AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais                            Campos escalares e vectoriais - Parte 2Derivadas de   ...
AM2                                 Derivadas segundo um vectorDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de     Defini...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais                 Interpreta¸˜es:                           coDerivadas deordem sup...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2         Calcule:                  1 f (a) para f (x, y ) = x 2 y , v = (2, 1) e a = (1, 0).                      v    ...
AM2                            Derivadas segundo um vector paraDerivadasdirecionais                                       ...
AM2                                                               Exerc´                                                  ...
AM2                 Defini¸˜o                      caDerivadas        `                 As derivadas direccionais segundo o...
AM2Derivadasdirecionais                 Notas:Derivadas            Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, napar...
AM2         Sejam u = f (x), v = g (x), k ∈ R.                  k =0                           (sin(u)) = cos(u)uDerivadas...
AM2                                                                           Exerc´                                      ...
AM2                               Derivadas de ordem superior `                                                           ...
AM2                                                                  Exerc´                                               ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais         Teorema de Schwarz:Derivadas de     Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ int...
AM2                                                                        Exerc´                                         ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de     Defini¸˜o                      caordem superiorT. Schwarz         ...
AM2                                         Fun¸˜o (definida em R2 )                                            caDerivadas...
AM2Derivadasdirecionais      Proposi¸˜o:                           caDerivadas        Se f e g s˜o fun¸˜es diferenci´veis ...
AM2                                                                  Exerc´                                               ...
AM2                                             Fun¸˜o escalar diferenci´vel                                              ...
AM2                                     Propriedades das fun¸˜es                                                         c...
AM2                                                                Exerc´                                                 ...
AM2                 Plano tangenteDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)D...
AM2                 Vamos procurar determinar o plano tangente ao gr´fico de                                               ...
AM2                 Quando “cortamos” em y = b obtemosDerivadasdirecionais                          z − f (a, b) = λ1 (x −...
AM2Derivadas        Resumindo:direcionais                 A equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto             ...
AM2         Nota: Repare que se f ´ diferenci´vel no ponto (a, b)                                       e          a      ...
AM2Derivadasdirecionais                                             ∂f           ∂f                       f (a + h, b + k)...
AM2                                                                 DiferencialDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDeriva...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2Derivadasdirecionais                 Exerc´                      ıciosDerivadasparciais           1   Calcule um valor ...
AM2                                                                         O gradienteDerivadasdirecionaisDerivadasparcia...
AM2                              Aplica¸˜o do gradiente: derivada                                    caDerivadasdirecionai...
AM2                                                            Exerc´                                                     ...
AM2         Nota: Se o vector v ´ unit´rio (tem norma 1), a derivada                                      e     a         ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2                                                          Exerc´                                                       ...
AM2                                                          Exerc´                                                       ...
AM2                                 Derivada segundo a dire¸˜o de v                                                       ...
AM2                                        Jacobiana e JacobianoDerivadasdirecionaisDerivadasparciais                 Defin...
AM2                                                            Exerc´                                                     ...
AM2                                                    Revis˜o (em R)                                                     ...
AM2                                    Regra da Cadeia- vers˜o 1                                                         a...
AM2                                                                 Exerc´                                                ...
AM2                                        Regra da cadeia- vers˜o 2                                                      ...
AM2                                                          Exerc´                                                       ...
AM2                                                            Exerc´                                                     ...
AM2                                                           Exerc´                                                      ...
AM2                                                        Exerc´                                                         ...
AM2                                                         Exerc´                                                        ...
AM2Derivadasdirecionais                 Teorema da Fun¸˜o Impl´                                  ca       ıcita (TFI)Deriv...
AM2                                                         Exerc´                                                        ...
AM2                 Vimos atr´s que para uma fun¸˜o z = f (x, y ) diferenci´vel em                            a           ...
AM2                 Substituindo na equa¸˜o do plano tangente:                                     ca                     ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de     Portanto o plano tangente ´ o conjunto dos pontos                ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadas                 A recta normal ` superf´ de equa¸˜o F (x, y , x) = 0 no                  ...
AM2                                                           Exerc´                                                      ...
AM2                                                           ExtremosDerivadasdirecionais      Defini¸˜o:                 ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadas        Chamam-se pontos cr´  ıticos ou pontos de estacionaridadeparciais                 ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
AM2Derivadasdirecionais                 A matriz Hesseana de f ´:                                        eDerivadasparciai...
AM2                                                                    Exerc´                                             ...
AM2                                                      Exerc´                                                           ...
AM2                                                     Exerc´                                                          ıc...
AM2                                                        Exerc´                                                         ...
AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferen...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

03 Cálculo Diferencial

837 views

Published on

Cálculo Diferencial
Análise Matemática 2.

Para obter os ficheiros em LaTeX envie email para sandra.gaspar.martins@gmail.com ... eu envio com todo o gosto!

