Le precipitazioni                          A. Adams - Pioggia Tenaya,                                                     ...
Introduzione                                        Obbiettivi:           •Fare una sintesi dei processi di formazione del...
Introduzione                          Perchè piova                                         3 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                                    Perchè piova           •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme...
Introduzione                                    Perchè piova           •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme...
Introduzione                                          Perchè piova       •Questa situazione:            •genera delle moti...
Introduzione                          Perchè piova                                         5 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                                    Perchè piova      •La  superficie della Terra è composta da masse material...
Introduzione                                    Perchè piova      •La  superficie della Terra è composta da masse material...
Introduzione                          Perchè piova                                         6 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                                   Perchè piova      •Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza ...
Introduzione                          Perchè piova                                         7 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                                    Perchè piova    •L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento dell...
Introduzione                          Perchè piova                                         8 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                                    Perchè piova    •Quando    l’aria si innalza, si raffredda, per effetto de...
Introduzione                                     Perchè piova    •Quando    l’aria si innalza, si raffredda, per effetto d...
Introduzione                                     Perchè piova    •Quando    l’aria si innalza, si raffredda, per effetto d...
Introduzione                                         Perchè piova    •Quando    l’aria si innalza, si raffredda, per effet...
Introduzione                                                   Perchè piova    •Se  le goccie d’acqua riescono ad accresce...
Over Berwick-upon-Tweed, Northumberland, UK.                                                       © Antonio Feci         ...
Introduzione                           I tipi di evento                              - Convettivo  Over Austin, Texas, US ...
Introduzione                          Nubi stratiformi                                             12 R. RigonWednesday, A...
Introduzione                          Nubi stratiformi                                             13 R. RigonWednesday, A...
Introduzione       Ciclone extratropicale                                Houze, 1994                                      ...
Introduzione                          NubifragiHouze, 1994                                      15  R. RigonWednesday, Apr...
Introduzione                          Nubifragi   Houze, 1994                                      16 R. RigonWednesday, A...
Introduzione                 Fattori che influenzano la natura e la quantità                           delle precipitazion...
IntroduzioneDistribuzione spaziale                         F. Giorgiou, 2008                                             1...
Introduzione    Distribuzione spaziale                             19 R. RigonWednesday, April 10, 13
Introduzione                          a large range of scales                                      pixel = 4 km           ...
Introduzione                           Spatial Rainfall  Foufula-Georgiou, 2008                                           ...
Introduzione                          Distribuzione spaziale                                                   22 R. Rigon...
Caratteristiche statistiche della precipitazione                                      Caratteristiche delle               ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione                                       Caratteristiche delle              ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione                                                   Eventi                 ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione                           Distribuzione temporale delle                  ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione     Istogramma delle precipitazioni                mensili               ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione       Statistiche                                                   28 R....
Caratteristiche statistiche della precipitazione             a lognormal distribution    Durate                           ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione    Intensità                lognormal ?                                  ...
Caratteristiche statistiche della precipitazione    Precipitazioni Estreme                                                ...
Le precipitazioni estreme                          Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913                           ...
Analisi dei massimi di precipitazione           Consideriamo le precipitazioni massime annuali   Queste si trovano negli a...
Analisi dei massimi di precipitazione           Consideriamo le precipitazioni massime annuali                            ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                                                 Precipitazioni Massi...
Analisi dei massimi di precipitazione                                        Tempo di ritorno       E’ l’intervallo di tem...
Analisi dei massimi di precipitazione                                        Tempo di ritorno          Allora il tempo di ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                        Tempo di ritorno            e vale pure:     ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                        Tempo di ritorno        Nelle analisi statist...
Precipitazioni Massime a Paperopoli                                                150                          Precipitaz...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                          Le curve di possibilità pluviometrica                      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                    Le curve di possibilità pluviometrica            ...
Analisi dei massimi di precipitazione               Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele                  ...
Analisi dei massimi di precipitazione               Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele                  ...
Analisi dei massimi di precipitazione               Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele                  ...
Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle                      probabilità e dell’analisi statistica      ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                   Distribuzione di Gumbel                           ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                   Distribuzione di Gumbel                           ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                   Distribuzione di Gumbel                La media de...
Analisi dei massimi di precipitazione                                      Distribuzione di Gumbel               La moda: ...
Analisi dei massimi di precipitazione                                   Distribuzione di Gumbel       La forma standard de...
Stima dei parametri                               Metodi di adattamento dei parametri                          relativi al...
Stima dei parametri                               Metodi di adattamento dei parametri                          relativi al...
Stima dei parametri                               Metodi di adattamento dei parametri                          relativi al...
Stima dei parametri                               Metodi di adattamento dei parametri                          relativi al...
Stima dei parametri                               Metodi di adattamento dei parametri                          relativi al...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                           Il metodo della massima verosimiglianza                                    (...
Stima dei parametri                          72 R. RigonWednesday, April 10, 13
Stima dei parametri                          Metodo dei minimi quadrati  Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le...
Stima dei parametri                          Metodo dei minimi quadrati  Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le...
Stima dei parametri                          Metodo dei minimi quadrati  Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le...
Stima dei parametri                          Metodo dei minimi quadrati  Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le...
Stima dei parametri     Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto     agli m parametri ...
Stima dei parametri            Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ...      Come risultato abbiamo 3 coppie...
