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Nの分割と対称式の話~量子可積分系の導入として~  神戸大学数学専攻M1  小鳥遊優葵/中村茂樹
Theme of Presentationいろんな場面に現れる対称式の性質を紹介 高校で習った対称式って一体なんの役に立つの?可積分系という分野の紹介 可積分系って何?代数?幾何?解析?
Remark1. 数学をよく知らない方にも分かるように厳密   な証明はやらない(時間もない)2. 物理の予備知識はイラネ(なくても困らない)3. 数式がいっぱいコレクション4. #0は自然数, #選択公理ちゃんマジ公理5. Webでご覧(お聞...
Reference and Quotation参考文献  I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hallpolynomials, 2nd edition, Oxford UniversityPress, ...
Flowchart of Presentation自己紹介                 おまけまえがき     ←イマココ      あとがき分野紹介              まとめ的な何か           本編Nの分割       ...
What’s Mathematical Physics 数理物理学は,数学と物理学の境界を成す科学の一分野である.数理物理学が何から構成されるかについては,いろいろな考え方がある.典型的な定義は,Journal of Mathematical ...
What’s Mathematical Physics    数理物理学 物理学のバックグラウンドを 導入とする数学の1分野     理論物理学  数学を利用して物理現象を  解析する物理学の1分野
What’s Integrable System   In mathematics and physics, there are various distinct notionsthat are referred to under the na...
What’s Integrable System 数学や物理学には,可積分系の名が使われているいくつかの異なった観念が存在する. 微分方程式系の一般的な理論では,剰決定体系に付随するフロベニウスの可積分系がある.ハミルトン力学系の古典的理論では...
What’s Integrable System     可積分系可積分な(微分方程式が解ける) 力学系モデルを土台にした     数学の分野現在では,無限に多くの系が あることが知られている
Example of Integrable System1.   単振動・単振り子2.   オイラーのコマ3.   2体問題4.   戸田格子5.   量子調和振動子6.   カロジェロ・サザランド模型     量子モデルは一般に難しい 対称性...
Partition of N定義1 自然数   に対して,次の条件を満たす数列             を の分割という.(1) 各項は自然数で有限個を除いて0である.(2) 非増加列(3)   隠し文字 一般に0である項は省略して表記され,同...
Partition of N
Young Diagram and Young Tableau 定義2    の分割に対し,各項に対応する数だけ正方形を並べたものをヤング図形といい,その正方形に数を入れたものをヤング盤という.このとき,(1) 各行上から下に増加(2) 各列左...
Young Diagrams
Young Diagrams
Young Tableaux標準盤 1   2   3   1   2   1   3   1                3       2       2                                3半標準盤    1...
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Symmetric Polynomial2変数  の場合基本対称式冪和対称多項式その他の対称多項式その他の対称関数
Elementary Symmetric Polynomial and  Newtonian Symmetric Polynomial  以下,特に注意書きがなければ 変数で議論をする定義5  個の変数掛けたもの全ての和をとった対称式を基本対称...
Elementary Symmetric Polynomial and  Newtonian Symmetric Polynomial2変数の場合基本→冪和冪和→基本例:問題7 対称多項式を簡単に表す方法はないか.(もっといえば)対称多項式環の...
Monomial Polynomial定義8 分割            に対して,単項式        が考えられる.この単項式の変数を入れ替えてできる単項式すべての和は対称式になり,これを単項対称式と呼ぶ.定理9 単項対称式は斉次対称多項式...
Partition of N定義1 自然数   に対して,次の条件を満たす数列             を の分割という.(1) 各項は自然数で有限個を除いて0である.(2) 非増加列(3)   隠し文字 一般に0である項は省略して表記され,同...
Monomial Polynomial2変数の場合
Monomial Polynomial例変数の場合
Schur Polynomial シューア対称多項式は可積分系/表現論に現れる重要な対称多項式である.(その重要性については今回は触れない)定義10 分割 に対して,とすると,         は対称式でシューア対称多項式と呼ぶ.
Schur Polynomial2変数の場合
Schur Polynomial and Kostka Number命題11 シューア対称多項式は斉次多項式である.シューア多項式の単項対称式による展開に現れる係数   をコストカ数と呼び,コストカ数は自然数である.さらに,シューア多項式もまた...
Schur Polynomial and Kostka Number                        1       1       1   2                    1       1       1   2  ...
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Review・Nの分割をヤング図形を使って表すことができる.・単項対称式やシューア対称式は対称多項式環の基底となる.・シューア対称式と単項対称式の関係を具体的な形を計算せずに調べることができる.