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
837
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
11
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

03 Cálculo Diferencial

  1. 1. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Campos escalares e vectoriais - Parte 2Derivadas de An´lise Matem´tica 2 a aordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferencial 2o Semestre 2011/12GradienteMatrizJacobiana Vers˜o de 16 de Maio de 2012 aDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos sandra.martins@adm.isel.pt 1/1
  2. 2. AM2 Derivadas segundo um vectorDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Defini¸˜o caordem superiorT. Schwarz Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ int(Df ) ent˜o aClasse C k (A) f (a + λv ) − f (a)Diferenciabil. fv (a) = limPlano tang. λ→0 λDiferencial representa a derivada de f segundo o vector v no ponto aGradiente (no caso do limite existir).MatrizJacobianaDerivada da Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-seComposta derivada direcional de f , segundo o vector v no ponto a.Impl´ ıcitaExtremos 2/1
  3. 3. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Interpreta¸˜es: coDerivadas deordem superior fv (a) (com v = 1) indica o declive da recta tangente aoT. SchwarzClasse C k (A) gr´fico de f no ponto a que tem a direc¸˜o do vector v . a caDiferenciabil. fv (a) (com v = 1) indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a caPlano tang. quantidade de varia¸˜o por unidade na direc¸˜o de v , de f ca caDiferencial no ponto a.GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 3/1
  4. 4. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 4/1
  5. 5. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 5/1
  6. 6. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 6/1
  7. 7. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 7/1
  8. 8. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 8/1
  9. 9. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 9/1
  10. 10. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 10/1
  11. 11. AM2 Calcule: 1 f (a) para f (x, y ) = x 2 y , v = (2, 1) e a = (1, 0). v 2 a derivada direccional de f (x, y ) = x 2 sin(2y ),segundo oDerivadasdirecionais vector v = (3, −4) no ponto a = (1, π ). 2Derivadas 3 a derivada deparciais xyDerivadas de x+y se x + y = 0ordem superior f (x, y ) = x se x + y = 0T. SchwarzClasse C k (A) segundo os vectores v1 = (1, 1) e v2 = (1, −1) no pontoDiferenciabil. a = (0, 0).Plano tang. 4 a derivada direccional deDiferencial 2xy x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Gradiente f (x, y ) =Matriz 0 se (x, y ) = (0, 0)JacobianaDerivada da segundo o vector v = (1, 1) no ponto a = (0, 0).Composta 5 a derivada direccional deImpl´ ıcita y 2 se x = 0Extremos f (x, y ) = y2 x se x = 0 segundo os vectores v1 = (0, 2) e v2 = (1, 2) no ponto 11/1
  12. 12. AM2 Derivadas segundo um vector paraDerivadasdirecionais fun¸oes vectoriais c˜Derivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior SejaT. SchwarzClasse C k (A) f : Df ⊂ Rn −→ RmDiferenciabil. x −→ y = f (x) = (f1 (x), ..., fm (x))Plano tang.Diferencial e a ∈ int(Df ) ent˜o aGradienteMatriz fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)JacobianaDerivada daComposta representa a derivada de f segundo o vector v no ponto aImpl´ ıcita (no caso dos limites existirem).Extremos Nota: No caso em que v = 1 esta derivada chama-se derivada direccional de f , segundo o vector v no ponto a. 12/1
  13. 13. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz CalculeClasse C k (A)Diferenciabil. 1 fv (a) paraPlano tang. f (x, y , z) = (x − z, 2y )Diferencial com v = (1, 2, 0) e a = (1, 1, 1).GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 13/1
  14. 14. AM2 Defini¸˜o caDerivadas ` As derivadas direccionais segundo os vectores da base can´nica odirecionaisDerivadas de Rn , chamam-se derivadas parciais.parciaisDerivadas de No caso de n=2... os vectores da base can´nica s˜o (1, 0) e o aordem superior (0, 1)...T. Schwarz Chama-se derivada parcial em ordem a x aClasse C k (A)Diferenciabil. ∂f f (a + λ, b) − f (a, b)Plano tang. (a, b) = lim ∂x λ→0 λDiferencialGradiente (´ a derivada direccional segundo o vector (1,0)). eMatrizJacobiana Chama-se derivada parcial em ordem a y aDerivada daComposta ∂f f (a, b + λ) − f (a, b) (a, b) = limImpl´ ıcita ∂y λ→0 λExtremos (´ a derivada direccional segundo o vector (0,1)). e 14/1
  15. 15. AM2Derivadasdirecionais Notas:Derivadas Para calcular a derivada (parcial) num ponto: se, naparciais vizinhan¸a (bola) desse ponto a fun¸˜o est´ definida por: c ca aDerivadas deordem superior apenas uma express˜o: Regras de deriva¸˜o. a caT. Schwarz mais do que uma express˜o: Defini¸˜o de derivada a caClasse C k (A) parcial.Diferenciabil. Interpreta¸˜es: coPlano tang. ∂f indica o declive da recta tangente ao gr´fico de f ∂x (a, b) aDiferencialGradiente no ponto (a, b) que ´ paralela ao eixo dos xx. eMatriz ∂fJacobiana ∂x (a, b)indica a taxa de varia¸˜o, ou seja, a quantidade caDerivada da de varia¸˜o por unidade de x, de f no ponto (a, b). caCompostaImpl´ ıcitaExtremos 15/1
