03 calculo diferencial-parte1

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Campos, escalares, vetoriais,Derivadas direcionais, Derivadas parciais, Derivadas de ordem superior, Teorema, Schwarz, Classe Ck (A), Diferenciabilidade., Plano tangente, Diferencial, Gradiente, matemática, cálculo, integrais, análise matemática.

Se quiser a fonte em LaTeX ofereço com todo o gosto: sandra.gaspar.martins@gmail.com

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03 calculo diferencial-parte1

  1. 1. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente C´alculo Diferencial An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 2013/14 - Semestre de Ver˜ao 1/49
  2. 2. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Derivadas segundo um vetor Defini¸c˜ao Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ int(Df ) ent˜ao fv (a) = lim λ→0 f (a + λv) − f (a) λ representa a derivada de f segundo o vetor v no ponto a (no caso do limite existir). Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se derivada direcional de f , segundo o vetor v no ponto a. 2/49
  3. 3. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Interpreta¸c˜oes: fv (a) (com v = 1) indica o declive da recta tangente ao gr´afico de f no ponto a que tem a dire¸c˜ao do vetor v. fv (a) (com v = 1) indica a taxa de varia¸c˜ao, ou seja, a quantidade de varia¸c˜ao por unidade na dire¸c˜ao de v, de f no ponto a. 3/49
  4. 4. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente 4/49
  5. 5. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (a, b) segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)? 5/49
  6. 6. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1) segundo o vetor (1, 0)? 6/49
  7. 7. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f no ponto (1, 1) segundo o vetor (0, 1)? 7/49
  8. 8. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (−1, 1) e (1, 1)segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)? 8/49
  9. 9. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f nos pontos (10, −5) e (0, 0) segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)? 9/49
  10. 10. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Qual o sinal da derivada direcional de f em (10, −5) e (0, 5) segundo o vetor (1, 0)? E (0, 1)? 10/49
  11. 11. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Calcule: 1 fv (a) para f (x, y) = x2y, v = (2, 1) e a = (1, 0). 2 a derivada direcional de f (x, y) = x2 sin(2y),segundo o vetor v = (3, −4) no ponto a = (1, π 2 ). 3 a derivada de f (x, y) = xy x+y se x + y = 0 x se x + y = 0 segundo os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1) no ponto a = (0, 0). 4 a derivada direcional de f (x, y) = 2xy x2+y2 se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) segundo o vetor v = (1, 1) no ponto a = (0, 0). 5 a derivada direcional de f (x, y) = y2 se x = 0 y2 x se x = 0 segundo os vetores v1 = (0, 2) e v2 = (1, 2) em a = (0, 0). 11/49
  12. 12. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente 1 As figuras apresentam as linhas de n´ıvel de 3 fun¸c˜oes. Qual o sinal das derivadas direcionais das fun¸c˜oes segundo a dire¸c˜ao do vetor v = (1, 2) e w = (2, 1) nos pontos marcados? 12/49
  13. 13. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Derivadas segundo um vetor para fun¸c˜oes vetoriais Defini¸c˜ao Seja f : Df ⊂ Rn −→ Rm x −→ y = f (x) = (f1(x), ..., fm(x)) e a ∈ int(Df ) ent˜ao fv (a) = f1v (a), ..., fmv (a) representa a derivada de f segundo o vetor v no ponto a (no caso dos limites existirem). Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se derivada direcional de f , segundo o vetor v no ponto a. 13/49
