SlideShare a Scribd company logo
1 of 99
Download to read offline
Introduction ` la statistique
              a
        inf´rentielle
           e

           Didier Concordet
           Unit´ de Biom´trie
               e          e
      Ecole V´t´rinaire de Toulouse
             ee
Sommaire

1 Statistiques descriptives                                                                   7
  1.1 Description num´rique . . . . . . .
                      e                      . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .    7
       1.1.1 Param`tres de position . . .
                    e                        . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .    8
       1.1.2 Param`tres de dispersion . .
                    e                        . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
       1.1.3 Param`tres de forme . . . .
                    e                        . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   11
  1.2 Description graphique . . . . . . .    . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
       1.2.1 Description de la densit´ . .
                                     e       . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   12
       1.2.2 Description de la fonction de   r´partition
                                              e              .   .   .   .   .   .   .   .   13

2 Le zoo des lois de probabilit´  e                                                          17
  2.1 Lois de probabilit´ discr`tes . . . . . . . . . . . .
                        e       e                                .   .   .   .   .   .   .   18
      2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . .       .   .   .   .   .   .   .   21
      2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   21
      2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . .
                        e e                                      .   .   .   .   .   .   .   23
      2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares
                                        e e                      .   .   .   .   .   .   .   24
      2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . .
                              e                                  .   .   .   .   .   .   .   26
      2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   27
  2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . .
                                  e                              .   .   .   .   .   .   .   28
      2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . .
                         e            e                          .   .   .   .   .   .   .   28
      2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . .            .   .   .   .   .   .   .   30
      2.2.3 Loi du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   33
      2.2.4 Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   34
      2.2.5 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . .        .   .   .   .   .   .   .   34
  2.3 Quelques remarques sur l’op´rateur IE . . . . . .
                                    e                            .   .   .   .   .   .   .   35

                                     1
2.4   Lois ` deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
              a
         2.4.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
                  e e   e
         2.4.2 Loi normale a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . 40

3 Estimation                                                                                       43
  3.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . .
        e e    e                                       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   43
  3.2 Estimateur convergent . . . . . . . . . . .      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   44
  3.3 Estimateur sans biais . . . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   46
  3.4 Estimateur de variance minimum . . . . .         .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   48
  3.5 Une m´thode g´n´rale d’estimation :
            e        e e
      le maximum de vraisemblance . . . . . . .        . . . . .           .   .   .   .   .   .   50
  3.6 Une bricole sur le th´or`me central limit .
                           e e                         . . . . .           .   .   .   .   .   .   52
  3.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . .           .   .   .   .   .   .   53
      3.7.1 Estimation des param`tres d’une loi
                                     e                 normale             .   .   .   .   .   .   53
      3.7.2 Estimation d’un pourcentage . . . .        . . . . .           .   .   .   .   .   .   57

4 Tests d’hypotheses                                                                               61
  4.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . .
        e e     e                                      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   61
  4.2 Hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . .
              e                                        .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   63
  4.3 D´finition des risques . . . . . . . . . . . .
        e                                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   64
  4.4 Ce qu’il ne faudrait pas croire . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   67
  4.5 Tests param´triques et non param´triques
                   e                     e             .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   68
  4.6 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . .     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   68

5 Tests classiques                                                                                 71
  5.1 Comparaisons portant sur les variances . . . . . . . . . . . . .                             71
      5.1.1 Comparaison d’une variance ` une valeur d´terministe
                                         a              e                                          71
      5.1.2 Comparaison de deux variances . . . . . . . . . . . . .                                72
      5.1.3 Comparaison de plusieurs variances . . . . . . . . . . .                               72
  5.2 Comparaisons portant sur les moyennes . . . . . . . . . . . . .                              74
      5.2.1 Comparaison d’une moyenne ` une valeur donn´e m0 .
                                          a                  e                                     75
      5.2.2 Comparaison de deux moyennes . . . . . . . . . . . . .                                 76
  5.3 Comparaisons portant sur les proportions . . . . . . . . . . . .                             79


                                      2
5.3.1 Comparaison d’une proportion ` une valeur donn´e
                                            a                   e     .   .    79
5.4   Comparaison de deux proportions . . . . . . . . . . . . . .     .   .    80
5.5   Test de conformit´ a une loi de proba . . . . . . . . . . . .
                        e                                             .   .    83
      5.5.1 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . . . . . .         .   .    83
      5.5.2 Test du χ2 pour une loi normale . . . . . . . . . . .     .   .    84
5.6   Comparaisons multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .    85
      5.6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   .   .    86
      5.6.2 Analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . .    .   .    87
      5.6.3 Estimation des param`tres . . . . . . . . . . . . . .
                                    e                                 .   .    88
5.7   Tests d’hypoth`ses (param´triques) . . . . . . . . . . . . .
                     e          e                                     .   .    91
      5.7.1 M´thode des contrastes . . . . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    92
      5.7.2 Orthogonalit´ et ind´pendance . . . . . . . . . . . .
                          e       e                                   .   .    93
      5.7.3 Plus petite diff´rence significative (PPDS) . . . . .
                            e                                         .   .    94
      5.7.4 M´thode de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    96
      5.7.5 M´thode de Newman-Keuls . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    97
      5.7.6 M´thode de Duncan . . . . . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    99
      5.7.7 M´thode de Tuckey . . . . . . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    99
      5.7.8 M´thode de Dunnett . . . . . . . . . . . . . . . . .
               e                                                      .   .    99
5.8   Quelques tests non parametriques . . . . . . . . . . . . . .    .   .   100
      5.8.1 Tests sur ´chantillons appari´s . . . . . . . . . . . .
                       e                  e                           .   .   101
      5.8.2 Tests sur ´chantillons ind´pendants . . . . . . . . .
                       e               e                              .   .   102




                                   3
Chapitre 1

Statistiques descriptives

L’objet de ce chapitre est de pr´senter bri`vement la premi`re ´tape de
                                  e          e                 e e
l’analyse des donn´es : la description. L’objectif poursuivi dans une telle
                   e
analyse est de 3 ordres :
tout d’abord, obtenir un contrˆle des donn´es et ´liminer les donn´es aber-
                              o            e     e                e
rantes ensuite, r´sumer les donn´es (op´ration de r´duction) sous forme
                 e                e      e           e
graphique ou num´rique, enfin, ´tudier les particularit´s de ces donn´es
                    e             e                      e              e
ce qui permettra ´ventuellement de choisir des m´thodes plus complexes.
                   e                               e
Les m´thodes descriptives se classent en deux cat´gories qui souvent sont
       e                                           e
compl´mentaires : la description num´rique et la description graphique.
      e                              e


1.1     Description num´rique
                       e
Avant de donner des d´finitions formelles de tous les indices, nous les cal-
                         e
culerons sur la s´rie de donn´es suivante (GMQ de porcs exprim´s en g):
                 e           e                                 e

            x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
            737 630 573 615 718 620 820 763 786 529
Nous noterons n la taille de la s´rie de donn´es, ici n = 10
                                 e           e




                                      4
1.1.1    Param`tres de position
              e
Les param`tres de position, aussi appel´s valeurs centrales, servent ` car-
            e                            e                           a
act´riser l’ordre de grandeur des donn´es.
   e                                  e
• moyenne arithm´tique :
                      e
Elle est plus souvent appel´e moyenne, et est en g´n´ral not´e x, elle est
                             e                     e e        e ¯
calcul´e en utilisant la formule:
      e
                                            n
                                      1
                                 x=
                                 ¯               xi
                                      n   i=1

Dans notre exemple,¯ = 679.
                     x
• moyenne g´om´trique
              e e
La moyenne g´om´trique (¯g ) est toujours inf´rieure (ou ´gale) ` la moyenne
             e e          x                  e           e      a
arithm´tique. Elle est donn´e par:
      e                    e

                                      n           1/n

                              xg =
                              ¯             xi
                                      i=1

Dans notre exemple, xg = 672.6
                    ¯
On peut remarquer que
                                            n
                                     1
                          log(¯g ) =
                              x                  log(xi )
                                     n    i=1

en d’autres termes, le log de la moyenne g´om´trique est la moyenne arithm´tique
                                          e e                               e
du log des donn´es. Elle est tr`s souvent utilis´e pour les donn´es distribu´es
                 e               e              e               e           e
suivant une loi log normale (par exemple les comptages cellulaires du lait).
• moyenne harmonique
La moyenne harmonique (¯h ) est toujours inf´rieure (ou ´gale) ` la moyenne
                             x                 e            e     a
g´om´trique, elle est en g´n´ral utilis´e pour calculer des moyennes sur des
 e e                        e e        e
intervalles de temps qui s´parent des ´v´nements. Elle est donn´e par:
                            e          e e                         e
                                            n
                               xh =
                               ¯          n   1
                                          i=1 xi




                                      5
Dans notre exemple,¯h = 666.05
                   x
On peut remarquer que
                                          n
                             1    1             1
                                =                  .
                             xh
                             ¯    n       i=1
                                                xi
• m´diane
     e
La m´diane x est la valeur telle que la moiti´ des observations lui sont
        e      ˜                                   e
sup´rieures (ou ´gales) et la moiti´ inf´rieures (ou ´gales). Il est clair que
    e            e                   e   e             e
la m´diane existe pour toutes les distributions (ce qui n’est pas le cas de la
      e
moyenne) de plus, elle est peu sensible aux valeurs extrˆmes.
                                                          e
Lorsque le nombre d’observations est pair, la m´diane n’est pas d´finie de
                                                    e                 e
fa¸on unique. La valeur usuellement retenue est la moyenne des observations
  c
de rang n et de rang n + 1 Dans notre exemple x = 674.
          2            2
                                                   ˜
• les quartiles
Les quartiles sont au nombre de trois. La m´diane est le deuxi`me.
                                               e                 e
Le premier quartile q1 est la valeur telle que 75% des observations lui sont
sup´rieures (ou ´gales) et 25% inf´rieures (ou ´gales).
    e            e                 e             e
Lorsqu’il n’est pas d´fini de fa¸on unique, on utilise g´n´ralement la moyenne
                     e         c                       e e
des observations qui l’encadrent pour le calculer. Dans notre exemple, q1 =
615.
Le troisi`me quartile q3 est la valeur telle que 25% des observations lui sont
          e
sup´rieures (ou ´gales) et 75% inf´rieures (ou ´gales).
    e            e                 e             e
Lorsqu’il n’est pas d´fini de fa¸on unique, on utilise la moyenne des observa-
                     e         c
tions qui l’encadrent pour le calculer. Dans notre exemple, q3 = 763.
• le mode
est la (ou les) valeur(s) pour laquelle les effectifs sont maximums, il est en
g´n´ral assez difficile de l’´valuer (quand il existe) sur des ´chantillons de
 e e                        e                                  e
petite taille.
• les extrˆmes
            e
Ce sont les minimum et maximum de l’´chantillon qui ici valent respective-
                                          e
ment 529 et 820.
     La moyenne n’est pas toujours le meilleur indice pour d’´crire la
                                                             e
     position des donn´es, tout d´pend de la forme de la distribution.
                      e          e

                                      6
En effet, pour des distributions non sym´triques ou multimodales,
                                              e
      il est souvent pr´f´rables de donner les percentiles qui sont plus
                        ee
      facile ` interpr´ter.
             a        e

1.1.2     Param`tres de dispersion
               e
Ces param`tres (comme leur nom l’indique) mesurent la dispersion des donn´es.
           e                                                             e
• la variance
Elle est d´finie comme la moyenne des carr´s des ´carts ` la moyenne, soit:
          e                               e     e      a
                                             n
                                     1
                              ˆ2
                              σn   =             (xi − x)2
                                                       ¯
                                     n    i=1

Il est aussi possible d’en donner la d´finition suivante:
                                      e
                                         n       n
                                    1
                         ˆ2
                         σn =                        (xi − xj )2
                                   2n2   i=1 j=1


On voit donc, que la variance est proportionnelle ` la somme des carr´s de
                                                    a                     e
toutes les diff´rences possibles entre les observations.
              e
Cette d´finition de la variance n’est pas utilis´e en pratique pour une raison
        e                                      e
que nous verrons au chapitre suivant. En fait, on utilise la d´finition suivante
                                                              e
                                                      n
                                    1
                       ˆ2
                       σn−1   =S = 2
                                                           (xi − x)2
                                                                 ¯
                                   n−1               i=1

La variance s’exprime dans l’unit´ au carr´ des donn´es ; dans notre exemple,
                                  e         e          e
                     2               2
la variance vaut :ˆn−1 = 9664.989g
                   σ
• l’´cart type
    e
est la racine carr´e de la variance. il vaut ici:ˆn−1 = 93.26g Utilisez le ` bon
                  e                              σ                         a
escient (cf TD)
• l’´tendue ou amplitude
    e
est d´finie comme la diff´rence entre la maximum et le minimum, soit ici
      e                    e
:820 − 529 = 291g
• la distance inter-quartile

                                             7
est d´finie comme la diff´rence entre q3 et q1 , soit:763 − 615 = 148
     e                 e
• le coefficient de variation
est d´finie comme le rapport entre l’´cart type et la moyenne.
     e                              e

                                            S2
                                CV =
                                            x
                                            ¯

1.1.3    Param`tres de forme
              e
Les logiciels de statistiques fournissent g´n´ralement les param`tres Skewness
                                           e e                  e
et Kurtosis construits ` partir des moments centr´s d’ordre 2,3 et 4 qui
                          a                            e
mesurent respectivement la sym´trie et l’aplatissement de la distribution dont
                                  e
l’´chantillon est issu.
  e
Pour une loi normale centr´e r´duite, ces coefficients sont nuls.
                              e e
Les moments centr´s d’ordre 3 et 4 sont d´finis par:
                     e                       e
                                      n
                                 1
                            m3 =           (xi − x)3
                                                 ¯
                                 n   i=1

                                      n
                                 1
                            m4 =           (xi − x)4
                                                 ¯
                                 n   i=1

A partir de ces d´finitions, les param`tres Skewness et Kurtosis sont respec-
                 e                    e
tivement d´finis par:
           e
                                         m3
                                   γ1 = 3
                                         s
                                      m4
                                 γ2 = 4 − 3
                                       s
Dans notre exemple,γ1 = −0.037 et γ2 = −1.339
Le param`tre γ1 est nul pour une distribution sym´trique. Le graphique
          e                                            e
suivant montre un exemple de distribution avec un γ1 positif et n´gatif. Le
                                                                  e
param`tre γ2 est nul pour une loi normale. Le graphique suivant montre un
      e
exemple de distribution avec un γ1 positif et n´gatif.
                                               e




                                      8
1.2      Description graphique
Les graphiques pr´sent´s dans ce paragraphe d´crivent d’une part la densit´
                   e     e                        e                             e
de la distribution et d’autre part la fonction de r´partition de la distribution.
                                                    e

1.2.1     Description de la densit´
                                  e
Histogramme (cf fig 1.1)




                   30                                            0.2




                                                                       Proportion per Bar
                   20
           Count




                                                                 0.1

                   10




                   0                                             0.0
                    4        5              6           7       8
                                   Variable à étudier


Figure 1.1: Histogramme d’une variable quantitative. La variable quan-
titative est d´coup´e en classes repr´sent´es en abscisse. Le pourcentage
               e    e                  e    e
(et/ou le nombre) de donn´es de l’´chantillon appartenant ` chaque classe
                            e        e                     a
est repr´sent´ en ordonn´e. L’inconv´nient majeur de cette repr´sentation
         e    e           e            e                        e
graphique est l’arbitraire dans le choix des classes.




                                        9
Stem and leaf
  4       3
  4       4445
  4       666677
  4       88888999999
  5 H 0000000000111111111
  5       22223
  5       4444445555555
  5       66666677777777
  5 M 8888888999
  6       000000111111
  6       2222333333333
  6 H 444444455555
  6       6677777777
  6       8889999
  7 01
  7       2223
  7       4
  7       67777
  7       9
C’est un de mes graphiques pr´f´r´s. Il s’agit d’un histogramme fait avec
                                   eee
des chiffres. Les donn´es sont class´es par ordre croissant. Le minimum de
                        e             e
l’´chantillon est 4.3 (premi`re ligne du stem). La deuxi`me ligne nous indique
  e                         e                           e
que l’´chantillon contient 3 valeurs qui apr`s arrondi valent 4.4 et une valeur
      e                                      e
´gale (apr`s arrondi) ` 4.5. Le maximum vaut 7.9. Les H nous indiquent
e          e            a
les classes qui contiennent respectivement les premier et troisi`me quartiles
                                                                 e
tandis que le M nous donne la classe qui contient la m´diane. On en d´duit
                                                         e                e
que 25% des donn´es sont inf´rieures ` 5.0 ou 5.1, 50 % sont inf´rieures ` 5.8
                    e          e        a                         e       a
ou 5.9 et 25% sont sup´rieures ` 6.4 ou 6.5.
                         e        a

1.2.2     Description de la fonction de r´partition
                                         e
Qplot (Quantile plot) ou encore fonction de r´partition empirique (cf fig 1.2)
                                             e




                                      10
1.0
                                 0.9
              Fraction of Data   0.8
                                 0.7
                                 0.6
                                 0.5
                                 0.4
                                 0.3
                                 0.2
                                 0.1
                                 0.0
                                   4   5        6        7           8
                                                             Variable étudiée


Figure 1.2: Ce graphique est homog`ne au graphique des fr´quences cu-
                                          e                     e
mul´es pour une variable qualitative. La variable ´tudi´e est repr´sent´e sur
    e                                             e    e          e    e
l’axe des abscisses. L’axe des ordonn´es donne le pourcentage de donn´es de
                                        e                              e
l’´chantillon inf´rieures ou ´gales ` l’abscisse.
  e              e           e      a

Pplot (Probability plot) aussi appel´ dans le cas de la loi normale droite de
                                      e
Henry. (cf fig 1.3). Toutes les fonctions de r´partition se ressemble, ce sont
                                               e
des courbes croissantes en g´n´ral sigmo¨
                              e e         ıdale. En bref, elles ne permettent
pas facilement d’identifier une loi. L’id´e des Pplot est de d´former l’axe
                                          e                       e
des ordonn´es de telle fa¸on que si la loi empirique est proche de la loi que
            e             c
l’on cherche ` identifier alors les points sont ` peu pr´s align´s. Le Pplot
              a                                  a       e         e
le plus courant est la droite de Henry qui permet de reconnaˆ la loi nor-
                                                                 ıtre
male. Formellement voil` comment cela marche. Notons F
                          a                                   ˆ (x) la fonction
de r´partition empirique construite avec notre ´chantillon. On pense que
     e                                             e
cette fonction de r´partition est proche de la fonction de r´partition de la loi
                   e                                        e