  16. 16. AM2 Sejam u = f (x), v = g (x), k ∈ R. k =0 (sin(u)) = cos(u)uDerivadas x =1 (cos(u)) = − sin(u)udirecionais (u + v ) = u + v (tan(u)) = sec2 (u)uDerivadasparciais (ku) = ku (cot(u)) = − csc2 (u)uDerivadas de (u.v ) = u v + uv (sec(u)) = sec(u) tan(u)uordem superior u u v − uv uT. Schwarz v = 2 (arcsin(u)) = √ v 1 − u2Classe C k (A) uDiferenciabil. (u α ) = αu α−1 u , α ∈ Q {0} (arccos(u)) = − √ 1 − u2Plano tang. √ u uDiferencial u = √ (arctan(u)) = 2 u 1 + u2Gradiente u uMatriz (ln(u)) = (arccot(u)) = −Jacobiana u 1 + u2 |u| uDerivada da (e u ) = e u u (|u|) = u = uComposta u |u|Impl´ ıcita (au ) = au ln(a)u , a ∈ R {1} (cosh(u)) = sinh(u)uExtremos (u v ) = u v ln(u)v + vu v −1 u (sinh(u)) = cosh(u)u 16/1
  17. 17. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas Calculeparciais ∂f ∂fDerivadas de ∂x (1, 2) e ∂y (1, 2) onde f (x, y ) = x 2 y + 2e xy .ordem superior as derivadas parciais de f (x, y , z) = e x z + x sin(zy ) + zx.T. Schwarz ∂f ∂f ∂f ∂fClasse C k (A) ∂x (1, 1), ∂y (1, 1), ∂x (0, 0) e ∂y (0, 0) ondeDiferenciabil. x 3 +y 3Plano tang. x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Diferencial f (x, y ) = 0 se (x, y ) = (0, 0)GradienteMatrizJacobiana as derivadas parciais de f nos pontos (0,2) e (0,0) onde:Derivada da 4Composta x 2 +y 2 se x 2 + y 2 > 4 f (x, y ) = y −2Impl´ ıcita e se x 2 + y 2 ≤ 4Extremos 17/1
  18. 18. AM2 Derivadas de ordem superior ` aDerivadasdirecionais primeiraDerivadasparciais Derivadas de 2a ordem... de 3a ordem...Derivadas deordem superior Derivadas quadradas:T. SchwarzClasse C k (A) ∂2f ∂ ∂fDiferenciabil. 2 = ∂x ∂x ∂xPlano tang.Diferencial ∂2f ∂ ∂f 2 =Gradiente ∂y ∂y ∂yMatrizJacobiana Derivadas cruzadas:Derivada daComposta ∂2f ∂ ∂f =Impl´ ıcita ∂x∂y ∂y ∂xExtremos ∂2f ∂ ∂f = ∂y ∂x ∂x ∂y 18/1
  19. 19. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas 1 Calcule as derivadas at´ ` 3a ordem das fun¸˜es: ea coparciaisDerivadas de 1 f (x, y ) = 5xy 3 + 2x 2 y 2ordem superior 2 f (x, y ) = sin(x)y 5T. Schwarz 2 Estude se para f (x, y ) = 16 − x 2 − y 2 eClasse C k (A)Diferenciabil. g (x, y ) = x ln(x) + ye x se tem quePlano tang. 2 ∂f ∂2g ∂gDiferencial (1, 1) − (1, 14) + (1, 1) = 0.Gradiente ∂x ∂x∂y ∂xMatriz xJacobiana 3 Verifique que para g (x, y ) = xye y se tem queDerivada daComposta ∂3g ∂3gImpl´ ıcita x +y =0Extremos ∂x 3 ∂y ∂x 2 19/1
  20. 20. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Teorema de Schwarz:Derivadas de Seja f : Df ⊂ R2 −→ R, e (a, b) ∈ intDf tal queordem superior ∂f ∂f ∂2fT. Schwarz ∂x , ∂y e ∂x∂y existem numa vizinhan¸a (bola) de (a, b); c kClasse C (A) ∂2f ∂x∂y ´ cont´ e ınua em (a, b).Diferenciabil.Plano tang. Ent˜o a ∂2f ∂2fDiferencial (a, b) = (a, b).Gradiente ∂y ∂x ∂x∂yMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 20/1
  21. 21. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 Confirme que o teorema se verifica no exerc´ anterior. ıcioDerivadasparciais 2 SejaDerivadas deordem superior xy (x 2 −y 2 ) x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)T. Schwarz f (x, y ) = 0 se (x, y ) = (0, 0)Classe C k (A)Diferenciabil. ∂f ∂fPlano tang. 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ). 2Diferencial ∂ f ∂2f 2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0).GradienteMatriz 3 SejaJacobiana xy 2 x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Derivada da f (x, y ) =Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)Impl´ ıcita ∂f ∂fExtremos 1 Calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ). 2 ∂ f ∂2f 2 Calcule ∂x∂y (0, 0) e ∂y ∂x (0, 0). 21/1
  22. 22. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Defini¸˜o caordem superiorT. Schwarz Seja A um conjunto aberto contido no dom´ de f . ınioClasse C (A)k Uma fun¸˜o f diz-se de classe C k (k ∈ N0 )em A se e s´ se f ca oDiferenciabil. admite derivadas at´ ` ordem k (inclusive)em A cont´ ea ınuas ePlano tang. escreve-seDiferencial f ∈ C k (A)GradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 22/1
  23. 23. AM2 Fun¸˜o (definida em R2 ) caDerivadasdirecionais diferenci´vel aDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz Defini¸˜o (diferenci´vel) ca aClasse C k (A)Diferenciabil. Seja f : Df ⊂ R2 −→ R e (a, b) ∈ intDf .Plano tang. Diz-se que f ´ diferenci´vel em (a, b) se existem as suas e aDiferencial derivadas parciais (em x e em y ) neste ponto e seGradiente ∂f ∂fMatriz f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)kJacobiana lim √ =0Derivada da (h,k)→(0,0) h2 + k 2CompostaImpl´ ıcitaExtremos 23/1
  24. 24. AM2Derivadasdirecionais Proposi¸˜o: caDerivadas Se f e g s˜o fun¸˜es diferenci´veis ent˜o f + g , f − g , f × g , a co a aparciais f g , (g (x) = 0, ∀x) e f ◦ g s˜o diferenci´veis. a aDerivadas deordem superiorT. Schwarz Exemplos de fun¸˜es coClasse C k (A) ´ DIFERENCIAVEIS no seu dom. ˜ NAO DIFERENCIAVEIS´Diferenciabil. • polin´mios o • m´dulo (em 0) oPlano tang. • fun¸. alg´bricas c e • mantissa (n˜o ´ cont´ a e ınua)Diferencial • fun¸. trigonom´tricas c e • por vezes as “uni˜es” nas oGradiente • fun¸. trigonom´tricas inversas c e fun¸˜es def. por ramos coMatrizJacobiana • fun¸. logar´ c ıtmicas e exponenc. ...Derivada da ...CompostaImpl´ ıcitaExtremos 24/1
  25. 25. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos coparciais indicados:Derivadas deordem superior 1 f (x, y ) = x 2 + y 2 no ponto (1, 2).T. Schwarz 2 SejaClasse C k (A) √ xy se xy > 0Diferenciabil. f (x, y ) =Plano tang. 0 se xy ≤ 0Diferencial no ponto (0, 0).GradienteMatriz 3 SejaJacobiana x3 x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0)Derivada da f (x, y ) =Composta 0 se (x, y ) = (0, 0)Impl´ ıcitaExtremos no ponto (0, 0). 25/1
