figura 2.11. Grafo representando un mapa de carreteras y ciudades.Problema: la figura 2.12 (a) muestra una parte del plano de una ciudad, en el cual las flechas denotancalles de dirección única. Elabora un grafo que represente esta parte del plano. Este grafo puede ser útilpara los servicios de emergencia públicos, como los bomberos y la policía.Solución: según el plano, existen calles con dirección única y otras que no, por lo tanto, el tipo de graforequerido es mixto. Para este caso, las aristas representarán a las calles y los vértices representarán lasesquinas o intersecciones entre calles. El grafo obtenido es el que se muestra en la figura 2.12 (b).
  40. 40. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 40Matemáticas discretasPrograma desarrolladoFigura 2.12. Representación gráfica del sistema de calles de una ciudad.Actividad 2. Solución de problemas mediante la representación de grafosEsta actividad tiene como fin que construyas un grafo mediante el siguiente planteamiento: Karla, Manuel,Juan, Mónica, Eliangel e Iliana, van a subir a un juego mecánico en forma circular, se sabe que:Karla conoce a Juan y a MónicaManuel conoce a Juan y a EliangelIliana conoce a Eliangel y a Mónica¿Es posible sentarlos de forma que las personas que estén sentadas juntas se conozcan?1. Construye un grafo donde se represente la solución del planteamiento.2. Menciona el número de vértices del grafo que construiste.3. Guarda tu documento en un archivo .doc con el nombre MDI_U2_A2_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a)a través de la sección de Tareas.
  41. 41. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 41Matemáticas discretasPrograma desarrolladoActividad 3. Matriz de adyacenciaCon el fin de reforzar tus conocimientos sobre la representación de un grafo con una matriz de adyacencia,realiza lo que se te pide:1. Representa el siguiente grafo utilizando una matriz de adyacencia:2. Guarda tu documento con el nombre MDI_U2_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) a través de lasección de Tareas. Espera su retroalimentación y considérala para mejorar tu trabajo.2.2. Caminos y circuitosSi se piensan a los vértices de un grafo como ciudades y las aristas como carreteras, un caminocorresponde a un viaje que comienza en cierta ciudad, pasa por varias ciudades y termina en algunaciudad. A continuación se dan las definiciones formales de caminos y circuitos.2.2.1. Terminología básicaDefinición: Sea G = (N, A, f) un dígrafo sencillo. Se dice que una sucesión de aristas es un Camino de Gsi y sólo si el vértice terminal, vt, de cada arista del camino es el vértice inicial, vi, de la próxima arista delcamino.Un ejemplo de camino sería: {(vi1, vi2), (vi2, vi3),…, (vik-2, vik-1), (vik-1, vik)}Se puede escribir de la siguiente forma: {(vi1, vi2,…, vik-1, vik)} Un camino de un dígrafo con aristas distintas se denomina camino sencillo. Un camino en el que todos los vértices son diferentes se llama camino elemental. El número de aristas que aparecen en la sucesión de un camino se denomina longitud delcamino.
  42. 42. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 42Matemáticas discretasPrograma desarrolladoDefinición: A un camino que comienza y acaba en un mismo vértice se le denomina circuito o ciclo. Uncircuito se denomina sencillo si ninguna arista del circuito aparece más de una vez en el camino y sedenomina elemental si no pasa por ningún vértice más de una vez.En un circuito el nodo inicial aparece al menos dos veces aun cuando se trate de un circuito elemental.Algunos circuitos presentes en el grafo de la figura anterior son:Circuito 1: {1, 2, 3, 8, 1}Circuito 2: {1, 2, 4, 5, 7, 8, 1}Circuito 3: {1, 2, 3, 8, 1, 2, 3, 8, 1}Un grafo sencillo que no tenga ningún ciclo/circuito se denomina acíclico, naturalmente, los grafosacíclicos no pueden tener bucles.La definición de camino requiere que las aristas que aparezcan en la sucesión tengan un vértice inicial yuno terminal bien definidos.En el caso de un grafo sencillo no-dirigido, una arista está dada por una pareja no ordenada, y cualquierade los vértices de esa pareja no ordenada se puede considerar como vértice inicial o final de la arista.Para aplicar la misma definición de camino a un grafo no-dirigido, se puede considerar que todas lasaristas del grafo no-dirigido se sustituirán por dos aristas dirigidas de sentidos opuestos. Una vez hechoesto, se tiene un grafo dirigido, y las definiciones de camino, circuito, etc., pueden ser aplicadas.
