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Clase 5 LKV

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Clase 5 LKV

  1. 1. Ley de Voltaje de Kirchhoff Clase 5 03/JUNIO/2014
  2. 2. Ley de Voltaje de Kirchhoff  La ley de voltaje de Kirchhoff (LVK) establece que la suma algebraica de las elevaciones y caídas de potencia alrededor de un lazo (o trayectoria) cerrado es cero.  Un lazo cerrado es cualquier trayectoria continua que sale de un punto en una dirección y regresa al mismo punto desde otra dirección sin abandonar el circuito.  En la figura 1, al seguir la corriente, es posible trazar una ruta continua que parte del punto 𝑎 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑅1 y regresa a través de 𝐸 sin abandonar el circuito. Por tanto 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑎 es un lazo cerrado.
  3. 3. Ley de Voltaje de Kirchhoff  Nota. Por cuestiones de uniformidad, se empleará la dirección en el sentido de las manecillas del reloj . Sin embargo, tenga presente que el mismo resultado se obtendrá si se elige la dirección contraria a las manecillas del reloj y se aplica la ley de forma correcta.  Se aplica un signo positivo para una elevación de potencia (−𝑎+), y un signo negativo para una caída de potencial (+𝑎 −). Al seguir la corriente en la figura 1 desde el punto 𝑎, primero se encuentra una caída de potencial 𝑉1(+ 𝑎 −) a través de 𝑅1, y luego otra caída de potencial 𝑉2 a través de 𝑅2. Al continuar a través de la fuente de voltaje, se tiene una elevación de potencial 𝐸(−𝑎+) antes de regresar a punto 𝑎.
  4. 4. Ley de Voltaje de Kirchhoff  En forma simbólica, donde representa una sumatoria, el lazo cerrado y las caídas y elevaciones de potencial, se tiene:  Lo cual reduce para el circuito de la figura 1 (en dirección de las manecillas de reloj, siguiendo la corriente 𝐼 e iniciando en el punto 𝑑): 𝑉 = 0 (𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝐾𝑖𝑟𝑐ℎℎ𝑜𝑓𝑓 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑠𝑖𝑚 𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑎) +𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0
  5. 5. Ley de Voltaje de Kirchhoff  O bien  Mostrando que, el voltaje aplicado de un circuito en serie equivale a la suma de las caídas de voltaje en los elementos en serie.  La ley de voltaje de Kirchhoff también puede enunciarse de la siguiente forma: 𝐸 = 𝑉1 − 𝑉2 𝑉𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑉𝑐𝑎í𝑑𝑎𝑠
  6. 6. Ley de Voltaje de Kirchhoff  La cual establece, en palabras, que la suma de las elevaciones alrededor de un lazo cerrado debe ser igual a la suma de las caídas de potencial.  Si el lazo se tomara en el sentido contrario de las manecillas del reloj comenzando por el punto 𝑎, se obtendría lo siguiente: O de la forma anterior 𝑉 = 0 −𝐸 + 𝑉2 + 𝑉1 = 0 𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2
  7. 7. Ley de Voltaje de Kirchhoff  La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff no necesita seguir una ruta que incluya elementos portadores de corriente.  Por ejemplo en la figura 2 existe una diferencia en el potencial entre los puntos 𝑎 𝑦 𝑏, incluso cuando los dos puntos no se encuentran conectados por un elemento portador de corriente
  8. 8. Ley de Voltaje de Kirchhoff Demostración de que puede existir un voltaje entre dos puntos no conectados mediante un conductor portador de corriente
  9. 9. Ley de Voltaje de Kirchhoff  La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor del lazo cerrado dará por resultado una diferencia de potencial de 4 𝑉 entre los dos puntos. Es decir utilizando la dirección de las manecillas del reloj. −12𝑉 + 𝑉𝑥 − 8𝑉 = 0 𝑉𝑥 = 4𝑉
  10. 10. Ejercicios  Ejercicio 1  Determine los voltajes desconocidos para las redes de las siguientes figuras:
  11. 11. Ejercicios  Solución Inciso a  La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 2 en la dirección de las manecillas del reloj dará por resultado.  Y despejando 𝑉1 tendremos lo siguiente:  El resultado indica claramente que no era necesario conocer los valores de los resistores o de la corriente para determinar el voltaje desconocido. +𝐸1 − 𝑉1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 0 𝑉1 = 𝐸1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 16𝑉 − 4.2𝑉 − 9𝑉 = 2.8𝑉
  12. 12. Ejercicios  Solución Inciso b  La aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff al circuito de la figura 2 en la dirección de las manecillas del reloj dará por resultado.  Y despejando 𝑉𝑥 tendremos lo siguiente: +𝐸 − 𝑉1 − 𝑉𝑥 = 0 𝑉𝑥 = 𝐸 − 𝑉1 = 32𝑉 − 12𝑉 = 20𝑉
  13. 13. Ejercicios  Solución Inciso b  Al utilizar la dirección de las manecillas del reloj para el otro lazo que contiene a 𝑅2 𝑦 𝑎 𝑅3 se obtendrá lo siguiente  Y despejando 𝑉𝑥 tendremos lo siguiente:  Lo que coincide con el resultado anterior. 𝑉𝑥 − 𝑉2 − 𝑉3 = 0 𝑉𝑥 = 𝑉2 + 𝑉3 = 6𝑉 + 14𝑉 = 20𝑉
  14. 14. Ejercicios  Ejercicio 2  Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2 para la red de la siguiente figura 3
  15. 15. Ejercicios  Solución  Para la trayectoria 1, iniciando en el punto 𝑎 en dirección de las manecillas del reloj  +25𝑉 − 𝑉1 + 15𝑉 = 0  𝑉1 = 40𝑉  Para la trayectoria 2, iniciando el punto 𝑎 en dirección de las manecillas del reloj:  −𝑉2 − 20𝑉 = 0  𝑉2 = −20𝑉
  16. 16. Ejercicios  Solución  El signo negativo indica solamente que las polaridades reales de la diferencia de potencial son opuestas al polaridad supuesta indicada en la figura.