Stima dei parametri                                Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consi...
Test delle ipotesi                               Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste...
Test delle ipotesi                                 Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consi...
Test delle ipotesi                                  Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e cons...
Test delle ipotesi                               Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste...
Test delle ipotesi                                     Il Test di Pearson          e nel caso della figura delle slides pr...
Test delle ipotesi                                    Il Test di Pearson         6 - Scegliere la coppia di parametri per ...
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica                                    Dopo aver applicato Pearson         ...
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica                                    Dopo aver applicato Pearson         ...
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica                          Si ottengono infine per interpolazione le     ...
Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica                          Si ottengono infine per interpolazione le     ...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nul...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    from Wikipedia      La distribuzione, in effetti, è:      E la sua cu...
Ancora sul test di Pearson                          La funzione gamma incompleta                               La funzione...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    from Wikipedia                             90 R. RigonWednesday, Apri...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    from Wikipedia       Il valore atteso della distribuzione è pari al n...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    from Wikipedia                             2         In generale il  ...
Ancora sul test di Pearson                2    Il    from Wikipedia       Assumendo che la radice della variabile rapprese...
Ancora sul test di Pearson                                          Ovvero        Se i dati riproducono perfettamente l’ip...
Ancora sul test di Pearson                                           Ovvero            Ci sono due modi per ottenere un va...
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Ancora sul test di Pearson            Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro                 L’analisi stat...
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Le precipitazioni estreme -                                                                           GEV                 ...
Distribuzioni dei valori estremi                                   A little more formal        L’uso della distribuzione d...
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Grazie per l’attenzione!                          G.Ulrici, 2000 ?                                                        ...
Bibliografia e Approfondimenti  •Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications     ...
•Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency       curves of storm precipitation, J....
•Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics,     2008  •Fréchet M., Sur la loi de probabil...
• Kleissl J., V. Kumar, C. Meneveau, M. B. Parlange, Numerical study of dynamic     Smagorinsky models in large-eddy simul...
•Salzman, William R. (2001-08-21). "Clapeyron and Clausius–Clapeyron     Equations" (in English). Chemical Thermodynamics....
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Le precipitazioni a terra. Statistiche. Statistiche degli estremi.

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10b precipitazioni

  1. 1. Le precipitazioni A. Adams - Pioggia Tenaya, Riccardo RigonWednesday, April 10, 13
  2. 2. Introduzione Obbiettivi: •Fare una sintesi dei processi di formazione delle precipitazione •Fare una sintesi dei tipi di nuvola che produce precipitazioni 2 R. RigonWednesday, April 10, 13
  3. 3. Introduzione Perchè piova 3 R. RigonWednesday, April 10, 13
  4. 4. Introduzione Perchè piova •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica. 3 R. RigonWednesday, April 10, 13
  5. 5. Introduzione Perchè piova •I moti atmosferici sono generati dalla disuniforme radiazione solare sulla superficie della Terra, a causa della sua forma sferica. •Poichèla Terra ruota attorno al proprio asse, ogni massa d’aria in movimento, subisce una deviazione dovuta alla forza (apparente) di Coriolis. 3 R. RigonWednesday, April 10, 13
  6. 6. Introduzione Perchè piova •Questa situazione: •genera delle moti tra aree di posizione “quasi stabile” di alta e bassa pressione •discontinuità nel campo di moto dell’aria a grande scala e discontinuità nelle proprietà termodinamiche di masse d’aria a contatto •genera quindi le condizioni per cui alcune masse d’aria più leggere “scivolano” sopra altre, innalzandosi. 4 R. RigonWednesday, April 10, 13
  7. 7. Introduzione Perchè piova 5 R. RigonWednesday, April 10, 13
