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ANÁLISE MATEMÁTICA 
1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = sin (x2-1) + 2x2. 
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Análise matemática

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Análise matemática

  1. 1. ANÁLISE MATEMÁTICA 1. Seja f a função real de variável real definida por f(x) = sin (x2-1) + 2x2. 1.1. Prove que f tem, no máximo, dois zeros. 1.2. Prove que f tem exatamente dois zeros. 2. Prove, usando o teorema de Lagrange, que é válida a desigualdade de Arctan (1/x) < π /4 – (x – 1)/(1 + x2), ∀ x > 1 3. Seja h uma função de domínio R tal que h(0) = 0 e h´(x) = cos (x) esin^2(x). Recorrendo ao teorema de Lagrange, mostre que ∀ x > 0, h(x) ≤ ex. 4. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta: lim x→0+ (1+ 1 x ) 1 log⁡(x) 5. Calcule o limite seguinte, justificando detalhadamente a sua resposta. (log⁡(tan(x))/(cotg(2x)) lim x→ π/4 6. Seja g a função real de variável real definida por g(x) = 1/( √2x− 1 3 ). 6.1. Determine a fórmula de Taylor em torno do ponto x = 1, com resto de ordem 3, para a função g. 6.2. Utilize a alínea anterior para mostrar que g(x) > 1 – 2/3 (x – 1) + 8/9 (x – 1)2, para ½ < x < 1. 7. Determine a primitiva de h (x) = (5 sin (x) cos (x)) / (1- 2 cos2 (x)). 8. Determine a primitiva de h(x) = log (1 – x2). 9. Calcule, caso exista, o limite lim x→0+ ∫ cos⁡( √t + π 3 ⁡dt sin⁡(x2) x3−π π 10. Considere a função real de variável real definida por: f(x) = ∫ e−t t dt 1 x 10.1. Determine, justificando, o domínio da função. 10.2. Escreva a fórmula de Taylor de ordem 2 da função f, no ponto x = 1. 10.3. Mostre que 2f (√x) =⁡ ∫ e−√t t dt. 1 x 11. Calcule a área do domínio limitado pelo gráfico da função g(x) = arctan (x) e pelas retas de equação y=π /4 e x = 0.

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