  14. 14. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios Calcule 1 fv (a) para f (x, y, z) = (x − z, 2y) com v = (1, 2, 0) e a = (1, 1, 1). 14/49
  15. 15. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Defini¸c˜ao `As derivadas direcionais segundo os vetores da base can´onica de Rn, chamam-se derivadas parciais. No caso de n=2... os vetores da base can´onica s˜ao (1, 0) e (0, 1)... Chama-se derivada parcial em ordem a x a ∂f ∂x (a, b) = lim λ→0 f (a + λ, b) − f (a, b) λ (´e a derivada direcional segundo o vetor (1,0)). Chama-se derivada parcial em ordem a y a ∂f ∂y (a, b) = lim λ→0 f (a, b + λ) − f (a, b) λ (´e a derivada direcional segundo o vetor (0,1)). 15/49
  16. 16. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Notas: Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, na vizinhan¸ca (bola) desse ponto a fun¸c˜ao est´a definida por: apenas uma express˜ao: Regras de deriva¸c˜ao. mais do que uma express˜ao: Defini¸c˜ao de derivada parcial. Interpreta¸c˜oes: ∂f ∂x (a, b) indica o declive da recta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, b) que ´e paralela ao eixo dos xx. ∂f ∂x (a, b) indica a taxa de varia¸c˜ao, ou seja, a quantidade de varia¸c˜ao por unidade de x, de f no ponto (a, b). 16/49
  17. 17. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Sejam u = f (x), v = g(x), k ∈ R. k = 0 (sin(u)) = cos(u)u x = 1 (cos(u)) = − sin(u)u (u + v) = u + v (tan(u)) = sec2(u)u (ku) = ku (cot(u)) = − csc2(u)u (u.v) = u v + uv (sec(u)) = sec(u) tan(u)u u v = u v − uv v2 (arcsin(u)) = u √ 1 − u2 (uα) = αuα−1u , α ∈ Q {0} (arccos(u)) = − u √ 1 − u2 √ u = u 2 √ u (arctan(u)) = u 1 + u2 (ln(u)) = u u (arccot(u)) = − u 1 + u2 (eu) = euu (|u|) = |u| u u = u |u| u (au) = au ln(a)u , a ∈ R {1} (cosh(u)) = sinh(u)u (uv ) = uv ln(u)v + vuv−1u (sinh(u)) = cosh(u)u 17/49
  18. 18. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios Calcule ∂f ∂x (1, 2) e ∂f ∂y (1, 2) onde f (x, y) = x2y + 2exy . as derivadas parciais de f (x, y, z) = ex z + x sin(zy) + zx. ∂f ∂x (1, 1), ∂f ∂y (1, 1), ∂f ∂x (0, 0) e ∂f ∂y (0, 0) onde f (x, y) = x3+y3 x2+y2 se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde: f (x, y) = 4 x2+y2 se x2 + y2 > 4 ey−2 se x2 + y2 ≤ 4 18/49
  19. 19. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Derivadas de ordem superior `a primeira Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem... Derivadas quadradas: ∂2f ∂x2 = ∂ ∂x ∂f ∂x ∂2f ∂y2 = ∂ ∂y ∂f ∂y Derivadas cruzadas: ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂y ∂f ∂x ∂2f ∂y∂x = ∂ ∂x ∂f ∂y 19/49
  20. 20. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios 1 Calcule as derivadas at´e `a 3a ordem das fun¸c˜oes: 1 f (x, y) = 5xy3 + 2x2 y2 2 f (x, y) = sin(x)y5 2 Estude se para f (x, y) = 16 − x2 − y2 e g(x, y) = x ln(x) + yex se tem que ∂f ∂x (1, 1) 2 − ∂2g ∂x∂y (1, 14) + ∂g ∂x (1, 1) = 0. 3 Verifique que para g(x, y) = xye x y se tem que x ∂3g ∂x3 + y ∂3g ∂y∂x2 = 0 20/49
  21. 21. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Teorema de Schwarz: Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal que ∂f ∂x , ∂f ∂y e ∂2f ∂x∂y existem numa vizinhan¸ca (bola) de (a, b); ∂2f ∂x∂y ´e cont´ınua em (a, b). Ent˜ao ∂2f ∂y∂x (a, b) = ∂2f ∂x∂y (a, b). 21/49