  26. 26. AM2 Fun¸˜o escalar diferenci´vel ca aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior Defini¸˜o (diferenci´vel) ca aT. SchwarzClasse C k (A) Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf .Diferenciabil. Diz-se que f ´ diferenci´vel em a se existem as suas derivadas e aPlano tang. parciais neste ponto e seDiferencial ∂f ∂fGradiente f (a + h) − f (a) − ∂x1 (a)h1 − ... − ∂xn (a)hn lim =0Matriz (h1 ,...,hn )→(0,...,0) 2 2Jacobiana h1 + ... + hnDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 26/1
  27. 27. AM2 Propriedades das fun¸˜es coDerivadasdirecionais diferenci´veis aDerivadas Seja f : D ⊂ Rn −→ R, a ∈ intDfparciaisDerivadas de f diferenci´vel em a ⇒ f cont´ a ınua em a.ordem superior f tem n − 1 der. parc. cont. em a ⇒ f dif. em a.T. Schwarz existem todas as der. parc. na B aClasse C k (A) f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a. e aDiferenciabil.Plano tang. f ´ diferenci´vel em a ⇒ f admite derivada segundo e aDiferencial qualquer direc¸˜o em a. caGradiente ou seja,MatrizJacobiana f n˜o ´ cont´ a e ınua em a ⇒ f n ´ diferenci´vel em a. e aDerivada da f tem n − 1 der. parc. cont. em aComposta ⇒ f dif. em a. existem todas as der. parc. em aImpl´ ıcitaExtremos f ∈ C 1 (a) ⇒ f ´ diferenci´vel em a. e a f n˜o admite derivada segundo alguma direc¸˜o em a ca a ⇒ f n˜o ´ diferenci´vel em a. a e a 27/1
  28. 28. AM2 Exerc´ ıciosDerivadas Estude a diferenciabilidade das seguintes fun¸˜es nos pontos codirecionais indicados:Derivadasparciais 1 SejaDerivadas de 2x−3yordem superior x+y se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =T. Schwarz 0 se (x, y ) = (0, 0)Classe C k (A) no ponto (0, 0).Diferenciabil.Plano tang. 2 Seja x4Diferencial x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =Gradiente 0 se (x, y ) = (0, 0)MatrizJacobiana no ponto (0, 0).Derivada daComposta 3 Seja y3Impl´ ıcita x 2 +y 2 se (x, y ) = (0, 0) f (x, y ) =Extremos 0 se (x, y ) = (0, 0) no ponto (0, 0). 28/1
  29. 29. AM2 Plano tangenteDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 29/1
  30. 30. AM2 Vamos procurar determinar o plano tangente ao gr´fico de a f :R 2 −→ R no ponto (a, b).Derivadasdirecionais Equa¸˜o do plano que passa no ponto (a, b, c): caDerivadasparciais A(x − a) + B(y − b) + C (z − c) = 0Derivadas deordem superiorT. Schwarz Este plano vai passar no ponto (a, b, c) em que c = f (a, b), ouClasse C (A)k seja,Diferenciabil. A(x − a) + B(y − b) + C (z − f (a, b)) = 0Plano tang.Diferencial A BGradiente z − f (a, b) = − (x − a) − (y − b) C CMatrizJacobiana A B chamando λ1 = − C e λ2 = − C temosDerivada daCompostaImpl´ ıcita z − f (a, b) = λ1 (x − a) + λ2 (y − b)Extremos 30/1
  31. 31. AM2 Quando “cortamos” em y = b obtemosDerivadasdirecionais z − f (a, b) = λ1 (x − a)Derivadasparciais que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo e a eDerivadas de ∂fordem superior dos xx’s, portanto o seu declive ´ ∂x (a, b) = λ1 . eT. Schwarz Analogamente, quando “cortamos” em x = a obtemosClasse C k (A)Diferenciabil. z − f (a, b) = λ2 (y − b)Plano tang.Diferencial que ´ a recta tangente ao gr´fico de f que ´ paralela ao eixo e a e ∂fGradiente dos yy’s, portanto o seu declive ´ ∂y (a, b) = λ2 . Assim, a eMatrizJacobiana equa¸˜o ´ ca eDerivada daComposta ∂f ∂f z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)Impl´ ıcita ∂x ∂yExtremos 31/1
  32. 32. AM2Derivadas Resumindo:direcionais A equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f no ponto ca aDerivadasparciais (a, b, f (a, b)) ´: eDerivadas deordem superior ∂f ∂fT. Schwarz z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) ∂x ∂yClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang. Exerc´ ıcio: Determine o plano tangente:Diferencial 1 ao gr´fico da fun¸˜o f (x, y ) = 2x 2 + y 2 em P=(1,1,3). a caGradienteMatriz 2 ` superf´ de equa¸˜o z − 2x 2 − 4y 2 = 0 em P=(1,2,18). a ıcie caJacobianaDerivada da 3 ` superf´ de equa¸˜o z = 1 − x 2 em P=(0,0,1). (ver a ıcie caComposta fig.)Impl´ ıcitaExtremos 32/1
  33. 33. AM2 Nota: Repare que se f ´ diferenci´vel no ponto (a, b) e a ∂f ∂fDerivadas f (a + h, b + k) − f (a, b) − ∂x (a, b)h − ∂y (a, b)kdirecionais lim √ =0Derivadas (h,k)→(0,0) h2 + k 2parciais √Derivadas de como lim(h,k)→(0,0) h2 + k 2 = 0 tem-se que (ainda comordem superior “mais for¸a”) cT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. lim f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k = 0Plano tang. (h,k)→(0,0) ∂x ∂yDiferencial donde, para h e k pequenosGradienteMatrizJacobiana ∂f ∂f f (a + h, b + k) − f (a, b) − (a, b)h − (a, b)k ≈ 0Derivada da ∂x ∂yCompostaImpl´ ıcita ou seja:Extremos ∂f ∂f f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)k ∂x ∂y 33/1
  34. 34. AM2Derivadasdirecionais ∂f ∂f f (a + h, b + k) ≈ f (a, b) + (a, b)h + (a, b)kDerivadasparciais ∂x ∂yDerivadas de fazendo x = a + h e y = b + kordem superior tem-se, para (x, y ) pr´ximos de (a, b), que oT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. f (x, y ) ≈ f (a, b) + (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b) ∂x ∂yPlano tang.Diferencial Ou seja, f (x, y ) ´ aproximadamente igual ao plano tangente eGradiente para (x, y ) pr´ximos de (a, b). oMatrizJacobiana Portanto podemos usar o plano tangente como umaDerivada da aproxima¸˜o (por um polin´mio de grau 1) ao gr´fico de f ca o aComposta numa vizinhan¸a (bola) do ponto. cImpl´ ıcitaExtremos 34/1
