1. Let's Simulate
a Quantum Computer
with Pretty Scala
#ScalaMatsuri 2018
Torigoe Takatomo
https://github.com/piyo7/qlione
量子コンピュータをScalaでかわいくシミュレーションしてみよう
鳥越貴智 (piyo7)

2. This Session’s Cake (Goal)
Quantum Fourier Transform Circuit
本セッションの目標は、量子フーリエ変換の回路を
Scalaでシミュレーションすること。

3. Don’t Let the Cake Lie
回路を縦にしてみましょう。
↷

4. The Cake is Baked
そして回路をコーディングしたものがこちらになります。
(|("000").> + |("100").>).bits[_3] |>
(H x I x I) |>
(Rz(Pi/2) . C x I) |>
(Rz(Pi/4) x I) . C |>
(I x H x I) |>
(I x Rz(Pi/2) . C) |>
(I x I x H)

5. The Cake is Baked
そして回路をコーディングしたものがこちらになります。
ね、簡単でしょ？
(|("000").> + |("100").>).bits[_3] |>
(H x I x I) |>
(Rz(Pi/2) . C x I) |>
(Rz(Pi/4) x I) . C |>
(I x H x I) |>
(I x Rz(Pi/2) . C) |>
(I x I x H)

7. The End Is a Lie
CyberAgent AdTech Studio
Torigoe Takatomo
https://qiita.com/piyo7
ScalaMatsuri & me
● 2014: wireless simulation engineer (C++)
● 2016: looking for a new job...
● 2017: adtech data & ML engineer (Scala)
鳥越貴智です。ScalaMatsuri に感化されて転職しました。
サイバーエージェントは今年も＼将軍スポンサー／

8. Quantum Computers Are Coming
https://www.research.ibm.com/ibm-q/
https://www.microsoft.com/en-us/quantum/what-is-quantum-computing

9. Hello, Quantum Bit (Qubit)
Classical 2 bits
Quantum 2 bits
A n-qubit state is “superposition” of 2^n bases.
古典ビットと量子ビットの違いを見てみましょう。
n 量子ビットの状態は、 2^n 個の基底の「重ね合わせ」。

10. Hello, Quantum Bit (Qubit)
A n-qubit is denoted by a complex column vector.
Its size is 2^n. (ex. 2^50=1,125,899,906,842,624)
n 量子ビットの状態は、 2^n 行の複素ベクトルで表せます。
50量子ビットなら、1,125,899,906,842,624。

11. Hello, Quantum Gate
=
A n-qubit gate is denoted by a complex matrix.
Its column size & row size are 2^n.
n 量子ゲートは、 2^n 行 2^n 列の複素行列で表せます。

12. Hello, Quantum Calculation
Enter in
The core of quantum calculation is matrix operation.
量子計算の肝は、複素行列の演算です。

13. OK.
We can calculate qubits.
これで量子計算できるようになりました。
すべて世は事も無し。

14. Handwriting Hell
2^n 行 2^n 列の複素行列、手計算つらたん。
見るからに地獄 ｡･ﾟ･（>﹏<）･ﾟ･｡

15. Complex Number
case class Complex(re: Double, im: Double) {
def +(that: Complex) = Complex(re + that.re, im + that.im)
...
object Complex {
implicit def toComplex(d: Double) = Complex(d, 0)
implicit class ToComplex(val d: Double) extends AnyVal {
def i = Complex(0, d)
}
...
まずは、複素数を実装します。

16. Complex Number DSL
ケースクラス、暗黙のメソッド、暗黙の値クラス、を使うと
数式っぽく複素数を書けます。
Numerical expression can be written with...
● Case class
● Implicit method
● Implicit value class
> 0.1 + 2.3.i
// toComplex(0.1) + ToComplex(2.3).i
// Complex(0.1, 0.0) + Complex(0.0, 2.3)
res = Complex(0.1, 2.3)

17. Complex Matrix Multiplication
はい、複素行列の掛け算です。
map と zip と reduce でサクッと実装できます。
val in = Vector[Complex](
(1 + 1.i) / 4, (1 - 1.i) / 4, 1.0 / 2, 1.0 / math.sqrt(2))
val gate = Vector[Vector[Complex]](
Vector(1 , 0 , 0 , 0 ),
Vector(0 , 1 , 0 , 0 ),
Vector(0 , 0 , 0 , -1.i),
Vector(0 , 0 , 1.i , 0 ))
val out = gate.map(row =>
row.zip(in).map(pair => pair._1 * pair._2).reduce(_ + _))