  8. 8. Introduzione Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. 5 R. RigonWednesday, April 10, 13
  9. 9. Introduzione Perchè piova •La superficie della Terra è composta da masse materiali (aria, acqua, terra) diverse e variamente orientate che rispondono in modo differenziato alla radiazione solare, provocando ulteriori moti di masse d’aria (alla scala della variabilità presente) necessari alla redistribuzione dell’energia radiante ricevuta. •Per effetto di questi moti, si possono creare fenomeni di innalzamento locale delle masse d’aria. 5 R. RigonWednesday, April 10, 13
  10. 10. Introduzione Perchè piova 6 R. RigonWednesday, April 10, 13
  11. 11. Introduzione Perchè piova •Masse d’aria in movimento sono innalzate dalla presenza dell’orografia. 6 R. RigonWednesday, April 10, 13
  12. 12. Introduzione Perchè piova 7 R. RigonWednesday, April 10, 13
  13. 13. Introduzione Perchè piova •L’aria si innalza anche per effetto di riscaldamento della superficie terrestre in misura diversa dell’aria circostante, che causa di condizioni di instabilità atmosferica 7 R. RigonWednesday, April 10, 13
  14. 14. Introduzione Perchè piova 8 R. RigonWednesday, April 10, 13
  15. 15. Introduzione Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo. 8 R. RigonWednesday, April 10, 13
  16. 16. Introduzione Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. 8 R. RigonWednesday, April 10, 13
  17. 17. Introduzione Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. 8 R. RigonWednesday, April 10, 13
  18. 18. Introduzione Perchè piova •Quando l’aria si innalza, si raffredda, per effetto dell’espansione adiabatica (isentropica) e diminuisce la tensione di vapore di equilibrio, rendendo possibile (ma non sempre realizzandola) la condensazione del vapore acqueo. •Si formano così, ad una opportuna quota dal suolo, le nuvole: particelle di acqua liquida o solida, sospese in aria. Storm building near Arvada, Colorado . U.S. © Brian Boyle. 8 R. RigonWednesday, April 10, 13
  19. 19. Introduzione Perchè piova •Se le goccie d’acqua riescono ad accrescersi al punto da raggiungere un peso sufficiente, precipitano a terra. Piove, nevica o grandina. Precipitation, Thriplow in Cambridgeshire. U.K © John Deed. 9 R. RigonWednesday, April 10, 13
  20. 20. Over Berwick-upon-Tweed, Northumberland, UK. © Antonio Feci R. Rigon IntroduzioneWednesday, April 10, 13 - Stratiforme I tipi di evento Stratocumulus stratiformis 10
  21. 21. Introduzione I tipi di evento - Convettivo Over Austin, Texas, US Cumulonimbus capillatus incus © Ginnie Powell 11 R. RigonWednesday, April 10, 13
  22. 22. Introduzione Nubi stratiformi 12 R. RigonWednesday, April 10, 13
  23. 23. Introduzione Nubi stratiformi 13 R. RigonWednesday, April 10, 13
  24. 24. Introduzione Ciclone extratropicale Houze, 1994 14 R. RigonWednesday, April 10, 13
  25. 25. Introduzione NubifragiHouze, 1994 15 R. RigonWednesday, April 10, 13
  26. 26. Introduzione Nubifragi Houze, 1994 16 R. RigonWednesday, April 10, 13
  27. 27. Introduzione Fattori che influenzano la natura e la quantità delle precipitazioni al suolo •La latitudine: la precipitazione è distribuita sulla superficie terrestre in funzione dei sistemi di circolazione generale •L’altitudine: la precipitazione (media annuale) tende a crescere con la quota, fino ad una quota limite (le alte quote sono mediamente aride). •La posizione rispetto alle masse oceaniche, ai venti prevalenti, la posizione generale dell’orografia 17 R. RigonWednesday, April 10, 13
  28. 28. IntroduzioneDistribuzione spaziale F. Giorgiou, 2008 18 R. RigonWednesday, April 10, 13
  29. 29. Introduzione Distribuzione spaziale 19 R. RigonWednesday, April 10, 13
  30. 30. Introduzione a large range of scales pixel = 4 km pixel = 125 m km 2 512 km km 4 Foufula-Georgiou, 2008 (mm/hr) 0 4 9 13 17 21 26 30 R (mm/hr) 20 R. RigonWednesday, April 10, 13
  31. 31. Introduzione Spatial Rainfall Foufula-Georgiou, 2008 21 R. RigonWednesday, April 10, 13
  32. 32. Introduzione Distribuzione spaziale 22 R. RigonWednesday, April 10, 13
  33. 33. Caratteristiche statistiche della precipitazione Caratteristiche delle precipitazioni al suolo •Lo stato fisico (pioggia, neve grandine, rugiada) •L’altezza: ovvero la quantità di precipitazione per unità di area (proiettata), spesso espressa in mm o cm. •La durata: ovvero l’intervallo temporale durante il quale si registra con continuità precipitazione, o, a seconda dei contesti, la durata di registrazione di un certo ammontare di precipitazione (a prescindere dalla continuità della stessa) •L’altezza cumulata, l’altezza di precipitazione misurata in un intervallo di tempo prefissato, anche se dovuta a più eventi. 23 R. RigonWednesday, April 10, 13
  34. 34. Caratteristiche statistiche della precipitazione Caratteristiche delle precipitazioni al suolo •L’ intervallo medio tra due precipitazioni successive (storm inter-arrival time) •La distribuzione spaziale dei volumi di pioggia •La frequenza o il tempo di ritorno di una certa precipitazione con altezza e durata assegnate •La qualità, ovvero la composizione chimica della precipitazione 24 R. RigonWednesday, April 10, 13
