Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Capitolul 3Serii numerice    Stim ce înseamn˘ suma unei mul¸imi de numere, oricât de mare,    ¸                 a         ...
30                                         CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE    Se observ˘ c˘ reciproc, dându-se un sir (sn )n∈N...
3.1. OPERATII CU SERII CONVERGENTE          ¸                                                                   31        ...
32                                         CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE                 X                 ∞      2. Seria  ...
¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII                                    33                         X               ...
34                                 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICEorice p ∈ N∗ are loc rela¸ia                         t      ...
¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII                                35   ¯ n+p       ¯   ¯ X         ¯    n+p      ...
36                                       CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE                      X                      ∞        ...
¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII                                         37                                    ...
38                                           CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE                         X                        ...
¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII                                39                                             ...
40                                     CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE                        an         bn+1         aRezolva...
¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII                                   41                                          ...
42                              CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE                                1          X1                  ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Serii numerice

6,415 views

Published on

Published in: Education
  • Be the first to comment

Serii numerice

  1. 1. Capitolul 3Serii numerice Stim ce înseamn˘ suma unei mul¸imi de numere, oricât de mare, ¸ a tdar finit˘. Ne punem problema extinderii no¸iunii de sum˘ la o mul¸ime a t a tinfinit˘ de numere. a Pe teoria seriilor se bazeaz˘ diverse metode numerice, de exemplu aconstruirea tabelelor de logaritmi, de func¸ii trigonometrice precum ¸i t scalculul unor constante ca e ¸i π. sDefini¸ia 3.1. Fie (an )n∈N∗ este un sir de numere reale. Perechea de t ¸ ¡ ¢ Xnsiruri (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ unde sn = a1 + a2 + ... + an =¸ ak se k=1nume¸te serie numeric˘ cu termenul general an . s ¡ a ¢ Dac˘ (an )n∈N∗ , (sn )n∈N∗ este o serie numeric˘ cu termenul gen- a aeral an , atunci vom nota aceast˘ pereche prin a X ∞ a1 + a2 + ... + an + ... = an . (3.1) n=1 Sirul (sn )n∈N∗ se nume¸te ¸irul sumelor par¸iale asociat ¸irului ¸ s s t s(an )n∈N∗ .Observa¸ia 3.1. Dat sirul (an )n∈N∗ avem t ¸ s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ... sn = a1 + a2 + · · · + an ... 29