  17. 17. Ejercicios  Ejercicio 3  Utilizando la ley de voltaje de Kirchhoff, determine los voltajes desconocidos para la red de la figura
  18. 18. Ejercicios  Solución inciso a  Observe en cada circuito que existen diversas polaridades en los elementos desconocidos, dado que éstos pueden contener cualquier mezcla de componentes. Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff a la red de la figura en la dirección de las manecillas del reloj se obtendrá: 60𝑉 − 40𝑉 − 𝑉𝑥 + 30𝑉 = 0
  19. 19. Ejercicios  Solución  Despejando 𝑉𝑥 tenemos que: 𝑉𝑥 = 60𝑉 + 30𝑉 − 40𝑉 = 90 − 40𝑉 𝑉𝑥 = 50𝑉
  20. 20. Ejercicios  Solución inciso b  En la figura b la polaridad de voltaje desconocido no se proporciona. En tales casos, realice un supuesto acerca de la polaridad, y aplique la ley de voltaje de Kirchhoff como antes.
  21. 21. Ejercicios  Solución inciso b  En este caso, si suponemos que 𝑎 es positiva y 𝑏 negativa, la aplicación de la ley de voltaje de Kirchhoff en dirección de las manecillas del reloj dará por resultado:  −6𝑉 − 14𝑉 − 𝑉𝑥 + 2𝑉 = 0 𝑦  𝑉𝑥 = −20𝑉 + 2𝑉 = −18𝑉  Dado que el resultado es negativo, sabemos que 𝑎 deberá ser negativo y 𝑏 positiva, sin embargo, la magnitud de 18V es correcta.
  22. 22. Ejercicios  Ejercicio 4  Para el circuito de la figura a. Calcule 𝑅 𝑇 b. Calcule 𝐼 c. Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2 d. Encuentre la potencia de los resistores de 4Ω y 6Ω e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados. f. Verifique la ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del reloj)
  23. 23. Ejercicios
  24. 24. Ejercicios  Solución a. Calcule 𝑅 𝑇 b. Calcule 𝐼 c. Calcule 𝑉1 𝑦 𝑉2 𝑅 𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4Ω + 6Ω 𝐼 = 𝐸 𝑅 𝑇 = 20𝑉 10Ω = 2𝐴 𝑉2 = 𝐼𝑅2 = 2𝐴 6Ω = 12𝑉 𝑉1 = 𝐼𝑅1 = 2𝐴 4Ω = 8𝑉
  25. 25. Ejercicios  Solución d. Encuentre la potencia de los resistores de 4Ω y 6Ω e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados 𝑃4Ω = 𝑉1 2 𝑅1 = 8𝑉 2 4 = 64 4 = 16𝑊 𝑃6Ω = 𝐼2 𝑅2 = (2𝐴)2 6Ω = 4 6 = 24𝑊
  26. 26. Ejercicios  Solución e. Encuentre la potencia suministrada por la batería, y compárela con la potencia disipada por los resistores de 4Ω 𝑦 6Ω combinados 𝑃𝐸 = 𝐸𝐼 = (20𝑉)(2𝐴) = 40𝑊 𝑃𝐸 = 𝑃4Ω + 𝑃6Ω 40𝑊 = 16𝑊 + 24𝑊 40𝑊 = 40𝑊 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
  27. 27. Ejercicios  Solución a. Verifique la ley de voltaje de Kirchhoff (en dirección de las manecillas del reloj) 𝑉 = +𝐸 − 𝑉1 − 𝑉2 = 0 𝐸 = 𝑉1 + 𝑉2 20𝑉 = 8𝑉 + 12𝑉 20𝑉 = 20𝑉 (𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎)
  28. 28. Ejercicios Intercambio de elementos en serie  Ejercicio 5  Determine 𝐼 y el voltaje en el resistor de 7Ω para la red de la siguiente figura
  29. 29. Ejercicios Intercambio de elementos en serie  Solución  La red se vuelve a trazar de acuerdo a la siguiente figura
