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折り紙の数理と形状設計
鶴田直也
東京工科大学
2015.10.9 数理人
自己紹介 (1/2)
• 名前: 鶴田直也
• 研究内容:
– コンピュータグラフィックス
– インタラクティブアプリケーション
– 形状モデリング
– 計算折紙
• 略歴:
– 2012.4-2015.3: 筑波大学博士課程
– 2015.3...
自己紹介 (2/2)
• 出没する学会、研究会
– 折紙の科学・数学・教育研究集会
• 東京、年2回
– 日本図学会大会
– 応用数理学会年会
• 折紙工学の研究部会
– 情報処理学会GCAD研究会
3
今日のお話
• 折り紙の研究とは
– 計算機による折紙設計
– 折り紙研究の紹介
• 最近の話題
• 鶴田の取り組み
– 折りたたみパターンの列挙
– 立体的な曲げ形状設計
4
計算機上での形状設計
• CG(コンピュータグラフィックス)
– 視覚的な画像、映像用途
– 自由なモデリングが可能
• CAD(コンピュータ支援設計)
– 現実の物体をモデリング
– 物理的な制約を考える
必要がある
Autodesk, In...
計算機上での折紙の形状設計
• 紙の折り曲げによる形のデザイン
• 計算機上で扱う利点:
– 手作業による試行錯誤の軽減
– 平坦に折り畳めるように形状を自動修正
– 折り畳み方のシミュレーション
[Mitani 2011] 6
計算機によって設計された折紙
[Tachi 2008] [Mitani 2009][Lang 2004]
Air bag simulation
[Lang 1999] [Mitani, Issey Miyake 2010]Solar sail ...
「折紙の形状設計」の課題
• 設計可能な領域が制限される
– 設計可能な世界の解明
– 埋没しているであろう価値ある形状の発見
CG
CAD
設計可能な領域の包含関係
ペーパークラフト
折り紙
8
本研究の目的
• これまで知られてこなかった折紙でできる
新しい形状を見つけ出す
– 計算機による設計支援
• 作品創作や工学応用の起点となりうる
折紙の資産の積み上げ
9
関連分野 - 折紙の世界
2D
平坦に折り畳み可能
1D
細長い紐や帯の折り畳み
3D
立体的な形状
[Douglas et al.] ユニット折り紙
[Huffman]
テセレーション[Gjerde]
一般的な折り紙作品
剛体折り [Tach...
切り起こしによるコアパネル製造
• 切り込みを許容し、
折り工程のみで製造
– 従来必要だった接着
作業が不要に
11
従来手法(左)と折紙式製造法(右) [Saito et al. 2014]
本発表の「折紙」の指す範囲について
• 糊付けによる接着は不可
– ペーパクラフトは含まない
• 切り込みの可否は?
– まだ十分に議論されていない新しい領域
切り込みなし 切り込みあり 複数部品の接着あり
古典折紙 切り起こし 折り紙建築 ポ...
最近の話題 (1/2)
• 2方向に折りたたみ可能な構造
– 建築物や構造物への応用
13
世界のORIGAMIはすごい。超頑丈で伸縮自在の折り紙構造物 : ギズモード・
ジャパン http://www.gizmodo.jp/2015/09/o...
最近の話題 (2/2)
• 衣類のデザインやトラスコアへの応用
14
“Origami” から生まれる世界的な技術革新 | nippon.com:
http://www.nippon.com/ja/currents/d00161/#.Vhdfo...
後半の内容
• 折り畳みパターンの列挙
– 膨大な山折り谷折りの組み合わせが存在
• 最適化による立体的な折紙形状の設計
– 幾何的な拘束を満たす形状を自動的に計算
15
折り畳みパターンの列挙
16
Stamp Folding と Map Folding
• Stamp Folding (1D)
– 等間隔に配置された山谷の折り線
– 紙の重なり順が異なる折り方は何通りあるか
• Map Folding (2D)
– グリッド上に配置された...
折り畳み形状列挙 [Tsuruta et al. 2012]
• 本研究の貢献
– 紙を折る操作や折る回数を制限することで、
4回以下の折りで可能な形状を列挙
– 紙を折り畳んだ形状を自動生成する
アルゴリズムの考案
– 得られた形状群からコン...
列挙アルゴリズム概要
• 全7通りの折り紙の公理 (折り紙のカドや辺を
参照要素とする折り方)のうち3つを使用
– 残りの折り方は一般に用いられないため除外
• 3通りの折り方について、可能な参照要素の
組み合わせをすべて試行
19(A) 2点...