                                           11
normale N (m, σ 2 ) (cf paragraphe refgauss0 pour plus de d´tails). On pense
                                                           e
         ˆ (x)
donc que F          Φ σ x−m
                             o` Φ est la fonction de r´partition de la la loi
                               u                       e
                      ˆ
normale N (0, 1). Si F (x) Φ x−m alors Φ−1 F (x)  ˆ        x−m
                                                               . En d’autres
                                                                σ                    σ
            ˆ
termes, si F (x) est proche de la fonction de r´partition de la loi normale
                                               e
alors le graphique de Φ −1  ˆ (x) contre x devrait nous donner une droite
                            F
d’´quation x−m . Les points devraient donc se situer autour de cette droite si
  e           σ
la distribution est gaussienne (aux effets de bords pr´s).
                                                     e



                                                      3
             Expected Value for Normal Distribution




                                                      2

                                                      1

                                                      0

                                                      -1

                                                      -2

                                                      -3
                                                        4   5            6   7          8
                                                                                 Variable étudiée


Figure 1.3: Ce graphique nous montre clairement que cette distribution ne
peut pas ˆtre consid´r´e comme gaussienne, il y a trop de courbure.
         e          ee




                                                                    12
Chapitre 2

Le zoo des lois de probabilit´
                             e

Une des notions fondamentales des statistiques est celle de variable al´atoire.
                                                                       e
On consid`re un ensemble d’individus qui sera appel´ Ω. Un individu de cet
            e                                         e
ensemble sera not´ ω. On note X(ω) une caract´ristique de l’individu ω. Par
                   e                            e
exemple, Ω est l’ensemble des bact´ries que l’on trouve dans du lait de mam-
                                     e
mites, ω est une bact´rie particuli`re et X(ω) est type de la bact´rie ω. La
                       e             e                              e
quantit´ X(.) est appel´e variable al´atoire (en g´n´ral on note v.a.). Les
        e                 e            e            e e
valeurs possibles que peut prendre X(ω) quand ω ∈ Ω d´termine la nature
                                                            e
                                         1
de la variable al´atoire. Ainsi, si X(ω) prend ses valeurs dans IR, on parlera
                 e
de variable al´atoire continue, si X(.) prend ses valeurs dans un ensemble
               e
fini ou d´nombrable, X(.) sera alors appel´e v.a. discr`te.
          e                                e             e
En r´sum´,
     e      e

                                  X : Ω −→ E
                                   ω −→ X(ω)

Quelques exemples de variables al´atoires :
                                  e
1) le nombre d’´tudiants pr´sents au cours de stat ;
               e            e
2) le nombre de vaches qui ont une mammite dans un ´levage ;
                                                     e
3) le pourcentage de r´ussite aux examens ;
                      e
4) le temps pendant lequel un animal est porteur d’une maladie ;
   1
    Pour simplifier les notations, on note g´n´ralement X au lieu de X(ω). Par la suite,
                                           e e
cet abus de notation sera abondamment utilis´e

                                          13
5) la temp´rature d’un chien;
           e
6) les concentrations en fer et en cuivre dans le sang d’un animal sain.

    Les trois premi`res v.a. sont discr`tes, et ne peuvent prendre que des
                   e                      e
valeurs qu’il est possible d’´num´rer d’avance. En revanche, les v.a. 4),
                              e     e
5), 6) sont continues. La variable al´atoire 6) est une va ` deux dimen-
                                         e                        a
sions. Nous adopterons dor´navant la convention suivante : les lettres ma-
                              e
juscules d´signeront les variables al´atoires, les lettres minuscules d´signeront
          e                          e                                 e
les valeurs que peuvent prendre les variables al´atoires.
                                                    e
L’´tude des lois de probabilit´ usuelles est en fait l’´tude de la distribution
  e                             e                        e
des valeurs que peut prendre une variable al´atoire.
                                                e


2.1      Lois de probabilit´ discr`tes
                           e      e
Pour compl`tement d´finir une loi de probabilit´ d’une va discr`te X, il suffit
            e         e                        e              e
de d´finir la probabilit´ d’occurrence de chaque valeur k que peut prendre
     e                  e
cette va. En d’autres termes, la donn´e des quantit´s P (X = k) et ceci pour
                                     e              e
toutes les valeurs k possibles d´terminent une loi de proba particuli`re. De
                                 e                                   e
fa¸on ´quivalente, pour compl`tement caract´riser une loi de proba, il suffit
  c e                          e             e
de d´finir sa fonction de r´partition , d´finie par :
     e                       e             e

                             F (n) =         P (X ≤ k).
                                       k≤n

Cette fonction s’interpr`te comme la probabilit´ que la va X soit au plus
                         e                            e
´gale ` n. C’est ´videmment une fonction positive et croissante (on ajoute
e     a           e
des probabilit´s qui sont des quantit´s positives ou nulles). Pour illustrer ce
               e                           e
qu’elle repr´sente, prenons un petit exemple. Supposons que X est le nombre
            e
de clients d’un v´t´rinaire le mardi matin. La va X est discr`te et ne peut
                  ee                                                e
prendre que les valeurs k = 0, 1, . . . , 10. Supposons de plus que la distribution
de X est donn´e par
                e

 k         0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
 P (X = k) 0.01 0.03 0.09 0.14 0.17 0.17 0.15 0.11 0.07 0.04 0.02

                                        14
alors la fonction de r´partition est donn´e par
                      e                  e

  n     0    1    2    3    4    5    6    7    8    9    10
  F (n) 0.01 0.04 0.13 0.27 0.45 0.62 0.77 0.88 0.94 0.98 1.00




                               Fonction de Répartition

              1
             0.9
             0.8
             0.7
             0.6
      F(n)




             0.5
             0.4
             0.3
             0.2
             0.1
              0
                   0   1   2    3      4     5     6     7   8     9    10
                                             n




Figure 2.1: Fonction de r´partition du nombre de clients d’un v´t´rinaire le
                         e                                     ee
mardi matin


Il est bien ´vident que si le nombre de valeurs que peut prendre la vari-
            e
able al´atoire est tr`s ´lev´, il peut ˆtre tr`s fastidieux (voire impossible)
       e             e e e             e      e
de donner toutes ces probabilit´s. Or, comme nous allons le voir, les lois
                                  e
de proba usuelles sont en fait d´finies par un petit nombre de param`tres
                                   e                                     e
: les moments de la loi de proba. Pour d´finir les moments, nous avons
                                              e
besoin d’un op´rateur appel´ esp´rance math´matique qui est not´ IE. Cet
               e             e      e           e                    e


                                       15
op´rateur plac´ devant une variable al´atoire, fournit la moyenne de cette
  e             e                        e
variable, ainsi la quantit´ IE(X) est d´finie par
                          e            e

                          IE(X) =          kP (X = k)
                                      k

Dans notre exemple, le nombre de clients moyen du v´t´rinaire le mardi
                                                   ee
matin est donn´ par
              e

IE(X) = 0 × 0.01 + 1 × 0.03 + 2 × 0.09 + 3 × 0.14 + 4 × 0.17 + 5 × 0.17 +
             6 × 0.15 + 7 × 0.11 + 8 × 0.07 + 9 × 0.04 + 10 × 0.02 = 4.95

Plus g´n´ralement, on peut d´finir l’esp´rance math´matique de n’importe
       e e                    e        e             e
quelle fonction Φ (ayant de bonnes propri´t´s) de la va X ainsi,
                                         ee

                      IE(Φ(X)) =           Φ(k)P (X = k)
                                      k

On peut maintenant d´finir le moment d’ordre p par :
                    e

                         IE(X p ) =        k p P (X = k).
                                      k

Le moment centr´ d’ordre p est d´fini par
               e                e

           mp = IE((X − IE(X))p ) =            (k − IE(X))p P (X = k).
                                           k

Vous connaissez d´j` le moment centr´ d’ordre 2 qui est aussi appel´ vari-
                   ea                  e                               e
ance. Nous reviendrons un peu plus loin sur l’interpr´tation pratique de cet
                                                      e
indice ainsi que sur celle des moments centr´s d’ordre 3 et 4. Dans l’exemple
                                            e
pr´c´dent, la variance du nombre de clients du mardi matin est donn´e par
  e e                                                                  e

IE((X − IE(X))2 ) = (0 − 4.95)2 × 0.01 + (1 − 4.95)2 × 0.03 + (2 − 4.95)2 × 0.09 +
                     (3 − 4.95)2 × 0.14 + (4 − 4.95)2 × 0.17 + (5 − 4.95)2 × 0.17 +
                     (6 − 4.95)2 × 0.15 + (7 − 4.95)2 × 0.11 + (8 − 4.95)2 × 0.07 +
                            (9 − 4.95)2 × 0.04 + (10 − 4.95)2 × 0.02 = 4.6275

Nous pouvons maintenant passer ` l’inventaire des lois de probabilit´s les
                               a                                    e
plus courantes.

                                          16
2.1.1     Loi de Bernoulli
C’est la loi de probabilit´ la plus simple: l’individu ω peut se trouver dans
                          e
deux ´tats (en g´n´ral not´s 0 et 1).
       e         e e        e
Exemple : Ω est l’ensemble des bact´ries dans du lait de mammite, ω est une
                                      e
bact´rie particuli`re, X(ω) = 0 si la bact´rie ω est gram (-) et, X(ω) = 1
     e            e                         e
si la bact´rie ω est gram (+). La loi de probabilit´ de X est enti`rement
          e                                           e              e
d´termin´e par la seule donn´e du nombre P (X(ω) = 0) = p qui permet
  e      e                      e
de d´duire que P (X(w) = 1) = 1 − p. On dit alors que la v.a. X suit
     e
une loi de BERNOULLI de param`tre p. On peut interpr´ter p dans notre
                                     e                      e
exemple comme la probabilit´ qu’une bact´rie donn´e soit gram (-). La loi
                               e             e         e
de BERNOULLI nous sera essentiellement utile pour d´finir d’autres lois de
                                                         e
probabilit´.
          e

2.1.2     Loi binomiale
Une v.a. qui suit une loi binomiale ne peut prendre qu’un nombre fini de
valeurs que nous noterons N . Pour illustrer l’utilisation de la loi binomiale,
prenons l’ exemple suivant : supposons que la pr´valence de la dysplasie de
                                                   e
la hanche chez le CN est de p (la proportion de CN non porteur de cette
anomalie est donc de 1 − p). A l’´cole v´t´rinaire, il passe par an N CN,
                                  e       ee
on note X le nombre de CN porteurs de la dysplasie de la hanche parmi les
N trait´s ` l’´cole. On suppose que l’´cole a une chance ´gale d’ˆtre choisie
       e a e                          e                    e        e
comme centre de traitement par les propri´taires de CN ` dysplasie de la
                                            e                a
hanche. Alors,

           P (X = k) = CN pk (1 − p)N −k et ceci pour k = 0, 1...N.
                        k



 k          N!
CN =               est le nombre de “paquets de k que l’on peut faire parmi
        k!(N − k)!
N ”.
                              k
Une propri´t´ ´l´mentaire de CN est
          e eee

                                CN = CN −k .
                                 k    N




                                      17
Le nombre moyen de CN porteur de la dysplasie que l’on peut trouver au
cours d’une ann´e ` l’´cole v´to est donn´ par IE(X) = N p. En d’autres
                 e a e          e             e
termes si la pr´valence de la dysplasie de la hanche est de p = 0.1, et s’il passe
               e
dans les cliniques de l’´cole N = 500 CN par an, on trouvera en moyenne
                        e
N p = 500 0.1 = 50 CN porteurs de cette anomalie. Il est bien ´vident que
                                                                    e
le nombre de CN porteurs trouv´s sur les 500 examin´s par an ne sera pas
                                  e                       e
toujours ´gal ` 50. Il y a donc des variations de CN porteurs qui seront
          e    a
observ´s ` l’´cole. Un indice mesure ces variations c’est la variance. La
      e a e
variance d’une loi binomiale est donn´e par
                                        e

                             V ar(X) = N p(1 − p).

Tr`s souvent la quantit´ 1−p est not´e q ; ceci explique le fait que V ar(X) =
  e                    e            e
N pq.Quand X suit une loi binomiale de param`tre N et p on note
                                                 e

                                 X ∼ B(N, p).

Le graphique 2.2 montre les formes caract´ristiques d’une loi binomiale en
                                         e
fonction des valeurs du param`tre p.
                             e



Remarque Il existe une autre fa¸on de construire la loi binomiale. Voyons
                               c
sur l’exemple des bact´ries comment proc´der.
                       e                   e
On consid`re N bact´ries. Chaque bact´rie a une probabilit´ p d’ˆtre gram (-
          e          e                 e                    e    e
), ` chaque bact´rie on fait correspondre une v.a. de Bernoulli de param`tre
   a             e                                                      e
p qui prend la valeur 0 si elle est gram (-) et 1 si elle est gram (+). On
appelle Xi la variable al´atoire attach´e ` la ii`me bact´rie. En supposant
                          e            e a       e
                                                         e
que les bact´ries sont ind´pendantes on a:
            e             e
                                   n
                             X=         Xi ∼ B(n, p).
                                  i=1

X repr´sente ici le nombre total de bact´ries gram (+) parmi les N con-
       e                                e
sid´r´es.
   ee

                                        18
0.45

                 0.4

                0.35
                                                             p=0.1
                 0.3                                         p=0.2
                                                             p=0.3
                0.25                                         p=0.4
       P(X=k)




                                                             p=0.5
                 0.2

                0.15

                 0.1

                0.05

                  0
                        0   1   2   3   4   5   6    7   8   9       10   k




Figure 2.2: Forme de la loi binomiale pour diff´rentes valeurs du param`tre
                                              e                       e
p.

2.1.3                  Loi hyperg´om´trique
                                 e  e
Pour bien faire comprendre la loi hyperg´om´trique prenons un petit exemple.
                                          e e
Supposons que vous ayez ` ´valuer la pr´valence des mammites de la vache
                            ae               e
en Midi-Pyr´n´es. On sait que dans cette r´gion il y a N vaches. Parmi ces
             e e                                e
vaches N1 sont atteintes et N2 sont saines (on a ´videmment N1 + N2 = N.)
                                                     e
Vous ne pouvez pas contrˆler toutes les vaches de Midi-Pyr´n´es, vous ˆtes
                            o                                      e e         e
donc oblig´ de prendre un ´chantillon de taille n < N. On appelle X le nom-
           e                 e
bre de vaches ` mammite que vous avez trouv´ dans votre ´chantillon. X 2
               a                                   e              e
est une quantit´ al´atoire, en effet, si vous faites plusieurs fois des ´chantillons
                e e                                                    e
de taille n, vous ne retrouvez pas ` chaque fois le mˆme nombre de vaches
                                      a                   e
atteintes. On s’interesse aux probabilit´s suivantes P (X = k) k varie entre
                                           e
                      n
0 et N1 ∧ n. Il y a CN fa¸ons de tirer un ´chantillon de taille n parmi les N
                          c                   e
vaches de M.P.
  2
      X est ici mis pour X(ω). ω repr´sente un tirage de n vaches
                                     e



                                                19
k
CN1 est le nombre de fa¸ons de tirer k vaches ` mammites parmi les N1
                         c                     a
                           n−k
pr´sentes en M.P. et enfin CN2 est le nombre de fa¸ons de tirer n − k vaches
  e                                              c
saines parmi N2 pr´sentes en M.P.
                   e
On en d´duit que
        e
                     cas probables      k  n−k
                                       CN CN
    P (X = k) =                    =        1
                                             n
                                            CN
                                                 2
                                                      si k ≤ N1 et n − k ≤ N2
                     cas possibles
                                                         = 0 sinon

La variable al´atoire X suit une loi hyperg´om´trique. Quand X suit une loi
              e                            e e
hyperg´om´trique de param`tres N, n, N1 on note,
       e e                   e
                                                 N1
                             X ∼ H(N, n,            ).
                                                 N
Sa moyenne est donn´e par
                   e
                                                 N1
                                IE(X) = n
                                                 N
et sa variance par
                                        N1 N2 N − n
                          V ar(X) = n
                                        N N N −1
On peut noter que lorsque N −→ ∞, si N1 −→ p (p est le pourcentage vache
                                         N
atteintes pr´sentes parmi les N ` contrˆler) alors
            e                   a      o
                                    N1
                          H(N, n,      ) −→ B(n, p).
                                    N
En d’autres termes, si le nombre total de vaches en MP est tr`s ´lev´, on peut
                                                                e e e
utiliser la loi binomiale (plus simple) ` la place de la loi hyperg´om´trique.
                                        a                          e e



2.1.4    Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares
                                   e e
Une va qui suit une loi de poisson peut prendre une infinit´ de valeurs.
                                                          e
On dit que la va X suit une loi de poisson de param`tre λ, et on note
                                                        e
X ∼ P(λ), si
                                       λk
                      P (X = k) = e−λ , k = 0, 1, ...
                                       k!

