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INDICEINTRODUCCION   _______________________________________________ 1CONTENIDO      _____________________________________...
INTRODUCCIÓNA lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos hanmeditado sobre la misteriosa relac...
Número áureoEste artículo trata sobre un número algebraico. Para otros usos de este término,véase áureo.El número áureo o ...
DefiniciónEl número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentosde recta a y b que cumpl...
El número áureo en las matemáticas                              Propiedades y representacionesÁngulo de oro               ...
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  1. 1. E.S.T 118 MATEMÁTICAS El Numero Áureo y La Serie de FibonnacciNombre: Daniela Michelle Moreno JiménezGrado y grupo: 3° “C”Profesor: Luis Miguel Villareal MatíasTema: Número Áureo y la serie de Fibonnaci
  2. 2. INDICEINTRODUCCION _______________________________________________ 1CONTENIDO ________________________________________________ 2
  3. 3. INTRODUCCIÓNA lo largo de la historia, desde pensadores hasta matemáticos o teólogos hanmeditado sobre la misteriosa relación que se establece entre el número áureo y lanaturaleza de la realidad. Esta curiosa relación matemática, conocidapopularmente como la Proporción Divina o Áurea, fue definida por Euclides hacemás de dos mil años a raíz de su papel crucial en la construcción del pentagrama,al cual se le atribuyen propiedades mágicas.Desde entonces, ha mostrado una propensión a aparecer en una variedad delugares de lo más sorprendentes que veremos a continuación.
  4. 4. Número áureoEste artículo trata sobre un número algebraico. Para otros usos de este término,véase áureo.El número áureo o de oro, también llamado razón extrema y media,1 razón áurea,razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representadopor la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultorgriego Fidias, es un número irracional:2El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando lassiguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a como aes al segmento más corto b.También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de laraíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con laletra Fi (Φ,φ) es más común.Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) queposee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad,no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en lanaturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de lashojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de uncaracol, en los flósculos de los girasoles, etc.Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan laproporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lolargo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras dearquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionadospor los estudiosos de las matemáticas y el arte.
  5. 5. DefiniciónEl número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentosde recta a y b que cumplen la siguiente relación:El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ.Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, deforma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que aldividir la longitud del mayor entre la del menor.Cálculo del valor del número áureoDos números a y b están en proporción áurea si se cumple:Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:Igualamos a cero:La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
  6. 6. El número áureo en las matemáticas Propiedades y representacionesÁngulo de oro Propiedades algebraicas es el único número real positivo tal que:La expresión anterior es fácil de comprobar: Φ posee además las siguientes propiedades: Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Estecaso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma , donde es cualquier número real o complejoy k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es , y .Pero podemos «saltear» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
  7. 7. . Aquí , , , y .Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmularecurrente de orden 6:En general: .En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elementode una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En lafórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de , hecho totalmentecorrecto. Además, una potencia negativa de corresponde a una potencia positiva de suinverso, la sección áurea.Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos seanlos del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay unparentesco. El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpo y la sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el «emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades: .:

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