  35. 35. Caratteristiche statistiche della precipitazione Eventi 5 6 2 3 1 4 25 R. RigonWednesday, April 10, 13
  36. 36. Caratteristiche statistiche della precipitazione Distribuzione temporale delle Temporal Rainfall precipitazioni Foufula-Georgiou, 2008 26 R. RigonWednesday, April 10, 13
  37. 37. Caratteristiche statistiche della precipitazione Istogramma delle precipitazioni mensili 27 R. RigonWednesday, April 10, 13
  38. 38. Caratteristiche statistiche della precipitazione Statistiche 28 R. RigonWednesday, April 10, 13
  39. 39. Caratteristiche statistiche della precipitazione a lognormal distribution Durate 29 R. RigonWednesday, April 10, 13
  40. 40. Caratteristiche statistiche della precipitazione Intensità lognormal ? 30 R. RigonWednesday, April 10, 13
  41. 41. Caratteristiche statistiche della precipitazione Precipitazioni Estreme 31 R. RigonWednesday, April 10, 13
  42. 42. Le precipitazioni estreme Kandinski -Composition VI (Il diluvio)- 1913 Riccardo RigonWednesday, April 10, 13
  43. 43. Analisi dei massimi di precipitazione Consideriamo le precipitazioni massime annuali Queste si trovano negli annali idrologici registrate per certe durate caratteristiche: 1h, 3h, 6h,12h 24 h e rappresentano il massimo di precipitazione cumulato sulla prefissata durata. anno 1h 3h 6h 12h 24h 1 1925 50.0 NA NA NA NA 2 1928 35.0 47.0 50.0 50.4 67.6 ...................................... ...................................... 46 1979 38.6 52.8 54.8 70.2 84.2 47 1980 28.2 42.4 71.4 97.4 107.4 51 1987 32.6 40.6 64.6 77.2 81.2 52 1988 89.2 102.0 102.0 102.0 104.2 33 R. RigonWednesday, April 10, 13
  44. 44. Analisi dei massimi di precipitazione Consideriamo le precipitazioni massime annuali Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 durata Per ogni durata si ha una distribuzione di precipitazioni 34 R. RigonWednesday, April 10, 13
  45. 45. Analisi dei massimi di precipitazione Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 50 1 3 6 12 24 Mediana durata >boxplot(hh ~ h,xlab="durata",ylab="Precipitazione (mm)",main="Precipitazioni Massime a Paperopoli") 35 R. RigonWednesday, April 10, 13
  46. 46. Analisi dei massimi di precipitazione Tempo di ritorno E’ l’intervallo di tempo medio in cui una certa intensità di precipitazione si ripete (o è superata). Sia: T l’intervallo temporale in cui si dispone di una certa misura Siano n le misurazioni fatte in T e m=T/n il tempo di campionamento di una singola misura (la durata dell’evento considerato). 36 R. RigonWednesday, April 10, 13
  47. 47. Analisi dei massimi di precipitazione Tempo di ritorno Allora il tempo di ritorno della misura h* è se si definisce , la frequenza di successi (misure superiori od uguali ad h*), o frequenza di superamento del valore h*, Allora 37 R. RigonWednesday, April 10, 13
  48. 48. Analisi dei massimi di precipitazione Tempo di ritorno e vale pure: dove è detta frequenza empirica di non superamento o “empirical cumulative distribution function” (ECDF) 38 R. RigonWednesday, April 10, 13
  49. 49. Analisi dei massimi di precipitazione Tempo di ritorno Nelle analisi statistiche più accurate, si tratterà di interpolare le frequnze empiriche su particolari famiglie di distribuzioni di probabilità. In modo tale che Dove alle frequenze empiriche si sono sostituite le curve di probabilità interpolanti. In questo modo, ad ogni frequenza (e quantile) corrisponde un unico tempo di ritorno. 39 R. RigonWednesday, April 10, 13
  50. 50. Precipitazioni Massime a Paperopoli 150 Precipitazione (mm) 100 q(0.75) -> Tr = 4 anni 50 1 3 6 12 24 durata q(0.25) -> Tr = 1.33 anni Mediana -> q(0.5) -> Tr = 2 anni 40 R. RigonWednesday, April 10, 13
  51. 51. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp 41 R. RigonWednesday, April 10, 13
  52. 52. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione legge di potenza 42 R. RigonWednesday, April 10, 13
  53. 53. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione coefficiente dipendente dal tempo di ritorno 43 R. RigonWednesday, April 10, 13
  54. 54. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp altezza di precipitazione d u r a t a considerata 44 R. RigonWednesday, April 10, 13
  55. 55. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica esponente (non dipendente dal h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp tempo ritorno) di altezza di precipitazione 45 R. RigonWednesday, April 10, 13
  56. 56. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica h(tp , Tr ) = a(Tr ) n tp Poichè l’altezza di precipitazione cumulata è una funzione non decrescente della durata, allora n >0 E’ noto però che l’intensità media della precipitazione: h(tp , Tr ) J(tp , Tr ) := = a(Tr ) tn p 1 tp decresce all’aumentare della durata. Allora è anche n < 1 46 R. RigonWednesday, April 10, 13
  57. 57. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica Tr = 50 anni a = 36.46 n = 0.472 Tr = 100 anni a = 40.31 Tr = 200 anni a = 44.14 log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1 10 tp[h] 100 47 R. RigonWednesday, April 10, 13
  58. 58. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 1.5 1.4 1 10 tp[h] 100 48 R. RigonWednesday, April 10, 13