  22. 22. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Defini¸c˜ao Seja A um conjunto aberto contido no dom´ınio de f . Uma fun¸c˜ao f diz-se de classe Ck (k ∈ N0) em A se e s´o se f admite derivadas at´e `a ordem k (inclusive) em A cont´ınuas e escreve-se f ∈ Ck (A) 22/49
  23. 23. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Fun¸c˜ao (definida em R2 ) diferenci´avel Defini¸c˜ao (diferenci´avel) Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf . Diz-se que f ´e diferenci´avel em (a, b) se existem as suas derivadas parciais (em x e em y) neste ponto e se lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂f ∂x (a, b)h − ∂f ∂y (a, b)k √ h2 + k2 = 0 23/49
  24. 24. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Proposi¸c˜ao: Se f e g s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis ent˜ao f + g, f − g, f × g, f g , (g(x) = 0, ∀x) e f ◦ g s˜ao diferenci´aveis. Exemplos de fun¸c˜oes DIFERENCI´AVEIS no seu dom. N˜AO DIFERENCI´AVEIS • polin´omios • m´odulo (em 0) • fun¸c. alg´ebricas • mantissa (n˜ao ´e cont´ınua) • fun¸c. trigonom´etricas • por vezes as “uni˜oes” nas • fun¸c. trigonom´etricas inversas fun¸c˜oes definidas por ramos • fun¸c. logar´ıtmicas e exponenc. ... ... 24/49
  25. 25. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸c˜oes nos pontos indicados: 1 f (x, y) = x2 + y2 no ponto (1, 2). 2 Seja f (x, y) = √ xy se xy > 0 0 se xy ≤ 0 no ponto (0, 0). 3 Seja f (x, y) = x3 x2+y2 se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) no ponto (0, 0). 25/49
  26. 26. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Fun¸c˜ao escalar diferenci´avel Defini¸c˜ao (diferenci´avel) Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Diz-se que f ´e diferenci´avel em a se existem as suas derivadas parciais neste ponto e se lim (h1,...,hn)→(0,...,0) f (a + h) − f (a) − ∂f ∂x1 (a)h1 − ... − ∂f ∂xn (a)hn h2 1 + ... + h2 n = 0 26/49
  27. 27. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Propriedades das fun¸c˜oes diferenci´aveis Seja f : D ⊂ Rn −→ R, a ∈ intDf . f diferenci´avel em a ⇒ f cont´ınua em a. f tem n − 1 der. parc. cont. em a existem todas as der. parc. na B a ⇒ f dif. em a. f ∈ C1(a) ⇒ f ´e diferenci´avel em a. f ´e diferenci´avel em a ⇒ f admite derivada segundo qualquer dire¸c˜ao em a. ou seja, f n˜ao ´e cont´ınua em a ⇒ f n ´e diferenci´avel em a. f tem n − 1 der. parc. cont. em a existem todas as der. parc. em a ⇒ f dif. em a. f ∈ C1(a) ⇒ f ´e diferenci´avel em a. f n˜ao admite derivada segundo alguma dire¸c˜ao em a ⇒ f n˜ao ´e diferenci´avel em a. 27/49
  28. 28. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸c˜oes nos pontos indicados: 1 Seja f (x, y) = 2x−3y x+y se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) no ponto (0, 0). 2 Seja f (x, y) = x4 x2+y2 se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) no ponto (0, 0). 3 Seja f (x, y) = y3 x2+y2 se (x, y) = (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) no ponto (0, 0). 28/49
  29. 29. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Plano tangente 29/49
  30. 30. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Vamos procurar determinar o plano tangente ao gr´afico de f : R2 −→ R no ponto (a, b). Equa¸c˜ao do plano que passa no ponto (a, b, c): A(x − a) + B(y − b) + C(z − c) = 0 Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ou seja, A(x − a) + B(y − b) + C(z − f (a, b)) = 0 z − f (a, b) = − A C (x − a) − B C (y − b) chamando λ1 = −A C e λ2 = −B C temos z − f (a, b) = λ1(x − a) + λ2(y − b) 30/49
