Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Základy diferenciálního počtu

338 views

Published on

Úkol do předmětu "Kurz práce s informacemi".

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Základy diferenciálního počtu

  1. 1. ArgumentaceRozhodl jsem se vytvo°it text na téma Základy diferenciálního po£tu. Toto téma jsem sivybral kv·li tomu, ºe je sou£ástí mé bakalá°ské práce na téma Geometrické úlohy vedoucína diferenciální rovnice (jedná se o mírn¥ dopln¥nou první kapitolu). Dal²ím d·vodemtohoto výb¥ru je fakt, ºe jde o základní téma, se kterým se setká prakticky kaºdý studentmatematiky a tudíº je mi velmi blízké.AnotaceTato práce pojednává o základech diferenciálního po£tu. V úvodu je uvedena denice deri-vace a její geometrický význam (v£etn¥ p°íslu²ného hodnocení). Text pokra£uje výpo£temdélky úsek· vy´atých te£nou a normálou k°ivky na sou°adných osách a vztahem pro výpo-£et derivaci funkce zadané parametricky. Záv¥re£ná pasẠtextu se týka derivace implicitn¥zadané funkce a p°íkladu.Klí£ová slovadiferenciální po£et, derivace, te£na, normála, implicitn¥ zadaná funkce 1
  2. 2. Základy diferenciálního po£tuDerivace a její geometrický významDenice: Bu¤ f funkce a bod x0 ∈ D(f ). Existuje-li f (x) − f (x0 ) lim , (1) x→x0 x − x0nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bod¥ x0 a zna£íme f ′ (x0 ). _Uvaºujme nyní sm¥rnici k obecné p°ímky y = kx + q , procházející body [x0 , y0 ] a [x1 , y1 ],x0 ̸= x1 . Platí y1 − y0 k= = tg φ, x1 − x0kde φ je úhel, který svírá p°ímka s kladným sm¥rem osy x. Rovnice této p°imky je y − y0 = k(x − x0 ).P°edpokládejme nyní, ºe tato p°ímka je se£nou grafu známé funkce f a je ur£ena bodem[x0 , f (x0 )] této funkce a dal²ím libovolným bodem grafu [x, f (x)]. Sm¥rnice této p°ímkyje f (x) − f (x0 ) k= = tg φ. x − x0Rozumíme-li te£nou s bodem dotyku T [x0 , f (x0 )] limitní polohu uvaºované se£ny, kdy sebod x blíºí bodu x0 , bude její sm¥rnice f (x) − f (x0 ) lim = tg φ, x→x0 x − x0coº se shoduje s denicí (1.1) derivace funkce f v jejím bod¥ x = x0 . Je vid¥t, ºe geometrickývýznam derivace funkce f v bod¥ [x0 , f (x0 )] je sm¥rnice te£ny ke grafu funkce f vedenétímto bodem. 2
  3. 3. Te£na a normála ke grafu funkceUvaºujme funkci f = f (x). Vyuºijeme-li faktu, ºe geometrický význam derivace f ′ (x0 )v bod¥ [x0 , f (x0 )] funkce f je sm¥rnice k te£ny y = kx + q vedené bodem x0 (p°esn¥jibodem [x0 , f (x0 )], pokud v²ak v dal²ím textu práce bude z°ejmé o jakou funkci f se jedná,budeme se odvolávat pouze na x-ovou sou°adnici bodu), získáme rovnici te£ny ke grafufunkce f v jejím bod¥ x0 : y − y0 = y ′ (x0 )(x − x0 ). (2)Uvaºujme dále normálu ke grafu funkce f vedenou bodem x0 . Jelikoº dv¥ p°ímky jsou kolmépráv¥ tehdy, kdyº sou£in jejich sm¥rnic je roven −1, musí totéº platit pro te£nu a normáluvedené spole£ným bodem x0 . Vyuºijeme-li tento fakt a nahradíme v rovnici (1.2) výrazy ′ výrazem − y′ , získáme rovnici normály ke grafu funkce f vedené jejím bodem [x0 , y0 ]: 1 1 y − y0 = − (x − x0 ). (3) y ′ (x0 )Ur£eme dále úseky, které vytíná te£na resp. normála na sou°adných osách. Nejprve uva-ºujme pr·se£íky te£ny (vedené bodem [x0 , y0 ] k°ivky y = f (x)) se sou°adnými osami.Dosadíme-li body [¯, 0] x a [0, y ] ¯ do rovnice (1.2) a vyjád°íme z t¥chto dosazení postupn¥x¯ a y, ¯ dostaneme: y0 x = x0 − ¯ , (4) y ′ (x0 ) y = y0 − x0 · y ′ (x0 ). ¯ (5)V takto získaných vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku te£ny ¯ ¯a osy x (resp. osy y ). Dále |¯| (resp. |¯|) udává délku úseku vy´atého te£nou k°ivky na ose x yx (resp. ose y ). Podobn¥ pro normálu lze uvaºovat její pr·se£íky s osami, které ozna£íme[x, 0] a [0, y]. Dosazením t¥chto sou°adnic do rovnice (1.3) a vyjád°ením x a y dostaneme: x = x0 + y0 · y ′ (x0 ), (6) x0 y = y0 + ′ (x ) . (7) y 0 _V t¥chto vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku normály k°ivkya osy x (resp. osy y ). Dále |x| (resp. |y|) udává délku úseku vy´atého touto normálou naose x (resp. ose y ). _Pro úplnost uvaºujme je²t¥ sm¥rnici te£ny k°ivky zadané parametricky. Je-li graf funkcef k°ivka zadaná parametricky rovnicemi x = φ(t), y = ψ(t), pak za p°edpokladu φ′ (t) ̸= 0 −1je tato funkce v okolí bodu t = t0 prostá. Tedy v bod¥ t0 existuje inverzní funkce φ . −1 −1V okolí bodu t0 dále platí t = φ (x), odkud y = ψ(t) = ψ (φ (x)). Derivováníma vyuºitím v¥ty o derivaci inverzní funkce získáme: ( ) ( )′ ( ) 1 ψ ′ (t) y ′ = ψ ′ φ−1 (x) · φ−1 (x) = ψ ′ φ−1 (x) · = . φ′ (φ−1 (x)) φ′ (t) 3