                                       20
La moyenne d’une va qui suit une loi de poisson est ´gale ` IE(X) = λ, sa
                                                     e    a
variance est V ar(X) = λ.
Le graphique ci-dessous montre les diff´rentes formes de distribution d’une
                                         e
loi de poisson en fonction de la valeur du param`tre
                                                e




                0.4

               0.35

                0.3
                                                             ¤¢ 
                                                            £ ¡
                                                                ¦¢ 
                                                               ¥ ¡
               0.25
                                                              ¨¢ 
                                                             § ¡
      P(X=k)




                0.2                                              ¢¢ 
                                                                © ¡
                                                               ¦¢ 
                                                               ¡
               0.15

                0.1

               0.05

                 0
                      0    2        4       6        8         10      12       14
                                                                            k




                 Figure 2.3: Loi de poisson pour diff´rentes valeurs de λ
                                                    e



La loi de poisson est souvent utilis´e pour approximer certaines lois discr`tes.
                                    e                                      e
On l’appelle aussi loi des ´v´nements rares. En effet, si X est le nombre de fois
                           e e
o` apparaˆ un ´v´nement de probabilit´ tr`s petite (p), alors la loi de X peut
  u        ıt    e e                     e e
ˆtre approxim´e par une loi de poisson. Prenons un exemple pour illustrer ce
e              e
ph´nom`ne. Soit une maladie dont la pr´valence est tr`s petite (p = 0.01) On
    e   e                                 e              e
tire un ´chantillon de taille 100 et on s’interesse ` la distribution du nombre
        e                                           a


                                           21
de sujets atteints trouv´s dans l’´chantillon (not´ X). En d’autres termes,
                        e         e               e
on veut calculer

(Bi)                P (X = k) = C100 (0.01)k (1 − 0.01)100−k .
                                 k


Il est bien ´vident que le calcul d’une telle probabilit´ n’est pas si facile `
            e                                           e                     a
                   k
cause du terme C100 (pour vous en convaincre essayez de calculer avec votre
              50
calculette C100 ). L’id´e est alors d’approximer la quantit´ (Bi) par une
                       e                                       e
quantit´ plus facilement calculable:
        e
                                                                (100 × 0.01)k
       P (X = k) = C100 (0.01)k (1 − 0.01)100−k
                    k
                                                   e−100×0.01
                                                                     k!
Plus g´n´ralement, si X ∼ B(N, p), si N est grand, si p est petit et si N p
        e e
est raisonnable on peut approximer la loi B(N, P ) par une loi de poisson de
param`tre λ = N p. Ces conditions sont ´videmment tr`s vagues. Les condi-
        e                                  e             e
tions usuelles sous lesquelles on consid`re que la qualit´ de l’approximation
                                         e               e
est “raisonnable” sont les suivantes : N  30, et N p  5. D’autres valeurs
de ces param`tres peuvent ˆtre tout ` fait acceptables pour peu que vous ne
              e              e        a
soyez pas trop regardant sur la qualit´ d’approximation de certaines proba-
                                        e
bilit´s.
     e
La loi de poisson est souvent utilis´e pour mod´liser des quantit´s dont la
                                     e            e                 e
variance est ` peu pr´s ´gale ` la moyenne. Lorsque la variance est sup´rieure
             a       e e       a                                       e
` la moyenne, on utilise dans certains cas la loi Binomiale n´gative.
a                                                             e

2.1.5      Loi binomiale n´gative
                          e
Une va qui suit une loi binomiale n´gative peut prendre un nombre infini de
                                   e
valeurs. On dit que la va X suit une loi binomiale n´gative de param`tre N
                                                     e               e
et p si
                                 k         pk
                  P (X = k) = CN +k−1             , k = 0..
                                       (1 + p)n+k
Sa moyenne est ´gale ` IE(X) = N p et sa variance V ar(X) = N p(1 + p). On
                e     a
peut remarquer que ces distributions sont d’autant plus surdispers´es que
                                                                   e
p est grand. Le graphique suivant montre comment varie les distributions
binomiales n´gatives quand p varie.
            e

                                       22
0.4

               0.35

                0.3                                                  p=0.1
                                                                     p=0.2
               0.25                                                  p=0.3
                                                                     p=0.4
      P(X=k)




                0.2                                                  p=0.5


               0.15

                0.1

               0.05

                 0
                      0    2        4         6        8       10       12       14
                                                                             k




Figure 2.4: Loi binomiale n´gative pour diff´rentes valeurs de p. Plus p
                             e             e
augmente plus la loi est surdispers´e
                                   e




2.1.6           Loi de Pascal
Une va qui suit une loi de pascal peut prendre une infinit´ de valeurs. On
                                                         e
dit que la va X suit une loi de Pascal de param`tre p si
                                               e

                          P (X = k) = p (1 − p)k−1 , k = 1, 2, ...

Pour illustrer son utilisation, reprenons l’exemple de la dysplasie de la hanche
chez le CN. Supposons que l’´cole a une chance ´gale d’ˆtre choisie comme
                                 e                  e       e
centre de traitement par les propri´taires de CN ` dysplasie de la hanche.
                                      e               a
Notons p la pr´valence de cette anomalie et X le nombre de CN ` examiner
                e                                                    a

                                            23
avant d’en trouver un atteint, alors si on pose q = 1 − p, on a:
P (X = 1) = p, P (X = 2) = pq..., P (X = k) = pq k−1 .
Le nombre moyen de CN ` examiner avant d’en trouver un atteint est
                         a
                                          1
                                   IE(X) = ,
                                          p
la variance de ce nombre est
                                             q
                                 V ar(X) =      .
                                             p2

2.2      Quelques lois de probabilit´ continues
                                    e
2.2.1     Quelques d´finitions pr´liminaires
                    e           e
Dans l’´tude des lois de proba continues, il apparaˆ une nouvelle quantit´ :
        e                                              ıt                      e
la densit´ de probabilit´.
           e                   e
Pour bien comprendre ce dont il s’agit, imaginons que l’on s’interesse ` l’´tude
                                                                        a e
de la distribution de la taille des Fran¸ais. Pour ´tudier cette distribution, on
                                         c          e
fait des classes de tailles, et on compte le pourcentage d’individus qui apparti-
ennent ` cette classe. Une repr´sentation graphique de cette distribution est
        a                           e
donn´e par l’histogramme qui sera revu au chapitre suivant.Supposons main-
      e
tenant que le nombre d’individus de la population d’int´rˆt (ici les Fran¸ais)
                                                            ee                c
est infini. Un histogramme avec un nombre fini de classes nous donne une
pi`tre information sur la distribution de la taille. Pour ˆtre plus pr´cis on
   e                                                           e           e
augmente le nombre de classes et on diminue la taille de chaque classe. On
obtient ainsi un histogramme plus pr´cis. Que se passe t-il quand le nom-
                                          e
bre de classes tend vers l’infini et que la taille de chaque classe tend vers z´ro ?
                                                                              e
On obtient une courbe limite, cette courbe limite est en fait une repr´sentation
                                                                        e
graphique d’une fonction (not´e f ) que nous appellerons densit´ de proba-
                                 e                                    e
bilit´.
     e
Il est clair que par construction, cette fonction poss`de un certain nombre de
                                                        e
propri´t´s:
        ee
- elle est positive ou nulle (en effet la valeur de cette fonction en un point x

                                        24
repr´sente en quelque sorte le pourcentage d’individus qui mesure x)
     e
- la surface totale sous cette courbe est ´gale ` 1 ; la surface sous la courbe
                                          e     a
repr´sente le pourcentage cumul´ de tous les individus (par d´finition il vaut
     e                            e                             e
1).
La fonction de r´partition F est d´finie ` partir de la densit´ de proba de la
                 e                  e     a                    e
fa¸on suivante :
  c
                                            x
                                F (x) =         f (t)dt
                                           −∞

La quantit´ F (x) repr´sente donc le cumul des pourcentages d’individus dont
            e           e
la taille est inf´rieure ` x. Ce constat nous permet de d´finir la fonction de
                 e       a                               e
r´partition par
 e
                               F (x) = P (X ≤ x).
Par d´finition F (x) est donc toujours un nombre compris entre z´ro et un,
      e                                                            e
et la fonction x −→ F (x) est une fonction croissante (c’est un cumul de
pourcentages). De plus on a F (+∞) = 1 (on l’a d´j` dit) et F (−∞) = 0.
                                                  ea
Soit ∆x un accroissement infinit´simal de la taille, alors la quantit´
                                e                                   e
                                F (x + ∆x) − F (x)
                                       ∆x
repr´sente en quelque sorte le pourcentage d’individus dont la taille est com-
    e
prise entre x et x + ∆x, et en faisant tendre ∆x −→ 0 on obtient
                             F (x + ∆x) − F (x)
                         lim                    = f (x).
                        ∆x→0        ∆x
En d’autres termes, la d´riv´e de la fonction de r´partition est la densit´
                        e e                        e                       e
de probabilit´.Tout comme dans le cas discret, il est possible de d´finir les
             e                                                     e
moments d’une loi de probabilit´. Ce sont en g´n´ral ces quantit´s dont nous
                                e               e e             e
nous servirons en statistique pour travailler. Le moment d’ordre 1 d’une loi
de probabilit´ est d´fini quand il existe 3 par
             e      e

                               IE(X) =          xf (x)dx
                                           IR
   3
   Il existe certaines lois de proba dont les moments sont infinis par exemple la loi de
Cauchy

                                          25
On reconnaˆ ici l’analogue continu de la d´finition donn´e dans le paragraphe
           ıt                              e            e
pr´c´dent. Il suffit en effet de changer le signe par le signe
   e e                                                        pour retrouver
la mˆme formule. De mˆme, le moment centr´ d’ordre p est d´fini par
     e                  e                     e               e

             mp = IE((X − IE(X))p ) =        (x − IE(X))p f (x)dx
                                         IR
Le moment centr´ d’ordre 2 est aussi appel´ variance, les moments centr´s
                  e                         e                          e
d’ordre 3 et 4 sont respectivement appel´s kurtosis et skewness.
                                        e

2.2.2     Loi normale ou de Laplace Gauss
La loi normale joue un rˆle particuli`rement important dans la th´orie des
                          o            e                               e
probabilit´s et dans les applications pratiques. La particularit´ fondamen-
          e                                                        e
tale de la loi normale la distinguant des autres lois est que c’est une loi
limite vers laquelle tendent les autres lois pour des conditions se rencontrant
fr´quemment en pratique.On peut montrer que la somme d’un nombre suff-
  e
isamment grand de va ind´pendantes (ou faiblement li´es) suivant des lois
                            e                              e
quelconques (ou presque), tend vers une loi normale et ceci avec d’autant
plus de pr´cision que le nombre de termes de cette somme est important.
           e
La majorit´ des va que l’on rencontre en pratique, comme par exemple des
            e
erreurs de mesures, peuvent souvent ˆtre consid´r´es comme des sommes
                                         e           ee
d’un nombre important de termes, erreurs ´l´mentaires, dues chacune ` une
                                             ee                          a
cause diff´rente ind´pendante des autres. Quelque soit la loi des erreurs
          e          e
´l´mentaires, les particularit´s de ces r´partitions n’apparaissent pas dans la
ee                            e          e
somme d’un grand nombre de celles-ci, la somme suivant une loi voisine de
la loi normale.
La loi normale est caract´ris´e par sa densit´ de probabilit´. Pour une loi
                           e e                   e              e
                                           2
normale de moyenne m et de variance σ , elle est donn´e par
                                                          e
                                       1     (x−m)2
                           f (x) = √       e− 2σ2 .
                                       2πσ
La courbe repr´sentative de la densit´ a la forme d’une courbe en cloche
               e                      e
sym´trique. Le graphique 2.5 montre comment varie la densit´ d’une loi nor-
   e                                                       e
male, quand la variance est fix´e, en fonction de sa moyenne (ici m1  m2 .)
                              e

                                       26
Le graphique 2.6 montre comment varie la densit´ d’une loi normale ( `
                                               e                     a
moyenne fix´e) quand la variance augmente : Les variances des lois I, II,
            e
III sont de plus en plus ´lev´es.
                         e e




                             m1       m2




Figure 2.5: Un exemple de deux lois normales. Les deux lois ont la mˆme
                                                                      e
variance. La moyenne m1 de la premi`re loi est inf´rieure ` celle m2 de la
                                    e             e       a
seconde




La fonction de r´partition de la loi normale est d´finie ` partir de la densit´
                e                                 e     a                    e
par :
                    x
                          1     (t−m)2
          F (x) =      √     e− 2σ2 dt = P (X  x) = P (X ≤ x).
                   −∞    2πσ

                                     27
Loi I
                                                                 Loi II
                                                                 Loi III




Figure 2.6: Les trois lois ont la mˆme moyenne. Les variances des lois I, II,
                                   e
III sont de plus en plus ´lev´es.
                          e e

Cette derni`re propri´t´ traduit g´om´triquement le fait qu’une probabilit´
            e        ee           e e                                     e
peut s’interpr´ter comme la surface sous la courbe densit´ comme l’indique
              e                                          e
le graphique 2.7:



Il n’existe pas d’expression alg´brique donnant l’aire sous la courbe en fonc-
                                 e
tion de x. Il faut donc utiliser des valeurs tabul´es. Comme il est impossible
                                                  e
d’avoir autant de tables que de valeurs possibles de m et de σ 2 , on a recours
a l’astuce suivante :
supposons que X est une va suivant une loi normale de moyenne m et de
                                                           X −m
variance σ 2 (on note X ∼ N (m, σ 2 ), alors la quantit´ e          suit une loi
                                                             σ
N (0, 1). On en d´duit que si F repr´sente la fonction de r´partition de la
                   e                    e                      e

                                      28
F(x)=P(X@ x)




                              x


Figure 2.7: Une probabilit´ s’interpr`te comme la surface sous la courbe
                          e          e
repr´sentant la densit´
    e                 e

N (m, σ 2 ) et Φ la fonction de r´partition de la N (0, 1) alors :
                                 e

        P (a  X  b) = F (b) − F (a) = P (a − m  X − m  b − m)
                = P ( a−m 
                       σ
                              X−m
                               σ
                                       b−m
                                         σ
                                            )   = Φ( b−m ) − Φ( a−m ).
                                                      σ          σ


remarque : Par d´finition Φ est une fonction croissante et on a Φ(+∞) = 1
                e
et Φ(−∞) = 0.

2.2.3     Loi du χ2
Cette loi nous sera tr`s utile pour ´tudier la distribution des variances.
                       e               e
Elle est construite ` partir de la loi normale de la fa¸on suivante : Soient
                    a                                  c



                                         29
X1 , X2 , . . . , Xn n va ind´pendantes de mˆme loi N(0,1), et soit
                             e              e
                                                            n
                            2        2              2
                     K=    X1   +   X2   + ... +   Xn   =         Xi2
                                                            i=1

alors, K suit une loi du Khi 2 ` n degr´s de libert´ (K ∼ χ2 ). On peut
                                a      e           e       n
                                          2
remarquer qu’une va qui suit une loi du χ est par construction toujours
positive ou nulle (c’est une somme de carr´s). La densit´ de probabilit´
                                          e             e              e
               2
d’une loi du χ est asym´trique (reportez vous aux tables que je vous ai
                          e
donn´es pour en avoir une id´e).
     e                       e

2.2.4     Loi de Student
La loi de Student est construite ` partir de la loi normale et de la loi du Khi
                                 a
2. Nous l’utiliserons intensivement pour faire des tests d’hypoth`ses.
                                                                   e
                                                                   2
Soient X une va de loi N(0,1), et K une va qui suit une loi du χn (Khi 2 ` na
degr´s de libert´). On suppose de plus que K et X sont ind´pendantes. Soit
    e           e                                             e

                                               X
                                    Tn =           ,
                                               K
                                               n


alors Tn suit une loi de student ` n degr´s de libert´.
                                 a       e           e

2.2.5     Loi de Fisher
Tout comme la loi de student, la loi de Fisher sera tr`s utilis´e par la suite.
                                                      e        e
Voyons en rapidement sa construction.
Soient K1 et K2 deux variables al´atoires ind´pendantes de loi respectives
                                  e            e
 2     2
χn et χp , alors la quantit´
                           e
                                       K1 /n
                               Fn,p =
                                       K2 /p
suit une loi de Fisher ` n et p degr´s de libert´. Il faut faire tr`s attention `
                       a            e           e                  e            a
l’ordre des degr´s de libert´. Le premier degr´ de libert´ (ici n) est le degr´
                e           e                   e           e                   e
de libert´ du num´rateur, alors que le second (p) est celui du d´nominateur.
         e         e                                                e


                                          30
2.3      Quelques remarques sur l’op´rateur IE
                                    e
L’op´rateur IE est un op´rateur lin´aire en d’autres termes, si X et Y sont
    e                   e          e
des va avec de ”bonnes propri´t´s”, et si α, β et γ sont des r´els, alors
                             ee                               e

                 IE(αX + βY + γ) = αIE(X) + βIE(Y ) + γ

et ceci que les variables al´atoires X et Y soient ind´pendantes ou pas. En
                            e                         e
revanche, l’op´rateur variance (not´ Var) construit avec l’op´rateur IE de la
               e                     e                       e
fa¸on suivante
  c
                         V ar(X) = IE((X − IE(X))2 )
n’est pas un op´rateur lin´aire. On peut constater que par d´finition, c’est
                 e        e                                   e
un op´rateur positif. La condition n´cessaire et suffisante pour que V ar(X)
      e                              e
soit nulle, est que X soit d´terministe c’est ` dire non al´atoire. On a de
                            e                   a          e
plus des propri´t´s suivantes: si α ∈ IR, alors
                ee

                           V ar(αX) = α2 V ar(X)

Si X et Y sont deux variables al´atoires ind´pendantes, alors
                                e           e

                     V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )

et par cons´quent
           e

        V ar(αX + βY + γ) = α2 V ar(X) + β 2 V ar(Y ) + V ar(γ)
                                 = α2 V ar(X) + β 2 V ar(Y ) + 0.

   Si les variables al´atoires X et Y ne sont pas ind´pendantes, alors
                      e                              e

              V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y )
o` Cov(X, Y ) = IE((X − IE(X))(Y − IE(Y ))) est la covariance entre X et Y .
  u
On voit donc que lorsque les variables al´atoires ne sont pas ind´pendantes, il
                                         e                       e
apparaˆ un terme suppl´mentaire dans le calcul de la variance. On pourrait
       ıt                e
ˆtre tent´ de prendre la covariance comme une mesure d’ind´pendance. Ceci
e         e                                                    e

                                      31
est en g´n´ral faux sauf dans le cas o` les va X et Y sont normalement
         e e                          u
distribu´es. En r´sum´ :
        e        e   e
si X et Y sont ind´pendantes alors Cov(X, Y ) = 0,
                   e
si Cov(X, Y ) = 0 et si X et Y sont des va gaussiennes alors X et Y sont
ind´pendantes.
   e

      La quantit´
                e
                                         Cov(X, Y )
                       ρ(X, Y ) =
                                      V ar(X) V ar(Y )
      est un nombre sans dimension appel´ coefficient de corr´lation
                                           e                    e
      lin´aire de Pearson. Nous voyons que si X et Y sont gaussi-
         e
      ennes et si ρ(X, Y ) = 0, alors les variables al´atoires X et Y
                                                      e
      sont ind´pendantes. Nous l’utiliserons dans le paragraphe suiv-
               e
      ant consacr´ ` la loi normale ` 2 dimensions.
                  ea                a


2.4      Lois ` deux dimensions
              a
2.4.1     G´n´ralit´s
           e e     e
Tout comme dans le cas unidimensionnel, les lois ` plusieurs dimensions sont
                                                 a
caract´ris´es par leur
       e e
- fonction de r´partition,
               e
- densit´,
        e
- moments.
On appelle fonction de r´partition du couple de va (X, Y ) la probabilit´
                           e                                               e
de v´rification simultan´e des deux in´galit´s (X  x) et (Y  y):
     e                   e           e     e

                        F (x, y) = P ((X  x)(Y  y)).