折紙の公理 [Justin 91, Huzita 91]
• 点と直線の組み合わせ
– 注: 現在は折りたたみが成立しない条件がある
ことがわかっている
20
列挙された形状 [Tsuruta et al. 2012]
1回折り
2回折り
3回折り 4回折り
21PDF is available on my web -> http://grusfield.com/tsuruta/origami/lis...
スリットを含む平板素材の
曲げ形状設計
22
背景
• 平板素材を用いた
設計の利点
 素材の無駄を減らす
 接続部材が少ない
 設計の自由度が低い
[Flux Furniture B.V. 2010]
[FUCHS+FUNKE Industrial Design 2007]
23
対話的な可展面の設計
平面曲線での折り曲げ
[Mitani and Igarashi 11]
帯状の曲げ
[Bo and Wang 08]
展開図と立体形状の同時編集
[Solomon et al. 12]
折りの鋭さの調整
[Zhu et a...
折り曲げの幾何的なモデリング
• 平面四辺形メッシュによる可展面の
離散表現 [Liu et al. 06]
• 平板の集合による形状モデリング [Pottmann 08]
可展面の離散表現
[Liu et al. 08]
平板の折り曲げによる...
平面四辺形メッシュ
• 平面四辺形(Planar Quads)メッシュ
– 4つの頂点が同一平面に乗るような四辺形集合
• 各頂点座標が満たすべき拘束条件の関数を
Gauss-Newton法(など)で最小化
– 行列の大きさはメッシュサイズに依...
スリット入り素材の折り曲げ [Tsuruta
et al. 2013]
• 本手法の貢献
– スリットを含む素材の折り曲げに着目
– 対話的な設計システムを提案
– 幾何拘束を自動的に満たすための最適化手法
の実現
開発したシステムの実行画面 ...
概要
• 対象とする形状:
複数のスリットを含む左右対称な長方形素材
• 曲げ形状を対話的に編集するシステムの提案
– 幾何的な拘束は最適化によって自動的に満たされる
対称平面
素材の展開図と曲げ形状のイメージ
28
デモ
29
対象とする展開図
• 展開図は L1 から L4 の数値とストリップの
本数N で定義
– スリット幅は等間隔
展開図の定義
30
ストリップの折り曲げ
• ストリップは 𝑀 + 1 個の折り線E を持つ
• 折り線E は平面上の位置と角度からなる
𝑬= { 𝒙 𝑳, 𝒙 𝑹, 𝜽}
平面上の折り線 逐次的に曲げることで
3次元形状を計算
31
幾何的な制約
• ストリップの始点はユーザによって定義
• 終端は対称平面上に乗らなければならない
32
最適化
• 勾配法で 𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 を最小化
𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 = 𝑤1 𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 + 𝑤2 𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ
+ 𝑤3 𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 + 𝑤4 𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙
1. 素材の位置拘束 2. 曲げの滑らかさ
3. 四辺形の縮退 ...
1. 終端の位置拘束
• 全体形状が左右対称であり、鏡像と連結する
ことで得られるため、対称平面との距離
𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 ≔ (𝑣 𝐿,𝑛) 𝑥
2
+ (𝑣 𝑅,𝑛) 𝑥
2
をゼロにする
終端と対称平面との距離
34
2. 曲げの滑らかさ
• 折り角度の差分を少なくし、対称面と直交するように
𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ ≔ −𝜃𝑖−1 + 2𝜃𝑖 − 𝜃𝑖+1
2 + 𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒
𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ≔ 𝑣 𝐿,𝑛−1 − 𝑣 𝐿,𝑛 ∙ 𝑣 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒_𝑜...
3. 四辺形の縮退排除
• ストリップの四辺形が三角形に縮退する
(折り線が交差する)ことを防ぐ
𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 ≔
1
𝑥 𝐿,𝑖 − 𝑥 𝐿,𝑖−1
+
1
𝑥 𝑅,𝑖 − 𝑥 𝑅,𝑖−1
36
4. ユーザ指定の頂点位置拘束
• 対称面上の位置と各頂点の位置を指定
𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ≔ 𝑣 𝐿,𝑖 − 𝑣′
𝐿,𝑖
2
+ 𝑣 𝑅,𝑖 − 𝑣′
𝑅,𝑖
2
+ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣 𝐿,𝑛, 𝑐 𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 + 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣 ...
ストリップの細分割
• より滑らかな曲面と詳細な編集
– 折り線の数を増加
– 細分割後に最適化を実行
Subdivide optimize
細分割と最適化による滑らかな曲面
38
結果 (1/2)
• ストリップ 6本 と 10本 の椅子モデル
39
結果 (2/2)
• ストリップ 9本のモニュメント
40
誤差
• 最適化のため微小な誤差が含まれる
• 誤差E は鏡像とのズレの最大値G から計算
𝐸 = 𝐺/(𝐿2 + 𝐿3)
誤差: 0.15% (全体形状に
対するズレの大きさ)
41
測定点群への近似
• 紙で制作したモデルを3次元測定
– 得られた点群に近づけるような拘束条件を追加
3次元測定データ 出力測定データを部分的に抽出
したものと編集中の形状
42
妥当性の検証
• 伸縮しない紙を設計した形状に一致させられ
ることの確認
– 厚みの考慮をしていないため、長さがわずかに
足りなかった
43
3Dプリントした型と画用紙を張り合わせた様子
寸法(W/H/D): 247 × 233 × 179mm
実制作
• 紙のみで目的の形を保持することは難しい
– 折り目がなく、力学的な平衡点に落ち着くため
• 部分的なサポートが必要
44建築家らによる紙を用いた試作
まとめ
• 折紙研究の概説
– 幅広い折紙の世界と工学的な応用
• 折り畳みパターンの列挙
– 紙の重なりが生み出す膨大なパターン
• 最適化による立体的な折紙形状の設計
– 平面四辺形で構成された幾何モデル
45
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Naoya Tsuruta

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Naoya Tsuruta

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Naoya Tsuruta

  1. 1. 折り紙の数理と形状設計 鶴田直也 東京工科大学 2015.10.9 数理人
  2. 2. 自己紹介 (1/2) • 名前: 鶴田直也 • 研究内容: – コンピュータグラフィックス – インタラクティブアプリケーション – 形状モデリング – 計算折紙 • 略歴: – 2012.4-2015.3: 筑波大学博士課程 – 2015.3-:東京工科大学 助手 2
  3. 3. 自己紹介 (2/2) • 出没する学会、研究会 – 折紙の科学・数学・教育研究集会 • 東京、年2回 – 日本図学会大会 – 応用数理学会年会 • 折紙工学の研究部会 – 情報処理学会GCAD研究会 3
  4. 4. 今日のお話 • 折り紙の研究とは – 計算機による折紙設計 – 折り紙研究の紹介 • 最近の話題 • 鶴田の取り組み – 折りたたみパターンの列挙 – 立体的な曲げ形状設計 4
  5. 5. 計算機上での形状設計 • CG(コンピュータグラフィックス) – 視覚的な画像、映像用途 – 自由なモデリングが可能 • CAD(コンピュータ支援設計) – 現実の物体をモデリング – 物理的な制約を考える 必要がある Autodesk, Inc. Blender Foundation 5
  6. 6. 計算機上での折紙の形状設計 • 紙の折り曲げによる形のデザイン • 計算機上で扱う利点: – 手作業による試行錯誤の軽減 – 平坦に折り畳めるように形状を自動修正 – 折り畳み方のシミュレーション [Mitani 2011] 6
  7. 7. 計算機によって設計された折紙 [Tachi 2008] [Mitani 2009][Lang 2004] Air bag simulation [Lang 1999] [Mitani, Issey Miyake 2010]Solar sail [JAXA] 7
  8. 8. 「折紙の形状設計」の課題 • 設計可能な領域が制限される – 設計可能な世界の解明 – 埋没しているであろう価値ある形状の発見 CG CAD 設計可能な領域の包含関係 ペーパークラフト 折り紙 8
  9. 9. 本研究の目的 • これまで知られてこなかった折紙でできる 新しい形状を見つけ出す – 計算機による設計支援 • 作品創作や工学応用の起点となりうる 折紙の資産の積み上げ 9
  10. 10. 関連分野 - 折紙の世界 2D 平坦に折り畳み可能 1D 細長い紐や帯の折り畳み 3D 立体的な形状 [Douglas et al.] ユニット折り紙 [Huffman] テセレーション[Gjerde] 一般的な折り紙作品 剛体折り [Tachi] [Umesato et al.] 10
  11. 11. 切り起こしによるコアパネル製造 • 切り込みを許容し、 折り工程のみで製造 – 従来必要だった接着 作業が不要に 11 従来手法(左)と折紙式製造法(右) [Saito et al. 2014]
  12. 12. 本発表の「折紙」の指す範囲について • 糊付けによる接着は不可 – ペーパクラフトは含まない • 切り込みの可否は? – まだ十分に議論されていない新しい領域 切り込みなし 切り込みあり 複数部品の接着あり 古典折紙 切り起こし 折り紙建築 ポップアップ・カード 紙工作 12
