1. Ramón Galán González

2. Para mi querido amigo y maestro
Vicente Umpiérrez Sánchez,
expresión viva de la unidad
del pensar y el sentir.

3. JUSTIFICACIÓN DIDÁCTICA
Pudiera parecer que las matemáticas se han de ocupar esencialmente del
aspecto cuantitativo, de la cantidad. Sin embargo, apenas profundicemos en nuestro
análisis, nos daremos cuenta que no es así. En primer lugar, las cualidades se
manifiestan en cierto grado y este grado es cuantificable. Por lo tanto, en la cualidad
también se manifiesta la cantidad. La forma esférica de las naranjas es objeto de
estudio por las matemáticas. Su tamaño y sus dimensiones son cuantificables. Lo
mismo ocurre con el peso y sus propiedades nutritivas. Por ello, la cuantificación de las
propiedades o cualidades que presentan los objetos las podemos entender como
medidas.
Sin embargo y además, hay otro aspecto de las cualidades de los objetos que
son fundamentales desde el punto de vista del conocimiento. En base a las
determinaciones cualitativas, por las cualidades que presentan los objetos, los
reconocemos e identificamos, los agrupamos por categorías y los diferenciamos de
otros. De modo que los objetos, entre sí, presentan semejanzas y diferencias.
Las semejanzas o la igualdad de cualidades nos conducen a la cohesión, a
formar grupos de objetos que comparten una o distintas cualidades mediante la acción
de clasificar. La semejanza nos permite incluir un objeto dentro un grupo cuando
comparte con este la cualidad que lo determina.
Las diferencias cualitativas, por el contrario, nos conducen a la individualidad y a
la dispersión y por ello a la exclusión de un objeto con respecto a un grupo cuando no
comparte la cualidad que manifiesta y determina al grupo. La diferencia supone la
negación de la igualdad y es precisamente este aspecto el que le confiere la propiedad
de formar secuencias y ritmos, pues solamente donde hay diferencias hay formas.
Gracias a las diferencias podemos formar series y estructurar o dividir una figura en
distintas partes distinguibles dentro de un todo. Por ejemplo, si en un conjunto de
naranjas todas tuvieran el mismo peso no podríamos ordenarlas de menor a mayor
peso. Si en un cuadro que representara un horizonte, el cielo y la tierra no tuvieran
diferencias cromáticas entre sí, resultaría muy difícil poder diferenciar el cielo y la tierra
dentro del cuadro.
Sin embargo el mundo de los objetos presenta innumerables propiedades y
cualidades, infinitas semejanzas y diferencias. Por ello reduciremos este universo
infinito a un conjunto de 18 figuras geométricas diferentes entre sí en base a tres
cualidades: forma geométrica, color y tamaño. Y cada una de estas cualidades será
considerada teniendo en cuenta solamente un número reducido de determinaciones. La
forma geométrica la limitaremos al círculo, cuadrado o triángulo. El color; al amarillo,
azul o rojo. El tamaño, a grande o pequeño.

4. En base a las semejanzas y las diferencias que presentan estas figuras
geométricas formaremos series con una ley o secuencia lógica interna que el alumno
tendrá que descubrir y aplicar con el fin de completar o continuar la serie. De este
modo desarrollaremos en los alumnos la capacidad analítica, la capacidad de deducir,
predecir y extrapolar, estableciendo semejanzas y diferencias entre los aspectos
cualitativos que muestran los objetos. Veamos dos ejemplos sencillos y concretos con
el fin de ilustrar nuestra exposición.
Tenemos una serie de cuatro figuras geométricas y el alumno tiene completarla
con las dos figuras que faltan:
Si hay 4 figuras y faltan 2, entonces la serie está formada por 6 figuras
geométricas.
Dado que las tres primeras figuras tienen la misma forma y tamaño; y dado que
la cuarta figura tiene la misma forma que la primera pero de distinto tamaño, el alumno
deducirá que se forman dos grupos de tres.
Como las tres figuras del primer grupo presentan igualdad con respecto a la
forma y el tamaño, las figuras que forman el segundo grupo también ha de cumplir este
requisito.
Luego, y estableciendo relaciones entre figuras geométricas dentro de cada
grupo, tiene que reinar la igualdad con respecto a la forma y tamaño. Sin embargo, al
establecer la relación entre los dos grupos, reina la igualdad con respecto a la forma
pero la diferencia teniendo en cuenta el tamaño.