En interpr´tant le couple (X, Y ) comme un point al´atoire dans le plan, on
           e                                             e
voit que la fonction de r´partition F (x, y) n’est rien d’autre que la probabilit´
                         e                                                       e
pour que le point al´atoire (X, Y ) appartienne au quadrant de sommet le
                       e
point (x, y), situ´ ` gauche et en bas de celui-ci (cf fig 2.8).
                  ea



                                       32
F(x,y)=P((X@ x) et (Y@ y))
                                     y




                                                           x




Figure 2.8: La probabilit´ F (x, y) s’interpr`te comme la probabilit´ pour que
                           e                 e                      e
le point al´atoire (X, Y ) appartienne au quadrant de sommet le point (x, y),
           e
situ´ ` gauche et en bas de celui-ci
    ea

1) Cette interpr´tation g´om´trique, permet de voir que si x augmente, ou si
                e        e e
y augmente, la fonction F (x, y) augmente aussi.
2) Partout en −∞ la fonction de r´partition est ´gale ` z´ro :
                                   e             e    a e

                F (x, −∞) = F (−∞, y) = F (−∞, −∞) = 0.

Pour avoir cette propri´t´, il suffit de d´placer ind´finiment la limite sup´rieure
                        ee              e          e                     e
(ou la limite droite ) du quadrant de la figure pr´c´dente vers −∞; la prob-
                                                   e e
abilit´ de tomber dans ce quadrant tend alors vers 0.
      e
3) Lorsque un des arguments vaut +∞, la fonction de r´partition du cou-
                                                           e
ple de va devient alors une fonction de r´partition correspondant ` l’autre
                                            e                          a


                                      33
argument :
                   F (x, +∞) = F1 (x), F (+∞, y) = F2 (y),
o` F1 (x), F2 (y) sont respectivement les fonctions de r´partition des vari-
 u                                                      e
ables al´atoires X et Y . On peut facilement s’en rendre compte en faisant
        e
x −→ +∞, ou y −→ +∞ ; ` la limite le quadrant devient un demi-plan,
                               a
la probabilit´ de tomber dans ce demi-plan est donn´e par la fonction de
             e                                     e
r´partition de la variable respective.
 e
4) Si les deux arguments sont ´gaux ` +∞, la fonction de r´partition du
                                 e     a                   e
couple de va est ´gale ` 1 :
                  e    a

                              F (+∞, +∞) = 1.

En effet, on obtient alors le plan tout entier et le point (X, Y ) s’y trouve
certainement. De fa¸on analogue, le point (X, Y ) peut se trouver dans un
                   c
domaine quelconque D dans le plan. La probabilit´ P ((X, Y ) ∈ D) ne
                                                        e
s’exprime alors pas simplement ` partir de la fonction de r´partition F sauf
                                 a                           e
dans quelques cas tr`s particuliers sur lesquels nous reviendrons.Densit´ de
                    e                                                   e
probabilit´e
Soit un couple de va continues (X, Y ) interpr´t´ comme un point al´atoire
                                              ee                   e
de ce plan. Consid´rons dans ce plan un petit rectangle R∆ dont les cot´s
                   e                                                    e
sont ∆x et ∆y avec un sommet au point x, y.



La proba de tomber dans ce rectangle est

                               P ((X, Y ) ∈ R∆ )

      = F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x + ∆x, y) − F (x, y + ∆y) + F (x, y)
En divisant la proba de tomber dans le rectangle R∆ par l’aire de ce rectangle,
on obtient
                                 P ((X, Y ) ∈ R∆ )
                            lim
                           ∆x−
                           ∆y−
                              →0
                              →0
                                      ∆x∆y

                                      34
P((X , Y )∈ R∆ ) = F(x + ∆x, y + ∆y)-F(x + ∆ x, y)
                                                -F(x, y + ∆ y) + F(x, y)

           y+ y
                                        R    




               y




                                 x                   x+ x



Figure 2.9: La densit´ s’obtient en faisant des accroissements infinit´simaux
                     e                                               e
de la fonction de r´partition
                   e

              F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x + ∆x, y) − F (x, y + ∆y) + F (x, y)
   = lim
      ∆x−
      ∆y−
         →0
         →0
                                        ∆x∆y
Si on suppose que la fonction F est d´rivable, le second membre de la
                                            e
pr´c´dente in´galit´ est alors la d´riv´e partielle seconde mixte de F . D´signons
  e e         e    e               e e                                    e
cette d´riv´e par f (x, y):
       e e
                                     ∂ 2 F (x, y)
                        f (x, y) =                = Fxy (x, y)
                                        ∂x∂y
La fonction f est la densit´ de proba du couple (X, Y ), en d’autres termes,
                           e

                     P ((X, Y ) ∈ D) =                     f (x, y)dxdy
                                                 (x,y)∈D

De toutes les distributions de couple de va, la plus fr´quemment utilis´e est
                                                       e               e
la loi normale aussi nous contenterons nous d’´tudier la loi normale.
                                               e

                                                35
2.4.2    Loi normale a deux dimensions
Dans la suite, nous supposons que le couple (X, Y ) suit une loi normale
` deux dimensions. La loi normale ` deux dimensions est d´finies par 5
a                                     a                      e
param`tres :
      e
sa moyenne (mx , my ) et sa matrice de variance-covariance :
                                   2
                                  σx      Cov(X, Y )
                       V =                    2
                               Cov(X, Y )    σy
                                    2             2
avec mx = IE(X), my = IE(Y ) et σx = V ar(X), σy = V ar(Y ).
On voit donc que si les va X et Y sont ind´pendantes, la matrice de variance-
                                          e
covariance est diagonale.
Si on note ρ le coefficient de correlation entre X et Y , la densit´ de la loi
                                                                  e
normale ` deux dimensions s’exprime par la formule :
         a
                            1
                            √
        f (x, y) =
                     2πσx σy 1−ρ2
                                    (x−mx )2                          (y−my )2
                         1
                exp − 2(1−ρ2 )          2
                                       σx
                                               − 2ρ (x−mσx σy y ) +
                                                        x )(y−m
                                                                          2
                                                                         σy

Le graphe de cette fonction est repr´sent´ ` la figure 2.10.
                                    e    ea



En coupant la surface de r´partition par un plan parall`le au plan xOy, on
                           e                             e
obtient une courbe sur laquelle la densit´ est constante en chaque point. En
                                         e
reprenant l’´quation de la densit´, on voit que la densit´ est constante si et
            e                    e                       e
seulement si :
            (x − mx )2      (x − mx )(y − my ) (y − my )2
                 2
                       − 2ρ                   +     2
                                                          = C2
                σx                σx σy            σy
o` C est une constante. Vous reconnaissez l’´quation d’une ellipse de centre
 u                                          e
(mx , my ).

     Si les va sont ind´pendantes (donc si ρ = 0), l’´quation de l’ellipse
                       e                             e
     devient
                         (x − mx )2 (y − my )2
                              2
                                   +       2
                                                = C2
                             σx          σy

                                          36
Figure 2.10: Densit´ de la loi normale ` 2 dimensions
                              e                   a

Ceci est l’´quation d’une ellipse dont les axes sont parall`les aux axes (x, y).
           e                                               e
             2     2
Si de plus σx = σy on obtient alors l’´quation d’un cercle de centre (mx , my )
                                      e
                 2
et de rayon Cσx .
Dans le cas g´n´ral o` ρ = 0, les axes de sym´trie de l’ellipse forme un angle
               e e    u                        e
θ avec l’axe Ox donn´ par
                      e
                                         2ρσx σy
                              tg(2θ) =    2    2
                                                 .
                                         σx − σy

En statistique, on s’interesse tr`s souvent ` des domaines dans lesquels on
                                 e          a
a un certain nombre de chances de trouver un point al´atoire donn´. On
                                                     e           e
recherche par exemple des domaines D v´rifiant
                                      e

                           P ((X, Y ) ∈ D) = 1 − α

                                      37
o` α est un nombre fix´. Quand la loi du couple (X, Y ) est gaussienne, le
 u                      e
plus simple est de rechercher le domaine D sous la forme d’une ellipse. On
recherche donc D tel que

 P ((X, Y ) ∈ D)                 =1−α=           (x,y)∈D
                                                              f (x, y)dxdy
                                                           1
                                                           √
                                     =      (x,y)∈D 2πσx σy 1−ρ2
                                           2                                     (y−my )2
                   exp(− 2(1−ρ2 ) [ (x−mx ) − 2ρ (x−mσx σy y ) +
                            1
                                       σ2
                                                     x )(y−m
                                                                                     2
                                                                                    σy
                                                                                          ])dxdy
                                       x


La recherche d’un tel domaine dans ce syst`me de coordonn´es est difficile
                                             e           e
aussi allons nous faire une rotation d’angle
                                 1      2ρσx σy
                              θ = Arctg( 2    2
                                                )
                                 2      σx − σy

on obtient
                               1          1 (x − mx )2 (y − my )2
    P ((X, Y ) ∈ D) =                exp(− [          +           ])dxdy
                         D   2π˜x σy
                               σ ˜        2     ˜2
                                                σx         ˜2
                                                           σy
avec

                   σx = σx cos2 θ + ρσx σy sin2θ + σy sin2 θ
                   ˜                                2


                   σy = σx sin2 θ − ρσx σy sin2θ + σy cos2 θ
                   ˜                                2




apr`s un changement de variables trivial, en passant en coordonn´es polaires,
   e                                                            e
on en d´duit que :
       e
                                                +π       r0
                                        1                         −r 2
                   P ((X, Y ) ∈ D) =                          e    2     rdrdθ
                                       2π       −π   0

                                  2              √
En conclusion il faut que α = e−r0 /2 soit r0 = −2 ln α.
L’ellipse ainsi obtenue est de centre (mx , my ) et fait un angle θ avec Ox et
la longueur des demi-axes est donn´e par r0 σx et r0 σy .
                                    e         ˜        ˜




                                           38
Chapitre 3

Estimation

L’objet de ce chapitre n’est pas de donner une m´thode g´n´rale d’estimation,
                                                e       e e
mais plutˆt d’exposer quelques propri´t´s et d´finitions qui seront reprises
          o                             ee      e
par la suite.


3.1     G´n´ralit´s
         e e     e
L’estimation consiste ` rechercher la valeur num´rique d’un ou plusieurs
                        a                             e
param`tres inconnus d’une loi de probabilit´ ` partir d’observations (valeurs
       e                                     ea
prises par la v.a. qui suit cette loi de probabilit´). On utilise pour cela un
                                                   e
estimateur fonction de la v.a. ´tudi´e: quand la v.a. prend comme valeur
                                 e      e
l’observation, la valeur de l’estimateur est appel´e estimation. L’exemple
                                                     e
suivant illustre ces d´finitions. On s’interesse au GMQ des porcs . Sup-
                      e
posons que ce GMQ que nous noterons X est distribu´ normalement, en
                                                          e
                                           2
d’autres termes que X suit une loi N(m, σ ), o` m repr´sente le GMQ moyen
                                               u        e
                                      2
de toute la population de porcs et σ la variance de la distribution des GMQ.
Les param`tres m et σ 2 sont inconnus, l’objet de l’estimation est de trouver
           e
une valeur “raisonnable” pour ces param`tres. Deux possibilit´s s’offrent `
                                           e                      e          a
nous:- soit on peut mesurer le GMQ de tous les porcs de la population et,
dans ce cas, les param`tres m et σ 2 seront parfaitement connus,- soit la pop-
                      e
ulation est trop grande, et, on est oblig´ de travailler sur un ´chantillon.Cet
                                         e                      e


                                      39
´chantillon va nous donner des informations sur les vraies valeurs (celles de la
e
population) de m et σ 2 . Supposons que l’on ait ´tudi´ le GMQ (en grammes)
                                                 e    e
sur un ´chantillon de taille n=10. Notons X1 , X2 ...X10 , le GMQ des porcs
         e
N ◦ 1, N ◦ 2...N ◦ 10 de cet ´chantillon.
                             e
                                     e ¯
La moyenne de l’´chantillon (not´e X) est une “approximation” de la moyenne
                     e
                          ¯
m de la population. X = n n Xi est un estimateur de m.
                               1
                                   i=1


    Num porc      1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
    GMQ (g)       500 530 560 510 620 560 540 610 600 580


Table 3.1: Table des Gains Moyens Quotidiens observ´s sur un ´chantillon
                                                   e         e
de 10 porcs

Le mot estimateur se r´f`re au proc´d´ de calcul utilis´ pour approximer
                       ee           e e                e
      1    10
m.¯ = 10 i=1 xi = 561 est une estimation de m.
  x
Le mot estimation se r´f`re ` la valeur num´rique utilis´e pour approximer.
                           ee a                  e            e
     En g´n´ral un estimateur est une variable al´atoire, en d’autres termes
         e e                                           e
l’estimation du param`tre d´pend des individus pr´sents dans l’´chantillon.
                         e      e                        e             e
Si un autre ´chantillon avait ´t´ consid´r´, une autre estimation du param`tre
            e                  ee          ee                                 e
aurait ´t´ obtenue. Le choix de l’estimateur se fait selon des crit`res qui
        ee                                                                 e
mesurent sa proximit´ au param`tre inconnu. Nous allons dans ce qui suit
                        e            e
pr´senter la liste des crit`res les plus souvent utilis´s pour d´finir les “qualit´s
   e                       e                           e        e                e
” d’un estimateur.


3.2      Estimateur convergent
Une des propri´t´s ´l´mentaires que doit remplir un estimateur est d’ˆtre
                 e e ee                                                 e
convergent. En d’autres termes, lorsque la taille de l’´chantillon tend vers
                                                       e
l’infini, il faut que l’estimateur se “rapproche” du param`tre qu’il estime.
                                                           e
Il existe plusieurs fa¸ons de mesurer cette proximit´ qui donnent lieu ` la
                      c                              e                  a
d´finition de plusieurs types de convergence. Notre objectif n’´tant pas ici
  e                                                             e
de faire un cours de statistiques fondamentales, nous nous bornerons ` citer
                                                                      a


                                        40
les principaux types de convergence et ` les illustrer ` l’aide des deux exem-
                                               a             a
ples suivants :
exemple 1 :
Soient X1 , . . . , Xn , n variables al´atoires de mˆme loi N (m, σ 2 ). On s’interesse
                                       e             e
` la convergence de la moyenne empirique X
a                                                   ¯ n = 1 n Xi vers m.
                                                           n i=1
exemple 2 :
Soit X une variable al´atoire distribu´e selon une loi B(n, p). On s’interesse
                             e               e
` la convergence de pn = X/n vers p.
a                          ˆ
Dans un cadre plus g´n´ral, nous noterons Tn un estimateur du param`tre θ
                            e e                                                  e
obtenu ` partir d’un ´chantillon de taille n qui v´rifie pour tout n, IE(Tn ) = θ
        a                  e                             e
(cf paragraphe suivant).
D´finition :L’estimateur Tn est convergent en moyenne quadratique si :
  e

                                  V ar(Tn ) −→ 0

quand n −→ ∞.
Rappelons que la variance d’une variable al´atoire est d´finie par V ar(Tn ) =
                                             e            e
                 2             2
IE(Tn −IE(Tn )) = IE(Tn −θ) . Dire que Tn converge en moyenne quadratique
signifie en fait que lorsque n tend vers l’infini la distance moyenne qui s´pare
                                                                         e
Tn de θ tend vers 0.
                                   ¯       2
Il est facile d’´tablir que V ar(Xn ) = σ . Par cons´quent lorsque n −→ ∞,
                e                                     e
                                          n
       ¯
V ar(Xn ) −→ 0.
De mˆme V ar(ˆn ) = p(1−p) tend vers 0 quand n tend vers ∞.
      e           p       n
D´finition :L’estimateur Tn est convergent en probabilit´ si : pour tout
   e                                                          e
ε  0 fix´ la quantit´
          e           e
                                 P ( Tn − θ  ε)
tend vers 0 quand n tend vers ∞
Ce type de convergence peut s’interpr´ter de la fa¸on suivante : Supposons
                                       e           c
que l’on se fixe un intervalle de largeur 2ε centr´ sur θ. Supposons de plus
                                                 e
que nous disposons d’un grand nombre de r´alisations de Tn (obtenu avec
                                              e
un grand nombre d’´chantillons de taille n). On s’interesse au pourcentage
                     e
de ces r´alisations qui “tombent” dans en dehors de cet intervalle. Alors,
        e
l’estimateur Tn converge en probabilit´ vers θ si ce pourcentage tend vers 0
                                       e

                                         41
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle
Introduction au statistiques inférentielle

More Related Content

What's hot

rapport PFE ingénieur génie logiciel INSAT
rapport PFE ingénieur génie logiciel INSATrapport PFE ingénieur génie logiciel INSAT
rapport PFE ingénieur génie logiciel INSATSiwar GUEMRI
 
Présentation de mon PFE
Présentation de mon PFEPrésentation de mon PFE
Présentation de mon PFENadir Haouari
 
rapport de projet de fin d'étude_PFE
rapport de projet de fin d'étude_PFErapport de projet de fin d'étude_PFE
rapport de projet de fin d'étude_PFEDonia Hammami
 
Rapport Projet de Fin d'Etudes
Rapport Projet de Fin d'EtudesRapport Projet de Fin d'Etudes
Rapport Projet de Fin d'EtudesHosni Mansour
 
Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année kaies Labiedh
 
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiques
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiquesChapitre 4 heuristiques et méta heuristiques
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiquesSana Aroussi
 
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clients
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clientsPrésentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clients
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clientsMohamed Ayoub OUERTATANI
 
Conception et Réalisation d'un Data Warehouse
Conception et Réalisation d'un Data WarehouseConception et Réalisation d'un Data Warehouse
Conception et Réalisation d'un Data WarehouseAbderrahmane Filali
 
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learning
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learningRapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learning
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learningRouâa Ben Hammouda
 
Exercice arbre de décision
Exercice arbre de décision Exercice arbre de décision
Exercice arbre de décision Yassine Badri
 
Soutenance mémoire de fin d'études
Soutenance mémoire de fin d'étudesSoutenance mémoire de fin d'études
Soutenance mémoire de fin d'étudesFabrice HAUHOUOT
 
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboard
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboardRapport de stage boite à idées innovantes avec dashboard
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboardSiwar GUEMRI
 
PFE BI - INPT
PFE BI - INPTPFE BI - INPT
PFE BI - INPTriyadadva
 
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...Mohammed JAITI
 
Rapport de stage développement informatique
Rapport de stage développement informatique Rapport de stage développement informatique
Rapport de stage développement informatique MehdiOuqas
 
Les arbres de décisions
Les arbres de décisionsLes arbres de décisions
Les arbres de décisionsMariem Chaaben
 

What's hot (20)

rapport PFE ingénieur génie logiciel INSAT
rapport PFE ingénieur génie logiciel INSATrapport PFE ingénieur génie logiciel INSAT
rapport PFE ingénieur génie logiciel INSAT
 
Présentation PFE
Présentation PFEPrésentation PFE
Présentation PFE
 
Présentation de mon PFE
Présentation de mon PFEPrésentation de mon PFE
Présentation de mon PFE
 
rapport de projet de fin d'étude_PFE
rapport de projet de fin d'étude_PFErapport de projet de fin d'étude_PFE
rapport de projet de fin d'étude_PFE
 
Rapport Projet de Fin d'Etudes
Rapport Projet de Fin d'EtudesRapport Projet de Fin d'Etudes
Rapport Projet de Fin d'Etudes
 
Présentation PFE
Présentation PFEPrésentation PFE
Présentation PFE
 
Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année Rapport de projet de fin d'année
Rapport de projet de fin d'année
 
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiques
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiquesChapitre 4 heuristiques et méta heuristiques
Chapitre 4 heuristiques et méta heuristiques
 
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clients
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clientsPrésentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clients
Présentation PFE: Système de gestion des réclamations et interventions clients
 
Conception et Réalisation d'un Data Warehouse
Conception et Réalisation d'un Data WarehouseConception et Réalisation d'un Data Warehouse
Conception et Réalisation d'un Data Warehouse
 
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learning
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learningRapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learning
Rapport- Conception et réalisation d'une plateforme social learning
 
Exercice arbre de décision
Exercice arbre de décision Exercice arbre de décision
Exercice arbre de décision
 
Arbre de décision
Arbre de décisionArbre de décision
Arbre de décision
 
Soutenance mémoire de fin d'études
Soutenance mémoire de fin d'étudesSoutenance mémoire de fin d'études
Soutenance mémoire de fin d'études
 
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboard
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboardRapport de stage boite à idées innovantes avec dashboard
Rapport de stage boite à idées innovantes avec dashboard
 
PFE BI - INPT
PFE BI - INPTPFE BI - INPT
PFE BI - INPT
 
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...
Soutenance de Mon PFE - Interaction Homme Machine par geste avec Python - Jai...
 