  30. 30. Ejercicios Intercambio de elementos en serie  Solución  Por lo tanto tenemos 𝑅 𝑇 = 2 4Ω + 7Ω = 15Ω 𝐼 = 𝐸 𝑅 𝑇 = 37.5𝑉 15Ω = 2.5𝐴 𝑉7Ω = 𝐼𝑅 = 2.5𝐴 7Ω = 17.5𝑉
  31. 31. Regla del Divisor de Voltaje  En un circuito en serie, el voltaje en los elementos resistivos se dividirá en función de la magnitud de los niveles de resistencia.  Un método denominado regla del divisor de voltaje (RDV) que permite la determinación de los niveles de voltaje sin tener que encontrar antes la corriente. La regla puede derivarse mediante el análisis de la red de la figura siguiente
  32. 32. Regla del Divisor de Voltaje
  33. 33. Regla del Divisor de Voltaje 𝑅 𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 𝑦 𝐼 = 𝐸 𝑅 𝑇 Y al aplicar la ley de Ohm tenemos que: 𝑉1 = 𝐼𝑅1 = 𝐸 𝑅 𝑇 𝑅1 = 𝑅1 𝐸 𝑅 𝑇 𝑉2 = 𝐼𝑅2 = 𝐸 𝑅 𝑇 𝑅2 = 𝑅2 𝐸 𝑅 𝑇
  34. 34. Regla del Divisor de Voltaje Observe que le formato para 𝑉1 𝑦 𝑉2 𝑒𝑠: 𝑉𝑥 = 𝑅 𝑥 𝐸 𝑅 𝑇 (𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒) Donde 𝑉𝑥 es el voltaje en los elementos en serie, y 𝑅 𝑇 es la resistencia total del circuito en serie.
  35. 35. Regla del Divisor de Voltaje El voltaje en un resistor en un circuito en serie es igual al valor de ese resistor multiplicado por le voltaje total en los elementos en serie, dividido entre la Resistencia total de los elementos en serie.
  36. 36. Ejercicios  Ejercicio 6  Utilice la regla del divisor de voltaje y determine los voltajes y determine los voltajes 𝑉1 𝑦 𝑉3 para el circuito en serie de la figura.
  37. 37. Ejercicios
  38. 38. Ejercicios  Solución 𝑉1 = 𝑅1 𝐸 𝑅 𝑇 = 2𝑘Ω 45𝑉 2𝑘Ω+5𝑘Ω+8𝑘Ω = 2𝑘Ω 45𝑉 15𝑘Ω = 90𝑉 15 𝑉1 = 6𝑉 𝑉3 = 𝑅3 𝐸 𝑅 𝑇 = 8𝑘Ω 45𝑉 15𝑘Ω = 360𝑉 15 𝑉3 = 24𝑉
  39. 39. Ejercicios  La regla puede ampliarse al voltaje presente en dos o mas elementos en serie si la resistencia en el numerador se desarrolla para incluir la resistencia total de los elementos en Serie en los que se calcula el voltaje, es decir: 𝑉′ = 𝑅′ 𝐸 𝑅 𝑇 (𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠)
  40. 40. Ejercicios  Ejercicio 7  Determine el voltaje 𝑉′ de la figura anterior en los resistores 𝑅1 𝑦 𝑅2 𝑉′ = 𝑅′ 𝐸 𝑅 𝑇 = 2𝑘Ω + 5𝑘Ω 45𝑉 15𝑘Ω = 7𝑘Ω 45𝑉 15𝑘Ω = 21𝑉
  41. 41. Ejercicios  Ejercicio 8  Diseñe el divisor de voltaje de la siguiente figura de forma que 𝑉𝑅1 = 3𝑉𝑅2
  42. 42. Ejercicios  Solución  La resistencia total se define mediante:  𝑅 𝑇 = 𝐸 𝐼 = 20𝑉 4 𝑚𝐴 = 5𝑘Ω  Dado que 𝑉𝑅1 = 4𝑉𝑅2, por lo tanto tenemos  𝑅1 = 4𝑅2  De manera que 𝑅 𝑇 = 𝑅1 + 𝑅2 = 4𝑅2 + 𝑅2 = 5𝑅2  5𝑅2 = 5𝑘Ω ⟹ 𝑅2 = 1𝑘Ω 𝑦 𝑅1 = 4𝑅2 = 4𝑘Ω
  43. 43. Ejemplos de Análisis por computadora Pspice o Orcad 16.6
  44. 44. Ejemplos de Análisis por computadora Multisim 11
  45. 45. Ejemplos de Análisis por computadora Proteus

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