Next is…ここまでやってきたシューア対称多項式をうまく使うと,円周上のN個の自由電子の運動が解ける.シューアの自然な拡張として,ジャック対称多項式(パラメータ1個)やマクドナルド対称多項式(パラメータ2個)があって,同様に可積分なモデルと...
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  1. 1. Nの分割と対称式の話~量子可積分系の導入として~ 神戸大学数学専攻M1 小鳥遊優葵/中村茂樹
  2. 2. Theme of Presentationいろんな場面に現れる対称式の性質を紹介 高校で習った対称式って一体なんの役に立つの?可積分系という分野の紹介 可積分系って何?代数?幾何?解析?
  3. 3. Remark1. 数学をよく知らない方にも分かるように厳密 な証明はやらない(時間もない)2. 物理の予備知識はイラネ(なくても困らない)3. 数式がいっぱいコレクション4. #0は自然数, #選択公理ちゃんマジ公理5. Webでご覧(お聞き?)の方のために
  4. 4. Reference and Quotation参考文献 I.G.Macdonald, Symmetric functions and Hallpolynomials, 2nd edition, Oxford UniversityPress, 1995引用Wikipediaさん他
  5. 5. Flowchart of Presentation自己紹介 おまけまえがき ←イマココ あとがき分野紹介 まとめ的な何か 本編Nの分割 シューア対称式の性質対称式
  6. 6. What’s Mathematical Physics 数理物理学は,数学と物理学の境界を成す科学の一分野である.数理物理学が何から構成されるかについては,いろいろな考え方がある.典型的な定義は,Journal of Mathematical Physicsで与えているように,「物理学における問題への数学の応用と,そのような応用と物理学の定式化に適した数学的手法の構築」である. しかしながら,この定義は,それ自体は特に関連のない抽象的な数学的事実の証明にも物理学の成果が用いられている現状を反映していない.このような現象は,弦理論の研究が数学の新地平を切り拓きつつある現在,ますます重要になっている. 数理物理には,関数解析学/量子力学,幾何学/一般相対性理論,組み合わせ論/確率論/統計力学などが含まれる.最近では弦理論が,代数幾何学,トポロジー,複素幾何学などの数学の重要分野と交流を持つようになってきている.
  7. 7. What’s Mathematical Physics 数理物理学 物理学のバックグラウンドを 導入とする数学の1分野 理論物理学 数学を利用して物理現象を 解析する物理学の1分野
  8. 8. What’s Integrable System In mathematics and physics, there are various distinct notionsthat are referred to under the name of integrable systems. In the general theory of differential systems, there isFrobenius integrability, which refers to overdetermined systems.In the classical theory of Hamiltonian dynamical systems, there isthe notion of Liouville integrability. More generally, indifferentiable dynamical systems integrability relates to theexistence of foliations by invariant submanifolds within thephase space. Each of these notions involves an application of theidea of foliations, but they do not coincide. There are alsonotions of complete integrability, or exact solvability in thesetting of quantum systems and statistical mechanical models.
  9. 9. What’s Integrable System 数学や物理学には,可積分系の名が使われているいくつかの異なった観念が存在する. 微分方程式系の一般的な理論では,剰決定体系に付随するフロベニウスの可積分系がある.ハミルトン力学系の古典的理論では,リウヴィルの可積分系の概念がある.もっと一般的に,微分可能な力学系の下で,可積分性は位相空間の中に不変な部分多様体によって葉層の存在に関連している.これらの観念それぞれは葉層の考えの応用を含むが,しかしながら,ぴったり合致するものではない.量子力学系や統計力学モデルの環境にも完全可積分性や厳密可解性の観念がある.
  10. 10. What’s Integrable System 可積分系可積分な(微分方程式が解ける) 力学系モデルを土台にした 数学の分野現在では,無限に多くの系が あることが知られている
  11. 11. Example of Integrable System1. 単振動・単振り子2. オイラーのコマ3. 2体問題4. 戸田格子5. 量子調和振動子6. カロジェロ・サザランド模型 量子モデルは一般に難しい 対称性が微分方程式を解くための1つのポイント
  12. 12. Partition of N定義1 自然数 に対して,次の条件を満たす数列 を の分割という.(1) 各項は自然数で有限個を除いて0である.(2) 非増加列(3) 隠し文字 一般に0である項は省略して表記され,同じ数の項の数を指数表記してと表すことが多い. 自然数 に対して,分割の個数を分割数という.