  2. 2. 30 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE Se observ˘ c˘ reciproc, dându-se un sir (sn )n∈N∗ , putem forma o a a ¸ X∞serie an ale c˘ rei sume par¸iale s˘ fie termenii sirului (sn )n∈N∗ , a t a ¸ n=1luând a1 = s1 , a2 = s2 − s1 , a3 = s3 − s1 , ... an = sn − sn−1 , ... X ∞ În acest fel seria an este perfect determinat˘ de sirul sumelor a ¸ n=1 X ∞par¸iale (sn )n∈N∗ . De aceea studiul seriei t an se reduce la studiul n=1sirului (sn )n∈N∗ .¸Defini¸ia 3.2. Spunem c˘ seria (3.1) este convergent˘ dac˘ sirul t a a a ¸sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ convergent. În acest caz s = lim sn se nu- t n→∞ X∞me¸te suma seriei si se noteaz˘ s = s ¸ a an . n=1 Dac˘ sirul sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ nu are limit˘ sau are limit˘ a ¸ t a a X ∞infinit˘ spunem c˘ seria a a an este divergent˘ . a n=1Exerci¸iul 3.1. Fie an = q n−1 , n ∈ N∗ , q ∈ R, atunci seria corespun- t X∞ X ∞z˘ toare a an = q n−1 = 1 + q + q 2 + ... are o mare importan¸a t˘ n=1 n=1în practic˘ si poart˘ numele de seria geometric˘ de ra¸ie q. Se- a ¸ a a t X∞ria q n−1 este convergent˘ pentru |q| < 1 si este divergent˘ pentru a ¸ a n=1|q| ≥ 1. X n 1 − qnRezolvare. Deoarece sn = q k−1 = , rezult˘ c˘ a a k=1 1−q 1 lim sn = dac˘ |q| < 1, a n→∞ 1−qdeci spunem c˘ seria geometric˘ este convergent˘ pentru |q| < 1 ¸i a a a sdivergent˘ pentru |q| ≥ 1.¨ a
  3. 3. 3.1. OPERATII CU SERII CONVERGENTE ¸ 31 P ∞ 1Exerci¸iul 3.2. Seria t este convergent˘ si are suma egal˘ a¸ a n=1 n (n + 1)cu 1.Rezolvare. Seria are ¸irul sumelor par¸iale dat de termenul general s t P n 1 P1 P 1 n n 1 sn = = − =1− . k=1 k (k + 1) k=1 k k=1 k + 1 n+1 Deoarece lim sn = 1, rezult˘ c˘ seria dat˘ este convergent˘ ¸i a a a a s n→∞P∞ 1 = 1.¨n=1 n (n + 1) 1 P 1 ∞Exemplul 3.1. Consider˘ m sirul an = a ¸ , deci seria este , n n=1 n P1 nnumit˘ seria armonic˘ . Are sirul sumelor par¸iale sn = a a ¸ t si ¸ k=1 k 1 1 1 1deoarece s2n − sn = + + ... + > , rezult˘ c˘ (sn )n∈N∗ a a n+1 n+2 2n 2nu este sir Cauchy în R, deci nu este convergent. Ob¸inem c˘ seria ¸ t aarmonic˘ este divergent˘ .¨ a a Seriei (3.1) i se poate ata¸a o serie cu termeni pozitivi ¸i anume s sseria X ∞ |an | = |a1 | + |a2 | + ... + |an | + ... (3.2) n=1ob¸inut˘ prin înlocuirea fiec˘rui termen al seriei (3.1) prin modulul t a as˘u. Dac˘ seria (3.2) este convergent˘, atunci seria (3.1) se nume¸te a a a sabsolut convergent˘ . a3.1 Opera¸ii cu serii convergente t X ∞ X ∞Propozi¸ia 3.1. Dac˘ seriile t a an si ¸ bn sunt convergente si au ¸ n=1 n=1suma a si b, atunci: ¸ X∞ 1. Suma (an + bn ) este convergent˘ si are suma a + b, a¸ n=1 X ∞ X ∞ X ∞ (an + bn ) = an + bn . n=1 n=1 n=1