  43. 43. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 43Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.2.2. Camino de EulerEl Camino de Euler está definido como un camino a través del grafo G que recorre todas las aristas delgrafo solamente una vez, pero que su vértice de inicio y final son diferentes.Para ejemplificar la anterior definición, analizamos el grafo de lafigura del lado derecho, el cual tiene un camino de Euler.El camino de Euler en dicho grafo es (4, 3, 5, 2, 3, 1, 2, 4, 5).Observa que los vértices 4 y 5 tienen grado impar.Las condiciones para la existencia de un camino de Euler están dadas en el siguiente teorema.Teorema: Si G es un grafo y no tiene vértices aislados, entonces, éste tiene un camino de Euler si y sólo silas siguientes dos propiedades se cumplen:1) El grafo G está conectado.2) El grafo tiene exactamente dos vértices de grado impar.Para comprobar dicho teorema, veamos el grafo de la figura del ladoizquierdo.Este grafo está completamente conectado, es decir, no tiene vérticesaislados, y tiene exactamente dos vértices de grado impar, vértice 2 y 6.Por lo que se puede suponer que el grafo tiene un camino de Euler. Elcamino de Euler en dicho grafo es (2, 5, 4, 1, 2, 3, 6, 5, 8, 4, 7, 8, 9, 6).
  44. 44. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 44Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.2.3. Circuitos de EulerEl primer artículo en teoría de grafos fue el escrito porLeonhard Euler en 1736. El artículo presentó una teoríageneral que incluía una solución a lo que ahora se llamael problema de los puentes de Königsberg. El problemade los puentes de Königsberg consiste en determinar uncircuito a partir de un modelo gráfico representando a lospuentes de Königsberg, que incluya todas las aristas ytodos los vértices del grafo.Por lo tanto, en honor a Euler, un circuito de un grafo queincluya todas las aristas y todos los vértices de G se ledenomina Circuito de Euler.Un circuito de Euler debe cumplir con el siguiente teorema:Teorema: Si G es un grafo conexo y todo vértice tiene grado par, entonces G tiene un circuito de Euler.O en su caso, Teorema: Si un grafo G tiene un circuito de Euler, entonces G es conexo y todo vértice tienegrado par.Usamos el ejemplo de la figura siguiente para verificar si éste tiene un circuito de Euler. Observando elgrafo se determina que es conexo, y como el grado de cada vértice es par, basados en el teorema previodecimos que el grafo tiene un circuito de Euler.Los grados de cada uno de los vértices son:δ(v1) = δ(v2) = δ(v3) = δ(v5) = 4, δ(v4) = 6, δ(v6) = δ(v7) = 2.Por inspección se determina que el circuito Euler es el siguiente:(v6, v4, v7, v5, v1, v3, v4, v1, v2, v5, v4, v2, v3, v6).
  45. 45. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 45Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.2.4. Circuito de HamiltonSir William Rowan Hamilton lanzó al mercado a mediados del siglo XIX un juego en forma de dodecaedro.Juego de Hamiltona) b)Cada esquina del dodecaedro llevaba el nombre de una ciudad y el problema era partir de cualquierciudad, recorrer las aristas, visitar cada ciudad exactamente una vez, y regresar a la ciudad inicial.El grafo de las aristas del dodecaedro se muestra en la figura a. Entonces, podemos resolver el juego deHamilton si podemos determinar un circuito en el grafo de la figura b que contenga a cada vértice solo unavez, excepto por el vértice inicial y final que aparece dos veces.Por lo tanto, en honor de Hamilton, se dice que un circuito en un grafo G que contenga cada vértice solouna vez, excepto por el vértice inicial y final que aparece dos veces, es un circuito Hamiltoniano.Una solución al grafo del juego de Hamilton seilustra en la figura siguiente:Solución al juego de Hamilton
  46. 46. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 46Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEl problema de determinar un circuito Hamiltoniano en un grafo parece similar al de determinar un circuitode Euler. Un circuito de Euler visita cada arista una vez, mientras que un circuito Hamiltoniano visita cadavértice una vez; sin embargo, en realidad estos problemas son un poco distintos. Además, a diferencia delos circuitos de Euler, no se conocen condiciones necesarias y suficientes fácilmente verificables para laexistencia de un circuito Hamiltoniano en un grafo.Los siguientes ejemplos muestran un caso de grafo con circuito Hamiltoniano y otro que no lo tiene. Elgrafo de la figura (a) tiene un circuito Hamiltoniano, el circuito (1, 2, 3, 4, 5, 1) es un circuito Hamiltoniano.El grafo de la figura (b) no tiene un circuito Hamiltoniano; para producir un circuito Hamiltoniano en estegrafo será necesario eliminar dos aristas, una incidente en el vértice v2 y otra incidente en el vértice v4.Grafo (a) con circuito Hamiltoniano, y (b) sin circuito HamiltonianoActividad 4. PozosLa siguiente actividad tiene como propósito que representes un grafo mediante el siguiente planteamiento:Se tienen tres casas y tres pozos.Con base en lo anterior:1. Intenta dibujar senderos que unan cada casa con cada pozo de tal manera que no se crucen.2. Guarda tu documento en un archivo de Word con el nombre MDI_U2_A4_XXYZ.3. Envía tus resultados a tu Facilitador(a) mediante la sección de Tareas y espera su retroalimentación.