  59. 59. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 1.7 1.6 tr = 500 anni 1.5 h(,500) > h(200) tr = 200 anni 1.4 1 10 tp[h] 100 49 R. RigonWednesday, April 10, 13
  60. 60. Analisi dei massimi di precipitazione Le curve di possibilità pluviometrica sono parallele tra loro nel piano bilogaritmico log(prec) [mm] curve di possibilità pluviometrica 2.4 tr=50 anni tr=100 anni 2.3 tr=200 anni a 50 2.2 a 100 a 200 2.1 2 1.9 1.8 tr = 500 anni 1.7 tr = 200 anni 1.6 1.5 Invece h(,500) < h(200) !!!! 1.4 1 10 tp[h] 100 50 R. RigonWednesday, April 10, 13
  61. 61. Il problema da risolvere con l’ausilio della teoria delle probabilità e dell’analisi statistica E’ dunque quello di determinare, per ogni durata, la corrispondenza tra quantili (assegnati tempi di ritorno) e altezza di precipitazione. Per ogni durata si cercherà dunque di interpolare i dati ad una distribuzione di probabilità. La famiglia di curve candidata per questo scopo è la Curva dei valori estremi di tipo I, o curva di Gumbel h a P [H < h; a, b] = e e b ⇥<h<⇥ b è un parametro di forma, a un parametro di posizione (la moda) 51 R. RigonWednesday, April 10, 13
  62. 62. Analisi dei massimi di precipitazione Distribuzione di Gumbel 52 R. RigonWednesday, April 10, 13
  63. 63. Analisi dei massimi di precipitazione Distribuzione di Gumbel 53 R. RigonWednesday, April 10, 13
  64. 64. Analisi dei massimi di precipitazione Distribuzione di Gumbel La media della distribuzione e data da: E[X] = b + a dove: 0.57721566490153228606 è la costante di Eulero-Mascheroni: 54 R. RigonWednesday, April 10, 13
  65. 65. Analisi dei massimi di precipitazione Distribuzione di Gumbel La moda: La mediana: a b log(log(2)) La varianza : 2 V ar(X) = b 2 6 55 R. RigonWednesday, April 10, 13
  66. 66. Analisi dei massimi di precipitazione Distribuzione di Gumbel La forma standard della distribuzione (rispetto alla quale si trovano tabulate le grandezze significative) è Rispetto alla forma standard: 56 R. RigonWednesday, April 10, 13
  67. 67. Stima dei parametri Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Per adattare la famiglia di curve di Gumbel ai dati si usano dei metodi di adattamento dei parametri. Ne useremo nel seguito 3: - Il metodo dei minimi quadrati - Il metodo dei momenti - Il metodo della massima verosimiglianza (o maximum likelihood) Si consideri allora una serie di n misure, h = {h1, ....., hn} 57 R. RigonWednesday, April 10, 13
  68. 68. Stima dei parametri Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo dei momenti consiste nell’uguagliare i momenti del campione con i momenti della popolazione. Siano, ad esempio µH 2 H La media e la varianza e (t) MH il momento t-esimo del CAMPIONE 58 R. RigonWednesday, April 10, 13
  69. 69. Stima dei parametri Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Se il modello probabilistico contiene t parametri, allora il metodo dei momenti consiste nell’ugugliare i t momenti campionari con i t momenti della popolazione, che risultano definiti da: ⇥ MH [1; ] = EH [h] = h pdfH (h; ) dh ⇥ ⇥ MH [t; ] = (h EH [h]) pdfH (h; ) dh t > 1 t ⇥ 59 R. RigonWednesday, April 10, 13
  70. 70. Stima dei parametri Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale ⇥ MH [t; ] = (h EH [h])t pdfH (h; ) dh t > 1 ⇥ Per ottenere un numero sufficiente di equazioni bisogna considerare tanti momenti quanti sono i parametri. Benchè in linea di principio la funzione dei parametri che ne risulta possa essere calcolate numericamente per punti, il metodo risulta efficace quando l’integrale a secondo membro ammette una soluzione analitica. 60 R. RigonWednesday, April 10, 13
  71. 71. Stima dei parametri Metodi di adattamento dei parametri relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo dei momenti applicato alla curva di Gumbel consiste allora nel porre: MH [1; a, b] = µH MH [2; a, b] = ⇥H 2 o: b + a = µH 2 2 b 6 = ⇤H 2 61 R. RigonWednesday, April 10, 13
  72. 72. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo si fonda sulla valutazione della probabilità (composta) di ottenere la serie temporale registrata: Questa può considerarsi come la probabilità di ottenere le misure, assegnati i parametri 62 R. RigonWednesday, April 10, 13
  73. 73. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Nella ipotesi di indipendenza delle osservazioni, tale probabilità diviene: La precedente probabilità si chiama anche funzione di verosimiglianza rappresenta ed è evidentemente una funzione dei parametri. 63 R. RigonWednesday, April 10, 13
  74. 74. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità dei parametri, condizionata alle misure: 64 R. RigonWednesday, April 10, 13
  75. 75. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale In effetti, utilizzando il teorema di Bayes, questa è proporzionale alla probabilità dei parametri, condizionata alle misure: Questo è un numero Questa è la “prior”, (assegnate le la distribuzione a misure), l’evidenza priori dei parametri 65 R. RigonWednesday, April 10, 13
  76. 76. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale (in figura una sezione della distribuzione per un assegnato valore di b) 66 R. RigonWednesday, April 10, 13