  4. 4. 32 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ 2. Seria αan este convergent˘ , oricare ar fi α ∈ R, si are suma a ¸ n=1αa, X ∞ X ∞ αan = α an . n=1 n=1 X ∞ 3. În particular, seria (−an ) este convergent˘ si are suma −a, a¸ n=1 X ∞ X ∞ (−an ) = − an . n=1 n=13.2 Propriet˘¸i generale ale seriilor atPropozi¸ia 3.2. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r finit de tremeni t a a aai seriei se ob¸ine o nou˘ serie care are aceea¸i natur˘ cu seria ini¸ial˘ . t a s a t aÎn caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma seriei t˘ tini¸iale. Dac˘ se schimb˘ ordinea unui num˘ r infinit de termeni afir- t a a ama¸ia precedent˘ nu este, în general, valabil˘ . t a aPropozi¸ia 3.3. Dac˘ ad˘ ug˘ m sau suprim˘ m un num˘ r finit de ter- t a a a a ameni ai unei serii date, atunci seria dat˘ area aceea¸i natur˘ cu seria a s aini¸ial˘ . În caz de convergen¸a, suma seriei ob¸inute coincide cu suma t a t˘ tseriei date la care se adun˘ sau se scade suma termenilor ad˘ uga¸i a a tsau suprima¸i. t X ∞Propozi¸ia 3.4. Fie t an o serie, (sn )n∈N∗ sirul sumelor par¸iale. ¸ t n=1Aranj˘ m to¸i termenii seriei în grupe, fiecare grup˘ fiind format˘ a t a adintr-un num˘ r finit de termeni consecutivi. Efectu˘ m în fiecare grup˘ a a a X∞suma termenilor. Consider˘ m seria a bn a acestor sume. Dac˘ a n=1not˘ m cu (σ n )n∈N∗ sumele par¸iale ale acestei serii, atunci sirul (σ n )n∈N∗ a t ¸este sub¸ir al sirului (sn )n∈N∗ . Deducem de aici: s ¸ X∞ X∞ 1. Dac˘ seria a an este convergent˘ , seria a bn este convergent˘ a n=1 n=1si are aceea¸i sum˘ .¸ s a
  5. 5. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 33 X ∞ 2. Dac˘ seria a an este divergent˘ dar are suma ∞ sau −∞, a n=1 X ∞atunci seria bn este divergent˘ si are, respectiv, tot suma ∞ sau a ¸ n=1−∞. X ∞ 3. Dac˘ seria a an este divergent˘ dar nu are sum˘ , s-ar putea a a n=1 X ∞ca seria bn s˘ fie convergent˘ . a a n=1 X ∞Exemplul 3.2. Fie seria an = 1 − 1 + 1 − 1 + .... S˘ consider˘ m a a n=1 X ∞seria bn = (1 − 1) + (1 − 1) + ... = 0 + 0 + .... Aceast˘ serie a n=1convergent˘ si are suma 0. a¸3.3 Criterii de convergen¸a pentru serii t˘ Studiul unei serii comport˘, ca ¸i pentru ¸iruri, dou˘ probleme: a s s a 1. Studiul convergen¸ei. t 2. În cazul în care seria este converge, aflarea sumei seriei. De cele mai multe ori ne mul¸umim numai cu rezolvarea primei tprobleme, deoarece problema a doua este greu sau imposibil de rezol-vat, în majoritatea exemplelor concrete. O dat˘ stabilit faptul c˘ o a aserie este convergent˘, adunând un num˘r destul de mare de termeni a aai s˘i ob¸inem un num˘r oricât de apropiat de suma seriei, num˘r care a t a aaproximeaz˘ suma seriei cu o eroare oricât de mic˘. a a În cele ce urmeaz˘ vor fi date criterii suficiente (cu excep¸ia cri- a tteriului general al lui Cauchy, care este necesar ¸i suficient) pentru sstabilirea convergen¸ei sau divergen¸ei seriilor. t tTeorema 3.1. (Criteriul general al lui Cauchy pentru serii) X ∞Seria an este convergent˘ dac˘ si numai dac˘ pentru orice ε > 0 a a¸ a n=1exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît pentru orice n ≥ nε si pentru pentru a ¸