Rapport Projet Fin d'Études PFE
Rapport Projet Fin d'Études PFERapport Projet Fin d'Études PFE
Rapport Projet Fin d'Études PFE
 
Rapport de stage développement informatique
Rapport de stage développement informatique Rapport de stage développement informatique
Rapport de stage développement informatique
 
Les arbres de décisions
Les arbres de décisionsLes arbres de décisions
Les arbres de décisions
 

Viewers also liked

Les nouvelles cloches (1)
Les nouvelles cloches (1)Les nouvelles cloches (1)
Les nouvelles cloches (1)Mircea Tivadar
 
Ne me quitte pas
Ne me quitte pasNe me quitte pas
Ne me quitte pasteddy1000
 
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013S.E.M.O.C.T.O.M
 
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadores
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadoresCcabrerc presentaciones powerpointbuscadores
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadorescarlos67casta
 
V10data marketplace - francais
V10data marketplace - francaisV10data marketplace - francais
V10data marketplace - francaisv10data
 
G10 presentación pr3 grupo 10
G10 presentación pr3 grupo 10G10 presentación pr3 grupo 10
G10 presentación pr3 grupo 10tallera
 
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilena
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilenaClase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilena
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilenaColegio Padre Pedro Arrupe
 
Examen decembre 2005
Examen decembre 2005Examen decembre 2005
Examen decembre 2005Emeryn57
 
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012ALEX & ALEX
 
Projet carrières
Projet carrièresProjet carrières
Projet carrièreskitkat97
 
Offre de service, télé-assistance
Offre de service, télé-assistanceOffre de service, télé-assistance
Offre de service, télé-assistanceNUM'X
 
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizajeRecursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizajeLilia G. Torres Fernández
 
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...Carmen Urbano
 

Viewers also liked (20)

Ce dicyt
Ce dicytCe dicyt
Ce dicyt
 
Parte dos del libro
Parte dos del libroParte dos del libro
Parte dos del libro
 
Les nouvelles cloches (1)
Les nouvelles cloches (1)Les nouvelles cloches (1)
Les nouvelles cloches (1)
 
Ne me quitte pas
Ne me quitte pasNe me quitte pas
Ne me quitte pas
 
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013
Diaporama de présentation S.E.M.O.C.T.O.M 2013
 
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadores
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadoresCcabrerc presentaciones powerpointbuscadores
Ccabrerc presentaciones powerpointbuscadores
 
V10data marketplace - francais
V10data marketplace - francaisV10data marketplace - francais
V10data marketplace - francais
 
Sesión de aprendizaje n° 05
Sesión de aprendizaje n° 05Sesión de aprendizaje n° 05
Sesión de aprendizaje n° 05
 
G10 presentación pr3 grupo 10
G10 presentación pr3 grupo 10G10 presentación pr3 grupo 10
G10 presentación pr3 grupo 10
 
1. El marco curricular común (MCC)
1. El marco curricular común (MCC)1. El marco curricular común (MCC)
1. El marco curricular común (MCC)
 
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilena
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilenaClase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilena
Clase 2 tipos de lectura el problema de la educación chilena
 
Examen decembre 2005
Examen decembre 2005Examen decembre 2005
Examen decembre 2005
 
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012
Alex & Alex - Programme Changer Une Vie 2012
 
Projet carrières
Projet carrièresProjet carrières
Projet carrières
 
Lecturas jurídicas número 22
Lecturas jurídicas número 22Lecturas jurídicas número 22
Lecturas jurídicas número 22
 
Lexique de capacités
Lexique de capacitésLexique de capacités
Lexique de capacités
 
Offre de service, télé-assistance
Offre de service, télé-assistanceOffre de service, télé-assistance
Offre de service, télé-assistance
 
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizajeRecursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje
Recursos educativos abiertos como apoyo a la enseñanza y el aprendizaje
 
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...
Resumen twits evento "Turismo e innovación hotelera", Fernando Gallardo, #hot...
 
Rna rh-a
Rna rh-aRna rh-a
Rna rh-a
 

Similar to Introduction au statistiques inférentielle

Cours stochastic processes
Cours stochastic processesCours stochastic processes
Cours stochastic processeszoolyver
 
Cours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveCours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveAlilo Mabhoour
 
cours_statistique_descriptive.pdf
cours_statistique_descriptive.pdfcours_statistique_descriptive.pdf
cours_statistique_descriptive.pdfBoukarOudraogo3
 
Cours mecasol 0_2
Cours mecasol 0_2Cours mecasol 0_2
Cours mecasol 0_2kahinarouam
 
Cours mecasol 0
Cours mecasol 0Cours mecasol 0
Cours mecasol 0Ali Benali
 
Risques hydrologiques et aménagement du territoire
Risques hydrologiques et aménagement du territoireRisques hydrologiques et aménagement du territoire
Risques hydrologiques et aménagement du territoireSouhila Benkaci
 
Object detection and recognition in digital images
Object detection and recognition in digital imagesObject detection and recognition in digital images
Object detection and recognition in digital imagesSakher BELOUADAH
 
Thèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreThèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreStéphane Salmons
 
Rd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiauxRd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiauxBeni Ludger
 

Similar to Introduction au statistiques inférentielle (20)

Cours stochastic processes
Cours stochastic processesCours stochastic processes
Cours stochastic processes
 
Jmc habile
Jmc habileJmc habile
Jmc habile
 
Cours statistique descriptive
Cours statistique descriptiveCours statistique descriptive
Cours statistique descriptive
 
cours_statistique_descriptive.pdf
cours_statistique_descriptive.pdfcours_statistique_descriptive.pdf
cours_statistique_descriptive.pdf
 
defour phd
defour phddefour phd
defour phd
 
Cours mecasol 0_2
Cours mecasol 0_2Cours mecasol 0_2
Cours mecasol 0_2
 
Analyse2 00
Analyse2 00Analyse2 00
Analyse2 00
 
Cours mecasol 0
Cours mecasol 0Cours mecasol 0
Cours mecasol 0
 
Analyse s1
Analyse s1Analyse s1
Analyse s1
 
Maths
MathsMaths
Maths
 
METHODES NUMERIQUES.pdf
METHODES NUMERIQUES.pdfMETHODES NUMERIQUES.pdf
METHODES NUMERIQUES.pdf
 
Risques hydrologiques et aménagement du territoire
Risques hydrologiques et aménagement du territoireRisques hydrologiques et aménagement du territoire
Risques hydrologiques et aménagement du territoire
 
Cours10
Cours10Cours10
Cours10
 
Object detection and recognition in digital images
Object detection and recognition in digital imagesObject detection and recognition in digital images
Object detection and recognition in digital images
 
C66
C66C66
C66
 
Elmachopt
ElmachoptElmachopt
Elmachopt
 
Thèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumièreThèse Quantification sur cône de lumière
Thèse Quantification sur cône de lumière
 
Rd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiauxRd m resistance_materiaux
Rd m resistance_materiaux
 
PhD Thesis
PhD ThesisPhD Thesis
PhD Thesis
 
These_final
These_finalThese_final
These_final
 

More from Taha Can

Les passrelles s5 encg
Les passrelles s5 encgLes passrelles s5 encg
Les passrelles s5 encgTaha Can
 
Examens probabilité et estimations
Examens probabilité et estimationsExamens probabilité et estimations
Examens probabilité et estimationsTaha Can
 
Examen publicité 1
Examen publicité 1Examen publicité 1
Examen publicité 1Taha Can
 
Examen probléme économique et sociaux
Examen probléme économique et sociauxExamen probléme économique et sociaux
Examen probléme économique et sociauxTaha Can
 
Examen management du projet
Examen management du projetExamen management du projet
Examen management du projetTaha Can
 
Examen fiscalité
Examen fiscalitéExamen fiscalité
Examen fiscalitéTaha Can
 
Examen finance
Examen financeExamen finance
Examen financeTaha Can
 
Examen economie monétaire 3
Examen economie monétaire 3Examen economie monétaire 3
Examen economie monétaire 3Taha Can
 
Examen economie monétaire 2
Examen economie monétaire 2Examen economie monétaire 2
Examen economie monétaire 2Taha Can
 
Examen economie monétaire 1
Examen economie monétaire 1Examen economie monétaire 1
Examen economie monétaire 1Taha Can
 
Examen droit entreprise
Examen droit entrepriseExamen droit entreprise
Examen droit entrepriseTaha Can
 
Examen comptabilité de société 2
Examen comptabilité de société 2Examen comptabilité de société 2
Examen comptabilité de société 2Taha Can
 
Examen comptabilité de société 1
Examen comptabilité de société 1Examen comptabilité de société 1
Examen comptabilité de société 1Taha Can
 
Examen communication (transversal)
Examen communication (transversal)Examen communication (transversal)
Examen communication (transversal)Taha Can
 
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)Examen (publicité + probléme économique et sociaux)
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)Taha Can
 
Examen publicité 2
Examen publicité 2Examen publicité 2
Examen publicité 2Taha Can
 
Procédure de test de erreur ( probabilité )
Procédure de test de erreur ( probabilité )Procédure de test de erreur ( probabilité )
Procédure de test de erreur ( probabilité )Taha Can
 
Probabilité échantillonage
Probabilité   échantillonageProbabilité   échantillonage
Probabilité échantillonageTaha Can
 
Pourquoi une etude de marche
Pourquoi une etude de marchePourquoi une etude de marche
Pourquoi une etude de marcheTaha Can
 
Politique de la communication
Politique de la communicationPolitique de la communication
Politique de la communicationTaha Can
 

More from Taha Can (20)

Les passrelles s5 encg
Les passrelles s5 encgLes passrelles s5 encg
Les passrelles s5 encg
 
Examens probabilité et estimations
Examens probabilité et estimationsExamens probabilité et estimations
Examens probabilité et estimations
 
Examen publicité 1
Examen publicité 1Examen publicité 1
Examen publicité 1
 
Examen probléme économique et sociaux
Examen probléme économique et sociauxExamen probléme économique et sociaux
Examen probléme économique et sociaux
 
Examen management du projet
Examen management du projetExamen management du projet
Examen management du projet
 
Examen fiscalité
Examen fiscalitéExamen fiscalité
Examen fiscalité
 
Examen finance
Examen financeExamen finance
Examen finance
 
Examen economie monétaire 3
Examen economie monétaire 3Examen economie monétaire 3
Examen economie monétaire 3
 
Examen economie monétaire 2
Examen economie monétaire 2Examen economie monétaire 2
Examen economie monétaire 2
 
Examen economie monétaire 1
Examen economie monétaire 1Examen economie monétaire 1
Examen economie monétaire 1
 
Examen droit entreprise
Examen droit entrepriseExamen droit entreprise
Examen droit entreprise
 
Examen comptabilité de société 2
Examen comptabilité de société 2Examen comptabilité de société 2
Examen comptabilité de société 2
 
Examen comptabilité de société 1
Examen comptabilité de société 1Examen comptabilité de société 1
Examen comptabilité de société 1
 
Examen communication (transversal)
Examen communication (transversal)Examen communication (transversal)
Examen communication (transversal)
 
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)Examen (publicité + probléme économique et sociaux)
Examen (publicité + probléme économique et sociaux)
 
Examen publicité 2
Examen publicité 2Examen publicité 2
Examen publicité 2
 
Procédure de test de erreur ( probabilité )
Procédure de test de erreur ( probabilité )Procédure de test de erreur ( probabilité )
Procédure de test de erreur ( probabilité )
 
Probabilité échantillonage
Probabilité   échantillonageProbabilité   échantillonage
Probabilité échantillonage
 
Pourquoi une etude de marche
Pourquoi une etude de marchePourquoi une etude de marche
Pourquoi une etude de marche
 
Politique de la communication
Politique de la communicationPolitique de la communication
Politique de la communication
 