  35. 35. AM2 DiferencialDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior Se f ´ diferenci´vel em (a, b) e aT. SchwarzClasse C k (A) ∂f ∂fDiferenciabil. f (x, y ) − f (a, b) ≈ (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)Plano tang. ∂x ∂yDiferencial ∆f (a,b)→diferencial de f no ponto (a,b)GradienteMatriz para x “pr´ximo” de a oJacobiana e y “pr´ximo” de b. oDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 35/1
  36. 36. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 36/1
  37. 37. AM2Derivadasdirecionais Exerc´ ıciosDerivadasparciais 1 Calcule um valor aproximado de e 1.1×0.9 .Derivadas deordem superior 2 Calcule um valor aproximado de 9 × (1.95)2 + (8.01)2 .T. Schwarz 3 Seja g ∈ C 1 (R2 ) tal queClasse C k (A)Diferenciabil. x=2.00 x=2.01Plano tang. y=3.00 7.56 7.42Diferencial y=3.02 7.61Gradiente Calcule o valor em falta. (Sugest˜o: use estimativas para aMatriz ∂gJacobiana ∂x (2, 3))Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 37/1
  38. 38. AM2 O gradienteDerivadasdirecionaisDerivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior Seja f : Df ⊂ Rn −→ R e a ∈ intDf . Define-se o gradiente deT. Schwarz f no ponto a por:Classe C k (A)Diferenciabil. ∂f ∂f f (a) = (a), · · · , (a)Plano tang. ∂x1 ∂xnDiferencialGradienteMatrizJacobiana Exerc´ ıcio: Calcule f (1, 2) onde f (x, y ) = y ln(x) + xy 2 .Derivada daCompostaImpl´ ıcita http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/GradientContours.htmlExtremos 38/1
  39. 39. AM2 Aplica¸˜o do gradiente: derivada caDerivadasdirecionais segundo a dire¸˜o de v caDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A) Proposi¸˜o caDiferenciabil. Se f : Df ⊂ Rn −→ R ´ diferenci´vel em a ∈ int(D) e v ´ um e a ePlano tang. vector de Rn ent˜o a derivada de f segundo a dire¸˜o de v a caDiferencial ´ dada por eGradiente fv (a) = f (a)|vMatrizJacobiana onde | significa produto interno.Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 39/1
  40. 40. AM2 Exerc´ ıcios:DerivadasdirecionaisDerivadasparciais Calcule:Derivadas de 1 A derivada de f (x, y ) = x 2 e −2y no ponto A = (2, 0),ordem superior segundo o vector v = (1, 2).T. SchwarzClasse C k (A) 2 A derivada direccional de f (x, y ) = x 3 + xy segundo oDiferenciabil. vector v = (1, 3) no ponto (1, 2).Plano tang. 3 A derivada de f (x, y ) = 3x 2 − 2y 2 no ponto A = (−2, 1),Diferencial na direc¸˜o de P = − 3 , 0 para Q = (0, 1). ca 4Gradiente 4 Determine a taxa de varia¸˜o de caMatrizJacobianaDerivada da f (x, y ) = 2x 2 + 3xy − 2y 2CompostaImpl´ ıcita no ponto (1, −2) na direc¸˜o do ponto dado ` origem. ca aExtremos 40/1
  41. 41. AM2 Nota: Se o vector v ´ unit´rio (tem norma 1), a derivada e a direccional de f no ponto a segundo a direc¸˜o do vector v : caDerivadasdirecionais fv (a) = f (a)|v = f (a) v cos(α) = f (a) cos(α)Derivadasparciais onde α ´ o menor ˆngulo formado pelos vectores f (a) e v . e aDerivadas de Ent˜o: aordem superior fv (a) ´ nula quando v e f (a) s˜o perpendiculares, ou e aT. SchwarzClasse C k (A) seja, o vector gradiente ´ perpendicular `s linhas de e aDiferenciabil. n´ıvel.Plano tang. fv (a) ´ m´xima quando α = 0, ou seja, quando f (a) e e aDiferencial v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentido, e o a caGradiente seu valor ´ e f (a) . Assim a direc¸˜o de crescimento caMatrizJacobiana m´ximo de f ´ dada por f (a). a eDerivada da fv (a) ´ m´ e ınima quando α = π, ou seja, quando f (a) eComposta v s˜o dois vectores com a mesma direc¸˜o e sentidos a caImpl´ ıcitaExtremos contr´rios, e o seu valor ´ − a e f (a) . Assim a direc¸˜o ca de crescimento m´ ınimo (m´ximo negativo) de f ´ a e dada por − f (a). 41/1
  42. 42. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 42/1
  43. 43. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 43/1
  44. 44. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 44/1
  45. 45. AM2 Exerc´ ıcios IDerivadasdirecionaisDerivadas 1 Seja f (x, y ) = 2x 2 y + e xy uma fun¸˜o diferenci´vel no seu ca aparciais dom´ınio.Derivadas deordem superior 1 Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e represente-oT. Schwarz graficamente.Classe C k (A) 2 Calcule f(1,1) (1, 0).Diferenciabil. 3 Determinar um vector unit´rio u de modo que aPlano tang. fu (−1, 0) = 1 . 2Diferencial 4 Qual o valor m´ximo da derivada direccional de f no ponto aGradiente (1, 1)?Matriz 2 +yJacobiana 2 Considere o campo escalar f (x, y ) = e x − 2xy .Derivada daComposta 1 Calcule as fun¸˜es derivadas parciais de primeira ordem de coImpl´ ıcita f e justifique que f ∈ C 1 (R2 ).Extremos 2 Determine os vectores segundo o qual a taxa de varia¸˜o ca de f no ponto (1,-1) ´ nula. e 45/1
  46. 46. AM2 Exerc´ ıcios IIDerivadasdirecionais 3 Numa placa semi-circular x 2 + y 2 ≤ 4, com x ≥ 0 aDerivadas temperatura ´ dada pela lei eparciaisDerivadas de T (x, y ) = 3yx 2 − x 3 + 60ordem superiorT. Schwarz Determine um vector no ponto P = (1, 1) tangente ` aClasse C k (A)Diferenciabil. isot´rmica que passa nesse ponto. ePlano tang. 4 Considere o campo escalar definido em R2 porDiferencialGradiente f (x, y ) = x 2 e −2yMatrizJacobiana e o ponto P = (−2, 0). DetermineDerivada daComposta 1 A dire¸˜o segundo a qual a fun¸˜o cresce mais ca caImpl´ ıcita rapidamente em P.Extremos 2 O valor m´ximo da derivada direcional no ponto P. a 3 A dire¸˜o segundo a qual fv (2, 0) = 0 ca 46/1