  31. 31. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Quando “cortamos” em y = b obtemos z − f (a, b) = λ1(x − a) que ´e a recta tangente ao gr´afico de f que ´e paralela ao eixo dos xx’s, portanto o seu declive ´e ∂f ∂x (a, b) = λ1. Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemos z − f (a, b) = λ2(y − b) que ´e a recta tangente ao gr´afico de f que ´e paralela ao eixo dos yy’s, portanto o seu declive ´e ∂f ∂y (a, b) = λ2. Assim, a equa¸c˜ao ´e z − f (a, b) = ∂f ∂x (a, b)(x − a) + ∂f ∂y (a, b)(y − b) 31/49
  32. 32. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Resumindo: A equa¸c˜ao do plano tangente ao gr´afico de f no ponto (a, b, f (a, b)) ´e: z − f (a, b) = ∂f ∂x (a, b)(x − a) + ∂f ∂y (a, b)(y − b) Exerc´ıcio: Determine o plano tangente: 1 ao gr´afico da fun¸c˜ao f (x, y) = 2x2 + y2 em P=(1,1,3). 2 `a superf´ıcie de equa¸c˜ao z − 2x2 − 4y2 = 0 em P=(1,2,18). 3 `a superf´ıcie de equa¸c˜ao z = 1 − x2 em P=(0,0,1). (ver fig.) 32/49
  33. 33. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Nota: Repare que se f ´e diferenci´avel no ponto (a, b) lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂f ∂x (a, b)h − ∂f ∂y (a, b)k √ h2 + k2 = 0 como lim(h,k)→(0,0) √ h2 + k2 = 0 tem-se que (ainda com “mais for¸ca”) lim (h,k)→(0,0) f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂f ∂x (a, b)h − ∂f ∂y (a, b)k = 0 donde, para h e k pequenos f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂f ∂x (a, b)h − ∂f ∂y (a, b)k ≈ 0 ou seja: f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + ∂f ∂x (a, b)h + ∂f ∂y (a, b)k 33/49
  34. 34. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + ∂f ∂x (a, b)h + ∂f ∂y (a, b)k fazendo x = a + h e y = b + k tem-se, para (x, y) pr´oximos de (a, b), que f (x, y) ≈ f (a, b) + ∂f ∂x (a, b)(x − a) + ∂f ∂y (a, b)(y − b) Ou seja, f (x, y) ´e aproximadamente igual ao plano tangente para (x, y) pr´oximos de (a, b). Portanto podemos usar o plano tangente como uma aproxima¸c˜ao (por um polin´omio de grau 1) ao gr´afico de f numa vizinhan¸ca (bola) do ponto. 34/49
  35. 35. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Diferencial Se f ´e diferenci´avel em (a, b) f (x, y) − f (a, b) ≈ ∂f ∂x (a, b)(x − a) + ∂f ∂y (a, b)(y − b) ∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b) para x “pr´oximo” de a e y “pr´oximo” de b. 35/49
  36. 36. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente 36/49
  37. 37. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios 1 Calcule um valor aproximado de e1.1×0.9. 2 Calcule um valor aproximado de 9 × (1.95)2 + (8.01)2. 3 Seja g ∈ C1(R2) tal que x=2.00 x=2.01 y=3.00 7.56 7.42 y=3.02 7.61 Calcule o valor em falta. (Sugest˜ao: use estimativas para ∂g ∂x (2, 3)) 37/49
  38. 38. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente O gradiente Defini¸c˜ao Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente de f no ponto a por: f (a) = ∂f ∂x1 (a), · · · , ∂f ∂xn (a) Exerc´ıcio: Calcule f (1, 2) onde f (x, y) = y ln(x) + xy2. http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.html 38/49
  39. 39. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Aplica¸c˜ao do gradiente: derivada segundo a dire¸c˜ao de v Proposi¸c˜ao Se f : Df ⊂ Rn −→ R ´e diferenci´avel em a ∈ int(D) e v ´e um vetor de Rn ent˜ao a derivada de f segundo a dire¸c˜ao de v ´e dada por fv (a) = f (a)|v onde | significa produto interno. 39/49