  6. 6. 34 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICEorice p ∈ N∗ are loc rela¸ia t ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ ak ¯ < ε. ¯ ¯ k=n+1Demonstra¸ie. Aplic˘m ¸irului sumelor par¸iale (sn )n∈N∗ criteriul t a s tgeneral al lui Cauchy de la ¸iruri, teorema 2.7. Rezult˘ c˘ ∀ε > 0 s a aexist˘ un nε ∈ N astfel încât pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ are loc a ∗ s n+p Xinegalitatea |sn+p − sn | < ε. G˘sim c˘ sn+p − sn = a a ak din care k=n+1rezult˘ enun¸ul de mai sus.¥ a tObserva¸ia 3.2. Pentru p = 1 rezult˘ |an+1 | < ε pentru orice n ≥ nε , t adac˘ seria este convergent˘ . Ob¸inem urm˘ torul rezultat: a a t aTeorema 3.2. O condi¸ie necesar˘ ca seria (3.1) s˘ fie convergent˘ t a a aeste ca sirul format cu termenii seriei s˘ fie convergent c˘ tre zero. ¸ a a X∞Dac˘ an nu converge la zero, seria a an este divergent˘ . a n=1 P ∞ 1Exemplul 3.3. Seria armonic˘ a este divergent˘ , de¸i sirul ter- a s ¸ n=1 n 1menilor s˘ i an = a este convergent c˘ tre zero.¨ a n P ∞ 1Exemplul 3.4. Seria este convergent˘ si sirul terme- a ¸ ¸ n=1 n (n + 1) 1nilor s˘ i an = a este convergent c˘ tre zero.¨ a n (n + 1) ½ P∞ n 1 dac˘ n este par aExemplul 3.5. Seria (−1) are an = . n=1 −1 dac˘ n este impar aObserv˘ m c˘ an 9 0, deci seria este divergent˘ . Într-adev˘ r sirul a a a a ¸sumelor par¸iale este ½t 0 dac˘ n par a sn = si acesta este un sir divergent.¨ ¸ ¸ −1 dac˘ n este impar aTeorema 3.3. Orice serie absolut convergent˘ este convergent˘ . a aDemonstra¸ie. Deoarece seria (3.1) este absolut convergent˘ rezult˘ t a ac˘ seria (3.2) este convergent˘ ¸i aplicând criteriul general de conver- a asgen¸a a lui Cauchy pentru serii, teorema 3.2, rezult˘ c˘ pentru orice t˘ a aε > 0 exist˘ un nε ∈ N∗ astfel încît are loc rela¸ia a t
  7. 7. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 35 ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ n+p X ¯ ¯ ¯ |an |¯ = |an | < ε pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ , s ¯ ¯ k=n+1 k=n+1 ¯ n+p ¯ ¯ X ¯ n+p X ¯ ¯deci pentru seria (3.1) avem |sn+p − sn | = ¯ an ¯ ≤ |an | < ε ¯ ¯ k=n+1 k=n+1pentru orice n ≥ nε ¸i p ∈ N∗ , deci seria 3.1) este convergent˘.¥ s a Reciproca acestei teoreme nu este adev˘rat˘ în general. a a3.3.1 Criterii de convergen¸a pentru serii cu ter- t˘ meni pozitivi X ∞Defini¸ia 3.3. O serie de numere reale t an se nume¸te serie cu s n=1termeni pozitivi dac˘ exist˘ un rang începând de la care to¸i termenii a a t ∗seriei sunt strict pozitivi, adic˘ ∃n1 ∈ N astfel încât ∀n ≥ n1 : an ≥ 0. aObserva¸ia 3.3. Deoarece obiectul studiului la seriile cu termeni po- tzitivi îl constituie natura acestora si deoarece dac˘ suprim˘ m un num˘ r ¸ a a afinit de termeni ai unei serii natura ei nu se modific˘ (numai suma se amodific˘ , în caz de convergen¸a), vom considera numai serii în care a t˘to¸i termenii sunt pozitivi. tObserva¸ia 3.4. Criteriile pe care le vom enun¸a pentru