  13. 13. 最近の話題 (1/2) • 2方向に折りたたみ可能な構造 – 建築物や構造物への応用 13 世界のORIGAMIはすごい。超頑丈で伸縮自在の折り紙構造物 : ギズモード・ ジャパン http://www.gizmodo.jp/2015/09/origami.html @gizmodojapanさんから
  14. 14. 最近の話題 (2/2) • 衣類のデザインやトラスコアへの応用 14 “Origami” から生まれる世界的な技術革新 | nippon.com: http://www.nippon.com/ja/currents/d00161/#.Vhdfo-Ozec4.twitter
  15. 15. 後半の内容 • 折り畳みパターンの列挙 – 膨大な山折り谷折りの組み合わせが存在 • 最適化による立体的な折紙形状の設計 – 幾何的な拘束を満たす形状を自動的に計算 15
  16. 16. 折り畳みパターンの列挙 16
  17. 17. Stamp Folding と Map Folding • Stamp Folding (1D) – 等間隔に配置された山谷の折り線 – 紙の重なり順が異なる折り方は何通りあるか • Map Folding (2D) – グリッド上に配置された山谷の折り線 – 平坦に折り畳めるかどうかの判定はNP完全 [Arkin et al. 2004] Map Folding のイメージ 17
  18. 18. 折り畳み形状列挙 [Tsuruta et al. 2012] • 本研究の貢献 – 紙を折る操作や折る回数を制限することで、 4回以下の折りで可能な形状を列挙 – 紙を折り畳んだ形状を自動生成する アルゴリズムの考案 – 得られた形状群からコンピュータで自動生成され た新しい折紙作品を発見 自動生成した形状のリストと発見した鳥のモデル 18
  19. 19. 列挙アルゴリズム概要 • 全7通りの折り紙の公理 (折り紙のカドや辺を 参照要素とする折り方)のうち3つを使用 – 残りの折り方は一般に用いられないため除外 • 3通りの折り方について、可能な参照要素の 組み合わせをすべて試行 19(A) 2点を通る (B) 2点を重ねる (C) 2辺を重ねる
  20. 20. 折紙の公理 [Justin 91, Huzita 91] • 点と直線の組み合わせ – 注: 現在は折りたたみが成立しない条件がある ことがわかっている 20
  21. 21. 列挙された形状 [Tsuruta et al. 2012] 1回折り 2回折り 3回折り 4回折り 21PDF is available on my web -> http://grusfield.com/tsuruta/origami/lists/
  22. 22. スリットを含む平板素材の 曲げ形状設計 22
  23. 23. 背景 • 平板素材を用いた 設計の利点  素材の無駄を減らす  接続部材が少ない  設計の自由度が低い [Flux Furniture B.V. 2010] [FUCHS+FUNKE Industrial Design 2007] 23
  24. 24. 対話的な可展面の設計 平面曲線での折り曲げ [Mitani and Igarashi 11] 帯状の曲げ [Bo and Wang 08] 展開図と立体形状の同時編集 [Solomon et al. 12] 折りの鋭さの調整 [Zhu et al. 13] 24
  25. 25. 折り曲げの幾何的なモデリング • 平面四辺形メッシュによる可展面の 離散表現 [Liu et al. 06] • 平板の集合による形状モデリング [Pottmann 08] 可展面の離散表現 [Liu et al. 08] 平板の折り曲げによる実際の建築物と それを模したCG [Pottmann et al. 08] 25
  26. 26. 平面四辺形メッシュ • 平面四辺形(Planar Quads)メッシュ – 4つの頂点が同一平面に乗るような四辺形集合 • 各頂点座標が満たすべき拘束条件の関数を Gauss-Newton法(など)で最小化 – 行列の大きさはメッシュサイズに依存 𝑓𝑝𝑞 ≔ 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑔 𝑎0, 𝑏1 , 𝑠𝑒𝑔 𝑎1, 𝑏0 2 = 0 𝑠𝑒𝑔 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝑏 間の線分 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑠, 𝑣 : 𝑠𝑣 間の距離 26
  27. 27. スリット入り素材の折り曲げ [Tsuruta et al. 2013] • 本手法の貢献 – スリットを含む素材の折り曲げに着目 – 対話的な設計システムを提案 – 幾何拘束を自動的に満たすための最適化手法 の実現 開発したシステムの実行画面 27
  28. 28. 概要 • 対象とする形状: 複数のスリットを含む左右対称な長方形素材 • 曲げ形状を対話的に編集するシステムの提案 – 幾何的な拘束は最適化によって自動的に満たされる 対称平面 素材の展開図と曲げ形状のイメージ 28
  29. 29. デモ 29
  30. 30. 対象とする展開図 • 展開図は L1 から L4 の数値とストリップの 本数N で定義 – スリット幅は等間隔 展開図の定義 30