  40. 40. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios: Calcule: 1 A derivada de f (x, y) = x2e−2y no ponto A = (2, 0), segundo o vetor v = (1, 2). 2 A derivada direcional de f (x, y) = x3 + xy segundo o vetor v = (1, 3) no ponto (1, 2). 3 A derivada de f (x, y) = 3x2 − 2y2 no ponto A = (−2, 1), na dire¸c˜ao de P = −3 4, 0 para Q = (0, 1). 4 Determine a taxa de varia¸c˜ao de f (x, y) = 2x2 + 3xy − 2y2 no ponto (1, −2) na dire¸c˜ao do ponto dado `a origem. 40/49
  41. 41. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Nota: Se o vetor v ´e unit´ario (tem norma 1), a derivada direcional de f no ponto a segundo a dire¸c˜ao do vetor u: fu(a) = f (a)|u = f (a) u cos(θ) = f (a) cos(θ) onde θ ´e o menor ˆangulo formado pelos vetores f (a) e u. 41/49
  42. 42. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Ent˜ao: fu(a) ´e m´axima quando θ = 0, ou seja, quando f (a) e v s˜ao dois vetores com a mesma dire¸c˜ao e sentido, e o seu valor ´e f (a) . Assim a dire¸c˜ao de crescimento m´aximo de f ´e dada por f (a). fu(a) ´e m´ınima quando θ = π, ou seja, quando f (a) e v s˜ao dois vetores com a mesma dire¸c˜ao e sentidos contr´arios, e o seu valor ´e − f (a) . Assim a dire¸c˜ao de crescimento m´ınimo (m´aximo negativo) de f ´e dada por − f (a). fu(a) ´e nula quando v e f (a) s˜ao perpendiculares. Como sobre as linhas de n´ıvel fv (a) = 0 ent˜ao o vetor gradiente ´e perpendicular `as linhas de n´ıvel. 42/49
  43. 43. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Em que dire¸c˜ao aponta o vetor gradiente nos pontos: (5, −5) e (0, −5)? Verifique calculando. 43/49
  44. 44. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Em que dire¸c˜ao aponta o vetor gradiente nos pontos: (0, −5) e (π 2 , −5)? Verifique calculando. 44/49
  45. 45. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Em que dire¸c˜ao aponta o vetor gradiente nos pontos: (1, 1)? Verifique calculando. 45/49
  46. 46. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios I 1 Seja f (x, y) = 2x2y + exy uma fun¸c˜ao diferenci´avel no seu dom´ınio. 1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-o graficamente. 2 Calcule f(1,1)(1, 0). 3 Determinar um vetor unit´ario u de modo que fu (−1, 0) = 1 2 . 4 Qual o valor m´aximo da derivada direcional de f no ponto (1, 1)? 2 Considere o campo escalar f (x, y) = ex2+y − 2xy. 1 Calcule as fun¸c˜oes derivadas parciais de primeira ordem de f e justifique que f ∈ C1 (R2 ). 2 Determine os vetores segundo o qual a taxa de varia¸c˜ao de f no ponto (1,-1) ´e nula. 46/49
  47. 47. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios II 3 Numa placa semi-circular x2 + y2 ≤ 4, com x ≥ 0 a temperatura ´e dada pela lei T(x, y) = 3yx2 − x3 + 60 Determine um vetor no ponto P = (1, 1) tangente `a isot´ermica que passa nesse ponto. 4 Considere o campo escalar definido em R2 por f (x, y) = x2 e−2y e o ponto P = (−2, 0). Determine 1 A dire¸c˜ao segundo a qual a fun¸c˜ao cresce mais rapidamente em P. 2 O valor m´aximo da derivada direcional no ponto P. 3 A dire¸c˜ao segundo a qual fv (2, 0) = 0 47/49
  48. 48. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Exerc´ıcios III 5 Represente o vetor gradiente nalguns pontos. 48/49
  49. 49. AM2/C2 An´alise Matem´atica 2/ C´alculo 2 Derivadas direcionais Derivadas parciais Derivadas de ordem superior T. Schwarz Classe Ck (A) Diferenciabil. Plano tang. Diferencial Gradiente Autora: Sandra Gaspar Martins Com base no trabalho de: Nuno David Lopes e Cristina Janu´ario 49/49

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