  47. 47. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 47Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.2.5. IsomorfismoDefinición: Dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existe una función uno a uno y sobre, f, de los vértices deG1 a los vértices de G2 y una función uno a uno y sobre, g, de las aristas de G1 a las aristas de G2, demodo que una arista e es incidente en v y w en G1 si y sólo si la arista g(e) es incidente en f(v) y f(w) en G2.El par de funciones f y g es un isomorfismo de G1 sobre G2.Dicho de manera menos abstracta, dos grafos son isomorfos si tienen una estructura idéntica, aunquesean representados gráficamente de manera diferente; o, dos grafos son isomorfos si existe unrenombramiento de los vértices de los grafos tal que ambos sean idénticos.En la figura de al lado, se muestran dos grafosisomorfos, ambos tienen una estructura idéntica aunquegráficamente son representados de manera diferente, yaunque tengan nombres de vértices diferentes.Un isomorfismo para los grafos de la figura se definecomo: f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, f(d) = D,f(e) = E, g(xi) = yi, i = 1, …, 5.Teorema: Dos grafos sencillos G1 y G2 son isomorfos si y sólo si para cierto orden de sus vértices, lasmatrices de adyacencia son iguales.Para ejemplificar dicho teorema, daremos las matrices de adyacencia de los grafos mostrados en la figuraanterior, Grafos isomorfos. La matriz de adyacencia del grafo de la figura (a) con respecto del orden de losvértices a, b, c, d, e, es el siguiente:Y se puede observar que es igual a la matriz de adyacencia del grafo de la figura (b) con respecto delorden de los vértices A, B, C, D, E, que es el siguiente:Por lo tanto, ambos grafos de la figura son isomorfos.
  48. 48. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 48Matemáticas discretasPrograma desarrolladoPara demostrar que dos grafos sencillos G1 y G2 no son isomorfos, se determina una propiedad de G1 queG2 no tenga, pero que G2 tendría si G1 y G2 fuesen isomorfas. Tal propiedad es un invariante. Másprecisamente, una propiedad P es un invariante, si siempre que G1 y G2 sean grafos isomorfos. Si G1 tienela propiedad P, entonces G2 también tiene la propiedad P.Según la definición previa de isomorfismo, si dos grafos G1 y G2 son isomorfos, entonces existenfunciones uno a uno y sobre de las aristas de G1 en las aristas de G2. Así, si G1 y G2 son isomorfos,entonces G1 y G2 tienen el mismo número de aristas y el mismo número de vértices. Por tanto, si e y nson enteros no negativos, las propiedades “tiene e aristas” y “tiene n vértices” son invariantes.Para ilustrar la propiedad de invariante, se hace uso de losgrafos de la figura de al lado.Los grafos de la figura no son isomorfos, pues el grafo de lafigura (a) tiene siete aristas y el de la figura (b) tiene seisaristas, y “tener siete aristas” es un invariante.Ejemplos complementarios de la secciónEjemplo: De un conjunto de caminos dados, pertenecientes al grafo ilustrado en la figura siguiente, Grafono-dirigido, identificar si es un camino sencillo, o si es un circuito, o un circuito sencillo. Aplicando lasdefiniciones y teoremas descritos en la sección, los resultados son los que se muestran en la tabla.Grafo no-dirigido.
  49. 49. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 49Matemáticas discretasPrograma desarrolladoCamino ¿Es un caminosencillo?¿Es un circuito? ¿Es un circuitosencillo?(6, 5, 2, 4, 3, 2, 1) NO NO NO(6, 5, 2, 4) SI NO NO(2, 6, 5, 2, 4, 3, 2) NO SI NO(5, 6, 2, 5) NO SI SI(7) SI NO NO2.3. ÁrbolesLos árboles forman una subclase de grafo de uso amplio. Los árboles se utilizan en muchos otros camposde aplicación. Por ejemplo, en ciencias de la computación, desglosar problemas complejos yrepresentarlos mediante una estructura en forma de árbol, son algunas de las aplicaciones.En general, hay dos grupos de árboles, los árboles libres y los árboles con raíz. Un árbol libre es una claseespecial de grafo no dirigido, y un árbol con raíz es un caso especial de un grafo dirigido.Definición: Un Árbol Libre T es un grafo sencillo no dirigido que es a la vez conexo y acíclico, es decir, es un grafoque no contiene circuitos o ciclos y todos sus pares de vértices están conectados. Un Árbol con Raíz es un árbol en el cual un vértice particular se designa como la raíz.Propiedades de un árbolTeorema: Todo árbol que contenga n vértices debe de tener n-1 aristas.En la figura de abajo se muestra varios ejemplosde árboles libres, los cuales cumplen con sudefinición y con el teorema previo.En la figura de abajo se muestra un ejemplo típicode árbol con raíz, el cual tiene un vértice definidocomo tal.Como el camino sencillo de la raíz a cualquier vértice es único, cada vértice está en un nivel determinadode manera única. Decimos que el nivel de la raíz es el nivel 0. Los vértices debajo de la raíz están en unnivel 1, y así sucesivamente. Así, el nivel de un vértice v es la longitud del camino sencillo de la raíz a v. Laaltura de un árbol con raíz es el número máximo de nivel que aparece en dicho árbol.Ejemplo: Examinando el árbol T mostrado en la figura (a) de abajo y designando al vértice e como elvértice raíz, se obtiene el árbol con raíz T’ mostrado en la figura (b). Los vértices a, b, c, d, e, f, g, h, i, jestán en los niveles 2, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 3, respectivamente. La altura del árbol T’ es 3.