  47. 47. AM2 Derivada segundo a dire¸˜o de v caDerivadasdirecionais para fun¸oes vectoriais c˜Derivadas Seja f : Df ⊂ Rn −→ Rm e a ∈ intDf ondeparciais f (x1 , ...xn ) = (f1 (x1 , ...xn ), ..., fm (x1 , ...xn ))Derivadas deordem superiorT. Schwarz Para fun¸˜es vectoriais temos que coClasse C k (A) fv (a) = f1 v (a), ..., fm v (a)Diferenciabil.Plano tang. ou seja, se cada uma das fun¸˜es componentes for diferenci´vel co aDiferencial fv (a) =Gradiente ∂f1 ∂f1 ∂fm ∂fm ∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vn , . . . , ∂x1 (a).v1 + ... + ∂xn (a).vnMatrizJacobianaDerivada daComposta Matricialmente:Impl´ ıcita  ∂f1 ∂f1 Extremos ∂x1 (a) ... ∂xn (a) v1 . . .  .  fv (a) =  . . .  .   . . . . ∂fm ∂fm vn ∂x1 (a) . . . ∂xn (a) 47/1
  48. 48. AM2 Jacobiana e JacobianoDerivadasdirecionaisDerivadasparciais Defini¸˜o caDerivadas deordem superior Chama-se matriz Jacobiana de f em a aT. Schwarz  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (a) . . . ∂xn (a)Classe C k (A)Diferenciabil. Jf (a) =   . . . . . . Plano tang. . . .  ∂fm ∂fmDiferencial ∂x1 (a) . . . ∂xn (a)GradienteMatrizJacobianaDerivada daComposta Se m = n, o determinante da matriz Jacobiana pode serImpl´ ıcita calculado e chama-se o Jacobiano.Extremos 48/1
  49. 49. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais √Derivadasparciais 1 Seja f (x, y ) = ln(4 − x 2 − y 2 , y − x calcule a matrizDerivadas de Jacobiana de f no ponto (0, 1) e verifique que o Jacobianoordem superior nesse ponto ´ − 1 . e 3T. SchwarzClasse C k (A) 2 Considere a fun¸˜o vectorial f : Df ⊂ R2 −→ R2 cujas caDiferenciabil. fun¸˜es componentes s˜o co aPlano tang. 2xDiferencial f1 (x, y ) =Gradiente y −2MatrizJacobiana eDerivada da f2 (x, y ) = ln(y − x + 2)CompostaImpl´ ıcita calcule a derivada parcial de f segundo o vector (0, 1) noExtremos ponto (1, 1). 49/1
  50. 50. AM2 Revis˜o (em R) aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior [sen(x 2 )] = cos(x 2 ).2xT. SchwarzClasse C k (A) poisDiferenciabil. [f (g (x))] = f (g (x)).g (x)Plano tang.Diferencial ou seja, num ponto aGradienteMatriz [f (g (x))] (a) = f (g (a)).g (a)JacobianaDerivada da desde que f seja diferenci´vel em g (a) e g em a. aCompostaImpl´ ıcitaExtremos 50/1
  51. 51. AM2 Regra da Cadeia- vers˜o 1 aDerivadasdirecionaisDerivadasparciais SejamDerivadas de g : Dg ⊂ Rn −→ Rpordem superiorT. Schwarz eClasse C (A)k f : Df ⊂ Rp −→ RmDiferenciabil. duas fun¸˜es vectoriais. coPlano tang. Se g ´ diferenci´vel em a ∈ intDg e e aDiferencialGradiente e f ´ diferenci´vel em g (a) ∈ intDf e aMatriz ent˜o aJacobiana h = f ◦ g : Dh ⊂ Rn −→ Rm ´ diferenci´vel em a e tem-se: e aDerivada daCompostaImpl´ ıcita Jh (a) = Jf (g (a)) × Jg (a)Extremos 51/1
  52. 52. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 SejamDerivadasparciais f (x, y , z) = (xy , yz)Derivadas deordem superior eT. Schwarz g (u, v ) = (2u + v 2 , 3u 2 − v ). kClasse C (A)Diferenciabil. Sendo h = g ◦ f calcule Jh (0, 1, 0).Plano tang.Diferencial 2 SejamGradiente f (x, y , z) = (x 2 + y 2 , y 2 + z 2 )MatrizJacobiana eDerivada daCompostaImpl´ ıcita g (u, v , w , s) = (2uw + (sv )2 , 3su 2 − vw , uvws).Extremos Sendo h = f ◦ g calcule Jh (0, 1, 1, 0). 52/1
  53. 53. AM2 Regra da cadeia- vers˜o 2 aDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Suponhamos que f (x, y ) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel e que e ca aordem superior x = x(u, v ) e y = y (u, v ) s˜o duas fun¸˜es diferenci´veis, a co aT. Schwarz ent˜o g (u, v ) = f (x(u, v ), y (u, v )) ´ uma fun¸˜o diferenci´vel a e ca aClasse C k (A) de u e v , tendo-seDiferenciabil.Plano tang. ∂g ∂f ∂x ∂f ∂yDiferencial = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, v ∂u ∂x ∂u ∂y ∂uGradienteMatriz ∂g ∂f ∂x ∂f ∂yJacobiana = (x(u, v ), y (u, v )). (u, v )+ (x(u, v ), y (u, v )). (u, vDerivada da ∂v ∂x ∂v ∂y ∂vCompostaImpl´ ıcitaExtremos 53/1
  54. 54. AM2 Exerc´ ıcios: IDerivadasdirecionaisDerivadasparciais 1 Sejam f (u, v ) = u 3 + uvDerivadas deordem superior com u(x, y ) = xy 2 e v (x, y ) = x sin(y ), ∂f ∂fT. Schwarz calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ) (pelos dois m´todos). eClasse C k (A)Diferenciabil. 2 u(x, y , z) = x + 2y + 3z comPlano tang. 1 x(t) = t 2 − 2t, y (t) = cos(1 − t) e z(t) = t2 .DiferencialGradiente Calcule ∂u para t = 1. ∂tMatrizJacobiana 3 Sejam f (u, v ) = u 2 v 3Derivada daComposta com u(x, y ) = x + y e v (x, y ) = x 2 − y 2 , ∂f ∂fImpl´ ıcita calcule ∂x (x, y ) e ∂y (x, y ).Extremos 54/1
  55. 55. AM2 Exerc´ ıcios: IIDerivadas 4 Verifique que a fun¸˜o cadirecionaisDerivadasparciais x z = xy + xϕDerivadas de yordem superiorT. Schwarz satisfaz a equa¸˜o caClasse C k (A)Diferenciabil. ∂z ∂z x +y = xy + zPlano tang. ∂x ∂yDiferencialGradiente 5 Seja f uma fun¸˜o diferenci´vel. Prove que ca aMatrizJacobiana z = xy + f (x 2 + y 2 )Derivada daCompostaImpl´ ıcita satisfaz a equa¸˜o caExtremos ∂z ∂z y −x = y2 − x2 ∂x ∂y 55/1
  56. 56. AM2 Exerc´ ıcios: IIIDerivadas 6 Seja h : IR 2 −→ R uma fun¸˜o de classe C 1 (R2 ) e cadirecionaisDerivadas g (s, t) = h(s 2 − t 2 , t 2 − s 2 ).parciaisDerivadas deordem superiorT. Schwarz 1 Mostre que k ∂g ∂gClasse C (A) t +s =0Diferenciabil. ∂s ∂tPlano tang. 2 Supondo que Jh (3, −3) = [2 5] calcule Jg (2, 1).Diferencial 7 Seja f uma fun¸˜o real de vari´vel real continuamente ca aGradiente diferenci´vel at´ pelo menos ` 2a ordem e seja a e aMatrizJacobianaDerivada da u = xy + f (z)Composta yImpl´ ıcita com z = x2 e x = 0. Mostre queExtremos ∂2u 1 ∂2f = 4 2. ∂y 2 x ∂z 56/1
