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8.3 probabilità - domini dicreti - spazi metrici

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La probabilità dei corso di idrologia e costruzioni idrauliche a Trento. Domini discreti e spazi metrici

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8.3 probabilità - domini dicreti - spazi metrici

  1. 1. Un ripasso di probabilità: Domini discreti. Spazi metrici PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919 Riccardo Rigon
  2. 2. R. Rigon 2 Probabilità in spazi discreti L’esempio visto in precedenza ha a che fare con uno spazio degli eventi discreto. Se dovessimo andare a precisare maggiormente, potremmo dire che, nel caso discreto Ovvero un opportuno sottoinsieme dei numeri razionali. Spazio degli eventi discreto
  3. 3. R. Rigon 3 Spazio degli eventi discreto In questo caso assegnare la probabilità Significa, come nell’esempio, assegnare un insieme del tipo Ma si possono certamente usare delle funzioni a valori discreti per farlo … come vedremo più avanti.
  4. 4. R. Rigon 4 Probabilità in spazi metrici Se lo spazio degli eventi è uno spazio continuo, supporremo di essere inuno spazio metrico, isomorfo ad Rn. In questo caso gli insiemi sono generalmente rappresentati da coordinate, di solito cartesiane, e la probabilità viene rappresentata da funzioni su Rn che vengono dette • Funzioni di ripartizione Se tali funzioni sono funzioni sono di una sola variabile (P: R ->R ) , il processo viene detto: •univariato Altrimenti viene detto •multivariato Spazio degli eventi continio
  5. 5. R. Rigon 5 D’ora in poi Faremo assumeremo sempre di lavorare in Rn o R. Quindi: In genere, A e B saranno intervalli, continui o discreti, di Spazio degli eventi continio
  6. 6. R. Rigon 6 D’ora in poi Per indicare la probabilità di ottenere valori minori di x useremo la notazione: oppure la probabilità di ottenere valori compresi tra x1 ed x2: con ovvie generalizzazioni ai casi molti-dimensionali Spazio degli eventi continio
  7. 7. R. Rigon 7 Distribuzioni delle variabili casuali • La funzione di ripartizione o Cumulative Probability Distribution (CDF) è definita: • La sua derivata (se esiste) è la funzione densità di probabilità Probability Density Function (PDF): Distribuzioni di probabilità
  8. 8. R. Rigon 8 • Dalle due equazioni precedenti segue: Distribuzioni delle variabili casuali Distribuzioni di probabilità
  9. 9. R. Rigon 9 La regola di Bayes con questa notazione diviene Spazio degli eventi continio ma di solito si usa sulle densita di probabilità
  10. 10. Riccardo Rigon !10 Vista la simmetria tra le variabili vale anche: che può essere riscritto: Ciò che qui appare un semplice rimaneggaimento algebrico è in effetti la nascita di una nuova visione della disciplina. Bayes Theorem
  11. 11. Riccardo Rigon !11 Bayes Theorem Infatti: Si assuma infatti la conoscenza a priori della variabile x, definita dalla la distribuzione a priori. Il teorema di Bayes afferma che la conoscenza introdotta dalla variabile y (o meglio dai fatti che y descrive), modifica la conoscenza della variabile x (o meglio: della sua distribuzione), e che questa conoscenza è garantita della distribuzione a posteriori: che è proporzionale, ma non necessariamente uguale alla prima. , ,
  12. 12. Riccardo Rigon !12 Bayes Theorem Il fattore di proporzionalità è chiamato verosimiglianza: Cosicchè: la probabilità a posteriori (di x) uguaglia il prodotto della verosimiglianza per la probabilità a priori (di x) diviso per l’evidenza Alcuni distinguono tra numeratore, la verosimiglianza e denominatore che è chiamato evidenza. Noi adotteremo quest’ultima convenzione.
  13. 13. R. Rigon 13 Probabilità e causalità La probabilità non riguarda necessariamente la rapporti causali non significa che y causa x. Solo accenna alle relazioni tra y ed x. L’evento y può precedere x !
  14. 14. R. Rigon 14 Caratterizzazione delle distribuzioni • Valore Atteso (Il valore medio! Il primo momento): •Il secondo momento
  15. 15. R. Rigon 15 • Varianza di X: • Deviazione standard di X: Caratterizzazione delle distribuzioni Caratterizzazione delle distribuzioni continue
  16. 16. R. Rigon 16 Caratterizzazione delle distribuzioni • Si può definire, in generale, il momento n-esimo di una distribuzione come: M(n) := ⇥ ⇥ xn pX(x) dx Caratterizzazione delle distribuzioni continue
  17. 17. R. Rigon Funzione caratteristica La funzione caratteristica è definita come il valore atteso della della funzione a valori complessi - eitx Caratterizzazione delle distribuzioni continue
  18. 18. R. Rigon Funzione generatrice dei momenti La funzione generatrice dei momenti è definita come (il valore atterso di etx ): Il momento n-esimo può,, una volta ottenuto l’integrale di cui sopra essere calcolati da: Ovvero mediante la derivata n-esima dell funzione generatrice dei momenti, calcolata per t=0 Caratterizzazione delle distribuzioni continue

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