  50. 50. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 50Matemáticas discretasPrograma desarrolladoFigura (a). Un árbol T, y figura (b). Un árbol con raíz T’.T’ se obtiene de T designando a e como la raíz.Con frecuencia, un árbol con raíz se utiliza para especificar relaciones jerárquicas. Cuando un árbol seutiliza de esta manera, si el vértice a está en el siguiente nivel arriba del vértice b y, además, a y b sonadyacentes, entonces a está “justo arriba” de b y existe una relación lógica entre a y b: a domina a b ob está subordinado a a de alguna manera. Un ejemplo de árbol con raíz especificando relación jerárquica,es el que se muestra en la siguiente figura, es un organigrama de una universidad.Ejemplo de organigrama
  51. 51. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 51Matemáticas discretasPrograma desarrollado2.3.1. Tipos de árbolesÁrbol de expansiónUn problema importante que está asociado a una red representada por un grafo consiste en obtener unárbol de expansión para el grafo. Este árbol de expansión debe contener todos los vértices del grafo yalgunas de sus aristas, para asegurar su conectividad.Definición: Un Árbol de Expansión de un grafo conexo no dirigido G = (N, A) es un árbol libre con elconjunto de vértices N que es un subgrafo de G; esto es, un árbol de expansión es conexo, acíclico y tienea todo N como vértices y aparte de A como conjunto de aristas.Teorema: Un grafo G tiene un árbol de expansión si y sólo si G es conexo.Hay muchos enfoques para generar un árbol de expansión correspondiente a un grafo dado. Un enfoqueconsiste en eliminar las aristas que pertenezcan a circuitos uno tras otro hasta que no queden circuitos enel grafo. Si solo se eliminan aristas de circuitos, entonces el grafo seguirá siendo conexo, y esto esesencial para la generación de un árbol de expansión.Un ejemplo de este enfoque se ilustra en la siguiente figura. En este caso se decide eliminar los pares dearistas siguientes: {2, 5}, {2, 6}, {3, 6}, {3, 7}, {4, 7}, {6, 7}. Obsérvese que se podrían generar muchosárboles de expansión a partir del grafo dado.Ejemplo de obtención de un árbol de expansión a partir de un grafo.Árbol binarioOtra clase de árbol es el árbol binario. Los árboles binarios son de los tipos particulares más importantesde árboles con raíz. Cada vértice de un árbol binario tiene a lo más dos hijos. Además, cada hijo sedesigna como hijo izquierdo o como hijo derecho. Al trazar un árbol binario, un hijo izquierdo se dibuja a laizquierda y un hijo derecho se dibuja a la derecha. La definición formal de árbol se da a continuación.Definición: Un Árbol Binario es un árbol con raíz en el cual cada vértice tiene cero, uno, o dos hijos. Si unvértice tiene un hijo, ese vértice se designa como un hijo izquierdo o como un hijo derecho, pero no ambos.Si un vértice tiene dos hijos, uno de ellos se designa como hijo izquierdo y el otro como hijo derecho.