18. OK..
We can write Scala code
to calculate qubits?
これで量子計算をScalaでプログラミングできますね。
OK Google?
the cake is a lie.

19. Out of Memory Hell
16 量子ゲートを作ろうとした結果、メモリが溢れました。
どう考えても地獄 ｡･ﾟ･（>﹏<）･ﾟ･｡
scala> Vector.fill(65536)(Vector.fill(65536)(0 + 0.i))
java.lang.OutOfMemoryError: GC overhead limit exceeded
at com.github.piyo7.qlione.Complex.$plus(Complex.scala:8)
at .$anonfun$res31$2(<console>:15)
at $$Lambda$2011/487012190.apply(Unknown Source)
at scala.collection.generic.GenTraversableFactory.fill(GenTrave
at .$anonfun$res31$1(<console>:15)
at $$Lambda$2010/565550535.apply(Unknown Source)
at scala.collection.generic.GenTraversableFactory.fill(GenTrave
... 25 elided

20. Sparse Matrix
=
Usually, most of elements in quantum gates are 0.
量子ゲートの複素行列は、たいていの場合、
ほとんどの要素がゼロ、すなわち疎行列です。

21. Map Is Efficient for Sparse Matrix
疎行列のデータ構造には、 Map が適しています。
12 量子単位ゲートのメモリ使用量を確認してみましょう。
import com.twitter.common.objectsize.ObjectSizeCalculator._
val identity12a: Vector[Vector[Complex]] =
(0 until 4096).map(a => (0 until 4096).map(b =>
if (a == b) 1 + 0.i else 0 + 0.i).toVector).toVector
getObjectSize(identity12a) // == 615,566,088 bytes
val identity12b: Map[(Int, Int), Complex] =
(0 until 4096).map(a => (a, a) -> (1 + 0.i)).toMap
getObjectSize(identity12b) // == 562,056 bytes

22. Bra–Ket Notation
=
|a> <b| denotes a sparse matrix whose
a-th row and b-th column element is an only 1.
|a> is a column vector called “ket”.
<b| is a row vector called “bra”.
量子計算では、しばしばブラケット記法を使います。
|a> <b| は、 a 行 b 列の要素のみが 1 の疎行列です。

23. Bra-Ket Case Classes
ケースクラスを使うと、
ブラケット記法っぽく量子ゲートを書けます。
case class QuMatrix(map: Map[(Int, Int), Complex]) { … }
case class |(i: Int) extends AnyVal {
def > = QuMatrix(Map((i, 0) -> 1)) // bra notation
}
case class <(i: Int) extends AnyVal {
def | = QuMatrix(Map((0, i) -> 1)) // ket notation
}
val Y = -1.i * |(0).> * <(1).| + 1.i * |(1).> * <(0).|

24. OK...
We can write Scala code
to calculate qubits
on classical memory?
これで量子計算の古典メモリ使用量を抑えられますね。
OK GO?
the cake is a lie. the cake is a lie.

25. Unmatched Size Hell
うっかり量子ビット数を間違えてしまい、無が生まれました。
控えめに言って地獄 ｡･ﾟ･（>﹏<）･ﾟ･｡
// 3-qubit state
val in = QuMatrix
(Map((7, 0) -> 1))
// 2-qubit gate
val CY = QuMatrix
(Map((0, 0) -> 1, (1, 1) -> 1, (2, 3) -> -1.i, (3, 2) -> 1.i))
// A 2-qubit gate acts on a 3-qubit state.
val out = CY * in
pritnln(out) // == QuMatrix(Map()) null state!

26. Type-Level Natural Number
型レベル自然数です。 0 から再帰的に構築します。
足し算をすることもできます。
sealed trait _Nat
class _0 extends _Nat
class _suc[A <: _Nat] extends _Nat // successor in Peano axioms
// imitate shapeless library
trait _plus[A <: _Nat, B <: _Nat] { type Out <: _Nat }
object _Nat {
type _1 = _suc[_0]
type _2 = _suc[_1] // _suc[_suc[0]]
type _3 = _suc[_2] // _suc[_suc[_suc[0]]]
...

27. Type-Level Sized Matrix
行数と列数を型レベル自然数で表した行列クラスです。
量子ビットやゲートのため、 2 のベキの指数を保持します。
// 2^A x 2^B matrix
// N quantum bits: A = N, B = _0
// N quantum gate: A = N, B = N
case class QuMatrix[A <: _Nat, B <: _Nat]
(map: Map[(Int, Int), Complex]) {
// (2^A x 2^B matrix) + (2^A x 2^B matrix) = 2^A x 2^B matrix
def +(that: QuMatrix[A, B]): QuMatrix[A, B] = …
// (2^A x 2^B matrix) * (2^B x 2^C matrix) = 2^A x 2^C matrix
def *[C <: _Nat](that: QuMatrix[B, C]): QuMatrix[A, C] = …

28. Type-Level Size Check
量子ビット数を型レベルで持つことで、
整合していないとコンパイルできないように。
val in = QuMatrix[_3, _0]
(Map((7, 0) -> 1))
val CY = QuMatrix[_2, _2]
(Map((0, 0) -> 1, (1, 1) -> 1, (2, 3) -> -1.i, (3, 2) -> 1.i))
// This expression cannot be compiled!
// val out = CY * in
// Type mismatch,
// expected: QuMatrix[_2, _0], actual: QuMatrix[_3, _0]

29. OK....
We can write Scala code
to calculate type-level sized qubits
on classical memory?
これで量子ビット数を型レベルで保証できますね。
OK 次に進もうぜ？
the cake is a lie. the cake is a lie. the cake is a lie.