  57. 57. AM2 Exerc´ ıcios: IVDerivadas 8 Sabendo quedirecionaisDerivadasparciais y2 1 ϕ(x, y ) = +θ + ln(y )Derivadas de 2 xordem superiorT. Schwarz onde ϕ e θ s˜o fun¸˜es de classe C 2 , no respectivo a coClasse C k (A) dom´ınio, mostrar que:Diferenciabil.Plano tang. 1 ∂2ϕ 1 ∂2ϕ 2 ∂ϕDiferencial 2 ∂y ∂x + 2 + =0 x y ∂x xy ∂xGradienteMatrizJacobiana 9 Seja F : IR 2 −→ R3 uma fun¸˜o diferenci´vel tal que ca   aDerivada da 1 0Composta F (0, 1) = (1, 1, 0), JF (0, 1) =  0 1  eImpl´ ıcita 1 0Extremos G (u, v , w ) = ue vw + uvw . Calcule (G ◦ F ) (0, 1) 57/1
  58. 58. AM2 Exerc´ ıcios: VDerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superior 10 Considere f : IR 2 −→ R uma fun¸˜o diferenci´vel tal que ca aT. Schwarz f (u, 0) = 0 e f (0, v ) = v , ∀u, v ∈ R eClasse C k (A)Diferenciabil. g (x, y ) = (x 2 − x − y , y 2 − x − y )Plano tang.DiferencialGradiente 1 Mostre que h = f ◦ g ´ diferenci´vel em R2 e aMatriz 2 Calcule Jh (2, 2).JacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 58/1
  59. 59. AM2Derivadasdirecionais Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcita (TFI)Derivadas Consideremos x ∈ Rn , u ∈ R, a equa¸˜o F (x, u) = 0 e A um caparciais conjunto aberto que cont´m (x0 , u0 ). Se eDerivadas deordem superior F (x0 , u0 ) = 0T. Schwarz F ∈ C 1 (A)[as der. parciais de F s˜o cont´ a ınuas em A]Classe C k (A) ∂FDiferenciabil. ∂u (x0 , u0 ) =0Plano tang. Ent˜o, numa vizinhan¸a V de x0 , u = u(x), u ∈ C 1 (V ) tal que a cDiferencial u0 = u(x0 ) e F (x, u(x)) = 0.Gradiente Al´m disso, e ∂F ∂u ∂x (x0 , u0 )MatrizJacobiana (x0 ) = − ∂FiDerivada da ∂xi ∂u (x0 , u0 )CompostaImpl´ ıcitaExtremos 59/1
  60. 60. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionaisDerivadasparciais 1 Mostre que a equa¸˜o x 2 z + 3xz 2 = 4xy define caDerivadas de x = φ(y , z) numa vizinhan¸a do ponto (0, 1, 0). Calcule c ∂xordem superior ∂y (1, 0).T. Schwarz 2 Determine para que valores de k a equa¸˜o caClasse C k (A) x 2 + yz + z 2 + xz = 7 define z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a cDiferenciabil. ∂zPlano tang. do ponto (2, 0, k). Calcule ∂y (2, 0).Diferencial 3 Mostre que a equa¸˜o x 2 + y 2 e xy = 1 define caGradiente implicitamente y como fun¸˜o de x, y = φ(x), na caMatrizJacobiana vizinhan¸a do ponto (0, 1). cDerivada da 4 Seja h(x, y ) = xy + cos(x). Mostre que a equa¸˜o caComposta h(x, y ) = π define localmente y = φ(x) numa vizinhan¸a 2 cImpl´ ıcita π ∂y πExtremos do ponto 2 , 1 . Determine ∂x 2 . 60/1
  61. 61. AM2 Vimos atr´s que para uma fun¸˜o z = f (x, y ) diferenci´vel em a ca a (a, b) existe um plano tangente definido pela equa¸˜o caDerivadasdirecionais ∂f ∂fDerivadas z − f (a, b) = (a, b)(x − a) + (a, b)(y − b)parciais ∂x ∂yDerivadas deordem superior Consideremos que se tem uma equa¸˜o caT. SchwarzClasse C k (A) F (x, y , z) = 0Diferenciabil.Plano tang. que define implicitamente z como fun¸˜o de x e y na caDiferencial vizinhan¸a de um ponto (a, b, c) ent˜o, c aGradiente ∂F ∂f ∂x (a, b, c)MatrizJacobiana (a, b) = − ∂FDerivada da ∂x ∂z (a, b, c)CompostaImpl´ ıcita e ∂FExtremos ∂f ∂y (a, b, c) (a, b) = − ∂F . ∂y ∂z (a, b, c) 61/1
  62. 62. AM2 Substituindo na equa¸˜o do plano tangente: ca ∂F ∂FDerivadas ∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)direcionais z − f (a, b) = − ∂F (x − a) − ∂F (y − b) ∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)Derivadasparciais ∂F ∂F ∂x (a, b, c) ∂y (a, b, c)Derivadas deordem superior ∂F (x − a) + ∂F (y − b) + z − c = 0 ∂z (a, b, c) ∂z (a, b, c)T. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil. ∂F ∂F ∂FPlano tang. (a, b, c)(x − a) + (a, b, c)(y − b) + (a, b, c)(z − c) = 0Diferencial ∂x ∂y ∂zGradienteMatrizJacobiana ∂F ∂F ∂FDerivada da (a, b, c), (a, b, c), (a, b, c) |(x −a, y −b, z −c) = 0Composta ∂x ∂y ∂zImpl´ ıcitaExtremos F (a, b, c)|(P − P0 ) = 0, com P = (x, y , z) e P0 = (a, b, c). 62/1
  63. 63. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas de Portanto o plano tangente ´ o conjunto dos pontos eordem superior P = (x, y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vectores P − P0T. Schwarz perpendiculares ao vector gradiente.Classe C k (A)Diferenciabil.Plano tang. Nota: O vector gradiente ´ perpendicular ao plano tangente ao eDiferencial gr´fico. aGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 63/1
  64. 64. AM2DerivadasdirecionaisDerivadas A recta normal ` superf´ de equa¸˜o F (x, y , x) = 0 no a ıcie caparciais ponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direc¸˜o do vector caDerivadas deordem superior gradiente , pelo que ´ definida pelas seguintes equa¸˜es: e coT. Schwarz  ∂FClasse C k (A)  x-a=λ ∂x (a, b, c)   Diferenciabil. Plano tang. y-b=λ ∂F (a, b, c), ∂y λ∈R  Diferencial   z-c=λ ∂F (a, b, c) Gradiente ∂zMatrizJacobiana (equa¸˜o param´trica da recta normal ` superf´ ca e a ıcie)Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 64/1
  65. 65. AM2 Exerc´ ıciosDerivadasdirecionais 1 Considere a superf´ de equa¸˜o x 2 + y 2 − z 2 = 6 e o ıcie caDerivadas ponto P = (3, −1, 2).parciaisDerivadas de 1 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´ em P. ca a ıcieordem superior 2 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´ em P. ca a ıcieT. Schwarz 2 Considere a equa¸˜o caClasse C k (A)Diferenciabil. π xyz sin(xyz) − = 0.Plano tang. 2DiferencialGradiente 1 Verifique que a equa¸˜o dada define implicitamente uma caMatriz fun¸˜o z = φ(x, y ) numa vizinhan¸a de P = (1, 1, π ). ca c 2Jacobiana 2 Determine a equa¸˜o do plano tangente ` superf´ ca a ıcie noDerivada daComposta ponto P.Impl´ ıcita 3 Determine a equa¸˜o da recta normal ` superf´ ca a ıcie noExtremos ponto P. 4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9) considerando π ≈ 1.57. 2 65/1