  52. 52. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 52Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEn la figura de al lado se muestra un ejemplo de árbolbinario. El vértice b es el hijo izquierdo y el vértice ces el hijo derecho del vértice a. El vértice d es el hijoderecho del vértice b; el vértice b no tiene hijoizquierdo. El vértice e es el hijo izquierdo del vérticec; el vértice c no tiene un hijo derecho.Árbol binarioEl árbol binario completo es un árbol binario en el cual cada vértice tiene dos o cero hijos. Un resultadofundamental acerca de los árboles binarios completos es el siguiente teorema.Teorema: Si T es un árbol binario completo con i vértices internos, entonces T tiene i+1 vérticesterminales y 2i + 1 vértices en total. El vértice raíz es considerado un vértice interno.IsomorfismoAl igual que los grafos, los árboles también presentan la propiedad de isomorfismo. Como un árbol libre esun grafo sencillo, los árboles T1 y T2 son isomorfos si y sólo si existe una función, f , uno a uno y sobre elconjunto de vértices de T1 al conjunto de vértices de T2 que preserva la relación de adyacencia, en elsentido de que los vértices vi y vj son adyacentes en T1 si y sólo si los vértices f(vi) y f(vj) sonadyacentes en T2.Ejemplo: la siguiente figura muestra un caso de isomorfismo. La función f del conjunto de vértices del árbolT1 al conjunto de vértices del árbol T2 es una función uno a uno, sobre, que preserva la relación deadyacencia. Por lo tanto, los árboles T1 y T2 son isomorfos.f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, f(d) = D, f(e) = E
  53. 53. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 53Matemáticas discretasPrograma desarrolladoÁrboles libres isomorfos.Al igual que en el caso de grafos, se puede mostrar que dos árboles no son isomorfos si exhiben uninvariante no compartido por los árboles. Esto se puede ilustrar en la figura siguiente, en donde los árbolesT1 y T2 no son isomorfos, pues T2 tiene un vértice x de grado 3, pero T1 no tiene un vértice de grado 3.Árboles libres no isomorfos.Definición: Sea T1 un árbol con raíz r1 y sea T2 un árbol con raíz r2. Los árboles con raíz T1 y T2 sonisomorfos si existe una función f, uno a uno y sobre el conjunto de vértices de T1 en el conjunto de vérticesde T2 tal que:a) Los vértices vi y vj son adyacentes en T1 si y sólo si los vértices f(vi) y f(vj) sonadyacentes en T2.b) f(vi) = r2.Decimos que la función f es un isomorfismo.A continuación se dan dos ejemplos de árboles con raíz para identificar si tienen la propiedad deisomorfismo.Los árboles con raíz de la figura de abajo son isomorfos. Un isomorfismo es:f(a) = A, f(b) = B, f(c) = C, f(d) = D, f(e) = E, f(f) = F, f(g) = G
  54. 54. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 54Matemáticas discretasPrograma desarrolladoÁrboles con raíz isomorfos.Los árboles con raíz de la siguiente figura no son isomorfos, pues la raíz de T1 tiene grado 3 y la raíz de T2tiene grado 2. Estos árboles son isomorfos como árboles libres.Árboles con raíz no isomorfos. Los árboles son isomorfos como árboles libres.Actividad 5. Árbol genealógicoCon el fin de representar una secuencia genealógica utilizando árboles, realiza lo que se te pide acontinuación:1. Utiliza un árbol para representar la secuencia genealógica de tu familia desde tus bisabuelos hasta laúltima generación.2. Guarda tu documento en un archivo de Word con el nombre MDI_U1_A5_XXYZ.3. Envía tu archivo a tu Facilitador(a) mediante la sección de Tareas y espera su retroalimentación
  55. 55. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 55Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEvidencia de aprendizaje. Grafo de rutina cotidianaCon el fin de poner en práctica lo aprendido a lo largo de la presente unidad, lleva a cabo la evidencia deaprendizaje, siguiendo las indicaciones:1. Realiza un grafo de tu rutina diaria con al menos 10 actividades desde que te levantas de tu cama en lamañana hasta que regresas a ella por la noche.2. Usa un grafo simple para describir las actividades de un día normal. Las actividades corresponderán alos vértices y se unirán mediante arcos.3. Utiliza flechas en los arcos para indicar cómo se van desarrollando las actividades y resuelve cuál es elgrado de cada vértice del grafo.4. Usa una matriz de adyacencia para representar el grafo.5. Guarda tu documento con el nombre MDI_U2_EA_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) mediante elportafolio de evidencias.6. Consulta la escala de evaluación para conocer los criterios que debe cumplir tu evidencia.*Recuerda que debes hacer tu Autorreflexión al terminar la evidencia. Para ello, Ingresa al foro dePreguntas de Autorreflexión y a partir de las preguntas presentadas por tu Facilitador(a), realiza tu ejercicioy súbelo en la sección Autorreflexiones.Consideraciones específicas de la unidadEs necesario tener a la mano papel y lápiz para poder resolver algunas operaciones, una recomendaciónes utilizar el software Paint de Office para poder hacer los grafos.Fuentes de consultaGrassmann, W. & García, B. (2003). Matemática discreta y lógica. Madrid: Pearson Educación, S.A.Johnsonbaugh, R. & Palmas, V. (1999). Matemáticas discretas (4ª ed.). México: Prentice Hall-Hispanoamericana, S. A.McEliece, R. (1989). Introduction to discrete mathematics. New York: Random House.Skiena, S. (1990). Implementing discrete mathematics: Combinatoric and graph theory with mathematica.California: Addison-Wesley Pub. Co.