  77. 77. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Il metodo della massima verosimiglianza assume che i parametri più affidabili siano i più probabili, quelli corrispondenti ai massimi, alla moda, della distribuzione Nel caso della figura, a*. 67 R. RigonWednesday, April 10, 13
  78. 78. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale I massimi della distribuzione si ottengono derivando la rispetto ai parametri. Se si assume che con dominio sufficientemente più esteso rispetto al domino di 68 R. RigonWednesday, April 10, 13
  79. 79. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Allora calcolare i massimi di Concide con il calcolare i massimi della verosimiglianza: 69 R. RigonWednesday, April 10, 13
  80. 80. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Per semplificare i calcoli dei massimi si definisce anche la funzione detta di log-verosimiglianza: N log(P [{h1 , · · ·, hN }; a, b]) = log(P [hi ; a, b]) i=1 70 R. RigonWednesday, April 10, 13
  81. 81. Stima dei parametri Il metodo della massima verosimiglianza (maximum likelihood) relativi alla distribuzione di Gumbel ma con validità generale Allora, i parametri della curva, che ne descrive la popolazione si possono ottenere da: ⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b]) ⇥a =0 ⇥ log(P [{h1 ,···,hN };a,b]) ⇥b =0 Che produce un sistema di due equazioni non-lineari in due incognite. 71 R. RigonWednesday, April 10, 13
  82. 82. Stima dei parametri 72 R. RigonWednesday, April 10, 13
  83. 83. Stima dei parametri Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 e nel minimizzarlo 73 R. RigonWednesday, April 10, 13
  84. 84. Stima dei parametri Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto quadratico e nel minimizzarlo 73 R. RigonWednesday, April 10, 13
  85. 85. Stima dei parametri Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto ECDF quadratico e nel minimizzarlo 73 R. RigonWednesday, April 10, 13
  86. 86. Stima dei parametri Metodo dei minimi quadrati Consiste nel definire lo scarto quadratico tra le misure, di ECDF, e la probabilità di non superamento: n 2 2 (⇥) = (Fi P [H < hi ; ⇥]) i=1 scarto ECDF Probabilità quadratico e nel minimizzarlo 73 R. RigonWednesday, April 10, 13
  87. 87. Stima dei parametri Tale minimizzazione si ottiene derivando l’espressione dello scarto rispetto agli m parametri ⇤ (⇥j ) 2 =0 j =1···m ⇤⇥j Ottenendo così le m equazioni in m incognite necessarie. 74 R. RigonWednesday, April 10, 13
  88. 88. Stima dei parametri Dopo l’applicazione dei vari metodi di adattamento ... Come risultato abbiamo 3 coppie di parametri, tutti in un certo senso ottimi. Per distinguere quali tra questi insiemi di parametri è migliore, dobbiamo usare un criterio di confronto (un test non parametrico). Useremo test di Pearson. 75 R. RigonWednesday, April 10, 13
  89. 89. Stima dei parametri Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste: 1 - Nel suddividere il campo di probabilità in k parti, per esempio uguali 76 R. RigonWednesday, April 10, 13
  90. 90. Test delle ipotesi Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:2 - derivarne una suddivisione del dominio 77 R. RigonWednesday, April 10, 13
  91. 91. Test delle ipotesi Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste: 3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura) 78 R. RigonWednesday, April 10, 13
  92. 92. Test delle ipotesi Il Test di Pearson Il test di Pearson è un test NON parametrico e consiste: 3 - Contare il numero di dati in ciascun intervallo (tra i cinque della figura) 13 7 9 7 7 79 R. RigonWednesday, April 10, 13
  93. 93. Test delle ipotesi Il Test di PearsonIl test di Pearson è un test NON parametrico e consiste:6 - Valutare la funzione dove: P [H < h0 ] = P [H < 0] P [H < hn+1 ] = P [H < ] 80 R. RigonWednesday, April 10, 13
  94. 94. Test delle ipotesi Il Test di Pearson e nel caso della figura delle slides precedenti (P [H < hj+1 ] P [H < hj ]) = 0.2 Quindi: 81 R. RigonWednesday, April 10, 13
  95. 95. Test delle ipotesi Il Test di Pearson 6 - Scegliere la coppia di parametri per cui X2 è più piccolo Per completare il tutto 7 - Si ripetono tutte le operazioni per ogni durata (ad esempio, 1, 3, 6, 12, 24 ore): visto che tutte le procedure si riferiscono ad una singola durata 82 R. RigonWednesday, April 10, 13
  96. 96. Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica Dopo aver applicato Pearson e ripetuto l’operazione per ognii durata 1.0 0.8 0.6 1h 3h P[h] 6h 12h 0.4 24h 0.2 0.0 0 50 100 150 Precipitazione [mm] 83 R. RigonWednesday, April 10, 13
  97. 97. Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica Dopo aver applicato Pearson e ripetuto l’operazione per ogni durata 1.0 Tr = 10 anni 0.8 0.6 1h 3h P[h] 6h 12h 0.4 24h 0.2 h1 h3 h6 h12 h24 0.0 0 50 100 150 Precipitazione [mm] 84 R. RigonWednesday, April 10, 13
  98. 98. Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica Si ottengono infine per interpolazione le Linee Segnalitrici di Possibilita Pluviometrica 180 160 140 120 t [ore] 100 80 60 40 0 5 10 15 20 25 30 35 h [mm] 85 R. RigonWednesday, April 10, 13
  99. 99. Le linee segnalitrici di possibilità pluviometrica Si ottengono infine per interpolazione le Linee Segnalitrici di Possibilita Pluviometrica 160 140 120 100 h [mm] 80 60 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 t [ore] 86 R. RigonWednesday, April 10, 13