serii cu ter- t tmeni pozitivi constituie criterii de absolut convergen¸a pentru serii cu t˘termeni oarecare.Teorema 3.4. (Criteriul monotoniei)O serie cu termeni pozitivieste convergent˘ dac˘ si numai dac˘ sirul sumelor par¸iale este m˘ rgi- a a¸ a¸ t anit.Demonstra¸ie. Consider˘m seria (3.1) cu an ≥ 0, deci ¸irul sumelor t a spar¸iale este cresc˘tor: sn+1 = sn + an+1 , deci sn+1 ≥ sn ¸i aplic˘m t a s ateorema de convergen¸a a ¸irurilor monotone.¥ t˘ sObserva¸ia 3.5. Dac˘ sirul sumelor par¸iale asociat unei serii cu t a ¸ ttermeni pozitivi este nem˘ rginit, atunci seria este divergent˘ . a a X ∞Teorema 3.5. (Criteriul compara¸iei) Consider˘ m seriile t a an n=1 X ∞si¸ bn cu 0 ≤ an ≤ bn ∀n ∈ N∗ . n=1
  8. 8. 36 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ X ∞ a) Dac˘ seria a bn este convergent˘ , atunci a an este conver- n=1 n=1gent˘ . a X ∞ X ∞ b) Dac˘ seria a an este divergent˘ , atunci a bn este divergent˘ . a n=1 n=1Demonstra¸ie. a) Fie (sn ) ¸i (tn ) ¸irul sumelor par¸iale ale seriilor t s s tX∞ X ∞ an , respectiv bn . Deoarece an ≤ bn rezult˘ c˘ a an=1 n=1sn = a1 + a2 + ... + an ≤ b1 + b2 + ... + bn = tn , ∀n ∈ N∗ . X∞ def Conform ipotezei seria bn este convergent˘ → (tn )n∈N∗ conver- a n=1 X ∞gent ⇔ (tn )n∈N∗ este m˘rginit ⇒ (sn )n∈N∗ este m˘rginit ¸i cum a a s an n=1 X ∞este o serie cu termeni pozitivi, rezult˘, conform teoremei 3.4, c˘ a a an n=1este convergent˘. a X ∞ b) Dac˘ seria a bn ar fi convergent˘, conform punctului a) ar a n=1 X ∞rezulta c˘ a an este convergent˘, ceea ce este imposibil.¥ a n=1 X ∞ 1Exemplul 3.6. Seria √ este convergent˘ deoarece a n=1 2n n + 1 1 1 √ < n , ∀n ≥ 1, 2n n+1 2 X 1 ∞iar seria este convergent˘ (este seria geometric˘ cu ra¸ia q = a a t n=1 2n12 < 1 Exerci¸iul 3.1).¨ t X ∞ 1Exemplul 3.7. Seria √ este divergent˘ deoarece a n=1 n+1 1 1 <√ , ∀n ≥ 1, n n+1 X1 ∞iar seria este divergent˘ (Exemplul 3.1 ).¨ a n=1 n
  9. 9. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 37 X ∞ X ∞Teorema 3.6. Consider˘ m seriile a an si ¸ bn cu termeni pozitivi n=1 n=1 ansi presupunem c˘ exist˘ lim¸ a a = l. n→∞ bn X ∞ X ∞ 1. Dac˘ l = 0 si seria a ¸ bn este convergent˘ , atunci seria a an n=1 n=1este convergent˘ . a X ∞ X ∞ 2. Dac˘ l = ∞ si seria a ¸ bn este divergent˘ , atunci seria a an n=1 n=1este divergent˘ . a 3. Dac˘ 0 < l < ∞ atunci cele dou˘ serii au aceea¸i natur˘ . a a s a X ∞ 1Exemplul 3.8. 1. Seria sin este convergent˘ deoarece a n=1 n2 1 sin 2 X∞ 1 lim n = 1, iar seria este convergent˘ (Exer- a n→∞ 1 n(n + 1) n=1 n(n + 1)ci¸iul 3.2). t 1 X∞ √ 1 n+1 2. Seria √ este divergent˘ deoarece lim a =∞ n+1 n→∞ 1 n=1 n X1 ∞iar seria este divergent˘ . a n=1 n 1 X 1 ∞ 3. Seria este convergent˘ deoarece lim n! = 0 si seria a ¸ n! n→∞ 1 n=1 n2X 1 ∞ este convergent˘ .¨ an=1 n2 X ∞ 1Exerci¸iul 3.3. S˘ se studieze natura seriei t a √ . n=2 nnn 1 1 √Rezolvare. Fie an = √ ¸i bn = . Deoarece lim n n = 1, Ex- s n n n n n→∞ an X1 ∞erci¸iul 2.3, rezult˘ lim t a = 1. Cum seria este divergent˘, a n→∞ bn n n=2