Introduction au statistiques inférentielle

  • 1. Introduction ` la statistique a inf´rentielle e Didier Concordet Unit´ de Biom´trie e e Ecole V´t´rinaire de Toulouse ee
  • 2. Sommaire 1 Statistiques descriptives 7 1.1 Description num´rique . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Param`tres de position . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Param`tres de dispersion . . e . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Param`tres de forme . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Description graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Description de la densit´ . . e . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Description de la fonction de r´partition e . . . . . . . . 13 2 Le zoo des lois de probabilit´ e 17 2.1 Lois de probabilit´ discr`tes . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 18 2.1.1 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 Loi hyperg´om´trique . . . . . . . . . . . . e e . . . . . . . 23 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e . . . . . . . 24 2.1.5 Loi binomiale n´gative . . . . . . . . . . . e . . . . . . . 26 2.1.6 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues . . . . . . . e . . . . . . . 28 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires . . . . . e e . . . . . . . 28 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Loi du χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.4 Loi de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.5 Loi de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Quelques remarques sur l’op´rateur IE . . . . . . e . . . . . . . 35 1
  • 3. 2.4 Lois ` deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 a 2.4.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 e e e 2.4.2 Loi normale a deux dimensions . . . . . . . . . . . . . 40 3 Estimation 43 3.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 43 3.2 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3 Estimateur sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Estimateur de variance minimum . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Une m´thode g´n´rale d’estimation : e e e le maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.6 Une bricole sur le th´or`me central limit . e e . . . . . . . . . . . 52 3.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.7.1 Estimation des param`tres d’une loi e normale . . . . . . 53 3.7.2 Estimation d’un pourcentage . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Tests d’hypotheses 61 4.1 G´n´ralit´s . . . . . . . . . . . . . . . . . e e e . . . . . . . . . . . 61 4.2 Hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 63 4.3 D´finition des risques . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . 64 4.4 Ce qu’il ne faudrait pas croire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.5 Tests param´triques et non param´triques e e . . . . . . . . . . . 68 4.6 Quelques remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 Tests classiques 71 5.1 Comparaisons portant sur les variances . . . . . . . . . . . . . 71 5.1.1 Comparaison d’une variance ` une valeur d´terministe a e 71 5.1.2 Comparaison de deux variances . . . . . . . . . . . . . 72 5.1.3 Comparaison de plusieurs variances . . . . . . . . . . . 72 5.2 Comparaisons portant sur les moyennes . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 Comparaison d’une moyenne ` une valeur donn´e m0 . a e 75 5.2.2 Comparaison de deux moyennes . . . . . . . . . . . . . 76 5.3 Comparaisons portant sur les proportions . . . . . . . . . . . . 79 2
  • 4. 5.3.1 Comparaison d’une proportion ` une valeur donn´e a e . . 79 5.4 Comparaison de deux proportions . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.5 Test de conformit´ a une loi de proba . . . . . . . . . . . . e . . 83 5.5.1 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . . . . . . . . 83 5.5.2 Test du χ2 pour une loi normale . . . . . . . . . . . . . 84 5.6 Comparaisons multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.6.1 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.6.2 Analyse de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.6.3 Estimation des param`tres . . . . . . . . . . . . . . e . . 88 5.7 Tests d’hypoth`ses (param´triques) . . . . . . . . . . . . . e e . . 91 5.7.1 M´thode des contrastes . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 92 5.7.2 Orthogonalit´ et ind´pendance . . . . . . . . . . . . e e . . 93 5.7.3 Plus petite diff´rence significative (PPDS) . . . . . e . . 94 5.7.4 M´thode de Bonferroni . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 96 5.7.5 M´thode de Newman-Keuls . . . . . . . . . . . . . e . . 97 5.7.6 M´thode de Duncan . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 99 5.7.7 M´thode de Tuckey . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 99 5.7.8 M´thode de Dunnett . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . 99 5.8 Quelques tests non parametriques . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.8.1 Tests sur ´chantillons appari´s . . . . . . . . . . . . e e . . 101 5.8.2 Tests sur ´chantillons ind´pendants . . . . . . . . . e e . . 102 3
  • 5. Chapitre 1 Statistiques descriptives L’objet de ce chapitre est de pr´senter bri`vement la premi`re ´tape de e e e e l’analyse des donn´es : la description. L’objectif poursuivi dans une telle e analyse est de 3 ordres : tout d’abord, obtenir un contrˆle des donn´es et ´liminer les donn´es aber- o e e e rantes ensuite, r´sumer les donn´es (op´ration de r´duction) sous forme e e e e graphique ou num´rique, enfin, ´tudier les particularit´s de ces donn´es e e e e ce qui permettra ´ventuellement de choisir des m´thodes plus complexes. e e Les m´thodes descriptives se classent en deux cat´gories qui souvent sont e e compl´mentaires : la description num´rique et la description graphique. e e 1.1 Description num´rique e Avant de donner des d´finitions formelles de tous les indices, nous les cal- e culerons sur la s´rie de donn´es suivante (GMQ de porcs exprim´s en g): e e e x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 737 630 573 615 718 620 820 763 786 529 Nous noterons n la taille de la s´rie de donn´es, ici n = 10 e e 4
  • 6. 1.1.1 Param`tres de position e Les param`tres de position, aussi appel´s valeurs centrales, servent ` car- e e a act´riser l’ordre de grandeur des donn´es. e e • moyenne arithm´tique : e Elle est plus souvent appel´e moyenne, et est en g´n´ral not´e x, elle est e e e e ¯ calcul´e en utilisant la formule: e n 1 x= ¯ xi n i=1 Dans notre exemple,¯ = 679. x • moyenne g´om´trique e e La moyenne g´om´trique (¯g ) est toujours inf´rieure (ou ´gale) ` la moyenne e e x e e a arithm´tique. Elle est donn´e par: e e n 1/n xg = ¯ xi i=1 Dans notre exemple, xg = 672.6 ¯ On peut remarquer que n 1 log(¯g ) = x log(xi ) n i=1 en d’autres termes, le log de la moyenne g´om´trique est la moyenne arithm´tique e e e du log des donn´es. Elle est tr`s souvent utilis´e pour les donn´es distribu´es e e e e e suivant une loi log normale (par exemple les comptages cellulaires du lait). • moyenne harmonique La moyenne harmonique (¯h ) est toujours inf´rieure (ou ´gale) ` la moyenne x e e a g´om´trique, elle est en g´n´ral utilis´e pour calculer des moyennes sur des e e e e e intervalles de temps qui s´parent des ´v´nements. Elle est donn´e par: e e e e n xh = ¯ n 1 i=1 xi 5
  • 7. Dans notre exemple,¯h = 666.05 x On peut remarquer que n 1 1 1 = . xh ¯ n i=1 xi • m´diane e La m´diane x est la valeur telle que la moiti´ des observations lui sont e ˜ e sup´rieures (ou ´gales) et la moiti´ inf´rieures (ou ´gales). Il est clair que e e e e e la m´diane existe pour toutes les distributions (ce qui n’est pas le cas de la e moyenne) de plus, elle est peu sensible aux valeurs extrˆmes. e Lorsque le nombre d’observations est pair, la m´diane n’est pas d´finie de e e fa¸on unique. La valeur usuellement retenue est la moyenne des observations c de rang n et de rang n + 1 Dans notre exemple x = 674. 2 2 ˜ • les quartiles Les quartiles sont au nombre de trois. La m´diane est le deuxi`me. e e Le premier quartile q1 est la valeur telle que 75% des observations lui sont sup´rieures (ou ´gales) et 25% inf´rieures (ou ´gales). e e e e Lorsqu’il n’est pas d´fini de fa¸on unique, on utilise g´n´ralement la moyenne e c e e des observations qui l’encadrent pour le calculer. Dans notre exemple, q1 = 615. Le troisi`me quartile q3 est la valeur telle que 25% des observations lui sont e sup´rieures (ou ´gales) et 75% inf´rieures (ou ´gales). e e e e Lorsqu’il n’est pas d´fini de fa¸on unique, on utilise la moyenne des observa- e c tions qui l’encadrent pour le calculer. Dans notre exemple, q3 = 763. • le mode est la (ou les) valeur(s) pour laquelle les effectifs sont maximums, il est en g´n´ral assez difficile de l’´valuer (quand il existe) sur des ´chantillons de e e e e petite taille. • les extrˆmes e Ce sont les minimum et maximum de l’´chantillon qui ici valent respective- e ment 529 et 820. La moyenne n’est pas toujours le meilleur indice pour d’´crire la e position des donn´es, tout d´pend de la forme de la distribution. e e 6
  • 8. En effet, pour des distributions non sym´triques ou multimodales, e il est souvent pr´f´rables de donner les percentiles qui sont plus ee facile ` interpr´ter. a e 1.1.2 Param`tres de dispersion e Ces param`tres (comme leur nom l’indique) mesurent la dispersion des donn´es. e e • la variance Elle est d´finie comme la moyenne des carr´s des ´carts ` la moyenne, soit: e e e a n 1 ˆ2 σn = (xi − x)2 ¯ n i=1 Il est aussi possible d’en donner la d´finition suivante: e n n 1 ˆ2 σn = (xi − xj )2 2n2 i=1 j=1 On voit donc, que la variance est proportionnelle ` la somme des carr´s de a e toutes les diff´rences possibles entre les observations. e Cette d´finition de la variance n’est pas utilis´e en pratique pour une raison e e que nous verrons au chapitre suivant. En fait, on utilise la d´finition suivante e n 1 ˆ2 σn−1 =S = 2 (xi − x)2 ¯ n−1 i=1 La variance s’exprime dans l’unit´ au carr´ des donn´es ; dans notre exemple, e e e 2 2 la variance vaut :ˆn−1 = 9664.989g σ • l’´cart type e est la racine carr´e de la variance. il vaut ici:ˆn−1 = 93.26g Utilisez le ` bon e σ a escient (cf TD) • l’´tendue ou amplitude e est d´finie comme la diff´rence entre la maximum et le minimum, soit ici e e :820 − 529 = 291g • la distance inter-quartile 7
  • 9. est d´finie comme la diff´rence entre q3 et q1 , soit:763 − 615 = 148 e e • le coefficient de variation est d´finie comme le rapport entre l’´cart type et la moyenne. e e S2 CV = x ¯ 1.1.3 Param`tres de forme e Les logiciels de statistiques fournissent g´n´ralement les param`tres Skewness e e e et Kurtosis construits ` partir des moments centr´s d’ordre 2,3 et 4 qui a e mesurent respectivement la sym´trie et l’aplatissement de la distribution dont e l’´chantillon est issu. e Pour une loi normale centr´e r´duite, ces coefficients sont nuls. e e Les moments centr´s d’ordre 3 et 4 sont d´finis par: e e n 1 m3 = (xi − x)3 ¯ n i=1 n 1 m4 = (xi − x)4 ¯ n i=1 A partir de ces d´finitions, les param`tres Skewness et Kurtosis sont respec- e e tivement d´finis par: e m3 γ1 = 3 s m4 γ2 = 4 − 3 s Dans notre exemple,γ1 = −0.037 et γ2 = −1.339 Le param`tre γ1 est nul pour une distribution sym´trique. Le graphique e e suivant montre un exemple de distribution avec un γ1 positif et n´gatif. Le e param`tre γ2 est nul pour une loi normale. Le graphique suivant montre un e exemple de distribution avec un γ1 positif et n´gatif. e 8
  • 10. 1.2 Description graphique Les graphiques pr´sent´s dans ce paragraphe d´crivent d’une part la densit´ e e e e de la distribution et d’autre part la fonction de r´partition de la distribution. e 1.2.1 Description de la densit´ e Histogramme (cf fig 1.1) 30 0.2 Proportion per Bar 20 Count 0.1 10 0 0.0 4 5 6 7 8 Variable à étudier Figure 1.1: Histogramme d’une variable quantitative. La variable quan- titative est d´coup´e en classes repr´sent´es en abscisse. Le pourcentage e e e e (et/ou le nombre) de donn´es de l’´chantillon appartenant ` chaque classe e e a est repr´sent´ en ordonn´e. L’inconv´nient majeur de cette repr´sentation e e e e e graphique est l’arbitraire dans le choix des classes. 9
  • 11. Stem and leaf 4 3 4 4445 4 666677 4 88888999999 5 H 0000000000111111111 5 22223 5 4444445555555 5 66666677777777 5 M 8888888999 6 000000111111 6 2222333333333 6 H 444444455555 6 6677777777 6 8889999 7 01 7 2223 7 4 7 67777 7 9 C’est un de mes graphiques pr´f´r´s. Il s’agit d’un histogramme fait avec eee des chiffres. Les donn´es sont class´es par ordre croissant. Le minimum de e e l’´chantillon est 4.3 (premi`re ligne du stem). La deuxi`me ligne nous indique e e e que l’´chantillon contient 3 valeurs qui apr`s arrondi valent 4.4 et une valeur e e ´gale (apr`s arrondi) ` 4.5. Le maximum vaut 7.9. Les H nous indiquent e e a les classes qui contiennent respectivement les premier et troisi`me quartiles e tandis que le M nous donne la classe qui contient la m´diane. On en d´duit e e que 25% des donn´es sont inf´rieures ` 5.0 ou 5.1, 50 % sont inf´rieures ` 5.8 e e a e a ou 5.9 et 25% sont sup´rieures ` 6.4 ou 6.5. e a 1.2.2 Description de la fonction de r´partition e Qplot (Quantile plot) ou encore fonction de r´partition empirique (cf fig 1.2) e 10
  • 12. 1.0 0.9 Fraction of Data 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 4 5 6 7 8 Variable étudiée Figure 1.2: Ce graphique est homog`ne au graphique des fr´quences cu- e e mul´es pour une variable qualitative. La variable ´tudi´e est repr´sent´e sur e e e e e l’axe des abscisses. L’axe des ordonn´es donne le pourcentage de donn´es de e e l’´chantillon inf´rieures ou ´gales ` l’abscisse. e e e a Pplot (Probability plot) aussi appel´ dans le cas de la loi normale droite de e Henry. (cf fig 1.3). Toutes les fonctions de r´partition se ressemble, ce sont e des courbes croissantes en g´n´ral sigmo¨ e e ıdale. En bref, elles ne permettent pas facilement d’identifier une loi. L’id´e des Pplot est de d´former l’axe e e des ordonn´es de telle fa¸on que si la loi empirique est proche de la loi que e c l’on cherche ` identifier alors les points sont ` peu pr´s align´s. Le Pplot a a e e le plus courant est la droite de Henry qui permet de reconnaˆ la loi nor- ıtre male. Formellement voil` comment cela marche. Notons F a ˆ (x) la fonction de r´partition empirique construite avec notre ´chantillon. On pense que e e cette fonction de r´partition est proche de la fonction de r´partition de la loi e e 11
  • 13. normale N (m, σ 2 ) (cf paragraphe refgauss0 pour plus de d´tails). On pense e ˆ (x) donc que F Φ σ x−m o` Φ est la fonction de r´partition de la la loi u e ˆ normale N (0, 1). Si F (x) Φ x−m alors Φ−1 F (x) ˆ x−m . En d’autres σ σ ˆ termes, si F (x) est proche de la fonction de r´partition de la loi normale e alors le graphique de Φ −1 ˆ (x) contre x devrait nous donner une droite F d’´quation x−m . Les points devraient donc se situer autour de cette droite si e σ la distribution est gaussienne (aux effets de bords pr´s). e 3 Expected Value for Normal Distribution 2 1 0 -1 -2 -3 4 5 6 7 8 Variable étudiée Figure 1.3: Ce graphique nous montre clairement que cette distribution ne peut pas ˆtre consid´r´e comme gaussienne, il y a trop de courbure. e ee 12
  • 14. Chapitre 2 Le zoo des lois de probabilit´ e Une des notions fondamentales des statistiques est celle de variable al´atoire. e On consid`re un ensemble d’individus qui sera appel´ Ω. Un individu de cet e e ensemble sera not´ ω. On note X(ω) une caract´ristique de l’individu ω. Par e e exemple, Ω est l’ensemble des bact´ries que l’on trouve dans du lait de mam- e mites, ω est une bact´rie particuli`re et X(ω) est type de la bact´rie ω. La e e e quantit´ X(.) est appel´e variable al´atoire (en g´n´ral on note v.a.). Les e e e e e valeurs possibles que peut prendre X(ω) quand ω ∈ Ω d´termine la nature e 1 de la variable al´atoire. Ainsi, si X(ω) prend ses valeurs dans IR, on parlera e de variable al´atoire continue, si X(.) prend ses valeurs dans un ensemble e fini ou d´nombrable, X(.) sera alors appel´e v.a. discr`te. e e e En r´sum´, e e X : Ω −→ E ω −→ X(ω) Quelques exemples de variables al´atoires : e 1) le nombre d’´tudiants pr´sents au cours de stat ; e e 2) le nombre de vaches qui ont une mammite dans un ´levage ; e 3) le pourcentage de r´ussite aux examens ; e 4) le temps pendant lequel un animal est porteur d’une maladie ; 1 Pour simplifier les notations, on note g´n´ralement X au lieu de X(ω). Par la suite, e e cet abus de notation sera abondamment utilis´e 13