  100. 100. Ancora sul test di Pearson 2 Il Se una variabile X è distribuita secondo un curva normale a media nulla e varianza unitaria, allora la variabile e’ distribuita secondo la distribuzione del “Chi quadrato” (come fu provato da Ernst Abbe, 1840-1905) e si indica con che è una distribuzione monoparametrica della famiglia della distribuzione Gamma. L’unico parametro è chiamato “gradi di libertà” 87 R. RigonWednesday, April 10, 13
  101. 101. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia La distribuzione, in effetti, è: E la sua cumulata: dove () è la funzione “gamma” incompleta 88 R. RigonWednesday, April 10, 13
  102. 102. Ancora sul test di Pearson La funzione gamma incompleta La funzione Gamma 89 R. RigonWednesday, April 10, 13
  103. 103. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia 90 R. RigonWednesday, April 10, 13
  104. 104. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia Il valore atteso della distribuzione è pari al numero di gradi di libertà E( k) =k La varianza è pari a due volte il numero di gradi di libertà V ar( k) = 2k La moda è pari a 91 R. RigonWednesday, April 10, 13
  105. 105. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia 2 In generale il è usato in statistica (dopo il lavoro di Pearson e Fisher) per stimare la bontà di una inferenza, ed in particolare l’uguguglianza di una distribuzione di dati con una distribuzione di riferimento (ipotesi zero). Il test ha la forma generale 92 R. RigonWednesday, April 10, 13
  106. 106. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia Assumendo che la radice della variabile rappresentata nella sommatoria sia distribuita gaussianamente, allora ci si aspetta che la variabile somma dei 2 quadrati sia distribuita secondo il con un grado di libertà pari al numero di addendi diminuito di 1. In altre parole, nell’ipotesi di ripetere un numero illimitato di volte l’esperimento che ha prodotto i dati, ci si aspetta che la distribuzione degli X2 , ottenuta dalla ripetizione dell’esperimento, sia un con k-1 gradi di libertà. 93 R. RigonWednesday, April 10, 13
  107. 107. Ancora sul test di Pearson Ovvero Se i dati riproducono perfettamente l’ipotesi, Il valore atteso dell’errore però pari al numero di gradi di libertà, k. Un certo numero di campioni “sfortunati” avrà un elevato 94 R. RigonWednesday, April 10, 13
  108. 108. Ancora sul test di Pearson Ovvero Ci sono due modi per ottenere un valore elevato di X2: •se i dati provengono dalla distribuzione ipotizzata, ma il campione è relativamente raro •se i dati NON sono rari MA provengono da un’altra distribuzione 95 R. RigonWednesday, April 10, 13
  109. 109. Ancora sul test di Pearson 2 Il from Wikipedia 2 Il ha importanza perchè possiamo fare due ipotesi mutuamente esclusive. L’ipotesi zero: che campione e popolazione abbiano la medesima distribuzione E il suo contrario, l’ ipotesi alternativa: che campione e popolazione NON abbiano la medesima distribuzione 96 R. RigonWednesday, April 10, 13
  110. 110. Ancora sul test di Pearson Non c’è possibilità di distinguere un caso dall’altro L’analisi statistica NON è in grado di distinguere il falso dal vero con certezza Però ci si può accordare che, per esempio, il nostro campione ha una differenza dal campione di riferimento (misurata secondo Pearson), ovvero un X2, che si rivela più di una volta su venti su possibili ripetizioni dell’esperimento probabilistico (un periodo di ritorno di venti tentativi) non possiamo rigettare (falsificare statisticamente) l’ipotesi che i nostri dati provengano dalla distribuzione ipotizzata. Dunque l’ipotesi zero si accetta e si rigetta l’ipotesi alternativa, con una confidenza, nel caso descritto, di 1/20=0.05 97 R. RigonWednesday, April 10, 13
  111. 111. Ancora sul test di Pearson L’accettazione dell’ipotesi zero E’ dunque legata ad una scelta soggettiva (il margine di confidenza), assegnato secondo un criterio assunto come “ragionevole”. Per questo si usa tradizionalmente la dizione: “non si può rigettare”, invece di “si accetta”. A ben vedere però, la questione di come si dice, non è veramente sostanziale. Il criterio per quanto soggettivo è organizzato quantitativamente, e dà risultati ripetibili. 98 R. RigonWednesday, April 10, 13
  112. 112. Ancora sul test di Pearson In pratica Si assegna il grado di confidenza, c e si inverte la probabilità ovvero: 99 R. RigonWednesday, April 10, 13
  113. 113. Ancora sul test di Pearson Se Si rigetta l’ipotesi zero Viceversa si accetta (nel gergo statistico: non si può rigettare) 100 R. RigonWednesday, April 10, 13
  114. 114. Ancora sul test di Pearson Corollario Avendo a disposizione più ipotesi zero valide Si accetta Quella con più piccolo Che corrisponde ad eventi non rigettati (accettati!) con maggior grado di confidenza. 101 R. RigonWednesday, April 10, 13
  115. 115. Le precipitazioni estreme - GEV Michelangelo, Il diluvio, 1508-1509 Riccardo RigonWednesday, April 10, 13
  116. 116. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: I) Distribuzione di Gumbel z b G(z) = e e a ⇥<z<⇥ a>0 103 R. RigonWednesday, April 10, 13
