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3 d-test of hypothesis

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A little introduction to the test of hypothesis.

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3 d-test of hypothesis

  1. 1. Stima dei parametri e test di ipotesi LucioFontana-Expectations(MoMA),1959 Riccardo Rigon
  2. 2. R. Rigon 2 A cosa siamo realmente interessati ? Solitamente, non si è interessati alle statistiche in se, ma a quello che le statistiche dicono della popolazione. • Potremmo, as esempio, usare la media delle precipitazioni annuali misurate in tutte le stazioni idrometeorologiche per stimare la precipitazione media annuale su tutta la penisola italiana. • Oppure potremmo usare la media del campione per stabilire se la precipitazione media annuale sia mutata lungo la durata del campione.
  3. 3. R. Rigon 3 Ipotesi Zero (Nulla) Sui test di ipotesi avremo la possibilità di entrare nel dettaglio in lezioni successive. • In genere si ricordi, che è non è possibile provare con certezza alcunchè. Una ipotesi si può tentare di provare che non sia vera. Sia H0 l’ipotesi zero da provare. • Se non si riesce a scartare H0 , allora si può affermare che “sia vera” con un certo grado di confidenza
  4. 4. R. Rigon 4 Un esempio • Consideriamo una variabile che può assumere solo quattro valori discreti, N=4 <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> • Consideriamo campioni di grandezza due, n=2 <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>
  5. 5. R. Rigon 5 Medie Se consideriamo estrazioni con rimessa possiamo produrre infinite coppie di numeri (la popolazione è infinita). Il numero di coppie distinte è però legato a considerazioni combinatoriche. Di ogni coppia estratta, posso evidentemente, calcolare la media: <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>
  6. 6. R. Rigon 6 Due Medie Media della popolazione Media del campione Tre distribuzioni Distribuzione della popolazione Distribuzione del campione (composto da più estrazioni) Distribuzione delle medie campionarie
  7. 7. R. Rigon 7 La popolazione La popolazione è infinita, ma, per costruzione, gli elementi distinti sono quattro e, quindi, la media esatta - il parametro - si può ottenere esattamente dalla media dei quattro valori. Se ciascuno è estratto con uguale probabilità: <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> e: <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>
  8. 8. R. Rigon 8 Il campione Se x1 = 2 e x2 =3 (un campione) <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> Dal calcolo combinatorico segue che possiamo avere 16 campioni differenti
  9. 9. R. Rigon 9 <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit> Dal calcolo combinatorico segue che possiamo avere 16 campioni differenti
  10. 10. R. Rigon 10 La distribuzione delle medie è la seguente <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>
  11. 11. R. Rigon 11 La media delle medie è uguale alla media Ovvero la media delle medie campionarie (tutte) è uguale alla media della popolazione <latexit sha1_base64="tYHCApFiY8slQcKMwQxwGacE74A=">AAAA+3icSyrIySwuMTC4ycjEzMLKxs7BycXNw8XFy8cvEFacX1qUnBqanJ+TXxSRlFicmpOZlxpaklmSkxpRUJSamJuUkxqelO0Mkg8vSy0qzszPCympLEiNzU1Mz8tMy0xOLAEKBcQLKBvoGYCBAibDEMpQZoACoHJDdElMRqiRnpmeQSBCG4e0koahuYNHQGhyStfknfsPQoQZGaHyggyo4BQAVIE48g==</latexit>
  12. 12. R. Rigon 12 Supponiamo ora di avere a che fare con una popolazione molto grande Di cui non si riesca a calcolare la media esatta Avendo a disposizione due campioni, avremo come nel caso precedente due medie diverse. Come possiamo capire se questi due campioni sono prescelti dalla stessa popolazione. Come possiamo inferire se le medie dei due campioni (le statistiche) sono rappresentative della stessa media ?
  13. 13. R. Rigon 13 Un esempio: la media Per rispondere alla domanda se due campioni hanno la stessa media, possiamo procedere come segue: •Determinare teoricamente quale distribuzione hanno le medie •Assumere che la distribuzione teorica delle medie abbia parametri determinati dalla prima media - Questa è chiamata ipotesi zero (o anche nulla, dall’inglese “null” che significa però zero) •Vedere come la seconda media si collocherebbe nella distribuzione delle medie parametrizzata dalla prima serie di misure •Scartare l’ipotesi zero se la collocazione della seconda media nella distribuzione determinata dall’ipotesi zero è poco probabile.

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