1. A função f tem exatamente dois zeros. 2. A desigualdade de Arctan(1/x) < π/4 - (x-1)/(1+x2) é válida para todo x > 1. 3. A função h é menor ou igual a ex para todo x > 0.

1. ANÁLISE MATEMÁTICA
1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = sin (x2-1) + 2x2.
1.1. Prove que f tem, no máximo, dois zeros.
1.2. Prove que f tem exatamente dois zeros.
2. Prove, usando o teorema de Lagrange, que é válida a desigualdade de
Arctan (1/x) < π /4 – (x – 1)/(1 + x2), ∀ x > 1
3. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h´(x) = cos (x) esin^2(x). Recorrendo ao teorema de Lagrange,
mostre que ∀ x > 0, h(x) ≤ ex.
4. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta:
lim
x→0+
(1+
1
x
)
1
log⁡(x)
5. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta.
(log⁡(tan(x))/(cotg(2x))
lim
x→ π/4
6. Seja g a função real de variável real definida por g(x) = 1/( √2x− 1 3
).
6.1. Determine a fórmula de Taylor em torno do ponto x = 1, com resto de ordem 3, para a função g.
6.2. Utilize a alínea anterior para mostrar que
g(x) > 1 – 2/3 (x – 1) + 8/9 (x – 1)2, para ½ < x < 1.
7. Determine a primitiva de h (x) = (5 sin (x) cos (x)) / (1- 2 cos2 (x)).
8. Determine a primitiva de h(x) = log (1 – x2).
9. Calcule, caso exista, o limite
lim
x→0+
∫
cos⁡( √t + π 3 ⁡dt
sin⁡(x2)
x3−π
π
10. Considere a função real de variável real definida por:
f(x) = ∫ e−t
t
dt
1
x
10.1. Determine, justificando, o domínio da função.
10.2. Escreva a fórmula de Taylor de ordem 2 da função f, no ponto x = 1.
10.3. Mostre que 2f (√x) =⁡ ∫ e−√t
t
dt.
1
x
11. Calcule a área do domínio limitado pelo gráfico da função g(x) = arctan (x) e pelas retas de equação y=π /4 e x = 0.