  117. 117. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: II) Distribuzione di Frechèt 0 z b G(z) = ( za b ) e z>b a>0 >0 104 R. RigonWednesday, April 10, 13
  118. 118. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal II) Distribuzione di Frechèt from Wikipedia P [X < x] = e x Media Moda Mediana Varianza 105 R. RigonWednesday, April 10, 13
  119. 119. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal R: dfrechet(x, loc=0, scale=1, shape=1, log = FALSE) pfrechet(q, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) qfrechet(p, loc=0, scale=1, shape=1, lower.tail = TRUE) rfrechet(n, loc=0, scale=1, shape=1) 106 R. RigonWednesday, April 10, 13
  120. 120. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal L’uso della distribuzione di Gumbel non deriva da un capriccio ma da un Teorema, il quale afferma che, sotto ipotesi abbastanza generali, la distribuzione dei massimi scelti da campioni di opportuna numerosità non può che appartenere ad una delle seguenti famiglie di distribuzioni: III) Distribuzione di Weibull e [ ( z a b )] z<b G(z) = 1 z b >0 a>0 107 R. RigonWednesday, April 10, 13
  121. 121. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal from Wikipedia III) Distribuzione di Weibull (P. Rosin and E. Rammler, 1933) 108 R. RigonWednesday, April 10, 13
  122. 122. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal from Wikipedia Quando k = 1, la distribuzione di Weibull III) Distribuzione di Weibull si riduce alla distribuzione esponenziale. (P. Rosin and E. Rammler, 1933) Quando k = 3.4, la distribuzione Weibull diventa molto simile alla distribuzione normale. Media Moda Mediana Varianza 109 R. RigonWednesday, April 10, 13
  123. 123. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal R: dweibull(x, shape, scale = 1, log = FALSE) pweibull(q, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) qweibull(p, shape, scale = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE) rweibull(n, shape, scale = 1) 110 R. RigonWednesday, April 10, 13
  124. 124. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV G(z) = e [1+ ( z ⇤ µ )] 1/⇥ z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0 ⇥<µ<⇥ ⇤>0 ⇥<⇥<⇥ Per =0 la distribuzione degenera nella distribuzione di Gumbel Per >0 la distribuzione diviene una distribuzione di Frechèt Per <0 la distribuzione diviene una Weibull 111 R. RigonWednesday, April 10, 13
  125. 125. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV G(z) = e [1+ ( z ⇤ µ )] 1/⇥ z : 1 + ⇥(z µ)/⇤ > 0 ⇥<µ<⇥ ⇤>0 ⇥<⇥<⇥ 112 R. RigonWednesday, April 10, 13
  126. 126. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal Il teorema suddetti tuttavia può essere riformulato in funzione di una distribuzione a tre parametri detta Generalized Extreme Values o GEV gk = (1 k ) 113 R. RigonWednesday, April 10, 13
  127. 127. Distribuzioni dei valori estremi A little more formal R dgev(x, loc=0, scale=1, shape=0, log = FALSE) pgev(q, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) qgev(p, loc=0, scale=1, shape=0, lower.tail = TRUE) rgev(n, loc=0, scale=1, shape=0) 114 R. RigonWednesday, April 10, 13
  128. 128. Grazie per l’attenzione! G.Ulrici, 2000 ? 115 R. RigonWednesday, April 10, 13
  129. 129. Bibliografia e Approfondimenti •Albertson, J., and M. Parlange, Surface Length Scales and Shear Stress: Implications for Land-Atmosphere Interaction Over Complex Terrain, Water Resour. Res., vol. 35, n. 7, p. 2121-2132, 1999 •Burlando, P. and R. Rosso, (1992) Extreme storm rainfall and climatic change, Atmospheric Res., 27 (1-3), 169-189. •Burlando, P. and R. Rosso, (1993) Stochastic Models of Temporal Rainfall: Reproducibility, Estimation and Prediction of Extreme Events, in: Salas, J.D., R. Harboe, e J. Marco-Segura (eds.), Stochastic Hydrology in its Use in Water Resources Systems Simulation and Optimization, Proc. of NATO-ASI Workshop, Peniscola, Spain, September 18-29, 1989, Kluwer, pp. 137-173. 116 R. RigonWednesday, April 10, 13
  130. 130. •Burlando, P. e R. Rosso, (1996) Scaling and multiscaling Depth-Duration-Frequency curves of storm precipitation, J. Hydrol., vol. 187/1-2, pp. 45-64. •Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin hydrology. 1. Precipitation scenarios for the Arno River, central Italy, Hydrol. Process., 16, 1151-1175. •Burlando, P. and R. Rosso, (2002) Effects of transient climate change on basin hydrology. 2. Impacts on runoff variability of the Arno River, central Italy, Hydrol. Process., 16, 1177-1199. • Coles S., An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values, Springer, ‘‘ 2001 • Coles, S., and Davinson E., Statistical Modelling of Extreme Values, 2008 117 R. RigonWednesday, April 10, 13
  131. 131. •Foufula-Georgiou, Lectures at 2008 Summer School on Environmental Dynamics, 2008 •Fréchet M., Sur la loi de probabilité de lécart maximum, Annales de la Société Polonaise de Mathematique, Crocovie, vol. 6, p. 93-116, 1927 •Gumbel, On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling, Phil. Mag. vol. 6, p. 157-175, 1900 • Houze, Clouds Dynamics, Academic Press, 1994 118 R. RigonWednesday, April 10, 13
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