  4. 4. Dosazením t = t0 pak získáme následující vztah pro derivaci k°ivky x = φ(t), y = ψ(t)v jejím bod¥ [φ(t0 ), ψ(t0 )]: ′ ψ ′ (t0 ) y (t0 ) = ′ . (8) φ (t0 ) _Derivace implicitn¥ zadané funkce dvou prom¥nnýchUvaºujme rovinnou k°ivku, jejíº rovnici nelze upravit na tvar y = f (x). Pro výpo£et ′derivace y pak pouºijeme následující v¥tu: _V¥ta: Nech´ je dána funkce dvou prom¥nných F (x, y) = 0 a nech´ F má v n¥jakém okolí ′ ′ ′bodu [x0 , y0 ] spojité parciální derivace Fx a Fy a dále nech´ Fy (x0 , y0 ) ̸= 0. Pak existujeokolí Oδ (x0 ) ⊂ R a existuje práv¥ jedna funkce f denovaná na tomto okolí taková, ºef (x0 ) = y0 , F (x, f (x)) = 0 pro v²echna x ∈ Oδ (x0 ) a na Oδ (x0 ) má f spojitou derivaci,pro kterou platí ′ Fx (x, y) f ′ (x) = − ′ , (9) Fy (x, y)kde y = f (x). O funkci f stru£n¥ hovo°íme jako o implicitn¥ zadané funkci. _ _Funkci dvou prom¥nných lze derivovat také tak, ºe derivujeme rovnost bez vyjád°eníy a na y se díváme jako na sloºenou funkci, která je implicitním zadáním x. Z takto ′vzniklé rovnice pak vyjád°íme y . _ _P°íklad: Ur£ete derivaci y′ implicitn¥ zadané funkce x2 + xy − 2y3 = y2 . _e²ení. Rovnici zderivujeme a na y se díváme jako na implicitní funkci x: 2x + y + xy ′ − 6y 2 y ′ = 2yy ′ . xy jsme derivovali podle vzorce pro derivaci sou£inu.Za zvlá²tní zmínku stojí fakt, ºe výrazDerivování je v ur£itém ohledu formáln¥ podobné derivaci sloºené funkce prom¥nné x. Ze ′vzniklé rovnice nakonec vyjád°íme y : 2x + y y′ = . 6y 2+ 2y − xObdrºený výsledek odpovídá derivování podle vzorce (9). 4
  5. 5. Literatura [1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masary- kova univerzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2. [2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSPÍ- ’IL, Zden¥k. IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24]. Do- stupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdf [3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24]. Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/ 5
  6. 6. Hodnocení literatury[1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masarykova uni-verzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2._Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autorka má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Publikace je za²tít¥na uznávanou v¥deckou organizací - Masarykovou univerzitou. • Publikace je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální. • Publikace je psaná velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je vhodn¥ strukturo- vaná pomocí nadpis· a odstavc·. • Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.[2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSP͒IL, Zden¥k.IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24].Dostupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdfPro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥). • Text je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální. • Text je psán velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je pouºíván jako pomocný studijní text p°i výuce. • Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.[3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24].Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥). • Poslední aktualizace stránky je velmi nedávná a tudíº je stránka aktuální. • Stránky obsahují velké mnoºství odkaz· vedoucích na matematicky relevantní stránky. • Odkazované materiály jsou dostate£n¥ podrobné. 6
  7. 7. My²lenková mapa_ _ _ 7

×