  56. 56. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 56Matemáticas discretasPrograma desarrolladoUNIDAD 3. RELACIONESPropósito de la unidadEl propósito de esta unidad es analizar el concepto de relación yestablecer distintos tipos de relaciones a conjuntos; así comorepresentar mediante grafos o matrices dichas relaciones, con lafinalidad de establecer las características específicas de loselementos.Competencia específicaAnalizar estructuras básicas para identificar las clases y los tipos derelaciones, resolviendo operaciones entre conjuntos e interpretandosus propiedades.Presentación de la unidadEn Física y Matemáticas (y en particular en CienciasComputacionales) siempre estamos comparando cosas, escribiendo“relaciones” entre diferentes cantidades. Usualmente, alcompararlas utilizamos símbolos para denotar que son iguales,mayores o menores unas con respecto a otras. Pero la idea derelación puede ir más allá e implicar diferentes asociaciones.En esta unidad estudiaremos las diferentes asociaciones que dan origen a relaciones particulares, cómo sedefinen formalmente éstas de manera matemática y sus propiedades.Primero las explicaremos de forma que podrá parecer un poco descuida y poco formal, pero que redundaráen beneficio del lector que por primera vez tiene contacto con esta materia y posteriormente se introducirála definición rigurosa en el lenguaje de las matemáticas abstractas para que puedas profundizar en eltema.
  57. 57. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 57Matemáticas discretasPrograma desarrollado3.1. Introducción a la relaciónEl concepto de relación implica un nivel de abstracción elevado, sin embargo es esencial en una granvariedad de temas. Coloquialmente, la palabra “relación” tiene muchos significados y diferentesinterpretaciones dependiendo del contexto en el que se le utilice. Por ejemplo, antiguamente se aplicaba alrelato de un viaje o una crónica. En el contexto de las matemáticas, una relación se entiende más como laexistencia de una conexión entre dos entidades matemáticas, ya sean números o símbolos.Muchas veces se emplea el concepto de relación sin siquiera tenerlo encuenta de manera explícita o definirlo. Esto sucede en los paresordenados, que describen las coordenadas cartesianas en un plano. Dela misma manera, una función establece una relación entre dos o máscantidades.Como veremos a lo largo de esta unidad, existen diferentes tipos de relaciones y éstas a su vez puedenser de extensión finita o infinita dependiendo del número de elementos entre los cuales se establezca larelación que se quiera definir.En este curso nos limitaremos a estudiar las características de lasrelaciones aplicadas a colecciones o conjuntos finitos; de hecho,en la unidad anterior ya hemos utilizado las relaciones a la horade definir los grafos, o bien, dicho de otra forma, los grafospueden ser dibujados a partir de relaciones como veremos a lolargo de esta unidad.Las relaciones son definidas sobre colecciones (o conjuntos) de objetos. Los objetos son usualmentenúmeros, pero en general puede ser cualquier cosa. Como ejemplo consideremos el conjunto deelementos {1, 2, ☺, ¬_¬, ^_^, 123}, esta es una colección finita, con un número determinado de elementos,en particular nuestra colección contiene solo seis elementos. A pesar de que el símbolo “¬_¬” está formadopor tres caracteres sigue siendo un único elemento de la colección, de la misma forma que el número 123se considera un solo elemento, pero se requieren tres caracteres para representarlo.
  58. 58. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 58Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEntonces, por relación entendemos, por ejemplo, una colecciónde pares ordenados de los objetos que se encuentran en lacolección:  = {(1, ☺), (123, ^_^), (2, 1)}.De la colección anterior podemos decir que 1 está relacionadocon ☺, 2 está relacionado con 1, pero ☺ no está relacionado con¬_¬.Sin embargo, usar esta nomenclatura para establecer omencionar la existencia de una relación entre dos objetos es pocoelegante y tedioso.En la literatura, los autores usan diferente nomenclatura y simbología para denotar una relación entre dosobjetos, por ejemplo, (1, ☺) pertenece a la relación  . Sin embargo, esta forma de enunciarlo aún siguesiendo larga y puede hacerse más compacta utilizando el símbolo  que entenderemos como “pertenecea”, así (1, ☺). Otra forma común y más compacta de escribir esto mismo corresponde a 1 ☺.Dependiendo de la relación que se establezca entre dos objetos podemos representarla de manera máscompacta definiendo un símbolo en particular para esa relación, de esta manera podemos decir 1~☺, quesignificaría 1 está relacionado con ☺ a través de la relación  . En muchos casos ya existe un símbolopredeterminado para un tipo particular de relación como veremos más adelante.3.1.1. Definición de relaciónAntes de pasar a definir de manera formal lo que se entiende por relación, abordaremos una operaciónlógica esencial en la secuencia conceptual de los conceptos que discutiremos en este apartado, nosreferimos al Producto Cartesiano.Seguramente ya hay una familiaridad con el producto convencional entredos números normales (escalares), probablemente también sea conocidoel producto punto o escalar entre dos vectores y el producto vectorial oproducto cruz. De la misma manera, puede ser posible que ya se hayacomenzado el estudio del producto de matrices. Éste no es más que unageneralización del producto escalar, también conocido como productointerno. Existen otros tipos de productos y el producto cartesiano es unode ellos.La operación definida como producto cartesiano recibe su nombre delmatemático francés René Descartes, quién desarrolló la formulación de laGeometría Analítica, introduciendo de esta manera el concepto de parordenado en las coordenadas cartesianas.