5. Dado que la primera figura del primer grupo tiene el mismo color que la primera
figura del segundo grupo, el alumno deducirá la relación de igualdad de color entre la
segunda y la tercera del primer grupo con respecto a las dos figuras que faltan del
segundo y, con ello, la secuencia o el orden en que debe colocar las dos figuras.
Ahora las figuras dentro de cada grupo de tres presentan igualdad en la forma
geométrica y tamaño y diferencia en el color. Pero, y con respecto a la relación entre
los dos grupos, se da la igualdad en la forma, la igualdad en el orden de la secuencia
en que se sucede la diferencia de color y, por último, la diferencia de tamaño.
Y como consecuencia de todo lo anterior, la secuencia adquiere unidad, esto es,
cohesión lógica interna entre semejanzas y diferencias.
En el ejemplo anterior se ha puesto de manifiesto que en estas series lógicas
debemos diferenciar:
- El número de elementos que forma la serie o motivo perceptivo, el número de
grupos que se forman dentro de ella, y el número que configura cada grupo.
- Las variables que intervienen en la serie y, con ello, en los grupos.
- El ritmo de la secuencia de las igualdades y diferencias dentro de los
elementos de los grupos.
- La relación externa entre los grupos o impulsos perceptivos.
Veamos ahora y de nuevo, con la finalidad de ilustrar nuestra exposición, un
segundo ejemplo.
Tenemos una serie de seis figuras geométricas y el alumno tiene
completarla con las tres figuras que faltan:
- La serie o motivo perceptivo consta de nueve figuras geométricas, siendo tres
el número de grupos o impulsos perceptivos y estando formados cada uno de ellos por
tres elementos.

6. - Las variables que intervienen en los grupos son forma geométrica, color y
tamaño.
- Desde el punto de vista del color, el ritmo de cada impulso o grupo es 1: 2.
- Desde el punto de vista de la forma geométrica y el tamaño, el ritmo dentro de
cada impulso perceptivo es, por el contrario, 2 : 1.
- Con respecto a las semejanzas, la relación externa entre los dos primeros
grupos se nos presenta en la secuencia del color (1 figura amarilla seguida de 2 rojas)
y en la secuencia del tamaño (2 figuras grandes seguida de 1 figura pequeña.)
- La diferencia en la relación externa entre los dos primeros impulsos se nos
muestra en la propia relación interna que presentan las formas: En el primer grupo,
círculos : triángulos; en el segundo grupo, triángulos : cuadrados.
- Teniendo en cuenta lo anterior, y por no aparecer ninguna figura geométrica
repetida y por la necesidad de que el conjunto tenga unidad, esto es, coherencia lógica
interna, habría que completar la serie de la siguiente forma:
El trabajo que a continuación se oferta constituye un conjunto de actividades de
series lógicas y de aplicación directa en el aula, referidas tanto a Educación Infantil
como en Educación Primaria, en base a la dificultad y complejidad que estas series
presentan.
En el caso de Educación Infantil y como ejercicios previos, se recomienda que
se realicen las actividades presentando los grupos en la simultaneidad y no en la
sucesión ya que el nivel de dificultad es inferior. Lo ilustramos con un ejemplo.
Esta serie, así dada, presenta grandes dificultades para un alumno de
Educación Infantil ya que los grupos de tres se muestran unos a continuación del otro,
es decir, de forma sucesiva.