  10. 10. 38 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE X ∞ 1rezult˘ c˘ ¸i seria a as √ este divergent˘.¨ a n=2 nnnTeorema 3.7. (Criteriul de condensare a lui Cauchy) Dac˘ aX∞ an este o serie cu termeni pozitivi pentru care sirul termenilor ¸n=1 X ∞(an )n∈N∗ este monoton descresc˘ tor, atunci seria a an are aceea¸i s n=1 X ∞natur˘ cu seria a 2n a2n . n=1Demonstra¸ie. Fie k ∈ N∗ cu proprietatea 2k−1 ≤ n < 2k . Folosim tfaptul c˘ am ales n < 2k . Deoarece (an ) este un ¸ir de numere pozitive a smonoton descresc˘tor, avem: a sn = a1 + a2 + ... + an ≤ a1 + (a2 + a3 ) + ... + (a2k−1 + ... + a2k ) ≤ ≤ a1 + 2a2 + ... + 2k−1 a2k−1 ≤ a1 + σ 2k−1 , P k nunde am notat σ 2n = 2 a2k . k=1 P ∞ Dac˘ seria a 2k a2k este convergent˘ ¸irul (σ 2n ) este convergent, as k=1deci ¸i m˘rginit ¸i deoarece 0 ≤ sn ≤ a1 + σ 2k−1 rezult˘ ¸irul (sn ) ¸i s a s as s X ∞deoarece este monoton cresc˘tor rezult˘ c˘ ¸i seria a a as an este conver- n=1gent˘. a X ∞ Presupunem c˘ seria a an este convergent˘. Dar n ≥ 2k−1 , deci a n=1vom aveasn = a1 +a2 +...+an ≥ (a1 + a2 )+(a3 + a4 )+...+(a2k−2 +1 + ... + a2k−1 ) ≥ ≥ a2 + 2a4 + ... + 2k−2 a2k−1 ≥ 1 σ 2k−1 . 2 X ∞ P k ∞ Dac˘ seria a an este este convergent˘, rezult˘ c˘ seria a a a 2 a2k n=1 k=1este convergent˘.¥ a X 1 ∞Exerci¸iul 3.4. (Seria armonic˘ generalizat˘ ) Seria t a a , nu- n=1 nαmit˘ si serie Riemann sau seria armonic˘ generalizat˘ , este conver- a ¸ a agent˘ pentru α > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1. a ¸ a
  11. 11. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 39 X 1 ∞Rezolvare. Aplic˘m criteriul condens˘rii seriei a a , α > 0. Pentru n=1 nαα > 0, termenii seriei descresc ¸i se poate aplica criteriul de condensare s X 1 ∞a lui Cauchy. Rezult˘ c˘ seria a a are aceea¸i natur˘ cu seria s a n=1 nα X∞ 1 X µ 1 ¶n ∞ X µ 1 ¶n ∞ n 2 nα = . Seria este o serie geo- n=1 2 n=1 2α−1 n=1 2α−1 1metric˘ cu ra¸ia α−1 , care este seria geometric˘ convergent˘ dac˘ ¸i a t a a as 2 1numai dac˘ α−1 < 1 ⇔ α > 1. a 2 1 Dac˘ α ≥ 1, atunci α−1 ≥ 1 ¸i seria geometric˘ este divergent˘. a s a a 2 În particular, pentru α = 1 ob¸inem o nou˘ demonstra¸ie a faptului t a t X1∞c˘ seria armonic˘ a a este divergent˘.H a n=1 n X ∞ 1Exerci¸iul 3.5. Seria t , a > 1 este convergent˘ pentru a n=2 n (loga n)αα > 1 si divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1. ¸ aRezolvare. Conform criteriului condens˘rii aceast˘ serie are aceea¸i a a s X∞ 1 X ∞ 1 1 X 1 ∞natur˘ cu seria a 2n n n )α = α = n=2 2 (loga 2 n=2 (n loga 2) (loga 2)α n=2 nαcare este convergent˘ pentru α > 1 ¸i divergent˘ pentru 0 ≤ α ≤ 1.H a s aTeorema 3.8. (forma practic˘ a criteriului raportului a lui - a X ∞D’Alembert) Fie seria an cu termeni pozitivi si presupunem c˘ ¸ a n=1 an+1exist˘ lim a = l. Atunci: n→∞ an X ∞ a) dac˘ l < 1, seria a an este convergent˘ ; a n=1 X ∞ b) dac˘ l > 1, seria a an este divergent˘ . a n=1 c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X an ∞Exerci¸iul 3.6. S˘ se studieze natura seriei t a , a > 0. n=1 n!