  • 15. 5) la temp´rature d’un chien; e 6) les concentrations en fer et en cuivre dans le sang d’un animal sain. Les trois premi`res v.a. sont discr`tes, et ne peuvent prendre que des e e valeurs qu’il est possible d’´num´rer d’avance. En revanche, les v.a. 4), e e 5), 6) sont continues. La variable al´atoire 6) est une va ` deux dimen- e a sions. Nous adopterons dor´navant la convention suivante : les lettres ma- e juscules d´signeront les variables al´atoires, les lettres minuscules d´signeront e e e les valeurs que peuvent prendre les variables al´atoires. e L’´tude des lois de probabilit´ usuelles est en fait l’´tude de la distribution e e e des valeurs que peut prendre une variable al´atoire. e 2.1 Lois de probabilit´ discr`tes e e Pour compl`tement d´finir une loi de probabilit´ d’une va discr`te X, il suffit e e e e de d´finir la probabilit´ d’occurrence de chaque valeur k que peut prendre e e cette va. En d’autres termes, la donn´e des quantit´s P (X = k) et ceci pour e e toutes les valeurs k possibles d´terminent une loi de proba particuli`re. De e e fa¸on ´quivalente, pour compl`tement caract´riser une loi de proba, il suffit c e e e de d´finir sa fonction de r´partition , d´finie par : e e e F (n) = P (X ≤ k). k≤n Cette fonction s’interpr`te comme la probabilit´ que la va X soit au plus e e ´gale ` n. C’est ´videmment une fonction positive et croissante (on ajoute e a e des probabilit´s qui sont des quantit´s positives ou nulles). Pour illustrer ce e e qu’elle repr´sente, prenons un petit exemple. Supposons que X est le nombre e de clients d’un v´t´rinaire le mardi matin. La va X est discr`te et ne peut ee e prendre que les valeurs k = 0, 1, . . . , 10. Supposons de plus que la distribution de X est donn´e par e k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X = k) 0.01 0.03 0.09 0.14 0.17 0.17 0.15 0.11 0.07 0.04 0.02 14
  • 16. alors la fonction de r´partition est donn´e par e e n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 F (n) 0.01 0.04 0.13 0.27 0.45 0.62 0.77 0.88 0.94 0.98 1.00 Fonction de Répartition 1 0.9 0.8 0.7 0.6 F(n) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n Figure 2.1: Fonction de r´partition du nombre de clients d’un v´t´rinaire le e ee mardi matin Il est bien ´vident que si le nombre de valeurs que peut prendre la vari- e able al´atoire est tr`s ´lev´, il peut ˆtre tr`s fastidieux (voire impossible) e e e e e e de donner toutes ces probabilit´s. Or, comme nous allons le voir, les lois e de proba usuelles sont en fait d´finies par un petit nombre de param`tres e e : les moments de la loi de proba. Pour d´finir les moments, nous avons e besoin d’un op´rateur appel´ esp´rance math´matique qui est not´ IE. Cet e e e e e 15
  • 17. op´rateur plac´ devant une variable al´atoire, fournit la moyenne de cette e e e variable, ainsi la quantit´ IE(X) est d´finie par e e IE(X) = kP (X = k) k Dans notre exemple, le nombre de clients moyen du v´t´rinaire le mardi ee matin est donn´ par e IE(X) = 0 × 0.01 + 1 × 0.03 + 2 × 0.09 + 3 × 0.14 + 4 × 0.17 + 5 × 0.17 + 6 × 0.15 + 7 × 0.11 + 8 × 0.07 + 9 × 0.04 + 10 × 0.02 = 4.95 Plus g´n´ralement, on peut d´finir l’esp´rance math´matique de n’importe e e e e e quelle fonction Φ (ayant de bonnes propri´t´s) de la va X ainsi, ee IE(Φ(X)) = Φ(k)P (X = k) k On peut maintenant d´finir le moment d’ordre p par : e IE(X p ) = k p P (X = k). k Le moment centr´ d’ordre p est d´fini par e e mp = IE((X − IE(X))p ) = (k − IE(X))p P (X = k). k Vous connaissez d´j` le moment centr´ d’ordre 2 qui est aussi appel´ vari- ea e e ance. Nous reviendrons un peu plus loin sur l’interpr´tation pratique de cet e indice ainsi que sur celle des moments centr´s d’ordre 3 et 4. Dans l’exemple e pr´c´dent, la variance du nombre de clients du mardi matin est donn´e par e e e IE((X − IE(X))2 ) = (0 − 4.95)2 × 0.01 + (1 − 4.95)2 × 0.03 + (2 − 4.95)2 × 0.09 + (3 − 4.95)2 × 0.14 + (4 − 4.95)2 × 0.17 + (5 − 4.95)2 × 0.17 + (6 − 4.95)2 × 0.15 + (7 − 4.95)2 × 0.11 + (8 − 4.95)2 × 0.07 + (9 − 4.95)2 × 0.04 + (10 − 4.95)2 × 0.02 = 4.6275 Nous pouvons maintenant passer ` l’inventaire des lois de probabilit´s les a e plus courantes. 16
  • 18. 2.1.1 Loi de Bernoulli C’est la loi de probabilit´ la plus simple: l’individu ω peut se trouver dans e deux ´tats (en g´n´ral not´s 0 et 1). e e e e Exemple : Ω est l’ensemble des bact´ries dans du lait de mammite, ω est une e bact´rie particuli`re, X(ω) = 0 si la bact´rie ω est gram (-) et, X(ω) = 1 e e e si la bact´rie ω est gram (+). La loi de probabilit´ de X est enti`rement e e e d´termin´e par la seule donn´e du nombre P (X(ω) = 0) = p qui permet e e e de d´duire que P (X(w) = 1) = 1 − p. On dit alors que la v.a. X suit e une loi de BERNOULLI de param`tre p. On peut interpr´ter p dans notre e e exemple comme la probabilit´ qu’une bact´rie donn´e soit gram (-). La loi e e e de BERNOULLI nous sera essentiellement utile pour d´finir d’autres lois de e probabilit´. e 2.1.2 Loi binomiale Une v.a. qui suit une loi binomiale ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs que nous noterons N . Pour illustrer l’utilisation de la loi binomiale, prenons l’ exemple suivant : supposons que la pr´valence de la dysplasie de e la hanche chez le CN est de p (la proportion de CN non porteur de cette anomalie est donc de 1 − p). A l’´cole v´t´rinaire, il passe par an N CN, e ee on note X le nombre de CN porteurs de la dysplasie de la hanche parmi les N trait´s ` l’´cole. On suppose que l’´cole a une chance ´gale d’ˆtre choisie e a e e e e comme centre de traitement par les propri´taires de CN ` dysplasie de la e a hanche. Alors, P (X = k) = CN pk (1 − p)N −k et ceci pour k = 0, 1...N. k k N! CN = est le nombre de “paquets de k que l’on peut faire parmi k!(N − k)! N ”. k Une propri´t´ ´l´mentaire de CN est e eee CN = CN −k . k N 17
  • 19. Le nombre moyen de CN porteur de la dysplasie que l’on peut trouver au cours d’une ann´e ` l’´cole v´to est donn´ par IE(X) = N p. En d’autres e a e e e termes si la pr´valence de la dysplasie de la hanche est de p = 0.1, et s’il passe e dans les cliniques de l’´cole N = 500 CN par an, on trouvera en moyenne e N p = 500 0.1 = 50 CN porteurs de cette anomalie. Il est bien ´vident que e le nombre de CN porteurs trouv´s sur les 500 examin´s par an ne sera pas e e toujours ´gal ` 50. Il y a donc des variations de CN porteurs qui seront e a observ´s ` l’´cole. Un indice mesure ces variations c’est la variance. La e a e variance d’une loi binomiale est donn´e par e V ar(X) = N p(1 − p). Tr`s souvent la quantit´ 1−p est not´e q ; ceci explique le fait que V ar(X) = e e e N pq.Quand X suit une loi binomiale de param`tre N et p on note e X ∼ B(N, p). Le graphique 2.2 montre les formes caract´ristiques d’une loi binomiale en e fonction des valeurs du param`tre p. e Remarque Il existe une autre fa¸on de construire la loi binomiale. Voyons c sur l’exemple des bact´ries comment proc´der. e e On consid`re N bact´ries. Chaque bact´rie a une probabilit´ p d’ˆtre gram (- e e e e e ), ` chaque bact´rie on fait correspondre une v.a. de Bernoulli de param`tre a e e p qui prend la valeur 0 si elle est gram (-) et 1 si elle est gram (+). On appelle Xi la variable al´atoire attach´e ` la ii`me bact´rie. En supposant e e a e e que les bact´ries sont ind´pendantes on a: e e n X= Xi ∼ B(n, p). i=1 X repr´sente ici le nombre total de bact´ries gram (+) parmi les N con- e e sid´r´es. ee 18
  • 20. 0.45 0.4 0.35 p=0.1 0.3 p=0.2 p=0.3 0.25 p=0.4 P(X=k) p=0.5 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k Figure 2.2: Forme de la loi binomiale pour diff´rentes valeurs du param`tre e e p. 2.1.3 Loi hyperg´om´trique e e Pour bien faire comprendre la loi hyperg´om´trique prenons un petit exemple. e e Supposons que vous ayez ` ´valuer la pr´valence des mammites de la vache ae e en Midi-Pyr´n´es. On sait que dans cette r´gion il y a N vaches. Parmi ces e e e vaches N1 sont atteintes et N2 sont saines (on a ´videmment N1 + N2 = N.) e Vous ne pouvez pas contrˆler toutes les vaches de Midi-Pyr´n´es, vous ˆtes o e e e donc oblig´ de prendre un ´chantillon de taille n < N. On appelle X le nom- e e bre de vaches ` mammite que vous avez trouv´ dans votre ´chantillon. X 2 a e e est une quantit´ al´atoire, en effet, si vous faites plusieurs fois des ´chantillons e e e de taille n, vous ne retrouvez pas ` chaque fois le mˆme nombre de vaches a e atteintes. On s’interesse aux probabilit´s suivantes P (X = k) k varie entre e n 0 et N1 ∧ n. Il y a CN fa¸ons de tirer un ´chantillon de taille n parmi les N c e vaches de M.P. 2 X est ici mis pour X(ω). ω repr´sente un tirage de n vaches e 19
  • 21. k CN1 est le nombre de fa¸ons de tirer k vaches ` mammites parmi les N1 c a n−k pr´sentes en M.P. et enfin CN2 est le nombre de fa¸ons de tirer n − k vaches e c saines parmi N2 pr´sentes en M.P. e On en d´duit que e cas probables k n−k CN CN P (X = k) = = 1 n CN 2 si k ≤ N1 et n − k ≤ N2 cas possibles = 0 sinon La variable al´atoire X suit une loi hyperg´om´trique. Quand X suit une loi e e e hyperg´om´trique de param`tres N, n, N1 on note, e e e N1 X ∼ H(N, n, ). N Sa moyenne est donn´e par e N1 IE(X) = n N et sa variance par N1 N2 N − n V ar(X) = n N N N −1 On peut noter que lorsque N −→ ∞, si N1 −→ p (p est le pourcentage vache N atteintes pr´sentes parmi les N ` contrˆler) alors e a o N1 H(N, n, ) −→ B(n, p). N En d’autres termes, si le nombre total de vaches en MP est tr`s ´lev´, on peut e e e utiliser la loi binomiale (plus simple) ` la place de la loi hyperg´om´trique. a e e 2.1.4 Loi de Poisson ou loi des ´v´nements rares e e Une va qui suit une loi de poisson peut prendre une infinit´ de valeurs. e On dit que la va X suit une loi de poisson de param`tre λ, et on note e X ∼ P(λ), si λk P (X = k) = e−λ , k = 0, 1, ... k! 20
  • 22. La moyenne d’une va qui suit une loi de poisson est ´gale ` IE(X) = λ, sa e a variance est V ar(X) = λ. Le graphique ci-dessous montre les diff´rentes formes de distribution d’une e loi de poisson en fonction de la valeur du param`tre e 0.4 0.35 0.3 ¤¢  £ ¡ ¦¢  ¥ ¡ 0.25 ¨¢  § ¡ P(X=k) 0.2 ¢¢  © ¡ ¦¢  ¡ 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 k Figure 2.3: Loi de poisson pour diff´rentes valeurs de λ e La loi de poisson est souvent utilis´e pour approximer certaines lois discr`tes. e e On l’appelle aussi loi des ´v´nements rares. En effet, si X est le nombre de fois e e o` apparaˆ un ´v´nement de probabilit´ tr`s petite (p), alors la loi de X peut u ıt e e e e ˆtre approxim´e par une loi de poisson. Prenons un exemple pour illustrer ce e e ph´nom`ne. Soit une maladie dont la pr´valence est tr`s petite (p = 0.01) On e e e e tire un ´chantillon de taille 100 et on s’interesse ` la distribution du nombre e a 21
  • 23. de sujets atteints trouv´s dans l’´chantillon (not´ X). En d’autres termes, e e e on veut calculer (Bi) P (X = k) = C100 (0.01)k (1 − 0.01)100−k . k Il est bien ´vident que le calcul d’une telle probabilit´ n’est pas si facile ` e e a k cause du terme C100 (pour vous en convaincre essayez de calculer avec votre 50 calculette C100 ). L’id´e est alors d’approximer la quantit´ (Bi) par une e e quantit´ plus facilement calculable: e (100 × 0.01)k P (X = k) = C100 (0.01)k (1 − 0.01)100−k k e−100×0.01 k! Plus g´n´ralement, si X ∼ B(N, p), si N est grand, si p est petit et si N p e e est raisonnable on peut approximer la loi B(N, P ) par une loi de poisson de param`tre λ = N p. Ces conditions sont ´videmment tr`s vagues. Les condi- e e e tions usuelles sous lesquelles on consid`re que la qualit´ de l’approximation e e est “raisonnable” sont les suivantes : N 30, et N p 5. D’autres valeurs de ces param`tres peuvent ˆtre tout ` fait acceptables pour peu que vous ne e e a soyez pas trop regardant sur la qualit´ d’approximation de certaines proba- e bilit´s. e La loi de poisson est souvent utilis´e pour mod´liser des quantit´s dont la e e e variance est ` peu pr´s ´gale ` la moyenne. Lorsque la variance est sup´rieure a e e a e ` la moyenne, on utilise dans certains cas la loi Binomiale n´gative. a e 2.1.5 Loi binomiale n´gative e Une va qui suit une loi binomiale n´gative peut prendre un nombre infini de e valeurs. On dit que la va X suit une loi binomiale n´gative de param`tre N e e et p si k pk P (X = k) = CN +k−1 , k = 0.. (1 + p)n+k Sa moyenne est ´gale ` IE(X) = N p et sa variance V ar(X) = N p(1 + p). On e a peut remarquer que ces distributions sont d’autant plus surdispers´es que e p est grand. Le graphique suivant montre comment varie les distributions binomiales n´gatives quand p varie. e 22
  • 24. 0.4 0.35 0.3 p=0.1 p=0.2 0.25 p=0.3 p=0.4 P(X=k) 0.2 p=0.5 0.15 0.1 0.05 0 0 2 4 6 8 10 12 14 k Figure 2.4: Loi binomiale n´gative pour diff´rentes valeurs de p. Plus p e e augmente plus la loi est surdispers´e e 2.1.6 Loi de Pascal Une va qui suit une loi de pascal peut prendre une infinit´ de valeurs. On e dit que la va X suit une loi de Pascal de param`tre p si e P (X = k) = p (1 − p)k−1 , k = 1, 2, ... Pour illustrer son utilisation, reprenons l’exemple de la dysplasie de la hanche chez le CN. Supposons que l’´cole a une chance ´gale d’ˆtre choisie comme e e e centre de traitement par les propri´taires de CN ` dysplasie de la hanche. e a Notons p la pr´valence de cette anomalie et X le nombre de CN ` examiner e a 23
  • 25. avant d’en trouver un atteint, alors si on pose q = 1 − p, on a: P (X = 1) = p, P (X = 2) = pq..., P (X = k) = pq k−1 . Le nombre moyen de CN ` examiner avant d’en trouver un atteint est a 1 IE(X) = , p la variance de ce nombre est q V ar(X) = . p2 2.2 Quelques lois de probabilit´ continues e 2.2.1 Quelques d´finitions pr´liminaires e e Dans l’´tude des lois de proba continues, il apparaˆ une nouvelle quantit´ : e ıt e la densit´ de probabilit´. e e Pour bien comprendre ce dont il s’agit, imaginons que l’on s’interesse ` l’´tude a e de la distribution de la taille des Fran¸ais. Pour ´tudier cette distribution, on c e fait des classes de tailles, et on compte le pourcentage d’individus qui apparti- ennent ` cette classe. Une repr´sentation graphique de cette distribution est a e donn´e par l’histogramme qui sera revu au chapitre suivant.Supposons main- e tenant que le nombre d’individus de la population d’int´rˆt (ici les Fran¸ais) ee c est infini. Un histogramme avec un nombre fini de classes nous donne une pi`tre information sur la distribution de la taille. Pour ˆtre plus pr´cis on e e e augmente le nombre de classes et on diminue la taille de chaque classe. On obtient ainsi un histogramme plus pr´cis. Que se passe t-il quand le nom- e bre de classes tend vers l’infini et que la taille de chaque classe tend vers z´ro ? e On obtient une courbe limite, cette courbe limite est en fait une repr´sentation e graphique d’une fonction (not´e f ) que nous appellerons densit´ de proba- e e bilit´. e Il est clair que par construction, cette fonction poss`de un certain nombre de e propri´t´s: ee - elle est positive ou nulle (en effet la valeur de cette fonction en un point x 24
  • 26. repr´sente en quelque sorte le pourcentage d’individus qui mesure x) e - la surface totale sous cette courbe est ´gale ` 1 ; la surface sous la courbe e a repr´sente le pourcentage cumul´ de tous les individus (par d´finition il vaut e e e 1). La fonction de r´partition F est d´finie ` partir de la densit´ de proba de la e e a e fa¸on suivante : c x F (x) = f (t)dt −∞ La quantit´ F (x) repr´sente donc le cumul des pourcentages d’individus dont e e la taille est inf´rieure ` x. Ce constat nous permet de d´finir la fonction de e a e r´partition par e F (x) = P (X ≤ x). Par d´finition F (x) est donc toujours un nombre compris entre z´ro et un, e e et la fonction x −→ F (x) est une fonction croissante (c’est un cumul de pourcentages). De plus on a F (+∞) = 1 (on l’a d´j` dit) et F (−∞) = 0. ea Soit ∆x un accroissement infinit´simal de la taille, alors la quantit´ e e F (x + ∆x) − F (x) ∆x repr´sente en quelque sorte le pourcentage d’individus dont la taille est com- e prise entre x et x + ∆x, et en faisant tendre ∆x −→ 0 on obtient F (x + ∆x) − F (x) lim = f (x). ∆x→0 ∆x En d’autres termes, la d´riv´e de la fonction de r´partition est la densit´ e e e e de probabilit´.Tout comme dans le cas discret, il est possible de d´finir les e e moments d’une loi de probabilit´. Ce sont en g´n´ral ces quantit´s dont nous e e e e nous servirons en statistique pour travailler. Le moment d’ordre 1 d’une loi de probabilit´ est d´fini quand il existe 3 par e e IE(X) = xf (x)dx IR 3 Il existe certaines lois de proba dont les moments sont infinis par exemple la loi de Cauchy 25
  • 27. On reconnaˆ ici l’analogue continu de la d´finition donn´e dans le paragraphe ıt e e pr´c´dent. Il suffit en effet de changer le signe par le signe e e pour retrouver la mˆme formule. De mˆme, le moment centr´ d’ordre p est d´fini par e e e e mp = IE((X − IE(X))p ) = (x − IE(X))p f (x)dx IR Le moment centr´ d’ordre 2 est aussi appel´ variance, les moments centr´s e e e d’ordre 3 et 4 sont respectivement appel´s kurtosis et skewness. e 2.2.2 Loi normale ou de Laplace Gauss La loi normale joue un rˆle particuli`rement important dans la th´orie des o e e probabilit´s et dans les applications pratiques. La particularit´ fondamen- e e tale de la loi normale la distinguant des autres lois est que c’est une loi limite vers laquelle tendent les autres lois pour des conditions se rencontrant fr´quemment en pratique.On peut montrer que la somme d’un nombre suff- e isamment grand de va ind´pendantes (ou faiblement li´es) suivant des lois e e quelconques (ou presque), tend vers une loi normale et ceci avec d’autant plus de pr´cision que le nombre de termes de cette somme est important. e La majorit´ des va que l’on rencontre en pratique, comme par exemple des e erreurs de mesures, peuvent souvent ˆtre consid´r´es comme des sommes e ee d’un nombre important de termes, erreurs ´l´mentaires, dues chacune ` une ee a cause diff´rente ind´pendante des autres. Quelque soit la loi des erreurs e e ´l´mentaires, les particularit´s de ces r´partitions n’apparaissent pas dans la ee e e somme d’un grand nombre de celles-ci, la somme suivant une loi voisine de la loi normale. La loi normale est caract´ris´e par sa densit´ de probabilit´. Pour une loi e e e e 2 normale de moyenne m et de variance σ , elle est donn´e par e 1 (x−m)2 f (x) = √ e− 2σ2 . 2πσ La courbe repr´sentative de la densit´ a la forme d’une courbe en cloche e e sym´trique. Le graphique 2.5 montre comment varie la densit´ d’une loi nor- e e male, quand la variance est fix´e, en fonction de sa moyenne (ici m1 m2 .) e 26