  66. 66. AM2 ExtremosDerivadasdirecionais Defini¸˜o: caDerivadasparciais Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e a ∈ DfDerivadas de f (a) ´ um m´ximo relativo ou local de f se existe uma e aordem superior vizinhan¸a V (a) tal que cT. SchwarzClasse C k (A) f (a) ≥ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).Diferenciabil.Plano tang. f (a) ´ um m´ e ınimo relativo ou local de f se existe umaDiferencial vizinhan¸a V (a) tal que cGradienteMatriz f (a) ≤ f (x) ∀x ∈ Df ∩ V (a).JacobianaDerivada daComposta O maior dos m´ximos relativos ´ o m´ximo absoluto. a e aImpl´ ıcita O menor dos m´ınimos relativos ´ o m´ e ınimo absoluto.Extremos Chamam-se extremos aos m´ximos e aos m´ a ınimos de f . A a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f . 66/1
  67. 67. AM2DerivadasdirecionaisDerivadas Chamam-se pontos cr´ ıticos ou pontos de estacionaridadeparciais aos pontos que verificam o sistema:Derivadas deordem superior  ∂fT. Schwarz  ∂x1 = 0 Classe C k (A) . .Diferenciabil.  ∂f . ∂xn = 0 Plano tang.DiferencialGradiente Os extremos encontram-se entre os pontos cr´ıticos.MatrizJacobiana Os pontos cr´ ıticos que n˜o s˜o extremos s˜o pontos de sela. a a aDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 67/1
  68. 68. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 68/1
  69. 69. AM2Derivadasdirecionais A matriz Hesseana de f ´: eDerivadasparciais ∂2f ∂2f ∂x 2 ∂x∂yDerivadas deordem superior Hf = ∂2f ∂2f ∂y ∂x ∂y 2T. SchwarzClasse C k (A) ∂2fDiferenciabil. Sejam ∆1 = ∂x 2 , ∆2 = det(Hf ) , ent˜o: aPlano tang. ∆2 > 0, ∆1 > 0, → M´ ınimo local.Diferencial ∆2 > 0, ∆1 < 0, → M´ximo local. aGradiente ∆2 < 0 → Ponto de sela.MatrizJacobiana ∆2 = 0 → Nada se conclui.Derivada daCompostaImpl´ ıcitaExtremos 69/1
  70. 70. AM2 Exerc´ ıcios IDerivadasdirecionaisDerivadas Calcule e classifique os extremos deparciais 1 f (x, y ) = y 2 − x 2 .Derivadas de 2 +4y 2ordem superior 2 f (x, y ) = e −x .T. SchwarzClasse C k (A) 3 f (x, y ) = (x − y )2 − x 4 − y 4 .Diferenciabil. 4 f (x, y ) = y + x sin y (dif).Plano tang. 5 f (x, y ) = 3x 2 − y 2 .Diferencial y3 x3 7Gradiente 6 f (x, y ) = 3 + 12y − 4x + 3 − 2 y 2 + 4.Matriz 7 f (x, y ) = x2 + y 2 + x 2 y + 4.JacobianaDerivada da 8 f (x, y ) = 4xy − 2x 2 − y 4 .CompostaImpl´ ıcita 9 f (x, y ) = xy 2 + x 2 + y 2 .Extremos 10 f (x, y ) = x 3 + 3x 2 − 9x + y 3 + 3y 2 . 70/1
  71. 71. AM2 Exerc´ ıcios IIDerivadasdirecionais 1 Uma empresa produz dois produtos que s˜o vendidos em aDerivadasparciais dois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidasDerivadas de pelos consumidores e os pre¸os de cada produto est˜o c aordem superior relacionados. O lucro total da produ¸˜o ´ dado por ca eT. Schwarz 2 2 L = −10 + 5q1 − q1 + 20q2 − 2q2 − 3q1 q2 . Determine aClasse C k (A) quantidade a produzir de cada produto de modo aDiferenciabil. maximizar o lucro.Plano tang.Diferencial 2 Um m´ tem um controlo remoto que ´ sens´ ` ıssil e ıvel aGradiente temperatura e ` humidade. O alcance sobre o qual o aMatriz m´ pode ser controlado ´ dado, em km, por: ıssil eJacobianaDerivada daComposta A(h, t) = 27800 − 5t 2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300hImpl´ ıcitaExtremos Quais s˜o as condi¸˜es atmosf´ricas optimais para a co e controlar o m´ ıssil? 71/1
  72. 72. AM2 Exerc´ ıcios IIIDerivadasdirecionais 3 Suponha que pretende transportar 2m3 de parafusos emDerivadasparciais caixas como a da figura, com largura l, comprimento c eDerivadas de altura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam aordem superior 10e/m2 e o fundo a 20e/m2 . O custo de transportarT. Schwarz uma caixa ´ de 3. Qual a largura e o comprimento das eClasse C k (A) caixas a comprar de modo a minimizar os custos?Diferenciabil.Plano tang.DiferencialGradienteMatrizJacobianaDerivada daComposta Determine apenas o sistema que teria que utilizar paraImpl´ ıcitaExtremos resolver o problema. (Como o sistema n˜o ´ linear n˜o ´ a e a e f´cil encontrar a solu¸˜o.) a ca 72/1
  73. 73. AM2 Exerc´ ıcios IVDerivadasdirecionaisDerivadas 4 Determine os valores extremos da fun¸˜o caparciais f (x, y , x) = x − 2y + 2z 2 sobre a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1.Derivadas deordem superior 5 Dado um paralelep´ ıpedo de lados x,y e z, determine o queT. Schwarz tem maior volume entre os que x+y+z=10.Classe C k (A) 6 Qual o rectˆngulo de maior ´rea inscrito na elipse a aDiferenciabil. 2x 2 + 3y 2 = 1.Plano tang.Diferencial 7 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima do ponto (1, 1) ` aGradiente par´bola y = x 2 + 1. aMatrizJacobiana 8 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima da origem ` curva aDerivada da 5x 2 + 6xy + 5y 2 = 8.Composta 9 Determine a distˆncia m´xima e m´ a a ınima da origem ` curva aImpl´ ıcita 2x 2 + 3y 2 = 1.Extremos 73/1
  74. 74. AM2DerivadasdirecionaisDerivadasparciaisDerivadas deordem superiorT. SchwarzClasse C k (A)Diferenciabil.Plano tang.Diferencial Autora:Gradiente Sandra Gaspar MartinsMatrizJacobianaDerivada daCompostaImpl´ ıcita Com base no trabalho de:Extremos Nuno David Lopes e Cristina Janu´rio a 74/1

×