  12. 12. 40 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE an bn+1 aRezolvare. Fie bn = . Deoarece lim = lim = 0 < 1, n! n→∞ bn n→∞ n + 1seria este convergent˘. aExemplul 3.9. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul a a a al = 1 nu se poate preciza natura seriei. 1 an+1 n X1 ∞ Dac˘ an = , a = → 1 si seria corespunz˘ toare ¸ a n an n+1 n=1 neste divergent˘ , exemplul 3.1. a X∞ 1 an+1 n În cazul seriei , = → 1 si seria este con- ¸ n=1 n(n + 1) an n+2vergent˘ , exemplul 3.2.¨ aTeorema 3.9. (Forma practic˘ a criteriului r˘ d˘ cinii) Fie seria a a aX∞ √ an , ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n an = l. Atunci: ¸ n→∞n=1 X ∞ a) dac˘ l < 1, seria a an este convergent˘ ; a n=1 X ∞ b) dac˘ l > 1, seria a an este divergent˘ ; a n=1 c) dac˘ l = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X ∞ n2Exerci¸iul 3.7. S˘ se studieze natura seriei t a ¡ ¢ . 1 n n=1 3+ n √ nRezolvare. Deoarece lim n2 = 1 rezult˘ a s n→∞ √n n2 n2 1 lim n ¡ 1 ¢n = lim 1 = < 1, deci seria este convergent˘. a n→∞ 3+ n n→∞ 3 + n 3Exemplul 3.10. Observ˘ m din urm˘ toarele dou˘ exemple c˘ în cazul a a a al = 1 nu se poate preciza natura seriei. 1 p 1 X1 ∞ Dac˘ an = , a n |an | = √ → 1 si seria corespunz˘ toare ¸ a n n n n=1 neste divergent˘ , exemplul 3.1. a X∞ 1 p 1 În cazul seriei , n |an | = p → 1 si seria ¸ n=1 n(n + 1) n n(n + 1)este convergent˘ , exemplul 3.2.¨ a
  13. 13. ¸˘3.3. CRITERII DE CONVERGENTA PENTRU SERII 41 X∞Teorema 3.10. (Criteriul Raabe-Duhamel) Fie seria an , an 6= µ ¶ n=1 an0, ∀n ∈ N∗ , serie cu termeni pozitivi si lim n ¸ − 1 = r. Atunci n→∞ an+1 a) dac˘ r > 1, seria este convergent˘ ; a a b) dac˘ r < 1, seria este divergent˘ ; a a c) dac˘ r = 1 nu se poate preciza natura seriei. a X ∞ 1 an+1 nExemplul 3.11. În cazul seriei , = → 1, n=1 n(n + 1) an n+2aplic˘ m criteriul Raabe-Duhamel: a µ ¶ µ ¶ an n+2 lim n − 1 = lim n − 1 = 2 si reg˘ sim rezultatul ¸ a n→∞ an+1 n→∞ nstiut c˘ seria este convergent˘ .¨¸ a a X 1 ∞Exemplul 3.12. Seriei nici criteriul raportului si nici criteriul ¸ n=1 n2r˘ d˘ cinii nu ne dau informa¸ii µ a a t asupra convergen¸ei seriei. Aplic˘ m ¶ t µ a¶ an (n + 1)2criteriul Raabe-Duhamel: lim n − 1 = lim n −1 = n→∞ an+1 n→∞ n22 si deci seria este convergent˘ .¨ ¸ a X ∞Exerci¸iul 3.8. Fie seria t aln n , a > 0. S˘ se studieze natura seriei. a n=1 an+1Rezolvare. Not˘m an = aln n ¸i aplic˘m criteriul raportului a s a = analn(n+1) n+1 an+1 n+1 ln n = aln(n+1)−ln n = aln n , lim = lim aln n = 1 deci nu a n→∞ an n→∞putem determina natura seriei. Aplic˘m criteriul ¶ aµ Raabe-Duhamel. an ³ n ´ n aln n+1 − 1 ln n+1 n lim n − 1 = lim n a − 1 = lim n n ln n+1 = n→∞ an+1 n→∞ n→∞ ln n+1 n aln n+1 − 1 ¡ n ¢n lim n ln n+1 = − ln an→∞ ln n+1 X∞ −1 Dac˘ ln a < 1 ⇒ a < e seria a aln n este convergent˘. a n=1 X ∞ Dac˘ ln a > 1 ⇒ a > e−1 seria a aln n este divergent˘. a n=1
  14. 14. 42 CAPITOLUL 3. SERII NUMERICE 1 X1 ∞ Pentru a = e−1 avem an = ¸i seria s este divergent˘. a n n=1 n

×