  13. 13. Partition of N
  14. 14. Young Diagram and Young Tableau 定義2 の分割に対し,各項に対応する数だけ正方形を並べたものをヤング図形といい,その正方形に数を入れたものをヤング盤という.このとき,(1) 各行上から下に増加(2) 各列左から右に増加(3) が1つずつ入るが成り立つ時,標準盤といい,(2)を非減尐にし,(3)が が入るとした時,半標準盤という. また,ある分割のヤング図形を対角線に対して反転させた(転置した)図形に対応する分割を元の分割の共役な分割という.
  15. 15. Young Diagrams
  16. 16. Young Diagrams
  17. 17. Young Tableaux標準盤 1 2 3 1 2 1 3 1 3 2 2 3半標準盤 1 1 2 1 1 2
  18. 18. Symmetric Polynomial定義3 2変数以上の関数空間を考える.この空間の元(関数)で任意の変数の入れ替えによって不変なものを対称式または対称関数という.空間が多項式環であるとき,対称式のことを対称多項式という.命題4 変数有理数係数多項式環 の元のうち対称多項式全体が成す集合は部分環になる.これを 変数有理数係数対称多項式環と呼び, で表す.
  19. 19. Symmetric Polynomial2変数 の場合基本対称式冪和対称多項式その他の対称多項式その他の対称関数
  20. 20. Elementary Symmetric Polynomial and Newtonian Symmetric Polynomial 以下,特に注意書きがなければ 変数で議論をする定義5 個の変数掛けたもの全ての和をとった対称式を基本対称式と呼ぶ.また,各変数の 乗の全ての和をとった対称式をニュートン対称多項式または冪和対称多項式と呼ぶ.定理6 全ての対称多項式は基本対称式で書ける.また,冪和対称多項式でも書ける.
  21. 21. Elementary Symmetric Polynomial and Newtonian Symmetric Polynomial2変数の場合基本→冪和冪和→基本例:問題7 対称多項式を簡単に表す方法はないか.(もっといえば)対称多項式環のわかりやすい基底は何か.
  22. 22. Monomial Polynomial定義8 分割 に対して,単項式 が考えられる.この単項式の変数を入れ替えてできる単項式すべての和は対称式になり,これを単項対称式と呼ぶ.定理9 単項対称式は斉次対称多項式で対称多項式環の基底となる.故に全ての対称式は単項対称式の1次結合で書ける. 次斉次対称式を の分割に対する単項対称式で表せることを示せば証明できる.
  23. 23. Partition of N定義1 自然数 に対して,次の条件を満たす数列 を の分割という.(1) 各項は自然数で有限個を除いて0である.(2) 非増加列(3) 隠し文字 一般に0である項は省略して表記され,同じ数の項の数を指数表記してと表すことが多い. 自然数 に対して,分割の個数を分割数という.
  24. 24. Monomial Polynomial2変数の場合
  25. 25. Monomial Polynomial例変数の場合
  26. 26. Schur Polynomial シューア対称多項式は可積分系/表現論に現れる重要な対称多項式である.(その重要性については今回は触れない)定義10 分割 に対して,とすると, は対称式でシューア対称多項式と呼ぶ.
  27. 27. Schur Polynomial2変数の場合
  28. 28. Schur Polynomial and Kostka Number命題11 シューア対称多項式は斉次多項式である.シューア多項式の単項対称式による展開に現れる係数 をコストカ数と呼び,コストカ数は自然数である.さらに,シューア多項式もまた,対称多項式環の基底となる.定理12(主定理) コストカ数 は,分割 のヤング図形に対し,自然数 を 個書き入れる半標準盤の個数に等しい.
  29. 29. Schur Polynomial and Kostka Number 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 3 2
  30. 30. Schur Polynomial and Kostka Number1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 32 2 3 2 1 2 3 1 2 4 1 3 4 4 3 2
  31. 31. Review・Nの分割をヤング図形を使って表すことができる.・単項対称式やシューア対称式は対称多項式環の基底となる.・シューア対称式と単項対称式の関係を具体的な形を計算せずに調べることができる.
  32. 32. Next is…ここまでやってきたシューア対称多項式をうまく使うと,円周上のN個の自由電子の運動が解ける.シューアの自然な拡張として,ジャック対称多項式(パラメータ1個)やマクドナルド対称多項式(パラメータ2個)があって,同様に可積分なモデルと密接な関係がある.

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