  31. 31. ストリップの折り曲げ • ストリップは 𝑀 + 1 個の折り線E を持つ • 折り線E は平面上の位置と角度からなる 𝑬= { 𝒙 𝑳, 𝒙 𝑹, 𝜽} 平面上の折り線 逐次的に曲げることで 3次元形状を計算 31
  32. 32. 幾何的な制約 • ストリップの始点はユーザによって定義 • 終端は対称平面上に乗らなければならない 32
  33. 33. 最適化 • 勾配法で 𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 を最小化 𝐹𝑝𝑒𝑛𝑎𝑙𝑡𝑦 = 𝑤1 𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 + 𝑤2 𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ + 𝑤3 𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 + 𝑤4 𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 1. 素材の位置拘束 2. 曲げの滑らかさ 3. 四辺形の縮退 4. ユーザ指定の位置拘束 初期状態の折り線と最適化後の折り線 33
  34. 34. 1. 終端の位置拘束 • 全体形状が左右対称であり、鏡像と連結する ことで得られるため、対称平面との距離 𝐹𝑛𝑜_𝑔𝑎𝑝 ≔ (𝑣 𝐿,𝑛) 𝑥 2 + (𝑣 𝑅,𝑛) 𝑥 2 をゼロにする 終端と対称平面との距離 34
  35. 35. 2. 曲げの滑らかさ • 折り角度の差分を少なくし、対称面と直交するように 𝐹𝑠𝑚𝑜𝑜𝑡ℎ ≔ −𝜃𝑖−1 + 2𝜃𝑖 − 𝜃𝑖+1 2 + 𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐹𝑒𝑛𝑑_𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 ≔ 𝑣 𝐿,𝑛−1 − 𝑣 𝐿,𝑛 ∙ 𝑣 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑒_𝑜𝑓_𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 2 隣接する折り線の角度差と対称平面に接する角度を制御 35
  36. 36. 3. 四辺形の縮退排除 • ストリップの四辺形が三角形に縮退する (折り線が交差する)ことを防ぐ 𝐹𝑓𝑎𝑖𝑟 ≔ 1 𝑥 𝐿,𝑖 − 𝑥 𝐿,𝑖−1 + 1 𝑥 𝑅,𝑖 − 𝑥 𝑅,𝑖−1 36
  37. 37. 4. ユーザ指定の頂点位置拘束 • 対称面上の位置と各頂点の位置を指定 𝐹𝑢𝑠𝑒𝑟_𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 ≔ 𝑣 𝐿,𝑖 − 𝑣′ 𝐿,𝑖 2 + 𝑣 𝑅,𝑖 − 𝑣′ 𝑅,𝑖 2 + 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣 𝐿,𝑛, 𝑐 𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 + 𝑑𝑖𝑠𝑡 𝑣 𝑅,𝑛, 𝑐 𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑦 ユーザによる位置指定 37
  38. 38. ストリップの細分割 • より滑らかな曲面と詳細な編集 – 折り線の数を増加 – 細分割後に最適化を実行 Subdivide optimize 細分割と最適化による滑らかな曲面 38
  39. 39. 結果 (1/2) • ストリップ 6本 と 10本 の椅子モデル 39
  40. 40. 結果 (2/2) • ストリップ 9本のモニュメント 40
  41. 41. 誤差 • 最適化のため微小な誤差が含まれる • 誤差E は鏡像とのズレの最大値G から計算 𝐸 = 𝐺/(𝐿2 + 𝐿3) 誤差: 0.15% (全体形状に 対するズレの大きさ) 41
  42. 42. 測定点群への近似 • 紙で制作したモデルを3次元測定 – 得られた点群に近づけるような拘束条件を追加 3次元測定データ 出力測定データを部分的に抽出 したものと編集中の形状 42
  43. 43. 妥当性の検証 • 伸縮しない紙を設計した形状に一致させられ ることの確認 – 厚みの考慮をしていないため、長さがわずかに 足りなかった 43 3Dプリントした型と画用紙を張り合わせた様子 寸法(W/H/D): 247 × 233 × 179mm
  44. 44. 実制作 • 紙のみで目的の形を保持することは難しい – 折り目がなく、力学的な平衡点に落ち着くため • 部分的なサポートが必要 44建築家らによる紙を用いた試作
  45. 45. まとめ • 折紙研究の概説 – 幅広い折紙の世界と工学的な応用 • 折り畳みパターンの列挙 – 紙の重なりが生み出す膨大なパターン • 最適化による立体的な折紙形状の設計 – 平面四辺形で構成された幾何モデル 45

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