  59. 59. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 59Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEl producto directo de dos conjuntos es lo que se conoce como producto cartesiano en la teoría deconjuntos. Si tenemos dos colecciones o conjuntos, su producto directo generará un nuevo conjuntoformado por los pares ordenados de cada elemento del primer conjunto y un elemento del segundoconjunto. De esta manera si se tienen dos conjuntos con n y m elementos su producto directo generará n m elementos (n, m). Donde se ha escogido el símbolo “” para denotar el producto directo.Ejemplo de producto cartesianoSe tienen dos colecciones: F = (manzana, durazno) C = (verde, amarillo, rojo).Encuentra su producto cartesiano.Solución.Calculamos este producto como:R = FC = {(manzana, verde), (manzana, amarillo), (manzana, rojo), (durazno, verde), (durazno, amarillo),(durazno, rojo)}.El producto cartesiano en general no es conmutativo.A continuación definiremos formalmente el producto cartesiano de manera general.Definición. Sean los conjuntos 1 2, ,..., nX X X , el producto cartesiano n-ario de estos, denotado por1 2 ... nX X X   , es el conjunto de todos los pares ordenados en los cuales el primer elemento seencuentra en el conjunto X1, el segundo en el conjunto X2, y así sucesivamente, de tal forma que:  1 2 1 2 1 1 2 2... , ,..., ... .n n n nX X X x x x x X x X x X         Para el ejemplo que se ha dado, con solo dos elementos se tiene que:Definición. El producto cartesiano de dos conjuntos X y Y, denotado por XY, es el conjunto de todos lospares ordenados en los cuales el primer elemento se encuentra en el conjunto X y el segundo en elconjunto Y:  , .X Y x y x X y Y    Con los conceptos que acabamos de revisar, ya es posible dar una definición formal de relación.En el caso del producto cartesiano primero definiremos una relación entre cualquier número de conjuntos yposteriormente trataremos el caso particular de solo dos conjuntos, como se ejemplificó de manerainformal al inicio de la unidad.Definición. Sean los conjuntos 1 2, ,..., nX X X . Una relación n-aria en estos conjuntos es un subconjuntodel producto cartesiano n-ario 1 2 ... nX X X   . Los conjuntos 1 2, ,..., nX X X son llamados el dominio y nse conoce como el grado de la relación. Simbólicamente:1 2 ... .nX X X    
  60. 60. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 60Matemáticas discretasPrograma desarrolladoSi  = 0, llamaremos a esta relación, una relación vacía. Si  = 1 2 ... nX X X   , será una relaciónuniversal, mientras que en el caso particular en que solo tengamos tres conjuntos será una relaciónternaria y para dos conjuntos una relación binaria. Estas últimas tienen mayor interés para nuestro cursoya que, por ejemplo, el espacio cartesiano tridimensional se forma al multiplicar (producto cartesiano) elconjunto de los números reales por sí mismo tres veces y de forma análoga el plano cartesiano, cuando elconjunto de los números reales se multiplica por sí mismo una vez. Otro ejemplo de una relación binaria laencontramos cuando se hizo el producto cartesiano de la colección de colores por la colección de frutas.El resto de esta unidad estará dedicado a relaciones binarias, a sus propiedades y a las operaciones queson posibles llevar a cabo con ellas.Actividad 1. Definición de relaciónCon el propósito de construir una definición general de relación, que incluya las relaciones matemáticas ylas relaciones entre personas, debes de participar colaborativamente en el espacio del Foro que lleva elmismo nombre que esta actividad. Para ello realiza lo siguiente:1. Ingresa al foro y responde a lo siguiente:¿Qué características esenciales definen las relaciones entre las personas?¿Qué características básicas tienen las relaciones matemáticas?¿Será posible relacionar los números y el comportamiento de las personas?2. Recuerda comentar respetuosamente la participación de mínimo dos de tus compañeros(as).Puedes consultar la Rúbrica de participación general del foro, que se encuentra en la sección Material deapoyo.3.1.2. Relación binariaEl grado dos de una relación es usualmente el más común, ya que cuando se empieza a estudiar elcomportamiento de un fenómeno o la influencia de una cantidad con respecto a otra, es conveniente sobresimplificarlo y estudiar la relación que existe entre un par de colecciones o conjuntos, dando origen de estamanera a una relación binaria. En lo sucesivo nos referiremos a una relación binaria simplemente comouna “relación”, en caso de que el grado de la relación sea diferente de dos se mencionará explícitamente.Definición. Sean los conjuntos X y Y. Una relación binaria en estos conjuntos es un subconjunto delproducto cartesiano binario X Y . Simbólicamente:X Y  