  • 28. Le graphique 2.6 montre comment varie la densit´ d’une loi normale ( ` e a moyenne fix´e) quand la variance augmente : Les variances des lois I, II, e III sont de plus en plus ´lev´es. e e m1 m2 Figure 2.5: Un exemple de deux lois normales. Les deux lois ont la mˆme e variance. La moyenne m1 de la premi`re loi est inf´rieure ` celle m2 de la e e a seconde La fonction de r´partition de la loi normale est d´finie ` partir de la densit´ e e a e par : x 1 (t−m)2 F (x) = √ e− 2σ2 dt = P (X x) = P (X ≤ x). −∞ 2πσ 27
  • 29. Loi I Loi II Loi III Figure 2.6: Les trois lois ont la mˆme moyenne. Les variances des lois I, II, e III sont de plus en plus ´lev´es. e e Cette derni`re propri´t´ traduit g´om´triquement le fait qu’une probabilit´ e ee e e e peut s’interpr´ter comme la surface sous la courbe densit´ comme l’indique e e le graphique 2.7: Il n’existe pas d’expression alg´brique donnant l’aire sous la courbe en fonc- e tion de x. Il faut donc utiliser des valeurs tabul´es. Comme il est impossible e d’avoir autant de tables que de valeurs possibles de m et de σ 2 , on a recours a l’astuce suivante : supposons que X est une va suivant une loi normale de moyenne m et de X −m variance σ 2 (on note X ∼ N (m, σ 2 ), alors la quantit´ e suit une loi σ N (0, 1). On en d´duit que si F repr´sente la fonction de r´partition de la e e e 28
  • 30. F(x)=P(X@ x) x Figure 2.7: Une probabilit´ s’interpr`te comme la surface sous la courbe e e repr´sentant la densit´ e e N (m, σ 2 ) et Φ la fonction de r´partition de la N (0, 1) alors : e P (a X b) = F (b) − F (a) = P (a − m X − m b − m) = P ( a−m σ X−m σ b−m σ ) = Φ( b−m ) − Φ( a−m ). σ σ remarque : Par d´finition Φ est une fonction croissante et on a Φ(+∞) = 1 e et Φ(−∞) = 0. 2.2.3 Loi du χ2 Cette loi nous sera tr`s utile pour ´tudier la distribution des variances. e e Elle est construite ` partir de la loi normale de la fa¸on suivante : Soient a c 29
  • 31. X1 , X2 , . . . , Xn n va ind´pendantes de mˆme loi N(0,1), et soit e e n 2 2 2 K= X1 + X2 + ... + Xn = Xi2 i=1 alors, K suit une loi du Khi 2 ` n degr´s de libert´ (K ∼ χ2 ). On peut a e e n 2 remarquer qu’une va qui suit une loi du χ est par construction toujours positive ou nulle (c’est une somme de carr´s). La densit´ de probabilit´ e e e 2 d’une loi du χ est asym´trique (reportez vous aux tables que je vous ai e donn´es pour en avoir une id´e). e e 2.2.4 Loi de Student La loi de Student est construite ` partir de la loi normale et de la loi du Khi a 2. Nous l’utiliserons intensivement pour faire des tests d’hypoth`ses. e 2 Soient X une va de loi N(0,1), et K une va qui suit une loi du χn (Khi 2 ` na degr´s de libert´). On suppose de plus que K et X sont ind´pendantes. Soit e e e X Tn = , K n alors Tn suit une loi de student ` n degr´s de libert´. a e e 2.2.5 Loi de Fisher Tout comme la loi de student, la loi de Fisher sera tr`s utilis´e par la suite. e e Voyons en rapidement sa construction. Soient K1 et K2 deux variables al´atoires ind´pendantes de loi respectives e e 2 2 χn et χp , alors la quantit´ e K1 /n Fn,p = K2 /p suit une loi de Fisher ` n et p degr´s de libert´. Il faut faire tr`s attention ` a e e e a l’ordre des degr´s de libert´. Le premier degr´ de libert´ (ici n) est le degr´ e e e e e de libert´ du num´rateur, alors que le second (p) est celui du d´nominateur. e e e 30
  • 32. 2.3 Quelques remarques sur l’op´rateur IE e L’op´rateur IE est un op´rateur lin´aire en d’autres termes, si X et Y sont e e e des va avec de ”bonnes propri´t´s”, et si α, β et γ sont des r´els, alors ee e IE(αX + βY + γ) = αIE(X) + βIE(Y ) + γ et ceci que les variables al´atoires X et Y soient ind´pendantes ou pas. En e e revanche, l’op´rateur variance (not´ Var) construit avec l’op´rateur IE de la e e e fa¸on suivante c V ar(X) = IE((X − IE(X))2 ) n’est pas un op´rateur lin´aire. On peut constater que par d´finition, c’est e e e un op´rateur positif. La condition n´cessaire et suffisante pour que V ar(X) e e soit nulle, est que X soit d´terministe c’est ` dire non al´atoire. On a de e a e plus des propri´t´s suivantes: si α ∈ IR, alors ee V ar(αX) = α2 V ar(X) Si X et Y sont deux variables al´atoires ind´pendantes, alors e e V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) et par cons´quent e V ar(αX + βY + γ) = α2 V ar(X) + β 2 V ar(Y ) + V ar(γ) = α2 V ar(X) + β 2 V ar(Y ) + 0. Si les variables al´atoires X et Y ne sont pas ind´pendantes, alors e e V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) + 2Cov(X, Y ) o` Cov(X, Y ) = IE((X − IE(X))(Y − IE(Y ))) est la covariance entre X et Y . u On voit donc que lorsque les variables al´atoires ne sont pas ind´pendantes, il e e apparaˆ un terme suppl´mentaire dans le calcul de la variance. On pourrait ıt e ˆtre tent´ de prendre la covariance comme une mesure d’ind´pendance. Ceci e e e 31
  • 33. est en g´n´ral faux sauf dans le cas o` les va X et Y sont normalement e e u distribu´es. En r´sum´ : e e e si X et Y sont ind´pendantes alors Cov(X, Y ) = 0, e si Cov(X, Y ) = 0 et si X et Y sont des va gaussiennes alors X et Y sont ind´pendantes. e La quantit´ e Cov(X, Y ) ρ(X, Y ) = V ar(X) V ar(Y ) est un nombre sans dimension appel´ coefficient de corr´lation e e lin´aire de Pearson. Nous voyons que si X et Y sont gaussi- e ennes et si ρ(X, Y ) = 0, alors les variables al´atoires X et Y e sont ind´pendantes. Nous l’utiliserons dans le paragraphe suiv- e ant consacr´ ` la loi normale ` 2 dimensions. ea a 2.4 Lois ` deux dimensions a 2.4.1 G´n´ralit´s e e e Tout comme dans le cas unidimensionnel, les lois ` plusieurs dimensions sont a caract´ris´es par leur e e - fonction de r´partition, e - densit´, e - moments. On appelle fonction de r´partition du couple de va (X, Y ) la probabilit´ e e de v´rification simultan´e des deux in´galit´s (X x) et (Y y): e e e e F (x, y) = P ((X x)(Y y)). En interpr´tant le couple (X, Y ) comme un point al´atoire dans le plan, on e e voit que la fonction de r´partition F (x, y) n’est rien d’autre que la probabilit´ e e pour que le point al´atoire (X, Y ) appartienne au quadrant de sommet le e point (x, y), situ´ ` gauche et en bas de celui-ci (cf fig 2.8). ea 32
  • 34. F(x,y)=P((X@ x) et (Y@ y)) y x Figure 2.8: La probabilit´ F (x, y) s’interpr`te comme la probabilit´ pour que e e e le point al´atoire (X, Y ) appartienne au quadrant de sommet le point (x, y), e situ´ ` gauche et en bas de celui-ci ea 1) Cette interpr´tation g´om´trique, permet de voir que si x augmente, ou si e e e y augmente, la fonction F (x, y) augmente aussi. 2) Partout en −∞ la fonction de r´partition est ´gale ` z´ro : e e a e F (x, −∞) = F (−∞, y) = F (−∞, −∞) = 0. Pour avoir cette propri´t´, il suffit de d´placer ind´finiment la limite sup´rieure ee e e e (ou la limite droite ) du quadrant de la figure pr´c´dente vers −∞; la prob- e e abilit´ de tomber dans ce quadrant tend alors vers 0. e 3) Lorsque un des arguments vaut +∞, la fonction de r´partition du cou- e ple de va devient alors une fonction de r´partition correspondant ` l’autre e a 33
  • 35. argument : F (x, +∞) = F1 (x), F (+∞, y) = F2 (y), o` F1 (x), F2 (y) sont respectivement les fonctions de r´partition des vari- u e ables al´atoires X et Y . On peut facilement s’en rendre compte en faisant e x −→ +∞, ou y −→ +∞ ; ` la limite le quadrant devient un demi-plan, a la probabilit´ de tomber dans ce demi-plan est donn´e par la fonction de e e r´partition de la variable respective. e 4) Si les deux arguments sont ´gaux ` +∞, la fonction de r´partition du e a e couple de va est ´gale ` 1 : e a F (+∞, +∞) = 1. En effet, on obtient alors le plan tout entier et le point (X, Y ) s’y trouve certainement. De fa¸on analogue, le point (X, Y ) peut se trouver dans un c domaine quelconque D dans le plan. La probabilit´ P ((X, Y ) ∈ D) ne e s’exprime alors pas simplement ` partir de la fonction de r´partition F sauf a e dans quelques cas tr`s particuliers sur lesquels nous reviendrons.Densit´ de e e probabilit´e Soit un couple de va continues (X, Y ) interpr´t´ comme un point al´atoire ee e de ce plan. Consid´rons dans ce plan un petit rectangle R∆ dont les cot´s e e sont ∆x et ∆y avec un sommet au point x, y. La proba de tomber dans ce rectangle est P ((X, Y ) ∈ R∆ ) = F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x + ∆x, y) − F (x, y + ∆y) + F (x, y) En divisant la proba de tomber dans le rectangle R∆ par l’aire de ce rectangle, on obtient P ((X, Y ) ∈ R∆ ) lim ∆x− ∆y− →0 →0 ∆x∆y 34
  • 36. P((X , Y )∈ R∆ ) = F(x + ∆x, y + ∆y)-F(x + ∆ x, y) -F(x, y + ∆ y) + F(x, y) y+ y R   y x x+ x Figure 2.9: La densit´ s’obtient en faisant des accroissements infinit´simaux e e de la fonction de r´partition e F (x + ∆x, y + ∆y) − F (x + ∆x, y) − F (x, y + ∆y) + F (x, y) = lim ∆x− ∆y− →0 →0 ∆x∆y Si on suppose que la fonction F est d´rivable, le second membre de la e pr´c´dente in´galit´ est alors la d´riv´e partielle seconde mixte de F . D´signons e e e e e e e cette d´riv´e par f (x, y): e e ∂ 2 F (x, y) f (x, y) = = Fxy (x, y) ∂x∂y La fonction f est la densit´ de proba du couple (X, Y ), en d’autres termes, e P ((X, Y ) ∈ D) = f (x, y)dxdy (x,y)∈D De toutes les distributions de couple de va, la plus fr´quemment utilis´e est e e la loi normale aussi nous contenterons nous d’´tudier la loi normale. e 35
  • 37. 2.4.2 Loi normale a deux dimensions Dans la suite, nous supposons que le couple (X, Y ) suit une loi normale ` deux dimensions. La loi normale ` deux dimensions est d´finies par 5 a a e param`tres : e sa moyenne (mx , my ) et sa matrice de variance-covariance : 2 σx Cov(X, Y ) V = 2 Cov(X, Y ) σy 2 2 avec mx = IE(X), my = IE(Y ) et σx = V ar(X), σy = V ar(Y ). On voit donc que si les va X et Y sont ind´pendantes, la matrice de variance- e covariance est diagonale. Si on note ρ le coefficient de correlation entre X et Y , la densit´ de la loi e normale ` deux dimensions s’exprime par la formule : a 1 √ f (x, y) = 2πσx σy 1−ρ2 (x−mx )2 (y−my )2 1 exp − 2(1−ρ2 ) 2 σx − 2ρ (x−mσx σy y ) + x )(y−m 2 σy Le graphe de cette fonction est repr´sent´ ` la figure 2.10. e ea En coupant la surface de r´partition par un plan parall`le au plan xOy, on e e obtient une courbe sur laquelle la densit´ est constante en chaque point. En e reprenant l’´quation de la densit´, on voit que la densit´ est constante si et e e e seulement si : (x − mx )2 (x − mx )(y − my ) (y − my )2 2 − 2ρ + 2 = C2 σx σx σy σy o` C est une constante. Vous reconnaissez l’´quation d’une ellipse de centre u e (mx , my ). Si les va sont ind´pendantes (donc si ρ = 0), l’´quation de l’ellipse e e devient (x − mx )2 (y − my )2 2 + 2 = C2 σx σy 36
  • 38. Figure 2.10: Densit´ de la loi normale ` 2 dimensions e a Ceci est l’´quation d’une ellipse dont les axes sont parall`les aux axes (x, y). e e 2 2 Si de plus σx = σy on obtient alors l’´quation d’un cercle de centre (mx , my ) e 2 et de rayon Cσx . Dans le cas g´n´ral o` ρ = 0, les axes de sym´trie de l’ellipse forme un angle e e u e θ avec l’axe Ox donn´ par e 2ρσx σy tg(2θ) = 2 2 . σx − σy En statistique, on s’interesse tr`s souvent ` des domaines dans lesquels on e a a un certain nombre de chances de trouver un point al´atoire donn´. On e e recherche par exemple des domaines D v´rifiant e P ((X, Y ) ∈ D) = 1 − α 37
  • 39. o` α est un nombre fix´. Quand la loi du couple (X, Y ) est gaussienne, le u e plus simple est de rechercher le domaine D sous la forme d’une ellipse. On recherche donc D tel que P ((X, Y ) ∈ D) =1−α= (x,y)∈D f (x, y)dxdy 1 √ = (x,y)∈D 2πσx σy 1−ρ2 2 (y−my )2 exp(− 2(1−ρ2 ) [ (x−mx ) − 2ρ (x−mσx σy y ) + 1 σ2 x )(y−m 2 σy ])dxdy x La recherche d’un tel domaine dans ce syst`me de coordonn´es est difficile e e aussi allons nous faire une rotation d’angle 1 2ρσx σy θ = Arctg( 2 2 ) 2 σx − σy on obtient 1 1 (x − mx )2 (y − my )2 P ((X, Y ) ∈ D) = exp(− [ + ])dxdy D 2π˜x σy σ ˜ 2 ˜2 σx ˜2 σy avec σx = σx cos2 θ + ρσx σy sin2θ + σy sin2 θ ˜ 2 σy = σx sin2 θ − ρσx σy sin2θ + σy cos2 θ ˜ 2 apr`s un changement de variables trivial, en passant en coordonn´es polaires, e e on en d´duit que : e +π r0 1 −r 2 P ((X, Y ) ∈ D) = e 2 rdrdθ 2π −π 0 2 √ En conclusion il faut que α = e−r0 /2 soit r0 = −2 ln α. L’ellipse ainsi obtenue est de centre (mx , my ) et fait un angle θ avec Ox et la longueur des demi-axes est donn´e par r0 σx et r0 σy . e ˜ ˜ 38
  • 40. Chapitre 3 Estimation L’objet de ce chapitre n’est pas de donner une m´thode g´n´rale d’estimation, e e e mais plutˆt d’exposer quelques propri´t´s et d´finitions qui seront reprises o ee e par la suite. 3.1 G´n´ralit´s e e e L’estimation consiste ` rechercher la valeur num´rique d’un ou plusieurs a e param`tres inconnus d’une loi de probabilit´ ` partir d’observations (valeurs e ea prises par la v.a. qui suit cette loi de probabilit´). On utilise pour cela un e estimateur fonction de la v.a. ´tudi´e: quand la v.a. prend comme valeur e e l’observation, la valeur de l’estimateur est appel´e estimation. L’exemple e suivant illustre ces d´finitions. On s’interesse au GMQ des porcs . Sup- e posons que ce GMQ que nous noterons X est distribu´ normalement, en e 2 d’autres termes que X suit une loi N(m, σ ), o` m repr´sente le GMQ moyen u e 2 de toute la population de porcs et σ la variance de la distribution des GMQ. Les param`tres m et σ 2 sont inconnus, l’objet de l’estimation est de trouver e une valeur “raisonnable” pour ces param`tres. Deux possibilit´s s’offrent ` e e a nous:- soit on peut mesurer le GMQ de tous les porcs de la population et, dans ce cas, les param`tres m et σ 2 seront parfaitement connus,- soit la pop- e ulation est trop grande, et, on est oblig´ de travailler sur un ´chantillon.Cet e e 39
  • 41. ´chantillon va nous donner des informations sur les vraies valeurs (celles de la e population) de m et σ 2 . Supposons que l’on ait ´tudi´ le GMQ (en grammes) e e sur un ´chantillon de taille n=10. Notons X1 , X2 ...X10 , le GMQ des porcs e N ◦ 1, N ◦ 2...N ◦ 10 de cet ´chantillon. e e ¯ La moyenne de l’´chantillon (not´e X) est une “approximation” de la moyenne e ¯ m de la population. X = n n Xi est un estimateur de m. 1 i=1 Num porc 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 GMQ (g) 500 530 560 510 620 560 540 610 600 580 Table 3.1: Table des Gains Moyens Quotidiens observ´s sur un ´chantillon e e de 10 porcs Le mot estimateur se r´f`re au proc´d´ de calcul utilis´ pour approximer ee e e e 1 10 m.¯ = 10 i=1 xi = 561 est une estimation de m. x Le mot estimation se r´f`re ` la valeur num´rique utilis´e pour approximer. ee a e e En g´n´ral un estimateur est une variable al´atoire, en d’autres termes e e e l’estimation du param`tre d´pend des individus pr´sents dans l’´chantillon. e e e e Si un autre ´chantillon avait ´t´ consid´r´, une autre estimation du param`tre e ee ee e aurait ´t´ obtenue. Le choix de l’estimateur se fait selon des crit`res qui ee e mesurent sa proximit´ au param`tre inconnu. Nous allons dans ce qui suit e e pr´senter la liste des crit`res les plus souvent utilis´s pour d´finir les “qualit´s e e e e e ” d’un estimateur. 3.2 Estimateur convergent Une des propri´t´s ´l´mentaires que doit remplir un estimateur est d’ˆtre e e ee e convergent. En d’autres termes, lorsque la taille de l’´chantillon tend vers e l’infini, il faut que l’estimateur se “rapproche” du param`tre qu’il estime. e Il existe plusieurs fa¸ons de mesurer cette proximit´ qui donnent lieu ` la c e a d´finition de plusieurs types de convergence. Notre objectif n’´tant pas ici e e de faire un cours de statistiques fondamentales, nous nous bornerons ` citer a 40
  • 42. les principaux types de convergence et ` les illustrer ` l’aide des deux exem- a a ples suivants : exemple 1 : Soient X1 , . . . , Xn , n variables al´atoires de mˆme loi N (m, σ 2 ). On s’interesse e e ` la convergence de la moyenne empirique X a ¯ n = 1 n Xi vers m. n i=1 exemple 2 : Soit X une variable al´atoire distribu´e selon une loi B(n, p). On s’interesse e e ` la convergence de pn = X/n vers p. a ˆ Dans un cadre plus g´n´ral, nous noterons Tn un estimateur du param`tre θ e e e obtenu ` partir d’un ´chantillon de taille n qui v´rifie pour tout n, IE(Tn ) = θ a e e (cf paragraphe suivant). D´finition :L’estimateur Tn est convergent en moyenne quadratique si : e V ar(Tn ) −→ 0 quand n −→ ∞. Rappelons que la variance d’une variable al´atoire est d´finie par V ar(Tn ) = e e 2 2 IE(Tn −IE(Tn )) = IE(Tn −θ) . Dire que Tn converge en moyenne quadratique signifie en fait que lorsque n tend vers l’infini la distance moyenne qui s´pare e Tn de θ tend vers 0. ¯ 2 Il est facile d’´tablir que V ar(Xn ) = σ . Par cons´quent lorsque n −→ ∞, e e n ¯ V ar(Xn ) −→ 0. De mˆme V ar(ˆn ) = p(1−p) tend vers 0 quand n tend vers ∞. e p n D´finition :L’estimateur Tn est convergent en probabilit´ si : pour tout e e ε 0 fix´ la quantit´ e e P ( Tn − θ ε) tend vers 0 quand n tend vers ∞ Ce type de convergence peut s’interpr´ter de la fa¸on suivante : Supposons e c que l’on se fixe un intervalle de largeur 2ε centr´ sur θ. Supposons de plus e que nous disposons d’un grand nombre de r´alisations de Tn (obtenu avec e un grand nombre d’´chantillons de taille n). On s’interesse au pourcentage e de ces r´alisations qui “tombent” dans en dehors de cet intervalle. Alors, e l’estimateur Tn converge en probabilit´ vers θ si ce pourcentage tend vers 0 e 41