7. Con el fin de reducir el nivel de dificultad podemos presentar esta actividad con
esta otra apariencia:
Ahora los grupos de tres se muestran unos debajo de otros, es decir, de forma
simultanea, y con ello la dificultad disminuye. Aunque, en rigor, los alumnos no estarán
realizando series dado que el concepto de serie está ligado íntimamente al concepto de
sucesión y no al de la simultaneidad.
De igual modo, nunca deberemos de rechazar de antemano las posibles
soluciones que dé un alumno a la hora de completar las series. Siempre habrá que
proceder a que este explique porqué ha colocado las figuras que determinan su
respuesta. Puede ocurrir que alguna serie sea susceptible de distintas respuestas
lógicas y que el alumno establezca una lógica diferente a la nuestra. En estos casos, lo
importante no es acostumbrar al alumno a escuchar al profesor sino que se muestre
capaz de expresar su pensamiento y su lógica de razonamiento.
Por último, para la realización práctica de estas actividades dentro del aula y con
el gran grupo, aconsejamos el empleo del franelograma (Un rectángulo de madera
recubierto de moqueta donde pueden adherirse piezas que no sean pesadas y que
lleven colocada en su parte trasera un trozo de velcro) y regletas de madera, o cartulina
plastificada, que se pegarán al franelograma y que, a su vez, servirán para colocar
sobre ella las figuras geométricas, empleando para ello trozos de velcro. Lo ilustramos
con una fotografía:

8. Con el fin de facilitar la elaboración de las figuras geométricas que se emplean
en la realización de las series, adjuntamos al final, las plantillas de las figuras. Para
ello, se imprimirán en cartulina amarilla, azul y roja, se recortaran, se plastificarán y se
le colocará el velcro en la parte posterior.
Se recomienda, dado que en algunas actividades se emplean repetidamente la
misma figura, que se elaboren tres figuras geométricas de cada clase.

9. SERIES LÓGICAS.
1. Una variable:
1.1. Diferencia en la forma dentro de la secuencia de un grupo de tres.
Actividad nº 1. 1. 1.
Actividad nº 1. 1. 2.
Actividad nº 1. 1. 3.

10. SERIES LÓGICAS.
1. Una variable:
1.2. Diferencia en el color en la secuencia dentro de un grupo de tres.
Actividad nº 1. 2. 1.
Actividad nº 1. 2. 2.
Actividad nº 1. 2. 3.

11. SERIES LÓGICAS.
1. Una variable:
1.3. Diferencia en el tamaño dentro una secuencia en grupos de dos.
Actividad nº 1. 3. 1.
Actividad nº 1. 3. 1.
Actividad nº 1. 3. 1.

12. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Color y tamaño.
2.1. Diferencia en el color dentro del grupo y el tamaño entre los
grupos.
Actividad nº 2. 1. 1.
Actividad nº 2. 1. 2.
Actividad nº 2. 1. 3
Actividad nº 2. 1. 4.
Actividad nº 2. 1. 5.

13. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Color y tamaño.
2.1. Diferencia en el color y el tamaño en la secuencia de grupos de
dos.
Actividad nº 2. 1. 6.
Actividad nº 2. 1. 7.
Actividad nº 2. 1. 8.
Actividad nº 2. 1. 9.
Actividad nº 2. 1. 10.

14. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Color y tamaño.
2.1. Diferencia en el color y el tamaño en la secuencia.
Actividad nº 2. 1. 11.
Actividad nº 2. 1. 12.
Actividad nº 2. 1. 13.
Actividad nº 2. 1. 14.
Actividad nº 2. 1. 15.
Actividad nº 2. 1. 16.

15. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y tamaño.
2.2. Diferencia en la forma dentro de los grupos y diferencia del
tamaño entre los dos grupos de tres.
Actividad nº 2. 2. 1.
Actividad nº 2. 2. 2.
Actividad nº 2. 2. 3.
Actividad nº 2. 2. 4.
Actividad nº 2. 2. 5.
Actividad nº 2. 2. 6.

16. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y tamaño.
2.2. Diferencia en la forma y el tamaño en la secuencia.
Actividad nº 2. 2. 7.
Actividad nº 2. 2. 8.
Actividad nº 2. 2. 9.
Actividad nº 2. 2. 10.
Actividad nº 2. 2. 11.
Actividad nº 2. 2. 12.

17. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y color.
2.3. Diferencia en la forma dentro del grupo y diferencia del color
entre los dos grupos de tres.
Actividad nº 2. 3. 1.
Actividad nº 2. 3. 2.
Actividad nº 2. 3. 3.
Actividad nº 2. 3. 4.
Actividad nº 2. 3. 5.

18. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y color.
2.3. Diferencia en la forma dentro del grupo y diferencia del color
entre los tres grupos de tres.
Actividad nº 2. 3. 6.
Actividad nº 2. 3. 7.
Actividad nº 2. 3. 8.
Actividad nº 2. 3. 9.
Actividad nº 2. 3. 10.

19. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y color.
2.3. Diferencia en el color dentro del grupo y diferencia de forma entre
los tres grupos de tres.
Actividad nº 2. 3. 11.
Actividad nº 2. 3. 12.
Actividad nº 2. 3. 13.
Actividad nº 2. 3. 14.
Actividad nº 2. 3. 15.

20. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y color.
2.3. Diferencia en el color y la forma dentro de cada grupos de tres y
semejanza en la secuencia del color entre los tres grupos.
Actividad nº 2. 3. 16.
Actividad nº 2. 3. 17.
Actividad nº 2. 3. 18.
Actividad nº 2. 3. 19.

21. SERIES LÓGICAS.
2. Dos variables: Forma y color.
2.3. Diferencia en el color y la forma dentro de cada grupos de tres y
semejanza en la secuencia de la forma entre los tres grupos.
Actividad nº 2. 3. 20.
Actividad nº 2. 3. 21.
Actividad nº 2. 3. 22.
Actividad nº 2. 3. 23.

22. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 1. 1.
Actividad nº 3. 1. 2.
Actividad nº 3. 1. 3.

23. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 2. 1.
Actividad nº 3. 2. 2.
Actividad nº 3. 2. 3.
Actividad nº 3. 2. 4.

24. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 3. 1.
Actividad nº 3. 3. 2.
Actividad nº 3. 3. 3.
Actividad nº 3. 3. 4.

25. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 4. 1.
Actividad nº 3. 4. 2.
Actividad nº 3. 4. 3.
Actividad nº 3. 4. 4.

26. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 5. 1.
Actividad nº 3. 5. 2.
Actividad nº 3. 5. 3.
Actividad nº 3. 5. 4.

27. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 6. 1.
Actividad nº 3. 6. 2.
Actividad nº 3. 6. 3.
Actividad nº 3. 6. 4.

28. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 7. 1.
Actividad nº 3. 7. 2.
Actividad nº 3. 7. 3.
Actividad nº 3. 7. 4.

29. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 8. 1.
Actividad nº 3. 8. 2.
Actividad nº 3. 8. 3.
Actividad nº 3. 8. 4.

30. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 9. 1.
Actividad nº 3. 9. 2.
Actividad nº 3. 9. 3.
Actividad nº 3. 9. 4.

31. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 10. 1.
Actividad nº 3. 10. 2.
Actividad nº 3. 10. 3.
Actividad nº 3. 10. 4.

32. SERIES LÓGICAS.
3. Tres variables:
Actividad nº 3. 11. 1.
Actividad nº 3. 11. 2.
Actividad nº 3. 11. 3.
Actividad nº 3. 11. 4.

33. SERIES LÓGICAS.
ANEXO:
PLANTILLA PARA CONSTRUIR
LAS FIGURAS GEOMÉTRICAS.