30. RedUNdaNt TyPe pARamETer HElL
そこかしこで型パラメータを書かないといけないように。
フツーに地獄 ｡･ﾟ･（>﹏<）･ﾟ･｡
val Y: QuMatrix = -1.i * |(1).> * <(0).| + 1.i * |(0).> * <(1).|
val b: QuMatrix = sqrt(0.5) * |(0).> + sqrt(0.5) * |(1).>
val Y: QuMatrix[_1, _1] =
- 1.i * |(1).>[_1, _0] * <(0).|[_0, _1]
+ 1.i * |(0).>[_1, _0] * <(1).|[_0, _1]
val b: QuMatrix[_1, _0] =
sqrt(0.5) * |(0).>[_1, _0] + sqrt(0.5) * |(1).>[_1, _0]
⇩

31. in 2-size context
in 4-size context
in ?-size context
Addition & Multiplication allow unsized matrix.
Unsized Sparse Matrix
実のところ、疎行列はサイズが決まっていなくても、
足し算や掛け算を行えてしまうのです。

32. = =
=
Kronecker Product Needs Size
ただし、量子ビットや量子回路を結合するために使う
クロネッカー積は、サイズが決まってないといけません。
// (2^A x 2^B) (2^C x 2^D) = (2^(A + C) x 2^(B + D))
def x[C <: _Nat, D <: _Nat](that: QuMatrix[C, D])
(implicit pAC: _plus[A, C], pBD: _plus[B, D])
: QuMatrix[pAC.Out, pBD.Out] = …

33. Type-Level Optionally Sized Matrix
型レベルのオプション自然数を実装して、
本当に必要なところのみサイズを宣言するようにしました。
sealed trait _OptNat
class _none extends _OptNat
sealed trait _Nat extends _OptNat
case class QuMatrix[A <: _OptNat, B <: _OptNat]
(map: Map[(Int, Int), Complex]) { … }
// Of course types of following values can be inferred.
val Y: QuMatrix[_none, _none] =
-1.i * |(1).> * <(0).| + 1.i * |(0).> * <(1).|
val H: QuMatrix[_none, _none] = …
val YH: QuMatrix[_2, _2] = Y.gate[_1] x H.gate[_1]

34. OK.....
We can write Scala code
without redundant type parameters
to calculate type-level sized qubits
on classical memory?
これで冗長な型パラメータを書かずにすみますね。
OK余裕？
the cake is a lie. the cake is a lie. the cake is a lie. the cake is a lie.

35. The direction of data flow is opposite.
Dataflow Direction Hell
回路は左から右にデータが流れますが、掛け算は逆です。
これが意外と地獄 ｡･ﾟ･（>﹏<）･ﾟ･｡
val out = Z * (Y * (X * |(0).>))

36. Pipeline Operator
パイプライン演算子によって、関数適用を左右反転します。
case class QuMatrix[A <: _OptNat, B <: _OptNat]
(map: Map[(Int, Int), Complex]) {
def |>[C <: _OptNat](that: QuMatrix[C, A]): QuMatrix[C, B] =
that * this // flip horizontal
...
}
val out = |(0).> |> X |> Y |> Z

37. OK.......
We can write intuitively directed Scala code
without redundant type parameters
to calculate type-level sized qubits
on classical memory?
これで直感的にデータフローを書けますね。
もうOKしてもいいよね？
cake is a lie. the cake is a lie. the cake is a lie. the cake is a lie. the cake is

38. The Cake is NOT a Lie
Scalaのテクニックを駆使することで、かわいく
量子フーリエ変換の回路をコーディングできました。
(|("000").> + |("100").>).bits[_3] |>
(H x I x I) |>
(Rz(Pi/2) . C x I) |>
(Rz(Pi/4) x I) . C |>
(I x H x I) |>
(I x Rz(Pi/2) . C) |>
(I x I x H)

39. Stay Pretty to Survive from Hells
We are still alive through…
● Handwriting Hell
● Out of Memory Hell
● Unmatched Size Hell
● RedUNdaNt TyPe pARamETer HElL
● Dataflow Direction Hell
かわいいは正義の敵：手書き、メモリ不足、サイズ不整合、
冗長な型パラメータ、反転したデータフロー

40. Play Qlione!
https://github.com/piyo7/qlione