  61. 61. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 61Matemáticas discretasPrograma desarrolladoEn el ejemplo anteriormente mencionado, sobre las frutas y colores, se calculó el producto cartesiano. Elconjunto solución tiene seis elementos pero una relación definida en ese conjunto puede tener un númeromenor o igual de elementos dependiendo de las condiciones establecidas. Por ejemplo, supón que se pideque las frutas sean rojas, entonces la relación  estará dada por el subconjunto {(manzana, rojo),(durazno, rojo)}. Esta relación solo tiene dos elementos y podemos decir que “manzana rojo” pero“manzana  verde”.Ejemplo.Sea el conjunto A = {1, 2, 3} y la relación  = {(3, 2), (3, 1), (2, 1)}. Menciona qué característica satisface larelación.Solución.La relación es un subconjunto del producto cartesiano AA y se pude expresar como: , .a b a b  Es importante aclarar que en este caso se debe entender el elemento a como un elemento cualquiera delconjunto A y el elemento b es otro elemento cualquiera del conjunto A, sin embargo puede o no ser igual aa, en nuestro ejemplo en particular necesariamente tiene que ser diferente de a.Definición. Para cualquier relación X Y   :El subconjunto de X   ; , , ,x x X y Y x y    es llamado el dominio de  .El subconjunto de Y   ; , , ,y y Y x X x y    es llamado el rango de  .En otras palabras, esto significa que todos los elementos del conjunto X que forman parte de la relación serán el dominio. Mientras que todos los elementos del conjunto Y que forman parte de la relación serán el rango.Ejemplo. Sea la relación  = {(3, 2), (3, 1), (2, 1)}. ¿Cuál es su dominio y cuál su rango?Solución. El dominio y el rango estarán dados por: dominio = {2, 3}, rango = {1, 2}.
  62. 62. Educación Superior Abierta y a Distancia • Ciencias Exactas, Ingenierías yTecnología 62Matemáticas discretasPrograma desarrollado3.1.3. Matriz de una relaciónEl concepto de representar una relación en términos de matrices es muysimilar al visto en la unidad dos: Grafos y árboles, en los temas Matricesde adyacencia y Matrices de incidencia. Curiosamente ahí se partió deuna representación visual e intuitiva y se llegó a su equivalente matricial,en esta sección, por el contrario, empezaremos con la representaciónmatricial de una relación y en la sección siguiente se describirá su grafo ográfica directa.Como hemos procedido hasta el momento, primero daremos un ejemplo para que se visualicedirectamente el procedimiento y posteriormente se entienda la definición formal sin mucho problema.Retomando el ejemplo de las frutas y colores, con el que ya estamos familiarizados, tenemos el productocartesiano R = FC = {(manzana, verde), (manzana, amarillo), (manzana, rojo), (durazno, verde),(durazno, amarillo), (durazno, rojo)}.Recordando que la relación pide que las frutas sean rojas, entonces estará dada por el subconjunto {(manzana, rojo), (durazno, rojo)}.La representación matricial se escribe como sigue: las filas serán loselementos de F y las columnas los elementos de C, si en la (fila,columna) existe un elemento de  en la matriz se colocará un 1, delo contrario será un cero.De esta manera vemos que es muy sencillo generar la matriz asociada a una relación.Definición. Una relación entre conjuntos finitos puede ser representada mediante una matriz deceros y unos. Sea una relación  entre un conjunto X = {x1, x2,…, xm} y un conjunto Y = {y1,y2,…, yn}. La relación  puede ser representada por la matriz ,ijm   M donde:  1, si , ,0, si , .i jiji jx ymx y  Es decir, que el elemento (xi, yj) será 1 si existe “xi  yj” y 0 cuando “xi  yj”. Es claro que estarepresentación depende totalmente de la forma en que se asigna, por convención, el conjunto X y elconjunto Y en filas y columnas, respectivamente; así como del orden en que los elementos de cada uno deestos conjuntos son listados. Usualmente, el dominio es subconjunto de X y el rango es subconjunto de Y.Ejemplo de relación entre conjuntos finitos.Encuentra la representación matricial de la relación entre los conjuntos A = {1, 2} y B = {1, 3, 2} quecontiene los elementos (a, b) sí , ya A b B a b   . Además: a1 = 1, a2 = 2, b1 = 1, b2 = 3 y b3 = 2.

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